レベル３カッツ行列式の計算

2次元共形場理論で出てくるカッツ行列式の計算。2次元までは自明でどの教科書にも載っているのですが、3次元（正確にはレベル３）の場合は急に計算量が増えてややこしくなってしまいます。調べたけど出てこないので自分で計算することにしました。一般の場合の公式は既に証明されているのでレベル3の場合だけやって自分を納得させたいだけの話です。

　まず、レベル3カッツ行列式は

\[ |M^{(3)} | = \left|      \begin{array}{ccc}        \bra h| L^{3}_{1}  L^{3}_{-1} | h \ket & \bra h| L^{3}_{1} L_{-1} L_{-2}| h  \ket & \bra h| L^{3}_{1} L_{-3}| h  \ket  \\       \bra h| L_{2} L_{1} L^{3}_{-1}  | h \ket  & \bra h| L_{2}L_{1} L_{-1}L_{-2} | h \ket  & \bra h| L_{2}L_{1} L_{-3} | h \ket  \\     \bra h| L_{3} L^{3}_{-1}  | h \ket  & \bra h| L_{3} L_{-1}L_{-2} | h \ket  & \bra h| L_{3} L_{-3} | h \ket  \\      \end{array}  \right|  \tag{1} \]

で与えられる。ここで、演算子 $L_{n}$ $(n \in \mathbb{Z} )$ はビラソロ代数

\[    \left[ L_m , L_n \right] \, = \, ( m - n ) L_{m+n} +    \frac{c}{12} ( m^3 - m ) \del_{m+n, 0}    \tag{2} \]

に従う。$c$ は中心電荷と呼ばれる定数である。状態 $| h \ket$ は最高ウェイト状態を表し条件式

\[   L_0 | h \ket = h | h \ket \, , ~~~~    L_n | h \ket = 0  ~~ ( n \ge 1 )   \tag{3} \]

を満たす。以上から行列の各成分を計算すると以下の結果を得る。

\[\begin{eqnarray}  M_{11}^{(3)} &=&    \bra h| L^{3}_{1}  L^{3}_{-1} | h \ket = \bra h |L_{1}^{2} L_{1} L_{-1}^{3} | h \ket    \nonumber \\    &=& 6 \bra h | L_{1}^{2} \left( L_{-1}^{2} + L_{-1}^{2} L_{0} \right) | h \ket   = 6 (h+1) \bra h | L_{1}^{2} L_{-1}^{2} | h \ket \nonumber \\    &=&   24h (h + 1 ) (2 h + 1)    \tag{4} \\ M_{12}^{(3)} &=&   \bra h| L^{3}_{1} L_{-1} L_{-2}| h  \ket  = \bra h | [L_{1}^{3} , \,  L_{-1} ] L_{-2} | h \ket    \nonumber \\  &=& 6 \bra h | \left( L_{1}^{2} + L_0  L_{1}^{2} \right)  L_{-2} | h \ket   = 6 (h+1) \bra h | L_{1}^{2} L_{-2} | h \ket \nonumber \\    &=&   18 (h+1) \bra h | L_{1} L_{-1} | h \ket = 36h (h + 1 )    \tag{5} \\  M_{13}^{(3)} &=&   \bra h| L^{3}_{1}  L_{-3}| h  \ket  = \bra h | [L_{1}^{3} , \,  L_{-3} ] | h \ket    \nonumber \\  &=&  12 \bra h | L_{1} L_{-1} | h \ket = 24 h   \tag{6} \\   M_{22}^{(3)} &=&   \bra h| L_{2}L_{1} L_{-1}L_{-2} | h \ket  = \bra h | L_{2} [L_{1} , \,  L_{-1} L_{-2} ]  | h \ket    \nonumber \\  &=& (4 + 2h ) \bra h | L_{2}  L_{-2} | h \ket  + 3  \bra h | L_{2} L_{-1}^{2} | h \ket \nonumber \\    &=&  2(h+2) \left( 4h + \frac{c}{2} \right) + 18 h   \tag{7} \\  M_{23}^{(3)} &=&   \bra h| L_{2}L_{1} L_{-3} | h \ket  = \bra h | L_{2} [L_{1} , \,  L_{-3} ]  | h \ket    \nonumber \\  &=& 4 \bra h | L_{2}  L_{-2} | h \ket  =  4 \left( 4h + \frac{c}{2} \right)    \tag{8} \\  M_{33}^{(3)} &=&   \bra h| L_{3} L_{-3} | h \ket  = \bra h | [L_{3} , \,  L_{-3} ]  | h \ket    \nonumber \\  &=& 4 \bra h | L_{2}  L_{-2} | h \ket  =  2 ( 3h + c )    \tag{9} \\  \end{eqnarray}\]

残りの成分は行列のエルミート性から自明。よって、行列式(1)は次のように変形できる。

\[\begin{eqnarray} |M^{(3)} | &=&   \left| \begin{array}{ccc}     24h(h+1)(2h+1) & 36h (h+1)   & 24h  \\    36h (h+1)   &  2(h+2) \left( 4h + \frac{c}{2} \right) + 18 h & 4 \left( 4h + \frac{c}{2} \right)   \\ 24h& 4 \left( 4h + \frac{c}{2} \right)  & 2 ( 3h + c )   \\      \end{array}  \right| \nonumber \\ &=&  96h  ~  \begin{array}{|ccc|c}     (h+1)(2h+1) & 9h (h+1)   & 6h & \\    3 (h+1)   &  (h+2) \left( 4h + \frac{c}{2} \right) + 9 h & 2 \left( 4h + \frac{c}{2} \right)  &  \\ 2 & 2 \left( 4h + \frac{c}{2} \right)  &  3h + c  & \uparrow_{ -1}  \\      \end{array}  \nonumber \\  &=&  96h  ~  \begin{array}{|ccc|}     (h+1)(2h+1) & 9h (h+1)   & 6h  \\    3 h+1   &  h \left( 4h + \frac{c}{2} + 9 \right)  & 5h  \\ 2 & 2 \left( 4h + \frac{c}{2} \right)  &  3h + c    \end{array}  \nonumber \\ && ~~~~~~~~~~~~\hspace{4.8cm} \begin{array}{c} \longleftarrow \\ ^{-1} \\ \end{array} \nonumber \\  &=&  96h  ~  \begin{array}{|ccc|}     (h+1)(2h+1) & 3h (3h+1)   & 6h  \\    3 h+1   &  h \left( 4h + \frac{c}{2} + 4 \right)  & 5h  \\ 2 & 5h  &  3h + c    \end{array}  \nonumber \\ &=&  96h^2  ~   \begin{array}{|ccc|}     (h+1) (2h+1) & 3 (3h+1)   & 6h  \\    3 h+1   &   4h + \frac{c}{2} + 4   & 5h  \\ 2 & 5  &  3h + c    \end{array}  \nonumber \\ && ~~~~~~~\hspace{1.8cm} \begin{array}{c} \longrightarrow \\ ^{-5/2} \\ \end{array} \nonumber \\ &=&  96h^2  ~   \begin{array}{|ccc|}     (h+1) (2h+1) & -5h^2 + \frac{3}{2}h + \frac{1}{2}  & 6h  \\    3 h+1   &   -\frac{7}{2}h + \frac{c}{2} + \frac{3}{2}   & 5h  \\ 2 &  0  &  3h + c    \end{array}  \nonumber  \\ &=&  96h^2  ~ | \widetilde{M}^{(3)} |\tag{10} \end{eqnarray} \]

ここで、$| \widetilde{M}^{(3)} |$ は次のように展開できる。

\[ \begin{eqnarray} | \widetilde{M}^{(3)} | &=&  - \left(  -5h^2 + \frac{3}{2}h + \frac{1}{2} \right) ~ \begin{array}{|cc|} 3h+1 & 5h \\ 2 & 3h + c \\ \end{array} \nonumber \\ && ~~ + \left( -\frac{7}{2}h + \frac{c}{2} + \frac{3}{2}  \right) ~ \begin{array}{|cc|} (h + 1)(2h+1) & 6h \\ 2 & 3h + c \\ \end{array} \nonumber \\ &=& 24 h^4 + (11c - 71) h^3 + \left( c^2 - \frac{5}{2} c + 51 \right) h^2 + \left( \frac{3}{2} c^2 - \frac{13}{2} c - 10 \right) h+ \frac{c^2}{2} + c  \nonumber \\ &=& \left( 3h^2 + (c-7) h+ (c+2) \right) \left( 8h^2 + (c-5) h + \frac{c}{2} \right) \tag{11} \end{eqnarray} \]

以上より、(1)は確かに $N=3$ のカッツ行列式を与えることが分かる。