Legendre symbols $\lambda_{p} (n )$ for prime $p$ up to 100

前回との関連でCoCalcの計算結果を記録しておきます。$p$ を100までの素数としてルジャンドル記号 $\lambda_{p} (n )$（平方剰余記号とも呼ばれる）が１になるときの $n \in \F_{p}^{\times}$ $(n = 1,2, \cdots, p-1)$ の値を列挙します。ルジャンドル記号の計算コマンドはこちらを参考にしました。

$p$	$n$ for $\lambda_{p} (n) = 1$
2	1
3	1
5	1, 4
7	1, 2, 4
11	1, 3, 4, 5, 9
13	1, 3, 4, 9, 10, 12
17	1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16
19	1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17
23	1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 18
29	1, 4, 5, 6, 7, 9, 13, 16, 20, 22, 23, 24, 25, 28
31	1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 18, 19, 20, 25, 28
37	1, 3, 4, 7, 9, 10, 11, 12, 16, 21, 25, 26, 27, 28, 30, 33, 34, 36
41	1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 40
43	1, 4, 6, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 21, 23, 24, 25, 31, 35, 36, 38, 40, 41
47	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 17, 18, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 34, 36, 37, 42
53	1, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 15, 16, 17, 24, 25, 28, 29, 36, 37, 38, 40, 42, 43, 44, 46, 47, 49, 52
59	1, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 25, 26, 27, 28, 29, 35, 36, 41, 45, 46, 48, 49, 51, 53, 57
61	1, 3, 4, 5, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 20, 22, 25, 27, 34, 36, 39, 41, 42, 45, 46, 47, 48, 49, 52, 56, 57, 58, 60
67	1, 4, 6, 9, 10, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 29, 33, 35, 36, 37, 39, 40, 47, 49, 54, 55, 56, 59, 60, 62, 64, 65
71	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 19, 20, 24, 25, 27, 29, 30, 32, 36, 37, 38, 40, 43, 45, 48, 49, 50, 54, 57, 58, 60, 64
73	1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 19, 23, 24, 25, 27, 32, 35, 36, 37, 38, 41, 46, 48, 49, 50, 54, 55, 57, 61, 64, 65, 67, 69, 70, 71, 72
79	1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 31, 32, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 46, 49, 50, 51, 52, 55, 62, 64, 65, 67, 72, 73, 76
83	1, 3, 4, 7, 9, 10, 11, 12, 16, 17, 21, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 36, 37, 38, 40, 41, 44, 48, 49, 51, 59, 61, 63, 64, 65, 68, 69, 70, 75, 77, 78, 81
89	1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 25, 32, 34, 36, 39, 40, 42, 44, 45, 47, 49, 50, 53, 55, 57, 64, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 78, 79, 80, 81, 84, 85, 87, 88
97	1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 16, 18, 22, 24, 25, 27, 31, 32, 33, 35, 36, 43, 44, 47, 48, 49, 50, 53, 54, 61, 62, 64, 65, 66, 70, 72, 73, 75, 79, 81, 85, 86, 88, 89, 91, 93, 94, 95, 96

$\la_p (n) \equiv n^{\frac{p-1}{2}}$ $(mod ~ p)$ より

\begin{eqnarray}
 \la_p (1) &=& 1 \\
 \la_p (-1) & =& (-1)^{\frac{p-1}{2}} ~~~ (p \ne 2)
\end{eqnarray}
が分かる。また、
\[
 \la_p (2) = (-1)^{\frac{p^{2} -1}{8}} ~~~ (p \ne 2)
\]

が知られている。上記のリストからこれらの関係式を確認することが出来る。

Weight-2 dim-1 modular forms with prime levels up to 100

重さ２、次元１でレベルが100までの素数で与えられる保型（モジュラー）形式を調べました。LMFDBの計算結果をこちらにまとめておきます。保型形式を$q$-展開したときの係数 $a_p$（ヘッケ固有値）のリストです。この係数は素数の係数だけからすべて求まるので $p$ として100までの素数を選んでいます。保型形式のレベル $N$ も100までの素数に限定しています。なので $p \ne N$ のとき $gcd(p, N)=1$ です。重さ２の保型形式の場合、解析的ランク(analytic rank)は０か１で与えられ、０と１の場合それぞれについてリストを作成しました。ただし、ここで解析的ランクとは保型形式の$L$-関数の解析的ランクのことで、詳しくはこちらを参照ください。

List of $q$-expansion coefficients $a_p$ for weight-2 dim-1 modular forms with analytic rank 0

$p$ \ $N$	11	17	19	37	67	73	89
2	-2	-1	0	0	2	1	1
3	-1	0	-2	1	-2	0	2
5	1	-2	3	0	2	2	-2
7	-2	4	-1	-1	-2	0	2
11	1	0	3	3	-4	-2	-4
13	4	-2	-4	-4	2	-6	2
17	-2	1	-3	6	3	2	6
19	0	-4	1	2	7	8	-2
23	-1	4	0	6	9	4	2
29	0	6	6	6	-5	2	-6
31	7	4	-4	-4	-10	-2	6
37	3	-2	2	1	-1	-6	10
41	-8	-6	-6	-9	0	6	-6
43	-6	4	-1	8	-2	-2	2
47	8	0	-3	3	-1	6	12
53	-6	6	12	-3	10	10	-6
59	5	-12	-6	12	9	-6	-10
61	12	-10	-1	8	-2	-14	-6
67	-7	4	-4	-4	1	8	12
71	-3	-4	6	-15	0	0	4
73	4	-6	-7	11	-7	1	10
79	-10	12	8	-10	-8	-4	-12
83	-6	-4	12	9	4	-14	-6
89	15	10	-12	6	7	-6	1
97	-7	2	8	8	0	-10	-18

$gcd(m,n)=1$のとき $a_m a_n = a_{mn}$ なので $a_N = 1$ から一般に $a_n$ には$N$倍についてのスケール不変性があることがわかる。$N=11$の場合は、$a_5 = 1$ でもあるため $mod ~ 5$ の性質もあることがわかる。実際、こちらのサイトによると$N=11$の場合は $a_p \equiv p + 1 ~ (mod ~5)$（ただし、$p \ne 11$）となることが Ramanujan によって証明されているそうです。同様にして、$N=37$の場合は $a_p \equiv p + 1 ~ (mod ~3)$（ただし、$p \ne 37$）、$N=73, 89$の場合は$a_p$ $(p \ne N)$ が偶数となることが分かる。また、$N = 17$の時も $a_2 = -1 \equiv 1 ~ (mod ~2)$ なので $a_p$ $(p \ne 2, 17)$ が偶数となる。

なお、これらの係数は $| a_p | \le 2 \sqrt{p}$ を満たすことが知られているが（一般の重さ $k$ の場合は $| a_p | \le 2 p^{\frac{k-1}{2}}$ ）、上のリストもすべてこの条件を満たしていることがわかる。例えば、$|a_p|$が比較的大きい $N=37 , ~ p=71$ の場合も $|a_{71} | = 15 < 2 \sqrt{71} = 16.85  \cdots $ となっている。

次に analytic rank 1 の場合は以下の通り。

SageMathCloudがCoCalcになっていた

先日、簡単な数値計算をする必要があり以前使ったことのあるSageMathCloud

http://www.sagemath.org/index.html

というのを立ち上げたところ、オンラインのクラウドサービスは CoCalc

https://cocalc.com/

という名称に変わっていました。6年前に作ったアカウントでしたが何とかログインでき、古いファイルも残っていました。SageMathは無料のオープンソース数値計算システムで充実した機能がそろっています。（対応するソフトウェアについてはこちらから。）個人的にはRスクリプトもそのまま実行でき、LaTeXファイルの実行PDF化も簡単に行ってくれるのでその便利さに感動した記憶があります。最近は数値計算をする機会が無かったので忘れかけていましたが、それは私が怠惰なだけでSageMath自体は発展・進化を続けているようです。

SageMathは数論研究者のWilliam Steinさんが2006年以前に一人で立ち上げたプロジェクトでその先見性には驚くしかありません。SageMath/CoCalcはMathematicaと比べてもよりアクセシブルなのでもっと普及してもいいはずですがあまり知られていません。確かに専門性の高い内容を含むので敬遠される人もいるかもしれませんが、数学に興味ある方は是非アカウントを作成してみてはいかがでしょうか？

このようなありがたいサービスは Steinさんのような理想と情熱を持ち合わせた奇特な方でないと発想し実現できないことだと思います。このシステムを持続発展させるには常人では及びもつかない苦労があったそうです。その経緯がこちらで紹介されています。Cocalcに専念するためワシントン大学の教授職を辞して会社を立ち上げたそうです。今後は有料サービスへの流入を加速させビジネスとしてもさらに発展していってもらいたいです。

最近読んだ本：数論関連

専門以外の本ばかり紹介したので、研究分野と関係する一般書も推薦させてください。初版2015年のものですが、『ラマヌジャンζの衝撃』

はとても良かったです。いま本棚の一番目立つところに飾っています。黒川先生は数論、特にζ関数の大家で、リーマン予想やリーマンその人については全て黒川先生の著作から学びました。手元にあるものだけでも

があります。現代の矢野健太郎先生のごとく精力的に啓蒙書を著されているので興味のある方は是非読んでみてください。大学生、意欲的な高校生でも読めるはずです。専門書は

　

がお薦めです。私は古い単行本で勉強しましたが人気なので最近はペーパーバックでも読めるみたいです。丁寧に解説されているで数学科でなくても読み進められるはずです。人類の叡智が詰まった素晴らしい教科書です。これを読破できたら世界中どこへ行ってもやっていけます。場所によっては神と崇め奉られるかも？！