マクスウェル電磁理論
共形理論の典型的な例は光子の理論、つまりマクスウェルの電磁理論で与えられる。平坦なミンコフスキー空間におけるマクスウェル理論の作用は
\[ \S \, = \, - \frac{1}{4} \int d^4 x \, F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} \tag{11.9} \]
で定義される。ただし、$F_{\mu\nu}$ は電磁場のテンソル（場の強さテンソル）
\[ F_{\mu \nu} = \d_\mu A_\nu - \d_\nu A_\mu \tag{11.10} \]
である。光子の場 $A_\mu = ( A_0 , A_i )$ は静電ポテンシャル $A_0$ とベクトル・ポテンシャル $A_i$ $(i = 1,2,3)$ で構成される。$F_{\mu \nu}$ は$\mu$, $\nu$について反対称であるので、６つの非自明な成分があり、これらは３成分の電場 $E_i$ と３成分の磁場 $B_i$ で表せる。具体的には
\[\begin{eqnarray} F_{0i} &=& \d_0 A_i - \d_i A_0 \, = \, E_i \tag{11.11} \\ F_{ij} &=& \d_i A_j - \d_j A_i \, = \, \ep_{ijk} B_k \tag{11.12} \end{eqnarray}\]
となる。電磁場を用いると $F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}$ は
\[\begin{eqnarray} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} &=& \eta^{\mu \al} \eta^{\nu \bt} F_{\mu\nu} F_{\al\bt} \nonumber \\ &=& \eta^{00} \nu^{\nu \bt} F_{0 \nu} F_{0 \bt} + \eta^{ij} \eta{\nu \bt} F_{i \nu} F_{j \bt} \nonumber \\ &=& 2 \eta^{ij} E_i E_j + \eta^{ij} \eta^{kl} F_{ik} F_{jl} \nonumber \\ &=& 2 \eta^{ii} E_i E_i + \ep_{ikm} \ep_{ikn} B_m B_n \nonumber \\ &=& -2 E^2 + 2 B^2 \tag{11.13} \end{eqnarray}\]
と表せる。ただし、$E^2 = \vec{E}^2$, $B^2 = \vec{B}^2$ である。これより、作用(11.9)は
\[ \S \, = \, - \frac{1}{4} \int d^4 x ~ F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} \, = \, \frac{1}{2} \int d^4 x \left( E^2 - B^2 \right) \tag{11.14} \]
と書ける。
つぎに、曲がった空間での作用を考える。
9章で議論したように、強い等価原理（あるいは重力理論のゲージ原理）から、曲がった空間の作用は平坦空間の作用において通常の微分 $\d_\mu$ を共変微分 $\nabla_\mu$ に置き換えることで導出できる。ここで、電磁場テンソル $F_{\mu\nu} $ はこの処方のもとで不変であることに注意する。
\[\begin{eqnarray} {\cal F}_{\mu\nu} &=& \nabla_\mu A_\nu - \nabla_\nu A_\mu \nonumber \\ &=& \d_\mu A_\nu - \d_\nu A_\mu \, = \, F_{\mu\nu} \tag{11.15} \end{eqnarray}\]
ただし、共変微分は $\nabla_\mu A_\nu = \d_\mu A_\nu - \Ga^{\bt}_{\mu\nu} A_\bt$ と定義される。クリストッフェル記号 $\Ga^{\bt}_{\mu\nu}$ は$\mu$, $\nu$について対称である。添え字を計量テンソル $g_{\mu\nu}$ で縮約し変数変換のヤコビアン $\sqrt{-g} = \sqrt{ - \det g}$ を挿入すると曲がった空間上のマクスウェル理論の作用は
\[ \S \, = \, - \frac{1}{4} \int \sqrt{-g} \, d^4 x ~ F_{\mu\nu} F_{\al\bt} \, g^{\mu\al} g^{\nu\bt} \tag{11.16} \]
と定義される。
9.1節で言及したように強い等価原理はスピンを持つ粒子には適用されない。一方、弱い等価原理は光子と曲率との相互作用項を作用(11.16)に追加することを許容する。そのような相互作用項は
\[ \S_{int} \, = \, \int \sqrt{-g} \, d^4 x ~ {\cal R}^{\al}_{\mu\nu\bt} \, F^{\mu\nu} F^{\ga\bt} \, g_{\al\ga} \tag{11.17} \]
と表せる。ただし、${\cal R}^{\al}_{\mu\nu\bt}$ はリーマン曲率テンソルである。潮汐力に代表されるように物理現象において曲率の関与する項は微小である。よって、(11.17)のような相互作用項を無視して、(11.16)をマクスウェル理論の曲がった空間上の作用と見做せる。作用(11.16)は任意の4次元時空間で共形不変である。これは計量に関わる量の変換則
\[\begin{eqnarray} && g_{\mu\nu} \rightarrow e^\Om g_{\mu\nu} \, , ~~~~ g^{\mu\nu} \rightarrow e^{-\Om} g^{\mu\nu} \, , \nonumber \\ && g = \det g \rightarrow e^{4\Om} g \, , ~~~~ \sqrt{-g} \rightarrow e^{2\Om} \sqrt{-g} \tag{11.18} \end{eqnarray}\]
質量ゼロ・スカラー粒子の理論
共形理論のもう１つの例はスカラー粒子の理論である。質量のあるスカラー粒子の曲がった空間上での作用は
\[ \S \, = \, \int \sqrt{-g} \, d^4 x \left( \frac{1}{2} \nabla_\mu \phi \, \nabla_\nu \phi \, g^{\mu\nu} - \frac{m^2}{2} \phi^2 \right) \tag{11.19} \]
と書ける。ただし、$\phi$ はスカラー場を表す。共変微分の一般的な定義
\[\begin{eqnarray} \nabla_\mu T^{\al_1 \al_2 \cdots \al_p}_{\bt_1 \bt_2 \cdots \bt_q} &=& \d_\mu T^{\al_1 \cdots \al_p}_{\bt_1 \cdots \bt_q} + \Ga^{\al_1}_{\mu \al} T^{\al \al_2 \cdots \al_p}_{\bt_1 \cdots \bt_q} + \cdots + \Ga^{\al_p}_{\mu \al} T^{\al_1 \cdots \al_{p-1} \al }_{\bt_1 \cdots \bt_q} \nonumber \\ && ~~~~~~~~~~ - \Ga^{\bt}_{\mu \bt_1} T^{\al_1 \cdots \al_p}_{\bt \bt_2 \cdots \bt_q} - \cdots - \Ga^{\bt}_{\mu \bt_q} T^{\al_1 \cdots \al_p}_{\bt_1 \cdots \bt_{q-1} \bt} \tag{10.7} \end{eqnarray}\]
から $\nabla_\mu \phi = \d_\mu \phi$ とおける。しかし、作用(11.19)の運動方程式を考えると2階微分
\[ \nabla_\mu ( \nabla_\nu \phi ) = \nabla_\mu ( \d_\nu \phi ) = \d_\mu \d_\nu \phi - \Ga_{\mu\nu}^{\la} \d_\la \phi \tag{11.20} \]
が現れるので、作用(11.19)はクリストッフェル記号の寄与により一般の時空間では共形理論とはならない。よって、共形理論を求めるには平坦なミンコフスキー空間上の作用
\[ \S \, = \, \int \sqrt{-g} \, d^4 x \left( \frac{1}{2} \d_\mu \phi \, \d_\nu \phi \, g^{\mu\nu} - \frac{m^2}{2} \phi^2 \right) \tag{11.21} \]
を考えることが望ましい。ここで、計量は $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} = \diag ( + --- )$ である。計量のスケール変換(11.18)のもとでスカラー場 $\phi$ が
\[ \phi \, \rightarrow \, e^{-\frac{1}{2} \Om} \phi \tag{11.22} \]
と変換すると仮定すると、質量ゼロ $m= 0$ の場合、作用(11.21)は共形不変となる。これは4次元の質量ゼロ・スカラー理論はミンコフスキー空間上で共形不変であることを意味する。
同様に、$d$ 次元時空間の質量ゼロ・スカラー場の作用は
\[ \S \, = \, \int \sqrt{-g} \, d^d x \left( \frac{1}{2} \d_\mu \phi \, \d_\nu \phi \, g^{\mu\nu} \right) \tag{11.23} \]
と表せる。ただし、$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} = \diag ( + - \cdots - )$ である。計量のスケール変換 $g_{\mu\nu} \rightarrow e^{\Om} g_{\mu\nu}$ のもとでスカラー場の変換を
\[ \phi \, \rightarrow \, e^{- \frac{1}{4} ( d -2 ) \Om} \phi \tag{11.24} \]
と定義すると、作用(11.23)はスケール変換 $g_{\mu\nu} \rightarrow e^{\Om} g_{\mu\nu}$ のもとで不変であることが分かる。つまり、ミンコフスキー空間上の質量ゼロ・スカラー理論は次元に依らず共形不変である。
曲がった空間上の質量ゼロ・スカラー理論
スケール因子が座標の関数 $\Om =\Om (x)$ である場合、スカラー場と曲率の相互作用項を追加することで、曲がった空間上で共形不変な質量ゼロ・スカラー理論を構成することができる。4次元時空においてその作用は
\[\begin{eqnarray} \S & = & \S_0 \, + \, \S_{int} \nonumber \\ &=& \int \sqrt{-g} \, d^4 x \left( \frac{1}{2} \nabla_\mu \phi \, \nabla_\nu \phi \, g^{\mu\nu} \right) + \int \sqrt{-g} \, d^4 x \left( \frac{\cal R}{6} \, \phi^2 \right) \tag{11.25} \end{eqnarray}\]
と表せる。ただし、${\cal R} = {\cal R}_{\nu \al} g^{\nu \al}$ はスカラー曲率（リッチ・スカラー）である。以下では、この作用(11.25)がスケール変換
\[ g_{\mu \nu} \rightarrow \tilde{g}_{\mu\nu} = e^{\Om (x) } g_{\mu\nu} \, , ~~~~ \phi \rightarrow \tilde{\phi} = e^{-\hf \Om (x) } \phi \tag{11.26} \]
のもとで如何に不変であるかを見ていく。
作用の自由項 $\S_0$ のスケール変換は
\[ \widetilde{\S}_0 = \int \sqrt{-g} \, d^4 x \, \left( \frac{1}{2} \d_\mu \phi \, \d^\mu \phi + \frac{1}{4} ( \d \cdot \d \, \Om ) \phi^2 + \frac{1}{8} (\d_\mu \Om ) ( \d^\mu \Om ) \phi^2 \right) \tag{11.27} \]
と計算できる。ただし、全微分項は無視した。スカラー場に作用する共変微分は定義より $\nabla_\mu \phi = \d_\mu \phi$ と表せる。よって、クリストッフェル記号 $\Ga_{\mu \nu}^{\la}$ の変換は $\widetilde{\S}_0$ に影響を及ぼさない。一方、(8.45)で見たようにリーマン曲率テンソル ${\cal R}^{\la}_{\mu \nu \al}$ は $\Ga_{\mu \nu}^{\la}$ で定義されるので、リッチ・スカラーのスケール変換を求めるには、$\widetilde{\Ga}_{\mu \nu}^{\la}$ の効果を考慮する必要がある。実際、$\Ga_{\nu \al}^{\la}$ のスケール変換は
\[\begin{eqnarray} \Ga_{\nu \al}^{\la} ~ \rightarrow ~ \widetilde{\Ga}_{\nu \al}^{\la} &=& \frac{1}{2} \tilde{g}^{\la \mu} \left( \d_\nu \tilde{g}_{\mu \al} + \d_\al \tilde{g}_{\mu \nu} - \d_\mu \tilde{g}_{\nu \al} \right) \nonumber \\ &=& \Ga_{\nu \al}^{\la} + C_{\nu \al}^{\la} \tag{11.28} \end{eqnarray}\]
と表せる。ただし、$C_{\nu \al}^{\la}$ は
\[\begin{eqnarray} C_{\nu \al}^{\la} &=& \frac{1}{2} g^{\la \mu} \left( ( \d_\nu \Om ) g_{\mu \al} + ( \d_\al \Om ) g_{\mu \nu} - ( \d_\mu \Om ) g_{\nu \al} \right) \nonumber \\ &=& ( \d_\nu \Om ) \, \del_\al^\la - \frac{1}{2} ( \d^\la \Om ) \, g_{\nu \al} \tag{11.29} \end{eqnarray}\]
と定義される。また、
10.1節の(10.4)で見たように、ベクトル $\phi^\al$ に作用する共変微分は関係式 $\nabla_\mu \phi^\al = \d_\mu \phi^\al + \Ga^{\al}_{\mu \bt} \phi^\bt$ で与えられる。スケール変換のもとでこの式は
\[\begin{eqnarray} \nabla_\mu \phi^\al ~ \rightarrow ~ \widetilde{\nabla}_\mu \phi^\al &=& \d_\mu \phi^\al + \widetilde{\Ga}_{\mu \bt}^{\al} \phi^\bt \nonumber \\ &=& \nabla_\mu \phi^\al + C_{\mu \bt}^{\al} \phi^\bt \tag{11.30} \end{eqnarray}\]
と表せる。ここで、$\widetilde{\nabla}_\mu \phi^\al$ を用いるとリーマン曲率テンソルのスケール変換 $\widetilde{\cal R}^{\la}_{\mu \nu \al}$ は
\[ \widetilde{\nabla}_\mu \widetilde{\nabla}_\nu \phi^\al - \widetilde{\nabla}_\nu \widetilde{\nabla}_\mu \phi^\al \, = \, \widetilde{\cal R}^{\al}_{\mu \nu \bt} \phi^\bt \tag{11.31} \]
と定義される。これより、
\[ \widetilde{\cal R}^{\la}_{\mu \nu \al} = {\cal R}^{\la}_{\mu \nu \al} + \nabla_\mu C_{\nu \al}^{\la} - \nabla_\nu C_{\mu \al}^{\la} + C_{\mu \bt}^{\la} C_{\nu \al}^{\bt} - C_{\nu \bt}^{\la} C_{\mu \al}^{\bt} \tag{11.32}\]
と求まる。対応するリッチ・テンソル $\widetilde{\cal R}_{\nu \al} =\widetilde{\cal R}^{\la}_{\la \nu \al}$ は
\[\begin{eqnarray} \widetilde{\cal R}_{\nu \al} &=& {\cal R}_{\nu \al} + \nabla_\la C_{\nu \al}^{\la} - \nabla_\nu C_{\la \al}^{\la} + C_{\la \bt}^{\la} C_{\nu \al}^{\bt} - C_{\nu \bt}^{\la} C_{\la \al}^{\bt} \nonumber \\ &=& {\cal R}_{\nu \al} + \d_\la C_{\nu \al}^{\la} - \d_\nu C_{\la \al}^{\la} - \Ga_{\la \al}^{\bt} C_{\nu \bt}^{\la} + ( \Ga_{\la \bt}^{\la} + C_{\la \bt}^{\la} ) C_{\nu \al}^{\bt} \nonumber \\ && \hskip 3.5cm + \Ga_{\nu \al}^{\bt} C_{\la \bt}^{\la} - ( \Ga_{\nu \bt}^{\la} + C_{\nu \bt}^{\la} ) C_{\la \al}^{\bt} \tag{11.33} \end{eqnarray}\]
と計算できる。ただし、共変微分の一般的な定義式(10.7)を用いた。
式(11.19), (11.20)で述べたように作用(11.25)の自由項 $\S_0$ で共変微分を用いると運動方程式のレベルで共形不変性が破れる。このことから平坦空間での共形理論(11.21)を導いた。しかし、曲がった空間では $\Ga_{\mu\nu}^{\la}$ はゼロとはならず、その構成から平坦な背景場を用いて共形不変性を導くことはできない。この問題を回避するために、(11.30)で定義したスケール変換された共変微分 $\widetilde{\nabla}_\mu$ に注目して有効的な平坦性の条件を課すことを考える。つまり、「平坦性」の条件
\[ \widetilde{\Ga}_{\nu \al}^{\la} \, = \, \Ga_{\nu \al}^{\la} + C_{\nu \al}^{\la} \, = \, 0 \tag{11.34} \]
を要請する。この条件はスケール変換された量がある種の平坦空間で定義されることを意味するが、実際の物理空間は $\Ga_{\nu \al}^{\la} = - C_{\nu \al}^{\la} \ne 0$ を満たすゼロでない曲率を持つ。以下で見るように、この条件は曲がった空間上での質量ゼロ・スカラー理論(11.25)の共形不変性に不可欠であることが分かる。条件(11.34)のもとでスケール変換されたリッチ・テンソル(11.33)は
\[ \widetilde{\cal R}_{\nu \al} \, = \, {\cal R}_{\nu \al} + \frac{1}{2} \d_\nu \d_\al \Om - \frac{1}{2} ( \d \cdot \d \, \Om ) \, g_{\nu \al} + \frac{1}{4} \d_\nu \Om \, \d_\al \Om - \frac{1}{4} \d_\la \Om \, \d^\la \Om \, g_{\nu \al} \tag{11.35} \]
と表せる。これに対応するリッチ・スカラーは
\[ \widetilde{\cal R} \, = \, \widetilde{\cal R}_{\nu \al} \tilde{g}^{\nu \al} \, = \, e^{- \Om} \left( {\cal R} - \frac{3}{2} ( \d \cdot \d \, \Om ) - \frac{3}{4} \d_\la \Om \, \d^\la \Om \right) \tag{11.36} \]
となる。式(11.27), (11.36)から作用
\[ \S = \int \sqrt{-g} \, d^4 x \left( \frac{1}{2} \d_\mu \phi \d_\nu \phi \, g^{\mu\nu} + \frac{1}{6} {\cal R} \phi^2 \right) \tag{11.37} \]
が計量テンソルのスケール変換(11.26)のもとで不変であることが確認できる。ここで、通常の微分 $\d_\mu$ を共変微分 $\nabla_\mu$ で置き換えることはせず、「平坦性」の条件(11.34)から、恒等式 $\widetilde{\nabla}_\mu = \d_\mu$ を課していることに注意する。
作用(11.37)の運動方程式は
\[ \d_\mu \d_\nu \phi \, g^{\mu \nu} + \frac{1}{3} {\cal R} \phi \, = \, 0 \tag{11.38} \]
で与えられる。スケール変換(11.26)のもとで、これは
\[\begin{eqnarray} \widetilde{\nabla}_\mu \widetilde{\nabla}_\nu \tilde{\phi} \, \tilde{g}^{\mu\nu} + \frac{1}{3} \widetilde{\cal R} \tilde{\phi} &=& \d_\mu \d_\nu \tilde{\phi} \, \tilde{g}^{\mu\nu} + \frac{1}{3} \widetilde{\cal R} \tilde{\phi} \nonumber \\ &=& e^{- \frac{3}{2} \Om } \left( \d_\mu \d_\nu \phi \, g^{\mu\nu} + \frac{1}{3} {\cal R} \phi \right) \tag{11.39} \end{eqnarray}\]
と表せる。ただし、(11.36)の $ \widetilde{\cal R}$ を用いた。上式は運動方程式(11.38)が共形不変であることを明示している。(11.39)には共変微分が関与しない。このことから曲がった空間上の共形不変なスカラー場の作用として(11.25)ではなく(11.37)を用いるのが妥当であることが分かる。
まとめると、曲がった空間での質量ゼロ・スカラー理論の共形不変性は作用(11.37)と条件式(11.34)によって実現される。この条件式はスケール因子 $\Om (x)$ の座標依存性を関係式 $C_{\mu \nu}^{\la} = - \Ga_{\mu \nu}^{\la}$ で決定する。ただし、$C_{\mu \nu}^{\la}$ は(11.29)で定義される。
