15. ソリトン vol.6

15.3   (2+1)次元のソリトン

(2+1)次元の場合、対称となる写像は

\[    \phi^a ( x ) \, : \, S^2_x \, \longrightarrow \, S^2_\phi    \tag{15.88} \]

で与えられる。ここで、標的空間はコセット空間 $S^2 = SU(2)/ U(1)$ である。よって、$\phi^a$ $(a = 0, 1,2 )$ はリー群の要素ではなく２次元球面の座標を表し、$\phi^a \phi^a = 1$ を満たす。基底空間 $S^2_x$ も同じく $x^a x^a = 1$ を満たす座標 $x^a$ で表される。(2+1)次元の場合と同様に、単位写像 $\phi^a = x^a$ は(2+1)次元のステレオ射影表示

\[    x^0 = \frac{1 - r^2}{ 1 + r^2} \, , ~~~ x^i = \frac{2 y^i}{1+ r^2}    \tag{15.89} \]

で与えられる。ただし、$i=1,2$, $y^a \in \mathbb{R}$ $(a=0,1,2)$ であり、$r^2$ は $r^2 = ( y^0 )^2 + ( y^1 )^2 + ( y^2 )^2$ で定義される。なお、この複素表示は12章で

\[    x_1 = \frac{z + \bz }{1 + z\bz} \, , ~~~    x_2 = i \frac{z - \bz }{1 + z\bz} \, , ~~~    x_3 = \frac{1 - z \bz }{1 + z\bz}    \tag{12.49} \]

と与えられた。

保存カレント

　保存３元カレントは前回の(2+1)次元トポロジカル電流についての結果

\[ J^\al \, = \, \frac{1}{8 \pi} \ep^{\mu\nu \al} \ep_{abc} \phi^a \d_\mu \phi^b \d_\nu \phi^c    \tag{15.87}  \]

で与えられた。ここでは、少し書き換えて

\[    J^\al \, = \, C \, \ep^{\mu\nu\al} \ep_{abc} \,  ( \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b ) \phi^c    \tag{15.90} \]

とする。ただし、$C = \frac{1}{8 \pi}$ は規格化定数である。$J^\al$ を $x^\al$ で微分すると

\[    \d_\al J^\al \, = \, C \, \ep^{\mu\nu\al} \ep_{abc} \,   \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b  \d_\al \phi^c     \tag{15.91} \]

となる。条件 $\phi^a \phi^a = 1$ から $\d_\mu \phi^a $ は $\d_\mu \phi^a = \ep^{alm } \phi^l \th_\mu^m$ とパラメータ $\th_\mu^m$ を用いて表示できる。よって、

\[\begin{eqnarray}    \d_\al J^\al &=& C \, \ep^{\mu \nu \al} \ep_{abc} \, \ep^{a}_{~ lm } \phi^l \th_\mu^m \,    \ep^{b}_{~ pq } \phi^p \th_\nu^q \, \ep^{c}_{~ rs } \phi^r \th_\al^s    \nonumber \\    & \sim & \ep^{\mu\nu\al} \, \th_\mu^m  \th_\nu^q \th_\al^s  \, = \, 0     \tag{15.92} \end{eqnarray}\]

から $J^\al$ の保存則が確認できる。

巻き数と規格化

　巻き数はカレント $J^\al$ を用いて $Q = \int d^2 x J^0$ と定義されるので、いまの場合

\[    Q [ \phi ] \, = \,  C \int d^2 x \, \ep_{abc} \,   \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b  \, \phi^c   \, \ep^{\mu \nu}    \tag{15.93} \]

と表せる。ただし、$\mu$, $\nu$ は $(1,2)$ の値をもつ。(3+1)次元の場合と同様に、規格化定数 $C = \frac{1}{8 \pi}$ は単位写像 $\phi^a (x ) = y^a$ を代入して $Q [ y^a ] = 1$ から直接求めることができる。ステレオ射影表示(15.89)を用いると、$Q [y^a ]$ は

\[    Q [ y^a ] \, = \, 2 C \int d^2 x \, \ep_{abc} \, \d_1 y^a  \d_2 y^b \, y^c     \tag{15.94} \]

と書ける。この被積分関数は

\[\begin{eqnarray}    && \ep_{abc} \, \d_1 y^a  \d_2 y^b \, y^c  \nonumber \\    &=& ( \d_1 y^0 \d_2 y^1 \, y^2 - \d_1 y^0 \d_2 y^2 \, y^1 ) + ( \d_1 y^2 \d_2 y^0 \, y^1 - \d_1 y^1 \d_2 y^0 \, y^2 )    \nonumber \\    && ~ + ( \d_1 y^1 \d_2 y^2 \, y^0 - \d_1 y^2 \d_2 y^1 \, y^0 )    \nonumber \\    &=& \left( \frac{2}{ 1 + r^2 } \right)^2 \left( (y^1 )^2 +(y^2 )^2 +(y^0 )^2  \right) \, = \, \left( \frac{2}{ 1 + r^2 } \right)^2    \tag{15.95} \end{eqnarray}\]

と計算できる。ただし、関係式

\[    \d_\mu y^0 \, = \, - \frac{2 y^\mu}{1 + r^2} \, , ~~~    \d_\mu y^i \, = \, \frac{2}{1 + r^2} \del_\mu^i - y_\mu y^i    \tag{15.96} \]

を用いた。ここで、添え字はそれぞれ $\mu = 1,2$, $i = 1,2 $ である。よって、$Q [ y^a ]$ は

\[    Q [ y^a ] \, = \, 2 C \int d^2 x \,  \left( \frac{2}{ 1 + r^2 } \right)^2    \, = \, 8 C \int \frac{2 \pi r}{ (1 + r^2 )^2 } dr \, = \, 8 \pi C    \tag{15.97} \]

と求まる。ただし、積分測度を $d^2 x$ から $2 \pi r dr $ に変換し積分

\[    \int_0^\infty  \frac{r}{ (1 + r^2 )^2 } dr \, = \, \frac{1}{2}    \tag{15.98} \]

を用いた。よって、定義式 $Q [ y^a ] = 1$ から規格化定数 $C$ は確かに

\[    C \, = \, \frac{1}{8 \pi}    \tag{15.99} \]

と決まることが分かる。

43インチ液晶モニターのリサイクル回収

　前回手続した液晶モニターの回収手続きは、数日後に伝票

が届きました。担当業者に連絡すると希望日に自宅前まで引き取りに来てくれる手配をしてくれました。

先日、無事回収してもらいました。新しいモニターが入っていた段ボールを転用できたので梱包も楽でした。前回は自分で梱包して更に郵便局まで持ち込んだので大変でしたが、今回は自宅まで取りに来てくれて助かりました。山九さんサンキューです！

としまえん跡地のハリーポッター・スタジオツアー

　次女の受験も終わったので先日、大雪の日に子供２人と豊島園跡地にある映画ハリーポッターのスタジオツアー東京に行ってきました。

事前に駐車場予約（2000円）しましたが、ノーマルタイヤだと危なそうだったため電車で行きました。大江戸線豊島園駅から直ぐなので便利。駐車場代の払い戻しは出来ませんでした。

15. ソリトン vol.5

トポロジカル電流と体積形式

　前回に引き続き(3+1)次元ソリトンの進める。以前に示したようにこの節ではトポロジカル電流を $SU(2)$ 群の要素 $g$ で

\[   J_\mu \, = \, C \, \ep_{\mu\nu\al\bt} \, \Tr \left(  g^{-1} \d_\nu g ~ g^{-1} \d_\al g ~ g^{-1} \d_\bt g   \right)  \tag{15.25} \]

と表した。ただし、規格化定数はこちらで導出したように

\[    C \, = \, \frac{1}{24 \pi^2}     \tag{15.54} \]

で与えられる。以下では、(1+1)次元ソリトンの場合と同様に、$J_\mu$ を

\[    g (x) \, = \, a (x)  +  i b_i (x) \, \si_i    \tag{15.22} \]

で定義されたスカラー場 $a (x)$, $b_i (x)$ $(i = 1,2,3)$ で表すことを考える。簡単のため、$a (x)$, $b_i (x)$ を $\phi^0$, $\phi^i$ と書き換える。つまり、

\[    g (x) \, = \, \phi^0 {\bf 1}  +  i \phi^i \, \si_i      \tag{15.67} \]

とおく。このとき、因子 $I_\mu = g^{-1} \d_\mu g $ は

\[\begin{eqnarray}    I_\mu &=& ( \phi^0 {\bf 1}  +  i \phi^a \, \si_a ) \d_\mu ( \phi^0 {\bf 1}  -  i \phi^b \, \si_b )    \nonumber \\    &=& i ( \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 + \ep^{a}_{\, bc} \phi^b \d_\mu \phi^c ) \si_a    \tag{15.68} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、関係式 $( \phi^0 )^2 + ( \phi^a )^2 = 1$ と $\si_a \si_b = \del_{ab} {\bf 1} + i \ep_{abc} \si_c$ を用いた。これより、

\[    \Tr ( I_\mu I_\nu I_\al ) \, = \, 2 \ep_{abc} A_\mu^a  A_\nu^b  A_\al^c    \tag{15.69} \]

と表せる。ただし、$A_\mu^a$ は

\[\begin{eqnarray}    A_\mu^a & = &   \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j    \nonumber \\    & \equiv & B_\mu^a + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j    \tag{15.70} \end{eqnarray}\]

で与えられる。ここで、$B_\mu^a =  \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0$ は $( 0 a)$ について反対称であることに注意しよう。トポロジカル電流 $J^\bt = \frac{1}{24 \pi^2} \ep^{\mu \nu \al \bt} \Tr ( I_\mu I_\nu I_\al )$ は

\[    J^\bt \, = \, \frac{1}{12 \pi^2} \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} A_\mu^a  A_\nu^b  A_\al^c     \tag{15.71} \]

と表せる。このうちゼロとならない項は添え字 $(\mu \nu \al )$ と $(abc)$ についてそれぞれ完全反対称であり、それらは $B_\mu^a$ を１つあるいは３つ含む項で与えられる。具体的に書き出すとゼロとならない項は

\[\begin{eqnarray}    \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} A_\mu^a  A_\nu^b  A_\al^c    &=&  \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc}     \left( \, B_\mu^a \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n \right.    \nonumber \\    && ~~~~~~~~~~~~~ + \, \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, B_\nu^b \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n     \nonumber \\    && ~~~~~~~~~~~~~ +  \, \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, B_\al^c      \nonumber \\    && ~~~~~~~~~~~~~  +  \,  \left.  B_\mu^a  B_\nu^b  B_\al^c \, \right)     \tag{15.72} \end{eqnarray}\]

となる。この第一項 $\ep_{abc} B_\mu^a  \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l  \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n$ は

\[\begin{eqnarray}    && \ep_{abc} ( \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 ) \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n    \nonumber \\    &=&  \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, ( \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 ) ( \phi^a \d_\al \phi^b - \phi^b \d_\al \phi^a )    \nonumber \\    &=& \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \,     \left( - ( (\phi^0 )^2 +  (\phi^a )^2 ) \d_\mu \phi^0 \d_\al \phi^b \right.    \nonumber \\    && ~~~~~~~~~~~~~~~~~~    \left. + \phi^b ( - \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\al \phi^a + \phi^a \d_\mu \phi^0 \d_\al \phi^a )  \right)    \nonumber \\    &=& - \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \d_\mu \phi^0 \d_\al \phi^b     \tag{15.73} \end{eqnarray}\]

と計算できる。ただし、$\d_\mu \phi^a \, \phi^a = - \phi^0 \d_\mu \phi^0$ と $(\phi^0 )^2 +  (\phi^a )^2 = 1$ を用いた。同様に、第二項、第三項は

\[\begin{eqnarray}    \ep_{abc} \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, B_\nu^b \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n     &=& -  \ep^{c}_{\, mn} \d_\mu \phi^c \d_\nu \phi^0 \phi^m  \d_\al \phi^n     \tag{15.74} \\    \ep_{abc} \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, B_\al^c       &=& \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\mu \phi^b \d_\nu \phi^l \d_\al \phi^0     \tag{15.75} \end{eqnarray}\]

と求まる。よって、式(15.72)の最初の３項は

\[\begin{eqnarray}    &&    \ep_{abc} \left(     B_\mu^a \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l  \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n    + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, B_\nu^b \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n     \right.    \nonumber \\    &&  \hspace{6.3cm} \left.    + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, B_\al^c    \right)    \nonumber \\    &=&     \ep_{abc} \left(    - \phi^b \d_\mu \phi^0 \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^c \d_\nu \phi^0 \d_\al \phi^b    + \phi^b \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^0    \right)     \tag{15.76} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、簡単のため反対称記号 $\ep^{\mu \nu \al \bt}$ は省略した。最後に、式(15.72)の最終項は

\[\begin{eqnarray}    && \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} B_\mu^a  B_\nu^b  B_\al^c     \nonumber \\    &=&  \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \left(  \phi^0 \d_\mu \phi^a \phi^0  \d_\nu \phi^b  \phi^0  \d_\al \phi^c      - \phi^0 \d_\mu \phi^a  \phi^0 \d_\nu \phi^b \phi^c \d_\al \phi^0  \right.    \nonumber \\    && ~~~~~~~~~~ \left. - \phi^0 \d_\mu \phi^a  \phi^b \d_\nu \phi^0 \phi^0 \d_\al \phi^c     - \phi^a \d_\mu \phi^0  \phi^0 \d_\nu \phi^b \phi^0 \d_\al \phi^c   \right)    \nonumber \\    &=&  \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \left(  ( \phi^0 )^2 \phi^0 \d_\mu \phi^a  \d_\nu \phi^b  \d_\al \phi^c    + \phi^c \phi^d ( \phi^0 \d_\mu \phi^a  \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^d )  \right.    \nonumber \\    && ~~~~~~~~~~ \left. + \phi^b \phi^d ( \phi^0 \d_\mu \phi^a  \d_\nu \phi^d  \d_\al \phi^c )     + \phi^a \phi^d ( \phi^0 \d_\mu \phi^d  \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^c )  \right)     \nonumber \\    &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} ( ( \phi^0 )^2  + (\phi^i )^2 ) \ep_{abc} \phi^0 \d_\mu \phi^a  \d_\nu \phi^b  \d_\al \phi^c    \nonumber \\    &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \phi^0 \d_\mu \phi^a  \d_\nu \phi^b  \d_\al \phi^c    \tag{15.77} \end{eqnarray}\]

と計算できる。よって、式(15.72)は

\[\begin{eqnarray}    && \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} A_\mu^a  A_\nu^b  A_\al^c    \nonumber \\    &=&  \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc}    \left( \, \phi^0 \d_\mu \phi^a  \d_\nu \phi^b  \d_\al \phi^c     - \phi^b \d_\mu \phi^0 \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^a  \right.    \nonumber \\    &&  \hspace{1.6cm} \left.    - \phi^a \d_\mu \phi^c \d_\nu \phi^0 \d_\al \phi^b    + \phi^b \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^0  \,   \right)    \nonumber \\    &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{ABCD} \, \phi^A \d_\mu \phi^B  \d_\nu \phi^C  \d_\al \phi^D     \tag{15.78} \end{eqnarray}\]

と変形できる。ただし、大文字の添え字 $(A,B,C,D)$ は $(0,1,2,3)$ の値をとり、小文字の添え字 $(a , b, c)$ は $(1,2,3)$ の値をとる。

43インチ液晶モニターの買い替え

　2018年に購入した液晶モニターの一部が暗くなって戻らなくなったので買い替えることにしました。

37,980円

以前よりだいぶ安いし軽い！ ただ、スタンド幅が広すぎでいまのテレビ台に収まらないので卓上テレビスタンド

3,599円

も購入。組み立ては受験の終わった次女に手伝ってもらいました。

液晶モニターは粗大ごみに出せないので回収手続きを利用。先ほど申し込みをしました。新しい液晶モニターの箱に入れたため3辺の長さの和が180cmとなり規格外のため山九（株）さんが取りに来てくれるみたいです。

次女の中学受験ようやく終了、おつかれさまでした！

　6年生の夏まで塾に通っていなかったので不安でしたが、第一志望に合格しました！ これで一安心、今年は登山多めに行っても大丈夫かな。7年前の長女の時は次女のお守りもあり全くサポートしませんでした。自分の経験から本人に任せっきりで今思えば親として未熟でした。もっとコミットしていればとの反省から今回は模擬試験の結果もフォローするようにしました。聞いてこないので教えることは殆どありませんでしたが、特に嫌になることもなく自分のペースで土日以外は自宅で勉強してくれました。

　長女の時は妻任せでしたが、今回は応募手続きや説明会出席なども私の方で担当しました。今はネットで何でも申し込みできるのでありがたいです。学校説明会なんて初めて参加しました。ちなみに、私が中学受験したときは12月に神戸から東京に引っ越すことになったので１ヵ月あまりで社会をやって過去問も一切やらずに（そもそも過去問入手できなかった）、一人で神戸から新幹線で東京の祖母の家に行って、当日も一人で受験会場にいったなー。自由が丘から三田の慶応まで。（大井町線の中延で三田線に乗り換えて三田で降りるのよ、やす君、分かるでしょ、の暁子おばさんの声が懐かしい。）あのとき、受験生がみんな親と来てて会場の前で塾の先生たちが鉢巻きして大声出しながら旗降ってたのにはビビりました。普通部の面接でも関西弁丸出し（標準語しゃべれなかったし喋る気さらさらなかった）で、面接官が驚いてたなー。結局準備不足でダメでしたが、今回次女の勉強量は当時の私の100倍以上。本当によく頑張ったね、ゆりちゃん！ 6年間の女子校生活楽しんでください。

スキルミオンのトポロジカル電流をスカラー場で表す

　以前議論したように(3+1)次元ソリトン（あるいはスキルミオン）のトポロジカル電流は

\[   J^\bt \, = \,  \frac{1}{24 \pi^2} \, \ep^{\mu\nu\al\bt} \, \Tr \left(  g^{-1} \d_\mu g ~ g^{-1} \d_\nu g ~ g^{-1} \d_\al g   \right)  \tag{1} \]

と表せる。ただし、$g (x)$ は $SU(2)$ 群の要素である。2行2列の恒等行列 ${\bf 1}$ とパウリ行列 $\si_i$ $(i = 1,2,3)$ を用いると $g (x)$ は

\[ g (x) \, = \, \phi^0 {\bf 1}  +  i \phi^i \, \si_i  \tag{2} \]

とパラメータ表示できる。ただし、$\phi^0$, $\phi^i$ は

\[ ( \phi^0 )^2 + ( \phi^i )^2 = 1 \tag{3} \]

を満たす。式(2)を式(1)に代入すると $\phi^0$, $\phi^i$ でトポロジカル電流を表せる。以下ではこの計算を実行する。（結果は良く知られているが実際に計算してみると煩雑になり、ChatGPTに聞いても要領を得なかったのであきらめて自力で導出した。）

　まず、因子 $I_\mu = g^{-1} \d_\mu g $ は

\[\begin{eqnarray}    I_\mu &=& ( \phi^0 {\bf 1}  +  i \phi^a \, \si_a ) \d_\mu ( \phi^0 {\bf 1}  -  i \phi^b \, \si_b )    \nonumber \\    &=& i ( \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 + \ep^{a}_{\, bc} \phi^b \d_\mu \phi^c ) \si_a    \tag{4} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、式(3)と $\si_a \si_b = \del_{ab} {\bf 1} + i \ep_{abc} \si_c$ を用いた。これより

\[    \Tr ( I_\mu I_\nu I_\al ) \, = \, 2 \ep_{abc} A_\mu^a  A_\nu^b  A_\al^c    \tag{5} \]

と書ける。ただし、$A_\mu^a$ は

\[\begin{eqnarray}    A_\mu^a & = &   \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j    \nonumber \\    & \equiv & B_\mu^a + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j     \tag{6} \end{eqnarray}\]

で与えられる。$B_\mu^a =  \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0$ は添え字 $( 0 a)$ について反対称であることに注意しよう。これより、トポロジカル電流 $J^\bt = \frac{1}{24 \pi^2} \ep^{\mu \nu \al \bt} \Tr ( I_\mu I_\nu I_\al )$ は

\[    J^\bt \, = \, \frac{1}{12 \pi^2} \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} A_\mu^a  A_\nu^b  A_\al^c     \tag{7} \]

と表せる。上式でゼロとならない項は $(\mu \nu \al )$ と $(abc)$ のそれぞれ添え字について完全反対称であり、それらは $B_\mu^a$ を１つあるいは３つ含む項で与えられる。具体的に書き出すと、ゼロとならない項は

\[\begin{eqnarray}    \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} A_\mu^a  A_\nu^b  A_\al^c    &=&  \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc}     \left( \, B_\mu^a \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n \right.    \nonumber \\    && ~~~~~~~~~~~ + \, \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, B_\nu^b \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n     \nonumber \\    && ~~~~~~~~~~~ +  \, \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, B_\al^c      \nonumber \\    && ~~~~~~~~~~~  +  \,  \left.  B_\mu^a  B_\nu^b  B_\al^c \, \right)      \tag{8} \end{eqnarray}\]

と書ける。ここで、第一項の $\ep_{abc} B_\mu^a  \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l  \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n$ は

\[\begin{eqnarray}    && \ep_{abc} ( \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 ) \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n    \nonumber \\    &=&  \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, ( \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 ) ( \phi^a \d_\al \phi^b - \phi^b \d_\al \phi^a )    \nonumber \\    &=& \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \,     \left( - ( (\phi^0 )^2 +  (\phi^a )^2 ) \d_\mu \phi^0 \d_\al \phi^b  + \phi^b ( - \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\al \phi^a + \phi^a \d_\mu \phi^0 \d_\al \phi^a )  \right)    \nonumber \\    &=& - \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \d_\mu \phi^0 \d_\al \phi^b     \tag{9} \end{eqnarray}\]

と計算できる。ただし、関係式 $\d_\mu \phi^a \, \phi^a = - \phi^0 \d_\mu \phi^0$ と $(\phi^0 )^2 +  (\phi^a )^2 = 1$ を用いた。同様に、第二項、第三項も

\[\begin{eqnarray}    \ep_{abc} \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, B_\nu^b \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n     &=& -  \ep^{c}_{\, mn} \d_\mu \phi^c \d_\nu \phi^0 \phi^m  \d_\al \phi^n     \tag{10} \\    \ep_{abc} \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, B_\al^c       &=& \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\mu \phi^b \d_\nu \phi^l \d_\al \phi^0     \tag{11} \end{eqnarray}\]

と求まる。これらを足し合わせると式(8)の初めの三項は

\[\begin{eqnarray}    &&    \ep_{abc} \left(     B_\mu^a \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l  \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n    + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, B_\nu^b \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n     + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, B_\al^c    \right)    \nonumber \\    &=&     \ep_{abc} \left(    - \phi^b \d_\mu \phi^0 \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^c \d_\nu \phi^0 \d_\al \phi^b    + \phi^b \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^0    \right)     \tag{12} \end{eqnarray}\]

とまとめられる。ただし、反対称シンボル $\ep^{\mu \nu \al \bt}$ は省略した。最後に、式(8)の最終項を計算すると

\[\begin{eqnarray}    && \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} B_\mu^a  B_\nu^b  B_\al^c     \nonumber \\    &=&  \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \left(  \phi^0 \d_\mu \phi^a \phi^0  \d_\nu \phi^b  \phi^0  \d_\al \phi^c      - \phi^0 \d_\mu \phi^a  \phi^0 \d_\nu \phi^b \phi^c \d_\al \phi^0  \right.    \nonumber \\    && \hspace{4.8cm} \left. - \phi^0 \d_\mu \phi^a  \phi^b \d_\nu \phi^0 \phi^0 \d_\al \phi^c     - \phi^a \d_\mu \phi^0  \phi^0 \d_\nu \phi^b \phi^0 \d_\al \phi^c   \right)    \nonumber \\    &=&  \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \left(  ( \phi^0 )^2 \phi^0 \d_\mu \phi^a  \d_\nu \phi^b  \d_\al \phi^c    + \phi^c \phi^d ( \phi^0 \d_\mu \phi^a  \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^d )  \right.    \nonumber \\    && \hspace{4.8cm} \left. + \phi^b \phi^d ( \phi^0 \d_\mu \phi^a  \d_\nu \phi^d  \d_\al \phi^c )     + \phi^a \phi^d ( \phi^0 \d_\mu \phi^d  \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^c )  \right)     \nonumber \\    &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} ( ( \phi^0 )^2  + (\phi^i )^2 ) \ep_{abc} \phi^0 \d_\mu \phi^a  \d_\nu \phi^b  \d_\al \phi^c    \nonumber \\    &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \phi^0 \d_\mu \phi^a  \d_\nu \phi^b  \d_\al \phi^c \, .    \tag{13} \end{eqnarray}\]

となる。よって、式(8)は

\[\begin{eqnarray}    && \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} A_\mu^a  A_\nu^b  A_\al^c    \nonumber \\    &=&  \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc}    \left( \, \phi^0 \d_\mu \phi^a  \d_\nu \phi^b  \d_\al \phi^c     - \phi^b \d_\mu \phi^0 \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^a     - \phi^a \d_\mu \phi^c \d_\nu \phi^0 \d_\al \phi^b    + \phi^b \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^0  \,   \right)    \nonumber \\    &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{ABCD} \, \phi^A \d_\mu \phi^B  \d_\nu \phi^C  \d_\al \phi^D     \tag{14} \end{eqnarray}\]

と変形できる。ただし、大文字の添え字 $(A,B,C,D)$ は $(0,1,2,3)$ の値をもち、小文字の添え字 $(a , b, c)$ は $(1,2,3)$ の値をもつ。

2026年衆議院選挙 期日前投票

　いつも早めに投票しているのですが、今回はまだ投票用紙が届かないので手ぶらで期日前投票に行ってきました。念のため免許証を持参しましたが氏名、住所、生年月日を書くだけでなんと投票出来ちゃいました。以前から投票所での本人確認厳格化を訴えれている私としては、驚きというか呆れ返りました。住民票と照らし合わせているのかもしれませんが、写真で本人確認もしないなんて。民主主義の根幹の選挙がこんなにガバガバでいいのでしょうか？今回の対応は準備期間が短かったための措置かもしれませんが、公正のためにも投票所での本人確認はしっかりしてもらいたいです。そろそろマイナンバーカードと紐づけた選挙システム作ってもらえませんか。投票行動の簡素化で投票率も上がり、人手と手間も大幅に省けると思うけどな。今時、学会などある程度の規模の組織は国内外問わずネット選挙なんだから。

Mathematical Review 131: alphaXiv がスゴイ！

グルーオン散乱振幅についての最近の論文をレビュー。自己双対型ゲージ理論の代数がカッツ・ムーディ代数の拡張版として理解できるという話で発展著しい印象。テクニカルな内容で計算を追うことはできませんでしたが、arXiv にアップロードされた論文の要約をAI自動生成してくれる alphaXiv というので対象論文のまとめをお願いしたところ、わずか数秒で素晴らしい要約が出力されました。背景知識を知らないと初見では分かりずらいですが、ある程度関連論文を読んでからだとだいぶ理解が深まりました。研究者の間では既に常識なのでしょうか。これから研究の仕方もだいぶ変わっていきそうです。

2025年末 京都、奈良、伊賀

母と長女と親子三世代で年末に久しぶりに京都市内へ。中国からの観光客が減っているとのこと、確かに少なかった印象。早朝５時半に鎌倉出発。東寺、三十三間堂、八坂神社、清水寺を参拝。東寺と八坂神社は今回初めてでした。事前に駐車場、ルートをしっかり確認しておいたので良かったです。