小学校卒業おめでとう！

　昨日は次女の小学校卒業式。6年前の入学式はちょうどコロナの頃で子供たちは参加できませんでした。

2020年4月、入学式の様子

最近読んだ本：井沢元彦さんの歴史本

YouTubeの逆説チャンネル

で紹介されていた

をKindle版で一気に読みました。「読めば分かる！」とおっしゃる通りこれまでただ暗記していた歴史事実の遠因やその意味が分かって楽しかったです。歴史に興味ある方は既にご存じだと思いますが、おススメです。基となっているのは井沢さんのライフワークである日本の通史を扱った『逆説の日本史』。せっかくなので古代黎明編

斑入りマートル（銀梅花）強剪定

 

　これまで元気に育っていたのでほぼ放置していた斑入り（ふいり）マートル。最近落ち葉が多くなり、斑入りのない緑の葉が増えてきました。先日の雪もあり寒さでだいぶ弱ってきているみたいです。ハーブの樹という認識で名前も特定できていませんでしたが、調べたところ斑入りマートル（銀梅花）と判明。数年前にに白く小さな花が咲き、ブドウ色の実が成りました。今回、枯れ枝が目立つようになったこともあり、初めて強剪定しました。シマトネリコ、ヒイラギモクセイのように透かし剪定してみました。本当は夏にやらないといけないのですが、暖かくなる前に切っちゃいましたが大丈夫かな。土壌改良も必要かも。しばらく様子見ます。

野辺山高原から飯盛山

　家族と残雪期の飯盛山（めしもりやま）へ。日陰斜面はすべるのでまだチェンスパ、軽アイゼンあると便利。日向に出るとチェンスパ必要なし。けど、ぬかるんでいる所あるので注意。子供は文句言いながらも付き合ってくれました。山頂付近は開けていて気持ちがいい。富士山、南アルプス、八ケ岳が近く最高の景色でした。

アメリカ・イスラエルによるイラン攻撃

　2/28に突然の空爆。４年前のロシアによるウクライナ侵攻と同じく冬季オリンピック終了直後でした。2014年のソチオリンピック直後のクリミア侵攻もそうでしたが、この傾向何とかなりませんか？ イランの最高指導者ハメネイ師が自宅を空爆され亡くなられたそうです。トランプ大統領はハメネイ師のことを「歴史上で最も邪悪な人物の一人」と形容していました。

テニス：2025年度の活動報告

　毎年参加している地元のテニス大会、去年は念願の団体戦１部優勝。個人戦でもラッキーが重なりまさかのシングルスAベスト４、ダブルスシニアベスト４でした。今年も頑張ります！

ウッドデッキ塗装６

あっという間に3月。例年冬に行っていたウッドデッキ塗装、今年は少し丁寧にやりました。箒で掃除、水拭き、一部紙やすり掛け、養生テープ、水性ペンキ塗装。写真だと分かりづらいですが上から作業前、作業途中、作業後。

また来年2月にやる予定です。

理論物理学でのAI活用

理論物理学でのAI活用は「学習物理学」で推進されていますが、最近、散乱振幅の研究でも GPT-5.2 Pro が計算の道具として用いられ、新しい結果が報告されています。コンピュータ・サイエンス分野ではAIによる論文作成もあるようですが、高エネルギー理論の分野でも AI の活用はますます進みそうです。

関連サイト

https://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=15500

https://github.com/sgnoohc/arxiv-submission-analysis

高市総理の施政方針演説

 

挑戦しない国に未来はありません！

先の衆院選の結果を受け高市総理のやりたいことができる環境が整いました。リーダーがしっかり勉強して自分の言葉で国民に施政方針を伝えてくれるのはありがたい。

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15. ソリトン vol.7

前回に引き続き(2+1)次元ソリトンの議論を進める。今回がこの講義録の最後である。

物理モデル

　(3+1)次元の静的なソリトン解（スキルミオン）を記述するハミルトニアンは

\[  \H [ g ]  \, = \,  \al^2 \int d^3 x \, \Tr ( \d_i g^\dag \, \d_i g )    \tag{15.63} \]

であった。(2+1)次元の場合も同様に、静的ソリトンのハミルトニアンを

\[    \H [ \phi ] \, = \, \frac{1}{2} \int d^2 x \, \d_i \phi^a  \d_i \phi^a   \tag{15.102} \]

の形に仮定できる。スケール変換 $x^i  \rightarrow   x^{\prime i} =  R  x^i$ のもとで $\d_i \phi^a \rightarrow \frac{1}{R} \d_i \phi^a$, $d^2 x \rightarrow R^2 d^2 x$ と変換するので、(2+1)次元の場合ハミルトニアン $\H [ \phi ]$ はスケール不変であり、有限エネルギーのソリトン解 $( Q \ne 0 )$ をもつ。

　つぎに、不等式

\[    \int d^2 x \left(   \d_i \phi^a - \ep^{abc} \d_j \phi^b  \phi^c \ep_{ij}  \right)^2    \, \ge \, 0     \tag{15.103} \]

を考える。左辺の被積分関数を展開すると

\[\begin{eqnarray}    &&    \d_i \phi^a \d_i \phi^a    - 2 \ep^{abc} \d_i \phi^a \d_j \phi^b \phi^c \ep_{ij}    + \ep^{abc} \d_j \phi^b \phi^c \ep_{ij} \ep^{amn} \d_k \phi^m \phi^n \ep_{ik}    \nonumber \\    &=&    \d_i \phi^a \d_i \phi^a - 16 \pi J^0    + ( \del^{bm} \del^{cn} - \del^{bn} \del^{cm} ) \d_j \phi^b  \phi^c \d_k \phi^m \phi^n \del_{jk}    \nonumber \\    &=&    \d_i \phi^a \d_i \phi^a - 16 \pi J^0    + \d_j \phi^b \phi^c ( \d_j \phi^b \phi^c - \d_j \phi^c \phi^b )    \nonumber \\    &=&    2 \d_i \phi^a \d_i \phi^a - 16 \pi J^0    \tag{15.104} \end{eqnarray}\]

となる。ただし、$\ep^{abc}\ep^{amn} = \del^{bm} \del^{cn} - \del^{bn} \del^{cm}$ と $\ep_{ij} \ep_{ik} = \del_{jk}$ を用いた。これより、ハミルトニアン(15.102)は下限を持つことが分かる。

\[    \H [ \phi ] \, \ge \, 4 \pi Q [\phi ]     \tag{15.105} \]

この下限値はボゴモルニー境界 (Bogomolny bound) あるいは BPS (Bogomolny-Prasad-Sommerfield) 境界と呼ばれる。ボゴモルニー境界上では(15.103)の等式が成り立つ。すなわち、

\[    \d_i \phi^a - \ep^{abc} \d_j \phi^b  \phi^c \ep_{ij}    \, = \, 0     \tag{15.106} \]

となる。これはボゴモルニー方程式あるいは BPS 方程式と呼ばれる。成分表示するとボゴモルニー方程式は

\[\begin{eqnarray}    \d_x \phi^1 = \d_y \phi^2 \phi^3 - \d_y \phi^3 \phi^2 \, , &~~~~~&    \d_y \phi^1 = - \d_x \phi^2 \phi^3 + \d_x \phi^3 \phi^2  \nonumber \\    \d_x \phi^2 = \d_y \phi^3 \phi^1 - \d_y \phi^1 \phi^3 \, , &~~~~~&    \d_y \phi^2 = - \d_x \phi^3 \phi^1 + \d_x \phi^1 \phi^3  \tag{15.107} \\    \d_x \phi^3 = \d_y \phi^1 \phi^2 - \d_y \phi^2 \phi^1 \, , &~~~~~&    \d_y \phi^3 = - \d_x \phi^1 \phi^2 + \d_x \phi^2 \phi^1   \nonumber \end{eqnarray}\]

と書ける。これらはある複素関数 $W$ を

\[    W \, = \,  u (x, y) + i v ( x, y)     \, \equiv \, \frac{\phi^1}{1+ \phi^3} + i \frac{\phi^2}{1 + \phi^3}  \tag{15.108} \]

とおいたときのコーシー・リーマン方程式

\[    \d_x u = \d_y v \, , ~~~~~ \d_y u = - \d_x v    \tag{15.109} \]

と等価である。つまり、$z= x + i y$ とおくと複素関数 $W$ は正則関数 $W = W (z)$ であり、コーシー・リーマン方程式あるいはボゴモルニー方程式は $\d_\bz W = 0$ と表せる。$\H [ \phi ]$ のスケール不変性は静的なソリトン解が共形対称性をもつことを示唆する。これは、11.4節で議論したように、２次元球面 $S^2$ 上の任意の関数 $f( z, \bz)$ が $SL( 2 , {\bf C})$ 代数で実現される大域的共形対称性を保存することからも明らかである。上の結果は、ボゴモルニー境界において複素関数 $f (z, \bz)$ が正則性条件 $\d_\bz f(z, \bz ) = 0$ あるいは $ f(z, \bz ) \rightarrow f (z)$ を満たすことを示している。この正則関数 $f(z)$ はビラソロ代数で実現される２次元の局所的共形対称性を保存する。