長女の時は妻任せでしたが、今回は応募手続きや説明会出席なども私の方で担当しました。今はネットで何でも申し込みできるのでありがたいです。学校説明会なんて初めて参加しました。ちなみに、私が中学受験したときは12月に神戸から東京に引っ越すことになったので１ヵ月あまりで社会をやって過去問も一切やらずに（そもそも過去問入手できなかった）、一人で神戸から新幹線で東京の祖母の家に行って、当日も一人で受験会場にいったなー。自由が丘から三田の慶応まで。（大井町線の中延で三田線に乗り換えて三田で降りるのよ、やす君、分かるでしょ、の暁子おばさんの声が懐かしい。）あのとき、受験生がみんな親と来てて会場の前で塾の先生たちが鉢巻きして大声出しながら旗降ってたのにはビビりました。普通部の面接でも関西弁丸出し（標準語しゃべれなかったし喋る気さらさらなかった）で、面接官が驚いてたなー。結局準備不足でダメでしたが、今回次女の勉強量は当時の私の100倍以上。本当によく頑張ったね、ゆりちゃん！ 6年間の女子校生活楽しんでください。
2026-02-07
次女の中学受験ようやく終了、おつかれさまでした！
6年生の夏まで塾に通っていなかったので不安でしたが、第一志望に合格しました！ これで一安心、今年は登山多めに行っても大丈夫かな。7年前の長女の時は次女のお守りもあり全くサポートしませんでした。自分の経験から本人に任せっきりで今思えば親として未熟でした。もっとコミットしていればとの反省から今回は模擬試験の結果もフォローするようにしました。聞いてこないので教えることは殆どありませんでしたが、特に嫌になることもなく自分のペースで土日以外は自宅で勉強してくれました。
2026-02-06
スキルミオンのトポロジカル電流をスカラー場で表す
以前議論したように(3+1)次元ソリトン（あるいはスキルミオン）のトポロジカル電流は
\[ J^\bt \, = \, \frac{1}{24 \pi^2} \, \ep^{\mu\nu\al\bt} \, \Tr \left( g^{-1} \d_\mu g ~ g^{-1} \d_\nu g ~ g^{-1} \d_\al g \right) \tag{1} \]
と表せる。ただし、$g (x)$ は $SU(2)$ 群の要素である。2行2列の恒等行列 ${\bf 1}$ とパウリ行列 $\si_i$ $(i = 1,2,3)$ を用いると $g (x)$ は
\[ g (x) \, = \, \phi^0 {\bf 1} + i \phi^i \, \si_i \tag{2} \]
とパラメータ表示できる。ただし、$\phi^0$, $\phi^i$ は
\[ ( \phi^0 )^2 + ( \phi^i )^2 = 1 \tag{3} \]
を満たす。式(2)を式(1)に代入すると $\phi^0$, $\phi^i$ でトポロジカル電流を表せる。以下ではこの計算を実行する。（結果は良く知られているが実際に計算してみると煩雑になり、ChatGPTに聞いても要領を得なかったのであきらめて自力で導出した。）
まず、因子 $I_\mu = g^{-1} \d_\mu g $ は
\[\begin{eqnarray} I_\mu &=& ( \phi^0 {\bf 1} + i \phi^a \, \si_a ) \d_\mu ( \phi^0 {\bf 1} - i \phi^b \, \si_b ) \nonumber \\ &=& i ( \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 + \ep^{a}_{\, bc} \phi^b \d_\mu \phi^c ) \si_a \tag{4} \end{eqnarray}\]
と表せる。ただし、式(3)と $\si_a \si_b = \del_{ab} {\bf 1} + i \ep_{abc} \si_c$ を用いた。これより
\[ \Tr ( I_\mu I_\nu I_\al ) \, = \, 2 \ep_{abc} A_\mu^a A_\nu^b A_\al^c \tag{5} \]
と書ける。ただし、$A_\mu^a$ は
\[\begin{eqnarray} A_\mu^a & = & \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \nonumber \\ & \equiv & B_\mu^a + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \tag{6} \end{eqnarray}\]
で与えられる。$B_\mu^a = \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0$ は添え字 $( 0 a)$ について反対称であることに注意しよう。これより、トポロジカル電流 $J^\bt = \frac{1}{24 \pi^2} \ep^{\mu \nu \al \bt} \Tr ( I_\mu I_\nu I_\al )$ は
\[ J^\bt \, = \, \frac{1}{12 \pi^2} \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} A_\mu^a A_\nu^b A_\al^c \tag{7} \]
と表せる。上式でゼロとならない項は $(\mu \nu \al )$ と $(abc)$ のそれぞれ添え字について完全反対称であり、それらは $B_\mu^a$ を１つあるいは３つ含む項で与えられる。具体的に書き出すと、ゼロとならない項は
\[\begin{eqnarray} \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} A_\mu^a A_\nu^b A_\al^c &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \left( \, B_\mu^a \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n \right. \nonumber \\ && ~~~~~~~~~~~ + \, \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, B_\nu^b \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n \nonumber \\ && ~~~~~~~~~~~ + \, \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, B_\al^c \nonumber \\ && ~~~~~~~~~~~ + \, \left. B_\mu^a B_\nu^b B_\al^c \, \right) \tag{8} \end{eqnarray}\]
と書ける。ここで、第一項の $\ep_{abc} B_\mu^a \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n$ は
\[\begin{eqnarray} && \ep_{abc} ( \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 ) \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n \nonumber \\ &=& \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, ( \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 ) ( \phi^a \d_\al \phi^b - \phi^b \d_\al \phi^a ) \nonumber \\ &=& \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, \left( - ( (\phi^0 )^2 + (\phi^a )^2 ) \d_\mu \phi^0 \d_\al \phi^b + \phi^b ( - \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\al \phi^a + \phi^a \d_\mu \phi^0 \d_\al \phi^a ) \right) \nonumber \\ &=& - \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \d_\mu \phi^0 \d_\al \phi^b \tag{9} \end{eqnarray}\]
と計算できる。ただし、関係式 $\d_\mu \phi^a \, \phi^a = - \phi^0 \d_\mu \phi^0$ と $(\phi^0 )^2 + (\phi^a )^2 = 1$ を用いた。同様に、第二項、第三項も
\[\begin{eqnarray} \ep_{abc} \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, B_\nu^b \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n &=& - \ep^{c}_{\, mn} \d_\mu \phi^c \d_\nu \phi^0 \phi^m \d_\al \phi^n \tag{10} \\ \ep_{abc} \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, B_\al^c &=& \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\mu \phi^b \d_\nu \phi^l \d_\al \phi^0 \tag{11} \end{eqnarray}\]
と求まる。これらを足し合わせると式(8)の初めの三項は
\[\begin{eqnarray} && \ep_{abc} \left( B_\mu^a \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, B_\nu^b \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, B_\al^c \right) \nonumber \\ &=& \ep_{abc} \left( - \phi^b \d_\mu \phi^0 \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^c \d_\nu \phi^0 \d_\al \phi^b + \phi^b \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^0 \right) \tag{12} \end{eqnarray}\]
とまとめられる。ただし、反対称シンボル $\ep^{\mu \nu \al \bt}$ は省略した。最後に、式(8)の最終項を計算すると
\[\begin{eqnarray} && \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} B_\mu^a B_\nu^b B_\al^c \nonumber \\ &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \left( \phi^0 \d_\mu \phi^a \phi^0 \d_\nu \phi^b \phi^0 \d_\al \phi^c - \phi^0 \d_\mu \phi^a \phi^0 \d_\nu \phi^b \phi^c \d_\al \phi^0 \right. \nonumber \\ && \hspace{4.8cm} \left. - \phi^0 \d_\mu \phi^a \phi^b \d_\nu \phi^0 \phi^0 \d_\al \phi^c - \phi^a \d_\mu \phi^0 \phi^0 \d_\nu \phi^b \phi^0 \d_\al \phi^c \right) \nonumber \\ &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \left( ( \phi^0 )^2 \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^c + \phi^c \phi^d ( \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^d ) \right. \nonumber \\ && \hspace{4.8cm} \left. + \phi^b \phi^d ( \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^d \d_\al \phi^c ) + \phi^a \phi^d ( \phi^0 \d_\mu \phi^d \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^c ) \right) \nonumber \\ &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} ( ( \phi^0 )^2 + (\phi^i )^2 ) \ep_{abc} \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^c \nonumber \\ &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^c \, . \tag{13} \end{eqnarray}\]
となる。よって、式(8)は
\[\begin{eqnarray} && \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} A_\mu^a A_\nu^b A_\al^c \nonumber \\ &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \left( \, \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^c - \phi^b \d_\mu \phi^0 \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^c \d_\nu \phi^0 \d_\al \phi^b + \phi^b \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^0 \, \right) \nonumber \\ &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{ABCD} \, \phi^A \d_\mu \phi^B \d_\nu \phi^C \d_\al \phi^D \tag{14} \end{eqnarray}\]
と変形できる。ただし、大文字の添え字 $(A,B,C,D)$ は $(0,1,2,3)$ の値をもち、小文字の添え字 $(a , b, c)$ は $(1,2,3)$ の値をもつ。
2026-02-04
2026年衆議院選挙 期日前投票
いつも早めに投票しているのですが、今回はまだ投票用紙が届かないので手ぶらで期日前投票に行ってきました。念のため免許証を持参しましたが氏名、住所、生年月日を書くだけでなんと投票出来ちゃいました。以前から投票所での本人確認厳格化を訴えれている私としては、驚きというか呆れ返りました。住民票と照らし合わせているのかもしれませんが、写真で本人確認もしないなんて。民主主義の根幹の選挙がこんなにガバガバでいいのでしょうか？今回の対応は準備期間が短かったための措置かもしれませんが、公正のためにも投票所での本人確認はしっかりしてもらいたいです。そろそろマイナンバーカードと紐づけた選挙システム作ってもらえませんか。投票行動の簡素化で投票率も上がり、人手と手間も大幅に省けると思うけどな。今時、学会などある程度の規模の組織は国内外問わずネット選挙なんだから。
2026-01-08
2026-01-03
2025年末 京都、奈良、伊賀
母と長女と親子三世代で年末に久しぶりに京都市内へ。中国からの観光客が減っているとのこと、確かに少なかった印象。早朝５時半に鎌倉出発。東寺、三十三間堂、八坂神社、清水寺を参拝。東寺と八坂神社は今回初めてでした。事前に駐車場、ルートをしっかり確認しておいたので良かったです。
2026-01-01
2025-12-02
シングルス市民大会 2025
今年は予定が合わずシニアではなく一般Aのカテゴリーで出場。今まで本戦上がったことないのでダメ元でしたが、予選は運よく勝ち上がり、先日の本戦もシードのデフォなどラッキーが重なりまさかのベスト４入り。ほんと棚ボタでした。準決勝で相手フォアが良かったのに上手く対策できなかったのが反省点です。反省点を活かして今後も練習したいと思います。
2025-11-30
2025-11-21
15. ソリトン vol.4
前回に引き続き(3+1)次元ソリトンの巻き数
\[ Q [g] \, = \, \frac{1}{24 \pi^2} \, \int d^3 x \, \ep_{ijk} \Tr ( g^{-1} \d_i g \, g^{-1} \d_j g \, g^{-1} \d_k g \, ) \tag{15.55} \]
について考える。
巻き数の一般共変性
座標変換のもとでの巻き数 $Q[g]$ の変化を考える。座標変換 $x^l \rightarrow x^{\prime i}$ を
\[ M^l_i \, = \, \frac{\d x^l}{\d x^{\prime i}} \tag{15.59} \]
で特定する。このとき、微分 $\d_l = \frac{\d}{\d x^l}$ は
\[ \frac{\d}{\d x^l} \, \rightarrow \, \frac{\d}{\d x^{\prime i}} \, = \, M^l_i \frac{\d}{\d x^{l}} \tag{15.60} \]
と変換する。また、$d x^{\prime i} = ( M^{-1} )^{i}_{l} d x^l$ なので、積分測度は
\[ d^3 x \, \rightarrow \, d^3 x^{\prime} \, = \, ( \det M^{-1} ) d^3 x \tag{15.61} \]
と変換する。ただし、$\det M^{-1}$ は座標変換のヤコビアンを表す。これより、$Q[g]$ の変化は
\[\begin{eqnarray} Q [ g ] & = & \frac{1}{24 \pi^2} \int d^3 x \, \ep^{ijk} \Tr ( g^{-1} \d_i g \, g^{-1} \d_j g \, g^{-1} \d_k g ) \nonumber \\ & \rightarrow & \frac{1}{24 \pi^2} \int ( \det M^{-1} ) d^3 x \, \ep^{ijk} M^l_i M^m_j M^n_k \, \Tr ( g^{-1} \d_l g \, g^{-1} \d_m g \, g^{-1} \d_n g ) \nonumber \\ & = & Q [ g ] \tag{15.62} \end{eqnarray}\]
と表せる。ただし、関係式 $\ep^{ijk} M^l_i M^m_j M^n_k = \det M \, \ep^{lmn}$, $\det M \det M^{-1} = \det M M^{-1} = 1$ を用いた。したがって、$Q[g]$ は座標変換のもとで不変である。言い換えると、$Q[ g]$ は一般共変性あるいは微分同相写像 (diffeomorphism) である。また、$Q[g]$ は(3+1)次元空間の計量に依らないことにも注意しよう。よって、$Q[g]$ の値は一般に曲がった空間にも適用される。
静的なソリトン解とスキルミオン
巻き数 $Q$ のソリトンの静的な解を議論するには、サイン-ゴルドン模型の場合と同様にハミルトニアンを定義する必要がある。静的なハミルトニアンとしてまず単純に空間微分 $\d_i$ について２次の形となる
\[\begin{eqnarray} \H [ g ] & = & - \al^2 \int d^3 x \, \Tr ( g^{-1} \d_i g \, g^{-1} \d_i g ) \nonumber \\ &=& \al^2 \int d^3 x \, \Tr ( \d_i g^\dag \, \d_i g ) \tag{15.63} \end{eqnarray}\]
を考えよう。ただし、$\al^2 $ は正の係数である。ある特定の関数 $g = \widetilde{g}$ に対してハミルトニアンをゼロでない値 $\H [ \widetilde{g} ] \ne 0$ に取れる。このときスケール変換
\[ x^i \, \rightarrow \, x^{\prime i} = R \, x^i \tag{15.64} \]
を考える。ただし、$R$ はゼロでない実数である。座標変換(15.59)を用いると、これは $M_l^i = \frac{1}{R} \del_l^i$ に対応するので $d^3 x^\prime = R^3 d^3 x$, $\frac{\d}{\d x^{\prime i}} = \frac{1}{R} \frac{\d}{\d x^i}$ となる。よって、スケール変換のもとでゼロでないハミルトニアン $\H [ \widetilde{g} ]$ は
\[\begin{eqnarray} \H [ \widetilde{g} ] & = & \al^2 \int d^3 x \, \Tr \left( \frac{\d}{\d x^i} \widetilde{g}^{\dag} \, \frac{\d}{\d x^i} \widetilde{g} \right) \nonumber \\ & \rightarrow & \al^2 \int R^3 d^3 x \, \Tr \frac{1}{R^2} \left( \frac{\d}{\d x^i} \widetilde{g}^{\dag} \, \frac{\d}{\d x^i} \widetilde{g} \right) \, = \, R \, \H [\widetilde{g} ] \tag{15.65} \end{eqnarray}\]
と変化する。スケール変換(15.64)のもとでハミルトニアンは $R$ に比例する。これはハミルトニアンに極小値が存在しないことを意味する。よって、ハミルトニアン(15.63)から有限エネルギーをもつ解を求められない。式(15.65)を導くにあたり次元の数が重要であることに注意しよう。式(15.62)で示したように、巻き数 $Q[g]$ は被積分関数に３つの空間微分を含むので $Q[g]$ はスケール変換のもとで不変である。これはまた $Q[g]$ が共形不変量であることも意味する。
物理モデルを構築するにはハミルトニアン(15.63)が極小値を持つように修正する必要がある。そのような修正は４次の項を追加してハミルトニアンを
\[ \H [ g ] \, = \, \al^2 \int d^3 x \, \Tr ( \d_i g^\dag \, \d_i g ) \, + \, \bt^2 \int d^3 x \, \Tr ( \d_i g^\dag \, \d_i g )^2 \tag{15.66} \]
と書き換えると実現できる。ただし、$\bt^2$ は別の正の係数を表す。スケール変換(15.64)のもとで４次の追加項は $\frac{1}{R}$ に比例する。よって、上のハミルトニアンは $\H \sim \al^2 R + \frac{\bt^2}{R}$ と評価できる。したがって、ハミルトニアン(15.66)は極小値をもち、有限エネルギーの静的なソリトン解を与える。
2025-11-19
15. ソリトン vol.3
前回は(3+1)次元ソリトンのトポロジカル不変量が保存電荷
\[ Q [g] \, = \, \int d^3 x \, J_0 \, = \, C \, \int d^3 x \, \ep_{ijk} \, \Tr ( I_i I_j I_k ) \tag{15.29} \]
で与えられることを見た。以下では、$Q=1$ のソリトン解から規格化定数 $C$ を 決定する。
規格化
トポロジカル不変量は写像
\[ g(x) \, : \, \mathbb{R}^3 \, \longrightarrow \, S^3 \tag{15.24} \]
の巻き数に対応する。前回議論したように、群の要素をステレオ射影表示すると $Q[g ] = 1$ ソリトンが得られる。そのような要素は
\[ g_1 (x) \, = \, a (x) {\bf 1} + i b_{i} (x) \si_i ~~~( i = 1,2,3 ) \tag{15.37} \]
で与えられる。ただし、
\[ a (x) = \frac{1 - r^2}{1+ r^2} \, , ~~~ b_{i} (x) = \frac{2 x_i}{1+ r^2} \tag{15.38} \]
$( r^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 )$ である。以下では、巻き数(15.29)の規格化定数 $C$ を定義式 $Q[g_1 ] = 1$ から求める。
まず、$I_i = g_{1}^{-1} \d_i g_{1}$ は
\[ I_i = g_{1}^{-1} \d_i g_{1} \, = \, ( a {\bf 1} - i b_\al \si_\al ) \d_i ( a {\bf 1} + i b_\bt \si_\bt ) \tag{15.39} \]
と計算できる。$a$, $b_\bt$ の微分は
\[\begin{eqnarray} \frac{\d}{\d x_i } a &=& - \frac{4 x_i}{(1+r^2)^2} \, = \, - \frac{2b_i}{1+r^2} \tag{15.40} \\ \frac{\d}{\d x_i } b_\bt &=& \frac{2}{1+r^2} \left( \del_{i \bt} - \frac{2 x_i x_\bt }{1+ r^2} \right) \, = \, \frac{2}{1+r^2} \del_{i \bt} - b_i b_\bt \tag{15.41} \end{eqnarray}\]
と表せる。よって、
\[\begin{eqnarray} I_i &=& ( a {\bf 1} - i b_\al \si_\al ) \left( - \frac{2 b_i}{1+r^2} {\bf 1} + \frac{i 2}{1+r^2} \si_{i} - i b_i b_\bt \si_\bt \right) \nonumber \\ &=& \frac{ 2 b_i }{ 1+ r^2 } \left( -a + 1 - \frac{1+ r^2}{2 } b_\al b_\al \right) {\bf 1} \nonumber \\ && ~~ \hspace{2cm} + \, i \si_\al \frac{2}{1+r^2} \left( a \del_{\al i} - \frac{1+r^2}{2} a b_i b_\al + b_i b_\al + \ep_{i \al \bt } b_\bt \right)\nonumber \\ &=&i \si_\al \frac{2}{1+r^2} \left( a \del_{\al i} + x_i b_\al + \ep_{i \al \bt } b_\bt \right) \nonumber \\ & \equiv & i \si_\al A_{\al i} \tag{15.42} \end{eqnarray}\]
と計算できる。ただし、関係式 $\si_\al \si_\bt = \del_{\al \bt } {\bf 1} + i \ep_{\al \bt \ga} \si_\ga$ を用いた。これより、トレース $\Tr ( I_i I_j I_k )$ は
\[ \Tr ( I_i I_j I_k ) \, = \, - i \Tr ( \si_\al \si_\bt \si_\ga ) A_{\al i} A_{\bt j} A_{\ga k} \, = \, 2 \ep_{\al \bt \ga} A_{\al i} A_{\bt j} A_{\ga k} \tag{15.43} \]
と表せる。ただし、$ \Tr ( \si_\al \si_\bt \si_\ga ) = i 2\ep_{\al \bt \ga} $ を用いた。よって、因子 $\ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k )$ は
\[\begin{eqnarray} \ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k ) \! &=& \! 2 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3 \ep_{ijk} \ep_{\al \bt \ga} \, ( a \del_{\al i} + x_i b_\al + \ep_{i \al l } b_l ) \nonumber \\ && ~\hspace{2cm} \times ( a \del_{\bt j} + x_j b_\bt + \ep_{j \bt m } b_m ) ( a \del_{\ga k} + x_k b_\ga + \ep_{k \ga n } b_n ) \tag{15.44} \end{eqnarray}\]
と書ける。この内ゼロでない項は
\[\begin{eqnarray} \ep_{ijk} \ep_{\al \bt \ga} a^3 \del_{\al i } \del_{\bt j} \del_{\ga k } & = & \ep_{ijk} \ep_{ijk} a^3 \, = \, 6 a^3 \tag{15.45} \\ \ep_{ijk} \ep_{\al \bt \ga} a^2 x_k b_\ga \del_{\al i } \del_{\bt j} & = & \ep_{ijk} \ep_{ij\ga} a^2 x_k b_\ga \nonumber \\ &=& 2 \del_{k \ga} a^2 x_k b_\ga \, = \, 2 a^2 \vec{x} \cdot \vec{b} \tag{15.46} \\ \ep_{ijk} \ep_{\al \bt \ga} a b_m b_n \del_{\al i } \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} & = & \ep_{ijk} \ep_{i \bt\ga} \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} a b_m b_n \nonumber \\ & = & - \ep_{j \bt m} \ep_{\bt j n} a b_m b_n \, = \, 2 a \vec{b} \cdot \vec{b} \tag{15.47} \\ \ep_{ijk} \ep_{\al \bt \ga} x_i b_\al b_m b_n \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} & = & \ep_{ijk} \ep_{j \bt m} \ep_{\al \bt\ga} \ep_{k \ga n} x_i b_\al b_m b_n \nonumber \\ & = & \ep_{\al \bt \ga} \ep_{\bt \ga n} x_i b_\al b_i b_n \, = \, 2 \vec{x} \cdot \vec{b} \, \vec{b} \cdot \vec{b} \tag{15.48} \end{eqnarray}\]
などから得られるので、まとめると
\[\begin{eqnarray} && \ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k ) \nonumber \\ &=& 2 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3 \left( 6 a^3 + 2 a^2 \vec{x} \cdot \vec{b} \times 3 + 2 a \vec{b} \cdot \vec{b} \times 3 + 2 \vec{x} \cdot \vec{b} \, \vec{b} \cdot \vec{b} \times 3 \right) \nonumber \\ &=& 12 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3 \left[ a^2 \left( a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } \right) + \left(\frac{2}{1+r^2 } \right)^2 r^2 \left( a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } \right) \right] \nonumber \\ &=& 12 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3 \tag{15.49} \end{eqnarray}\]
と表せる。ただし、関係式
\[\begin{eqnarray} a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } &=& 1 \tag{15.50} \\ a^2 + \left(\frac{2}{1+r^2 } \right)^2 r^2 &=& \left(\frac{1}{1+r^2 } \right)^2 \left[ (1 - r^2)^2 + 4 r^2 \right] \, = \, 1 \tag{15.51} \end{eqnarray}\]
を用いた。式(15.29)と式(15.49)から $Q[g_1 ]$ は
\[\begin{eqnarray} Q [ g_1 ] &=& C \, \int d^3 x \, \ep_{ijk} \, \Tr ( I_i I_j I_k ) \, = \, C \, \int d^3 x 12 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3 \nonumber \\ &=& C \cdot 12 \cdot 8 \, \int \frac{ 4 \pi r^2}{ (1+ r^2 )^2 } dr \, = \, C \cdot 24 \pi^2 \tag{15.52} \end{eqnarray}\]
と求まる。ただし、積分測度を $d^3 x = 4 \pi r^2 dr$ と変換し
\[ \int_0^\infty \frac{r^2}{(1+ r^2 )^3 } dr \, = \, \frac{\pi}{16} \tag{15.53} \]
を用いた。したがって、定義式 $Q [ g_1 ] = 1$ より規格化定数は
\[ C \, = \, \frac{1}{24 \pi^2} \tag{15.54} \]
とおける。
登録:
コメント (Atom)