File failed to load: https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.0/extensions/TeX/mathtools.js

2024-10-18

レベル3カッツ行列式の計算

2次元共形場理論で出てくるカッツ行列式の計算。2次元までは自明でどの教科書にも載っているのですが、3次元(正確にはレベル3)の場合は急に計算量が増えてややこしくなってしまいます。調べたけど出てこないので自分で計算することにしました。一般の場合の公式は既に証明されているのでレベル3の場合だけやって自分を納得させたいだけの話です。

 まず、レベル3カッツ行列式は
|M(3)|=|h|L31L31|hh|L31L1L2|hh|L31L3|hh|L2L1L31|hh|L2L1L1L2|hh|L2L1L3|hh|L3L31|hh|L3L1L2|hh|L3L3|h|
で与えられる。ここで、演算子 Ln (nZ) はビラソロ代数
[Lm,Ln]=(mn)Lm+n+c12(m3m)δm+n,0
に従う。c は中心電荷と呼ばれる定数である。状態 |h は最高ウェイト状態を表し条件式
L0|h=h|h,    Ln|h=0  (n1)
を満たす。以上から行列の各成分を計算すると以下の結果を得る。

M(3)11=h|L31L31|h=h|L21L1L31|h=6h|L21(L21+L21L0)|h=6(h+1)h|L21L21|h=24h(h+1)(2h+1)M(3)12=h|L31L1L2|h=h|[L31,L1]L2|h=6h|(L21+L0L21)L2|h=6(h+1)h|L21L2|h=18(h+1)h|L1L1|h=36h(h+1)M(3)13=h|L31L3|h=h|[L31,L3]|h=12h|L1L1|h=24hM(3)22=h|L2L1L1L2|h=h|L2[L1,L1L2]|h=(4+2h)h|L2L2|h+3h|L2L21|h=2(h+2)(4h+c2)+18hM(3)23=h|L2L1L3|h=h|L2[L1,L3]|h=4h|L2L2|h=4(4h+c2)M(3)33=h|L3L3|h=h|[L3,L3]|h=4h|L2L2|h=2(3h+c)
残りの成分は行列のエルミート性から自明。よって、行列式(1)は次のように変形できる。
|M(3)|=|24h(h+1)(2h+1)36h(h+1)24h36h(h+1)2(h+2)(4h+c2)+18h4(4h+c2)24h4(4h+c2)2(3h+c)|=96h (h+1)(2h+1)9h(h+1)6h3(h+1)(h+2)(4h+c2)+9h2(4h+c2)22(4h+c2)3h+c1=96h (h+1)(2h+1)9h(h+1)6h3h+1h(4h+c2+9)5h22(4h+c2)3h+c            1=96h (h+1)(2h+1)3h(3h+1)6h3h+1h(4h+c2+4)5h25h3h+c=96h2 (h+1)(2h+1)3(3h+1)6h3h+14h+c2+45h253h+c       5/2=96h2 (h+1)(2h+1)5h2+32h+126h3h+172h+c2+325h203h+c=96h2 |˜M(3)|
ここで、|˜M(3)| は次のように展開できる。
|˜M(3)|=(5h2+32h+12) 3h+15h23h+c  +(72h+c2+32) (h+1)(2h+1)6h23h+c=24h4+(11c71)h3+(c252c+51)h2+(32c2132c10)h+c22+c=(3h2+(c7)h+(c+2))(8h2+(c5)h+c2)
以上より、(1)は確かに N=3カッツ行列式を与えることが分かる。

0 件のコメント: