13. ウィグナーの $\D$ 関数とその応用 vol.1

 13.1　ウィグナーの $\D$ 関数

随伴表現

　まず最初に $SU(N)$ 群の随伴表現を考える。12.2節と同様に群の要素は $g = \exp ( i t^a \th^a )$ $(a = 1,2, \cdots , N^2 -1 )$ と表せる。ただし、$t^a$ は $SU(N)$ 代数の生成子であり、$N \times N$ トレース・ゼロのエルミート行列で与えられる。規格化は（慣例として） $\Tr ( t^a t^b ) = \hf \del^{ab}$ と取る。生成子 $t^a$ を用いると $SU(N)$ 代数は

$$[ t^a , t^b ] \, =  \, i f^{abc} t^c \tag{13.1}$$

と定義される。ここで、$f^{abc}$ は代数の構造定数 である。任意の $N \times N$ 行列 $\Phi$ は生成子 $t^a$ と $N \times N$ 恒等行列 ${\bf 1}$ で $\Phi = \phi^a t^a + \phi^0 {\bf 1}$ と展開できる。$\phi^a$ と $\phi^0$ は $N^2$ 個の係数を表す。

　つぎに、随伴表現を導入するに当たり、行列 $g^{-1} t^a g$ を考えよう。関係式 $\Tr (g^{-1} t^a g ) = \Tr ( t^a ) = 0$ から、この行列は

$$g^{-1} t^a g \, = \, \D^{ab} (g ) \, t^b    \tag{13.2}$$

とパラメータ表示できる。ただし、$\D^{ab} (g)$ は展開係数を表す。この表示形式を用いると群の要素の合成 $g_1 g_2 = g_3$ に対して、

$$\D^{ab} ( g_1 ) \, \D^{bc} ( g_2 ) \, = \, \D^{ac} (g_3 )    \tag{13.3}$$

が成り立つ。よって、$\D^{ab} (g )$ をある行列の行列成分 $(a, b)$ と解釈すると $\D^{ab} (g )$ は$SU(N)$ 群の表現を成す。この表現を随伴表現を呼ぶ。

　群の要素 $g$ の無限小展開は微小の $\th^a$ に対して $g = \exp ( i t^a \th^a ) \approx 1 + i t^a \th^a$ と表せる。同様に、$\D^{ab} (g ) \approx \del^{ab} + i (T^c )^{ab} \th^c$ と書ける。ただし、$(T^c )^{ab}$ はリー代数の要素の随伴表現である。式(13.2)の無限小展開は

$$\begin{eqnarray}    ( 1 - i t^b \th^b ) t^a ( 1 + i t^c \th^c )    & = &    t^a + i [ t^a , t^c ] \th^c + \cdots    \nonumber \\    & \approx &    \del^{ab} t^b + i \left( -i f^{cab} \right) \th^c t^b    \tag{13.4} \end{eqnarray}$$

と計算できるので、$(T^c )^{ab} = - i f^{cab}$ が分かる。従って、リー代数の随伴表現は構造定数で与えられる。なお、構造定数のヤコビ律

$$f^{abd} f^{cde} + f^{bcd} f^{ade} +f^{cad} f^{bde} \, = \, 0 \tag{12.13}$$

から $(T^c )^{ab}$ が $SU(N)$ 代数に従うことが確認できる。

クレブシュ-ゴルダンの定理

　行列演算子が作用する状態はヒルベルト空間上で定義され、これは内積の定義される一種のベクトル空間である。それぞれの状態は $| R, \al \ket$ と表示される。ただし、$R$ は群の既約表現であり、$\al$ は表現 $R$ に属すベクトルを指定する。これらの状態の直積は

$$| R , \al \ket \otimes | R^{\prime} , \bt \ket \, = \, \sum_{R^{\prime\prime} , \ga}   C^{RR^{\prime} R^{\prime\prime}}_{\al \bt \ga}    | R^{\prime \prime} , \ga \ket    \tag{13.5}$$

と表せる。ここで、$C^{RR^{\prime} R^{\prime \prime}}_{\al \bt \ga}$ は展開係数であり、クレブシュ-ゴルダン係数と呼ばれる。クレブシュ-ゴルダンの定理によるとクレブシュ-ゴルダン係数は群の性質から完全に決定される。

SU(3) 群のクレブシュ-ゴルダン係数

　簡単な例として、$SU(3)$ 群の ${\bf 3}$ 表現の直積を考えると12.3節で議論したように

$${\bf 3} \otimes {\bf 3} \, = \, {\bf 6} \oplus {\bf 3}^*      \tag{13.6}$$

であった。${\bf 3}$ 表現のテンソルをそれぞれ $\phi_i$ と $\chi_j$ $(i,j = 1,2,3)$ とすると、これらの積は階数2のテンソル $V_{ij} = \phi_i \chi_j$ で表せる。以前同様、この合成テンソルは対称成分と反対称成分に分離できる。

$$\begin{eqnarray}    V_{ij} & = & V_{(ij)} +  V_{[ij]}    \nonumber \\    &=& \frac{1}{2} \left( \del_i^k \del_j^l + \del_i^l \del_j^k  \right)  V_{kl}      + \frac{1}{2} \left( \del_i^k \del_j^l  - \del_i^l \del_j^k  \right)  V_{kl}      \nonumber \\    &=&  \frac{1}{2} \left( \del_k^i \del_l^j + \del_l^i \del_k^j \right)  \Psi_{kl}     + \frac{1}{2} \ep_{ijm}  \Psi^m    \tag{13.7}\end{eqnarray}$$

ただし、関係式 $\del_i^k \del_j^l  - \del_i^l \del_j^k = \ep_{ijm} \ep^{klm}$ と定義式 $\Psi^m \equiv \ep^{klm} V_{kl}$ を用いた。$\Psi_{ij}$ は表現 ${\bf 6}$ に属す階数 $(2,0)$ のテンソル、$\Psi^m$ は表現 ${\bf 3}^*$ に属す階数 $(0,1)$ のテンソルをそれぞれ表す。$SU(3)$ 群の既約表現とそのテンソル表示の一例は以下の通り。（12.3節から再掲）

$$\begin{array}{cclcccl} \hline (p, q) & {\rm 次元}& &~~& (p, q) &{\rm 次元} & \\ \hline  (1, 0) & {\bf 3}&  \Psi_i &~~& (3, 0) & {\bf 10}& \Psi_{ijk} \\ (0, 1) & \,\,{\bf 3}^* & \Psi^i &~~& (0, 3) & \,\,{\bf 10}^*  & \Psi^{ijk} \\ (2, 0) & {\bf 6} & \Psi_{ij} &~~& (2, 1) & {\bf 15} & \Psi_{ij}^{k} \\ (0, 2) & \,\,{\bf 6}^*  & \Psi^{ij} &~~& (1, 2) & \,\,{\bf 15}^*  & \Psi_{i}^{jk} \\ (1, 1) & {\bf 8} & \Psi_{i}^{j}  &~~& (2, 2) & {\bf 27} & \Psi_{ij}^{kl} \\ \hline \end{array}$$

今の場合、還元公式(13.5)は具体的に

$$\begin{eqnarray}    | {\bf 3}, i \ket \otimes | {\bf 3} , j \ket &=&    C_{ij(kl)}^{\bf 336} | {\bf 6} , kl \ket \oplus C_{ijm}^{{\bf 33}{\bf 3}^*} | {\bf 3}^* , m \ket     \tag{13.8} \\    C_{ij(kl)}^{\bf 336} &=& \frac{1}{2} \left( \del_k^i \del_l^j + \del_l^i \del_k^j \right)     \tag{13.9} \\    C_{ijm}^{{\bf 33}{\bf 3}^*} &=& \frac{1}{2} \ep_{ijm}     \tag{13.10} \end{eqnarray}$$

と書ける。これらの共役表現は

$$\begin{eqnarray}    {\bf 3}^* \otimes {\bf 3}^* &=& {\bf 6}^* \oplus {\bf 3}      \tag{13.11} \\    | {\bf 3}^*, i \ket \otimes | {\bf 3}^* , j \ket &=&    C_{ij(kl)}^{{\bf 3}^* {\bf 3}^* {\bf 6}^*} | {\bf 6}^* , kl \ket \oplus     C_{ijm}^{{\bf 3}^* {\bf 3}^* {\bf 3} } | {\bf 3} , m \ket     \tag{13.12} \\    C_{ij(kl)}^{{\bf 3}^* {\bf 3}^* {\bf 6}^*} &=& \frac{1}{2} \left( \del^k_i \del^l_j + \del^l_i \del^k_j \right)     \tag{13.13} \\    C_{ijm}^{{\bf 3}^* {\bf 3}^* {\bf 3}} &=& \frac{1}{2} \ep^{ijm}     \tag{13.14} \end{eqnarray}$$

と表せる。

　同様に、表現 ${\bf 3}$ のテンソルと表現 ${\bf 3}^*$ のテンソルの直積は

$$\begin{eqnarray}    V_i^j & = & \Psi_i^j  \, + \, \frac{1}{3} \del_i^j \Tr (V)    \nonumber \\    &=& \del_i^k \del_l^j \, \Psi_k^l \, + \, \frac{1}{3} \del_i^j \, V_k^k    \tag{13.15} \end{eqnarray}$$

で与えられる。ただし、$\Psi_i^j$ は $V_i^j$ のトレース・ゼロ成分 ($\Psi_i^i = 0$) であり、上の表の随伴表現 ${\bf 8}$ に対応する。因子 $\frac{1}{3}$ は $\del_i^i = 3$ のため必要となる。この式は5.3節の関係式

$$T^{i}_{j} = (T_{{\rm traceless}})^{i}_{j} + \frac{1}{3} \, \del^{i}_{j} \, T^{k}_{k} \tag{5.29}$$

と同じである。$SU(3)$ 群の既約表現を用いるとこれは

$${\bf 3} \otimes {\bf 3}^* \, = \, {\bf 8} \oplus {\bf 1}      \tag{13.16}$$

と表せる。このとき、還元公式(13.5)は

$$\begin{eqnarray}    | {\bf 3}, i \ket \otimes | {\bf 3}^* , j \ket &=&    C_{ij(kl)}^{{\bf 3} {\bf 3}^* {\bf 8}} | {\bf 8} , kl \ket \oplus    C_{ij(kk)}^{{\bf 3} {\bf 3}^* {\bf 1} } | {\bf 1} , kk \ket   \tag{13.17} \\   C_{ij(kl)}^{{\bf 3} {\bf 3}^* {\bf 8}} &=& \del_i^k  \del_l^j     \tag{13.18} \\    C_{ij(kk)}^{{\bf 3} {\bf 3}^* {\bf 1} } &=& \frac{1}{3} \del_i^j     \tag{13.19} \end{eqnarray}$$

と書き下せる。

　つぎに、${\bf 3}$ テンソルと ${\bf 6}$ テンソルの直積も対称成分・反対称成分に分離して、

$$\begin{eqnarray}    V_{i(jk)} &=& V_{(i (jk))} \, +\, V_{[i(jk)]}    \nonumber \\    &=& \frac{1}{4} \left( V_{ijk} + V_{ikj} + V_{jki}+ V_{kji} \right) +     \frac{1}{4} \left( \ep_{ijm} \Psi_k^m + ( j \leftrightarrow k ) \right)    \nonumber \\    &=& \frac{1}{4} \left( \del_i^m \del_j^n \del_k^p + \del_i^m \del_k^n \del_j^p +    \del_j^m \del_k^n \del_i^p + \del_k^m \del_j^n \del_i^p  \right) \Psi_{mnp}    \nonumber \\    && + \frac{1}{4} \left( \ep_{ijm} \del_k^l + \ep_{ikm} \del_j^l  \right) \Psi_l^m     \tag{13.20} \end{eqnarray}$$

と表せる。ただし、$\Psi_{mnp}$ と $\Psi_l^m$ はそれぞれ ${\bf 10}$ 表現と${\bf 8}$ 表現のテンソル表示である。対応する還元公式(13.5)とクレブシュ-ゴルダン係数は次のように表せる。

$$\begin{eqnarray}    {\bf 3} \otimes {\bf 6} &=& {\bf 10} \oplus {\bf 8}    \tag{13.21} \\    | {\bf 3}, i \ket \otimes | {\bf 6} , jk \ket &=&    C_{i(jk)(mnp)}^{{\bf 3 6} \, {\bf 10}} | {\bf 10} , mnp \ket \oplus    C_{i(jk)(lm)}^{{\bf 3 6 8} } | {\bf 8} , lm \ket     \tag{13.22} \\    C_{i(jk)(mnp)}^{{\bf 3 6} \, {\bf 10}} &=& \frac{1}{4} \left( \del_i^m \del_j^n \del_k^p + \del_i^m \del_k^n \del_j^p +    \del_j^m \del_k^n \del_i^p + \del_k^m \del_j^n \del_i^p  \right)      \tag{13.23} \\    C_{i(jk)(lm)}^{{\bf 3 6 8} }  &=& \frac{1}{4} \left( \ep_{ijm} \del_k^l + \ep_{ikm} \del_j^l  \right)      \tag{13.24} \end{eqnarray}$$

　最後に、随伴表現 ${\bf 8}$ のテンソル、例えば $\Psi_i^j$ と $\Phi_k^l$ の直積を考える。定義からこれらはトレース・ゼロなので、その直積 $V_{ik}^{jl} = \Psi_i^j  \Phi_k^l$ は

$$V_{ik}^{jl} \, = \, T_{ik}^{jl} + \frac{1}{3} \del_i^l T_{ak}^{ja} +  \frac{1}{3} \del_k^j T_{ib}^{bl}     +  \frac{1}{9} \del_i^l \del_k^j T_{ab}^{ba}     \tag{13.25}$$

と分解できる。ただし、$T_{ik}^{jl}$ はテンソル $V_{ik}^{jl}$ のトレース・ゼロ成分である。$SU(3)$ 既約表現のテンソル表示 $\Psi_{i_1 i_2 \cdots i_p}^{j_1 j_2 \cdots j_q}$ はトレース・ゼロであり、上下の添え字について完全対称なので、テンソル $V_{ik}^{jl}$ は次のように変形できる。

$$\begin{eqnarray}    V_{ik}^{jl} &=& V_{(ik)}^{(jl)} + V_{(ik)}^{[jl]} + V_{[ik]}^{(jl)} + V_{[ik]}^{[jl]}    \nonumber \\    &=& \Psi_{ik}^{jl} + \frac{1}{2} \ep^{jlm} \Psi_{ikm} + \frac{1}{2} \ep_{ikm} \Psi^{jlm}    + \frac{1}{4} \ep^{jlm} \ep_{ikn} \Psi_m^n    \nonumber \\    &&    + \frac{1}{3} \del_i^l \frac{1}{4} \ep^{jam} \ep_{akn} \Psi_m^n    + \frac{1}{3} \del_k^j \frac{1}{4} \ep^{blm} \ep_{ibn} \Psi_m^n     + \frac{1}{9} \del_i^l \del_k^j \frac{1}{4} \ep^{bam} \ep_{abn} \Psi_m^n    \nonumber \\    &=& \Psi_{ik}^{jl} + \frac{1}{2} \ep^{jlm} \Psi_{ikm} + \frac{1}{2} \ep_{ikm} \Psi^{jlm}    + \frac{1}{4} \ep^{jlm} \ep_{ikn} \Psi_m^n     \nonumber \\    &&     + \frac{1}{12} \del_i^l \Psi_k^j + \frac{1}{12} \del_k^j  \Psi_i^l - \frac{2}{9} \del_i^l \del_k^j \Psi_m^m    \tag{13.26} \end{eqnarray}$$

ただし、関係式 $\ep^{jam} \ep_{akn} = - ( \del_k^j \del_n^m - \del_n^j \del_k^m )$ と $\ep^{bam} \ep_{abn} = - 2 \del_n^m$ を用いた。随伴テンソル成分は

$$\begin{eqnarray}    && \frac{1}{4} \ep^{jlm} \ep_{ikn} \Psi_m^n    + \frac{1}{12} \del_i^l \Psi_k^j + \frac{1}{12} \del_k^j  \Psi_i^l     \nonumber \\    &=& \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} \ep^{jlm} \ep_{ikn} + \frac{1}{3} \del_i^l \del_k^m \del_n^j \right)    \Psi_m^n + \frac{1}{4} \left(  \left( \begin{array}{c}\! j \! \\ \! k \! \\  \end{array} \right)      \! \leftrightarrow \! \left( \begin{array}{c} \! l \! \\ \! i \! \\  \end{array} \right)        \right) \Psi_m^n     \tag{13.27} \end{eqnarray}$$

と書けることに注意しよう。以上より、対応する還元公式(13.5)とクレブシュ-ゴルダン係数は次のように表せる。

$$\begin{eqnarray}    {\bf 8} \otimes {\bf 8} &=& {\bf 27} \oplus {\bf 10} \oplus {\bf 10}^* \oplus {\bf 8} \oplus {\bf 8} \oplus {\bf 1}      \tag{13.28} \\    | {\bf 8}, ij \ket \otimes | {\bf 8} , kl \ket &=&    C_{(ij)(kl)(mnrs)}^{{\bf 88} \, {\bf 27}} | {\bf 27} , mnrs \ket \oplus    C_{(ij)(kl)(mrs)}^{{\bf 88} \, {\bf 10}} | {\bf 10} , mrs \ket     \nonumber \\    && \oplus \,    C_{(ij)(kl)(mrs)}^{{\bf 88} \, {\bf 10}^* } | {\bf 10}^* , mrs \ket  \oplus    C_{(ij)(kl)(mn)}^{{\bf 888} } | {\bf 8} , mn \ket     \nonumber \\    && \oplus \,    C_{(kl)(ij)(mn)}^{{\bf 888} } | {\bf 8} , mn \ket  \oplus    C_{(kl)(ij)(mm)}^{{\bf 881} } | {\bf 1} , mm \ket     \tag{13.29} \\    C_{(ij)(kl)(mnrs)}^{{\bf 88} \, {\bf 27}} &=& \frac{1}{4} \left( \del_i^m \del_k^n \del_r^j \del_s^l +     \del_k^m \del_i^n \del_r^j \del_s^l  \right.     \nonumber \\    && ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \left.  + \, \del_i^m \del_k^n \del_r^l \del_s^j +    \del_k^m \del_i^n \del_r^l \del_s^j  \right)      \tag{13.30} \\    C_{(ij)(kl)(mrs)}^{{\bf 88} \, {\bf 10}} &=& \frac{1}{2} \, \ep^{jlm} \del_i^r \del_k^s       \tag{13.31} \\    C_{(ij)(kl)(mrs)}^{{\bf 88} \, {\bf 10}^*} &=& \frac{1}{2} \, \ep_{ikm} \del_r^j \del_s^l       \tag{13.32} \\    C_{(ij)(kl)(mn)}^{{\bf 888}} &=& \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} \ep^{jlm} \ep_{ikn} +     \frac{1}{3} \del_i^l \del_k^m \del_n^j  \right)     \tag{13.33} \\    C_{(kl)(ij)(mn)}^{{\bf 888} } &=& \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} \ep^{ljm} \ep_{kin} +    \frac{1}{3} \del_k^j \del_i^m \del_n^l  \right)     \tag{13.34} \\    C_{(kl)(ij)(mm)}^{{\bf 881} } &=& - \frac{9}{2} \,  \del_i^l \del_k^j      \tag{13.35} \end{eqnarray}$$

ウィグナーの D 関数

　これまで群の要素 $g = \exp (i t^a \th^a ) \in G$ の行列表現を主に扱ってきた。$t^a$ $(a = 1, 2, \cdots \dim G)$ はリー代数 G の定義表現に属す要素（生成子）であった。ここでは、ある任意の既約表現 $R$ に属す群の要素 $g \in G$ の行列表現について考えよう。$T^a$ を代数 G の表現 $R$ に属す要素であるとする。このとき、対応する群の要素の行列表現は

$$\begin{eqnarray}    \D_{\al\bt}^{(R)} (g )    &=&    \left[ e^{i (T^a ) \th^a} \right]_{\al \bt}    \nonumber \\    &=&    \bra R , \al | e^{i \hat{T}^a \th^a } | R , \bt \ket    \tag{13.36} \end{eqnarray}$$

と表せる。ただし、$\al$, $\bt$ は表現 $R$ に属す特定の状態を表す。状態 $\al$, $\bt$ が固定されているとき、$\D_{\al\bt}^{(R)} (g )$ は $\th^a$ の関数と見做せる。すなわち、$\D_{\al\bt}^{(R)} (g )$ はリー群 $G$ 上で定義される複素数を値に持つ関数であり、写像

$$\D_{\al \bt}^{(R)} (g)  : \, G \rightarrow {\bf C} \tag{13.37}$$

を与える。この関数 $\D_{\al\bt}^{(R)} (g )$ をウィグナーの $\D$ 関数と呼ばれる。