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2024-02-06

4. 分数量子ホール効果 vol.2

4.2 分数量子ホール効果の有効理論


前節では分数量子ホール効果のラフリン波動関数と正孔励起 (hole excitation) 状態を考えた。今節では、つぎの作用をもちいて分数量子ホール効果の有効理論を考える。
S=d3x[k4πϵμναaμνaα+aμ(jμe2πBμ)]
ただし、aμ (μ=0,1,2) は新しい補助場であり、jμは正孔の3元電流密度(カレント)を表す。kはあとで決定される定数である。場の強さBμ
Bμ=ϵμνανAα
で定義される。ここでは3次元共変表示を用いているので、B0は磁場を表し、Bi (i=1,2) は電場に対応する。作用(4.11)の電磁相互作用をより明示的に書くと
e2πd3x aμϵμνανAα=e2πd3x νaμϵμναAα=e2πd3x ϵαμνμaνAαd3x AαJαJα=e2πϵαμνμaν
となる。ただし、Jμは電磁カレントである。

 作用(4.11)でaμの変分をとると運動方程式
k2πϵμνανaα+jμe2πBμ=0
が導かれる。(4.13)と(4.14)から
Jμ=ek(jμe2πBμ)=ekjμe22πkϵμνανAα
が分かる。第1項は単位正孔あたりの電荷がe/kであることを示している。よって、前節の最後に触れた議論から、分数量子ホールの場合には
k=2p+1  (p=1,2,)
と決めることが出来る。

正孔の動力学

 正孔の動力学(ダイナミクス)を議論するには正孔の位置に時間依存性を導入すればよい。つまり、wμ=wμ(t) (μ=0,1,2, t=x0) と置く。正孔カレントは
jμ=˙wμδ(2)(xw(t))
と表せる。ただし、x, wは2次元ベクトルx=(x1,x2), w=(w1,w2)である。以下では、ベクトルであることが明らかな場合は矢印を省略する。この正孔カレントを(4.11)に用いると、1-正孔動力学の有効作用は
Shole=d3xk4πϵμναaμνaα+aμ(w)˙wμdt+m˙w22dt
と表せる。ただし、正孔の運動エネルギーを追加した。この有効作用でaμの変分を取ると運動方程式
k2πϵμνανaα+˙xμδ(2)(xw)=0
が求まる。μ=0のとき、これは
k2π(1a22a1)+δ(2)(xw)=0
と書ける。ここで、便宜上、つぎの複素座標を導入する。
z=x1+ix2,  ˉz=x1ix2z=12(1i2)  ˉz=12(1+i2)az=12(a1ia2),  aˉz=12(a1+ia2)
これらの組み合わせを用いると、(1a22a1)
1a22a1=(z+ˉz)(aˉzazi)ˉzzi(az+aˉz)=2i(zaˉzˉzaz)
と表せる。よって、運動方程式(4.20)はつぎの形になる。
zaˉzˉzaz=iπkδ(2)(xw)

 ここで、複素座標とデルタ関数δ(2)(x)について調べよう。z1ˉz=0 (ˉz0) であり、
z(1ˉz)dzdˉz=dˉzˉz=2πi
となることに注意すると
z(1ˉz)=Cδ(2)(x)
と置ける。定数Cdzdˉz=i2dx1dx2の関係式を用いて上式のx積分を考えるとC=πと決まる。ˉz1zの場合も同様の結果が得られる。よって、
z(1ˉz)=πδ(2)(x) ,      ˉz(1z)=πδ(2)(x)
が求まる。2つ目の式は1つ目の複素共役である。これより、関係式
z1ˉzˉw=πδ(2)(xw),  ˉz1zw=πδ(2)(xw)
が分かる。これらを用いると、(4.25)の解は
aˉz=i2k1ˉzˉw,  az=i2k1zw
で与えられることが簡単に分かる。

 つぎに、正孔の有効作用(4.18)に戻り、a0=0のゲージで座標z(w)にある正孔の動力学を考える。このとき、有効作用は
Shole=dt(12m˙ˉz˙z+az˙z+aˉz˙ˉz)=dt (12m˙x2+a1˙x1+a2˙x2)
と表せる。この作用の正準運動量は
pi=m˙xi+aiixi
で与えられる。複素座標(4.21)-(4.23)で表すと、これは
m˙z=2i(ˉziaˉz)m˙ˉz=2i(ziaz)
と書ける。これは、通常のシュレーディンガー表現とは異なるハイゼンベルク代数の表現と解釈できる。次節ではこの解釈について詳しく見ていく。

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