アメリカ・イスラエルによるイラン攻撃

　2/28に突然の空爆。４年前のロシアによるウクライナ侵攻と同じく冬季オリンピック終了直後でした。2014年のソチオリンピック直後のクリミア侵攻もそうでしたが、この傾向何とかなりませんか？ イランの最高指導者ハメネイ師が自宅を空爆され亡くなられたそうです。トランプ大統領はハメネイ師のことを「歴史上で最も邪悪な人物の一人」と形容していました。

テニス：2025年度の活動報告

　毎年参加している地元のテニス大会、去年は念願の団体戦１部優勝。個人戦でもラッキーが重なりまさかのシングルスAベスト４、ダブルスシニアベスト４でした。今年も頑張ります！

ウッドデッキ塗装６

あっという間に3月。例年冬に行っていたウッドデッキ塗装、今年は少し丁寧にやりました。箒で掃除、水拭き、一部紙やすり掛け、養生テープ、水性ペンキ塗装。写真だと分かりづらいですが上から作業前、作業途中、作業後。

また来年2月にやる予定です。

理論物理学でのAI活用

理論物理学でのAI活用は「学習物理学」で推進されていますが、最近、散乱振幅の研究でも GPT-5.2 Pro が計算の道具として用いられ、新しい結果が報告されています。コンピュータ・サイエンス分野ではAIによる論文作成もあるようですが、高エネルギー理論の分野でも AI の活用はますます進みそうです。

関連サイト

https://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=15500

https://github.com/sgnoohc/arxiv-submission-analysis

高市総理の施政方針演説

 

挑戦しない国に未来はありません！

先の衆院選の結果を受け高市総理のやりたいことができる環境が整いました。リーダーがしっかり勉強して自分の言葉で国民に施政方針を伝えてくれるのはありがたい。

キーワード一覧

15. ソリトン vol.7

前回に引き続き(2+1)次元ソリトンの議論を進める。今回がこの講義録の最後である。

物理モデル

　(3+1)次元の静的なソリトン解（スキルミオン）を記述するハミルトニアンは

\[  \H [ g ]  \, = \,  \al^2 \int d^3 x \, \Tr ( \d_i g^\dag \, \d_i g )    \tag{15.63} \]

であった。(2+1)次元の場合も同様に、静的ソリトンのハミルトニアンを

\[    \H [ \phi ] \, = \, \frac{1}{2} \int d^2 x \, \d_i \phi^a  \d_i \phi^a   \tag{15.102} \]

の形に仮定できる。スケール変換 $x^i  \rightarrow   x^{\prime i} =  R  x^i$ のもとで $\d_i \phi^a \rightarrow \frac{1}{R} \d_i \phi^a$, $d^2 x \rightarrow R^2 d^2 x$ と変換するので、(2+1)次元の場合ハミルトニアン $\H [ \phi ]$ はスケール不変であり、有限エネルギーのソリトン解 $( Q \ne 0 )$ をもつ。

　つぎに、不等式

\[    \int d^2 x \left(   \d_i \phi^a - \ep^{abc} \d_j \phi^b  \phi^c \ep_{ij}  \right)^2    \, \ge \, 0     \tag{15.103} \]

を考える。左辺の被積分関数を展開すると

\[\begin{eqnarray}    &&    \d_i \phi^a \d_i \phi^a    - 2 \ep^{abc} \d_i \phi^a \d_j \phi^b \phi^c \ep_{ij}    + \ep^{abc} \d_j \phi^b \phi^c \ep_{ij} \ep^{amn} \d_k \phi^m \phi^n \ep_{ik}    \nonumber \\    &=&    \d_i \phi^a \d_i \phi^a - 16 \pi J^0    + ( \del^{bm} \del^{cn} - \del^{bn} \del^{cm} ) \d_j \phi^b  \phi^c \d_k \phi^m \phi^n \del_{jk}    \nonumber \\    &=&    \d_i \phi^a \d_i \phi^a - 16 \pi J^0    + \d_j \phi^b \phi^c ( \d_j \phi^b \phi^c - \d_j \phi^c \phi^b )    \nonumber \\    &=&    2 \d_i \phi^a \d_i \phi^a - 16 \pi J^0    \tag{15.104} \end{eqnarray}\]

となる。ただし、$\ep^{abc}\ep^{amn} = \del^{bm} \del^{cn} - \del^{bn} \del^{cm}$ と $\ep_{ij} \ep_{ik} = \del_{jk}$ を用いた。これより、ハミルトニアン(15.102)は下限を持つことが分かる。

\[    \H [ \phi ] \, \ge \, 4 \pi Q [\phi ]     \tag{15.105} \]

この下限値はボゴモルニー境界 (Bogomolny bound) あるいは BPS (Bogomolny-Prasad-Sommerfield) 境界と呼ばれる。ボゴモルニー境界上では(15.103)の等式が成り立つ。すなわち、

\[    \d_i \phi^a - \ep^{abc} \d_j \phi^b  \phi^c \ep_{ij}    \, = \, 0     \tag{15.106} \]

となる。これはボゴモルニー方程式あるいは BPS 方程式と呼ばれる。成分表示するとボゴモルニー方程式は

\[\begin{eqnarray}    \d_x \phi^1 = \d_y \phi^2 \phi^3 - \d_y \phi^3 \phi^2 \, , &~~~~~&    \d_y \phi^1 = - \d_x \phi^2 \phi^3 + \d_x \phi^3 \phi^2  \nonumber \\    \d_x \phi^2 = \d_y \phi^3 \phi^1 - \d_y \phi^1 \phi^3 \, , &~~~~~&    \d_y \phi^2 = - \d_x \phi^3 \phi^1 + \d_x \phi^1 \phi^3  \tag{15.107} \\    \d_x \phi^3 = \d_y \phi^1 \phi^2 - \d_y \phi^2 \phi^1 \, , &~~~~~&    \d_y \phi^3 = - \d_x \phi^1 \phi^2 + \d_x \phi^2 \phi^1   \nonumber \end{eqnarray}\]

と書ける。これらはある複素関数 $W$ を

\[    W \, = \,  u (x, y) + i v ( x, y)     \, \equiv \, \frac{\phi^1}{1+ \phi^3} + i \frac{\phi^2}{1 + \phi^3}  \tag{15.108} \]

とおいたときのコーシー・リーマン方程式

\[    \d_x u = \d_y v \, , ~~~~~ \d_y u = - \d_x v    \tag{15.109} \]

と等価である。つまり、$z= x + i y$ とおくと複素関数 $W$ は正則関数 $W = W (z)$ であり、コーシー・リーマン方程式あるいはボゴモルニー方程式は $\d_\bz W = 0$ と表せる。$\H [ \phi ]$ のスケール不変性は静的なソリトン解が共形対称性をもつことを示唆する。これは、11.4節で議論したように、２次元球面 $S^2$ 上の任意の関数 $f( z, \bz)$ が $SL( 2 , {\bf C})$ 代数で実現される大域的共形対称性を保存することからも明らかである。上の結果は、ボゴモルニー境界において複素関数 $f (z, \bz)$ が正則性条件 $\d_\bz f(z, \bz ) = 0$ あるいは $ f(z, \bz ) \rightarrow f (z)$ を満たすことを示している。この正則関数 $f(z)$ はビラソロ代数で実現される２次元の局所的共形対称性を保存する。

15. ソリトン vol.6

15.3   (2+1)次元のソリトン

(2+1)次元の場合、対称となる写像は

\[    \phi^a ( x ) \, : \, S^2_x \, \longrightarrow \, S^2_\phi    \tag{15.88} \]

で与えられる。ここで、標的空間はコセット空間 $S^2 = SU(2)/ U(1)$ である。よって、$\phi^a$ $(a = 0, 1,2 )$ はリー群の要素ではなく２次元球面の座標を表し、$\phi^a \phi^a = 1$ を満たす。基底空間 $S^2_x$ も同じく $x^a x^a = 1$ を満たす座標 $x^a$ で表される。(2+1)次元の場合と同様に、単位写像 $\phi^a = x^a$ は(2+1)次元のステレオ射影表示

\[    x^0 = \frac{1 - r^2}{ 1 + r^2} \, , ~~~ x^i = \frac{2 y^i}{1+ r^2}    \tag{15.89} \]

で与えられる。ただし、$i=1,2$, $y^a \in \mathbb{R}$ $(a=0,1,2)$ であり、$r^2$ は $r^2 = ( y^0 )^2 + ( y^1 )^2 + ( y^2 )^2$ で定義される。なお、この複素表示は12章で

\[    x_1 = \frac{z + \bz }{1 + z\bz} \, , ~~~    x_2 = i \frac{z - \bz }{1 + z\bz} \, , ~~~    x_3 = \frac{1 - z \bz }{1 + z\bz}    \tag{12.49} \]

と与えられた。

保存カレント

　保存３元カレントは前回の(2+1)次元トポロジカル電流についての結果

\[ J^\al \, = \, \frac{1}{8 \pi} \ep^{\mu\nu \al} \ep_{abc} \phi^a \d_\mu \phi^b \d_\nu \phi^c    \tag{15.87}  \]

で与えられた。ここでは、少し書き換えて

\[    J^\al \, = \, C \, \ep^{\mu\nu\al} \ep_{abc} \,  ( \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b ) \phi^c    \tag{15.90} \]

とする。ただし、$C = \frac{1}{8 \pi}$ は規格化定数である。$J^\al$ を $x^\al$ で微分すると

\[    \d_\al J^\al \, = \, C \, \ep^{\mu\nu\al} \ep_{abc} \,   \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b  \d_\al \phi^c     \tag{15.91} \]

となる。条件 $\phi^a \phi^a = 1$ から $\d_\mu \phi^a $ は $\d_\mu \phi^a = \ep^{alm } \phi^l \th_\mu^m$ とパラメータ $\th_\mu^m$ を用いて表示できる。よって、

\[\begin{eqnarray}    \d_\al J^\al &=& C \, \ep^{\mu \nu \al} \ep_{abc} \, \ep^{a}_{~ lm } \phi^l \th_\mu^m \,    \ep^{b}_{~ pq } \phi^p \th_\nu^q \, \ep^{c}_{~ rs } \phi^r \th_\al^s    \nonumber \\    & \sim & \ep^{\mu\nu\al} \, \th_\mu^m  \th_\nu^q \th_\al^s  \, = \, 0     \tag{15.92} \end{eqnarray}\]

から $J^\al$ の保存則が確認できる。

巻き数と規格化

　巻き数はカレント $J^\al$ を用いて $Q = \int d^2 x J^0$ と定義されるので、いまの場合

\[    Q [ \phi ] \, = \,  C \int d^2 x \, \ep_{abc} \,   \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b  \, \phi^c   \, \ep^{\mu \nu}    \tag{15.93} \]

と表せる。ただし、$\mu$, $\nu$ は $(1,2)$ の値をもつ。(3+1)次元の場合と同様に、規格化定数 $C = \frac{1}{8 \pi}$ は単位写像 $\phi^a (x ) = y^a$ を代入して $Q [ y^a ] = 1$ から直接求めることができる。ステレオ射影表示(15.89)を用いると、$Q [y^a ]$ は

\[    Q [ y^a ] \, = \, 2 C \int d^2 x \, \ep_{abc} \, \d_1 y^a  \d_2 y^b \, y^c     \tag{15.94} \]

と書ける。この被積分関数は

\[\begin{eqnarray}    && \ep_{abc} \, \d_1 y^a  \d_2 y^b \, y^c  \nonumber \\    &=& ( \d_1 y^0 \d_2 y^1 \, y^2 - \d_1 y^0 \d_2 y^2 \, y^1 ) + ( \d_1 y^2 \d_2 y^0 \, y^1 - \d_1 y^1 \d_2 y^0 \, y^2 )    \nonumber \\    && ~ + ( \d_1 y^1 \d_2 y^2 \, y^0 - \d_1 y^2 \d_2 y^1 \, y^0 )    \nonumber \\    &=& \left( \frac{2}{ 1 + r^2 } \right)^2 \left( (y^1 )^2 +(y^2 )^2 +(y^0 )^2  \right) \, = \, \left( \frac{2}{ 1 + r^2 } \right)^2    \tag{15.95} \end{eqnarray}\]

と計算できる。ただし、関係式

\[    \d_\mu y^0 \, = \, - \frac{2 y^\mu}{1 + r^2} \, , ~~~    \d_\mu y^i \, = \, \frac{2}{1 + r^2} \del_\mu^i - y_\mu y^i    \tag{15.96} \]

を用いた。ここで、添え字はそれぞれ $\mu = 1,2$, $i = 1,2 $ である。よって、$Q [ y^a ]$ は

\[    Q [ y^a ] \, = \, 2 C \int d^2 x \,  \left( \frac{2}{ 1 + r^2 } \right)^2    \, = \, 8 C \int \frac{2 \pi r}{ (1 + r^2 )^2 } dr \, = \, 8 \pi C    \tag{15.97} \]

と求まる。ただし、積分測度を $d^2 x$ から $2 \pi r dr $ に変換し積分

\[    \int_0^\infty  \frac{r}{ (1 + r^2 )^2 } dr \, = \, \frac{1}{2}    \tag{15.98} \]

を用いた。よって、定義式 $Q [ y^a ] = 1$ から規格化定数 $C$ は確かに

\[    C \, = \, \frac{1}{8 \pi}    \tag{15.99} \]

と決まることが分かる。

43インチ液晶モニターのリサイクル回収

　前回手続した液晶モニターの回収手続きは、数日後に伝票

が届きました。担当業者に連絡すると希望日に自宅前まで引き取りに来てくれる手配をしてくれました。

先日、無事回収してもらいました。新しいモニターが入っていた段ボールを転用できたので梱包も楽でした。前回は自分で梱包して更に郵便局まで持ち込んだので大変でしたが、今回は自宅まで取りに来てくれて助かりました。山九さんサンキューです！

としまえん跡地のハリーポッター・スタジオツアー

　次女の受験も終わったので先日、大雪の日に子供２人と豊島園跡地にある映画ハリーポッターのスタジオツアー東京に行ってきました。

事前に駐車場予約（2000円）しましたが、ノーマルタイヤだと危なそうだったため電車で行きました。大江戸線豊島園駅から直ぐなので便利。駐車場代の払い戻しは出来ませんでした。

15. ソリトン vol.5

トポロジカル電流と体積形式

　前回に引き続き(3+1)次元ソリトンの進める。以前に示したようにこの節ではトポロジカル電流を $SU(2)$ 群の要素 $g$ で

\[   J_\mu \, = \, C \, \ep_{\mu\nu\al\bt} \, \Tr \left(  g^{-1} \d_\nu g ~ g^{-1} \d_\al g ~ g^{-1} \d_\bt g   \right)  \tag{15.25} \]

と表した。ただし、規格化定数はこちらで導出したように

\[    C \, = \, \frac{1}{24 \pi^2}     \tag{15.54} \]

で与えられる。以下では、(1+1)次元ソリトンの場合と同様に、$J_\mu$ を

\[    g (x) \, = \, a (x)  +  i b_i (x) \, \si_i    \tag{15.22} \]

で定義されたスカラー場 $a (x)$, $b_i (x)$ $(i = 1,2,3)$ で表すことを考える。簡単のため、$a (x)$, $b_i (x)$ を $\phi^0$, $\phi^i$ と書き換える。つまり、

\[    g (x) \, = \, \phi^0 {\bf 1}  +  i \phi^i \, \si_i      \tag{15.67} \]

とおく。このとき、因子 $I_\mu = g^{-1} \d_\mu g $ は

\[\begin{eqnarray}    I_\mu &=& ( \phi^0 {\bf 1}  +  i \phi^a \, \si_a ) \d_\mu ( \phi^0 {\bf 1}  -  i \phi^b \, \si_b )    \nonumber \\    &=& i ( \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 + \ep^{a}_{\, bc} \phi^b \d_\mu \phi^c ) \si_a    \tag{15.68} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、関係式 $( \phi^0 )^2 + ( \phi^a )^2 = 1$ と $\si_a \si_b = \del_{ab} {\bf 1} + i \ep_{abc} \si_c$ を用いた。これより、

\[    \Tr ( I_\mu I_\nu I_\al ) \, = \, 2 \ep_{abc} A_\mu^a  A_\nu^b  A_\al^c    \tag{15.69} \]

と表せる。ただし、$A_\mu^a$ は

\[\begin{eqnarray}    A_\mu^a & = &   \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j    \nonumber \\    & \equiv & B_\mu^a + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j    \tag{15.70} \end{eqnarray}\]

で与えられる。ここで、$B_\mu^a =  \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0$ は $( 0 a)$ について反対称であることに注意しよう。トポロジカル電流 $J^\bt = \frac{1}{24 \pi^2} \ep^{\mu \nu \al \bt} \Tr ( I_\mu I_\nu I_\al )$ は

\[    J^\bt \, = \, \frac{1}{12 \pi^2} \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} A_\mu^a  A_\nu^b  A_\al^c     \tag{15.71} \]

と表せる。このうちゼロとならない項は添え字 $(\mu \nu \al )$ と $(abc)$ についてそれぞれ完全反対称であり、それらは $B_\mu^a$ を１つあるいは３つ含む項で与えられる。具体的に書き出すとゼロとならない項は

\[\begin{eqnarray}    \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} A_\mu^a  A_\nu^b  A_\al^c    &=&  \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc}     \left( \, B_\mu^a \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n \right.    \nonumber \\    && ~~~~~~~~~~~~~ + \, \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, B_\nu^b \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n     \nonumber \\    && ~~~~~~~~~~~~~ +  \, \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, B_\al^c      \nonumber \\    && ~~~~~~~~~~~~~  +  \,  \left.  B_\mu^a  B_\nu^b  B_\al^c \, \right)     \tag{15.72} \end{eqnarray}\]

となる。この第一項 $\ep_{abc} B_\mu^a  \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l  \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n$ は

\[\begin{eqnarray}    && \ep_{abc} ( \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 ) \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n    \nonumber \\    &=&  \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, ( \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 ) ( \phi^a \d_\al \phi^b - \phi^b \d_\al \phi^a )    \nonumber \\    &=& \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \,     \left( - ( (\phi^0 )^2 +  (\phi^a )^2 ) \d_\mu \phi^0 \d_\al \phi^b \right.    \nonumber \\    && ~~~~~~~~~~~~~~~~~~    \left. + \phi^b ( - \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\al \phi^a + \phi^a \d_\mu \phi^0 \d_\al \phi^a )  \right)    \nonumber \\    &=& - \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \d_\mu \phi^0 \d_\al \phi^b     \tag{15.73} \end{eqnarray}\]

と計算できる。ただし、$\d_\mu \phi^a \, \phi^a = - \phi^0 \d_\mu \phi^0$ と $(\phi^0 )^2 +  (\phi^a )^2 = 1$ を用いた。同様に、第二項、第三項は

\[\begin{eqnarray}    \ep_{abc} \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, B_\nu^b \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n     &=& -  \ep^{c}_{\, mn} \d_\mu \phi^c \d_\nu \phi^0 \phi^m  \d_\al \phi^n     \tag{15.74} \\    \ep_{abc} \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, B_\al^c       &=& \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\mu \phi^b \d_\nu \phi^l \d_\al \phi^0     \tag{15.75} \end{eqnarray}\]

と求まる。よって、式(15.72)の最初の３項は

\[\begin{eqnarray}    &&    \ep_{abc} \left(     B_\mu^a \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l  \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n    + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, B_\nu^b \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n     \right.    \nonumber \\    &&  \hspace{6.3cm} \left.    + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, B_\al^c    \right)    \nonumber \\    &=&     \ep_{abc} \left(    - \phi^b \d_\mu \phi^0 \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^c \d_\nu \phi^0 \d_\al \phi^b    + \phi^b \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^0    \right)     \tag{15.76} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、簡単のため反対称記号 $\ep^{\mu \nu \al \bt}$ は省略した。最後に、式(15.72)の最終項は

\[\begin{eqnarray}    && \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} B_\mu^a  B_\nu^b  B_\al^c     \nonumber \\    &=&  \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \left(  \phi^0 \d_\mu \phi^a \phi^0  \d_\nu \phi^b  \phi^0  \d_\al \phi^c      - \phi^0 \d_\mu \phi^a  \phi^0 \d_\nu \phi^b \phi^c \d_\al \phi^0  \right.    \nonumber \\    && ~~~~~~~~~~ \left. - \phi^0 \d_\mu \phi^a  \phi^b \d_\nu \phi^0 \phi^0 \d_\al \phi^c     - \phi^a \d_\mu \phi^0  \phi^0 \d_\nu \phi^b \phi^0 \d_\al \phi^c   \right)    \nonumber \\    &=&  \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \left(  ( \phi^0 )^2 \phi^0 \d_\mu \phi^a  \d_\nu \phi^b  \d_\al \phi^c    + \phi^c \phi^d ( \phi^0 \d_\mu \phi^a  \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^d )  \right.    \nonumber \\    && ~~~~~~~~~~ \left. + \phi^b \phi^d ( \phi^0 \d_\mu \phi^a  \d_\nu \phi^d  \d_\al \phi^c )     + \phi^a \phi^d ( \phi^0 \d_\mu \phi^d  \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^c )  \right)     \nonumber \\    &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} ( ( \phi^0 )^2  + (\phi^i )^2 ) \ep_{abc} \phi^0 \d_\mu \phi^a  \d_\nu \phi^b  \d_\al \phi^c    \nonumber \\    &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \phi^0 \d_\mu \phi^a  \d_\nu \phi^b  \d_\al \phi^c    \tag{15.77} \end{eqnarray}\]

と計算できる。よって、式(15.72)は

\[\begin{eqnarray}    && \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} A_\mu^a  A_\nu^b  A_\al^c    \nonumber \\    &=&  \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc}    \left( \, \phi^0 \d_\mu \phi^a  \d_\nu \phi^b  \d_\al \phi^c     - \phi^b \d_\mu \phi^0 \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^a  \right.    \nonumber \\    &&  \hspace{1.6cm} \left.    - \phi^a \d_\mu \phi^c \d_\nu \phi^0 \d_\al \phi^b    + \phi^b \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^0  \,   \right)    \nonumber \\    &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{ABCD} \, \phi^A \d_\mu \phi^B  \d_\nu \phi^C  \d_\al \phi^D     \tag{15.78} \end{eqnarray}\]

と変形できる。ただし、大文字の添え字 $(A,B,C,D)$ は $(0,1,2,3)$ の値をとり、小文字の添え字 $(a , b, c)$ は $(1,2,3)$ の値をとる。