2次元共形場理論で出てくるカッツ行列式の計算。2次元までは自明でどの教科書にも載っているのですが、3次元(正確にはレベル3)の場合は急に計算量が増えてややこしくなってしまいます。調べたけど出てこないので自分で計算することにしました。一般の場合の公式は既に証明されているのでレベル3の場合だけやって自分を納得させたいだけの話です。
まず、レベル3カッツ行列式は
|M(3)|=|⟨h|L31L3−1|h⟩⟨h|L31L−1L−2|h⟩⟨h|L31L−3|h⟩⟨h|L2L1L3−1|h⟩⟨h|L2L1L−1L−2|h⟩⟨h|L2L1L−3|h⟩⟨h|L3L3−1|h⟩⟨h|L3L−1L−2|h⟩⟨h|L3L−3|h⟩|
で与えられる。ここで、演算子 Ln (n∈Z) はビラソロ代数
[Lm,Ln]=(m−n)Lm+n+c12(m3−m)δm+n,0
に従う。c は中心電荷と呼ばれる定数である。状態 |h⟩ は最高ウェイト状態を表し条件式
L0|h⟩=h|h⟩, Ln|h⟩=0 (n≥1)
を満たす。以上から行列の各成分を計算すると以下の結果を得る。
M(3)11=⟨h|L31L3−1|h⟩=⟨h|L21L1L3−1|h⟩=6⟨h|L21(L2−1+L2−1L0)|h⟩=6(h+1)⟨h|L21L2−1|h⟩=24h(h+1)(2h+1)M(3)12=⟨h|L31L−1L−2|h⟩=⟨h|[L31,L−1]L−2|h⟩=6⟨h|(L21+L0L21)L−2|h⟩=6(h+1)⟨h|L21L−2|h⟩=18(h+1)⟨h|L1L−1|h⟩=36h(h+1)M(3)13=⟨h|L31L−3|h⟩=⟨h|[L31,L−3]|h⟩=12⟨h|L1L−1|h⟩=24hM(3)22=⟨h|L2L1L−1L−2|h⟩=⟨h|L2[L1,L−1L−2]|h⟩=(4+2h)⟨h|L2L−2|h⟩+3⟨h|L2L2−1|h⟩=2(h+2)(4h+c2)+18hM(3)23=⟨h|L2L1L−3|h⟩=⟨h|L2[L1,L−3]|h⟩=4⟨h|L2L−2|h⟩=4(4h+c2)M(3)33=⟨h|L3L−3|h⟩=⟨h|[L3,L−3]|h⟩=4⟨h|L2L−2|h⟩=2(3h+c)
残りの成分は行列のエルミート性から自明。よって、行列式(1)は次のように変形できる。
|M(3)|=|24h(h+1)(2h+1)36h(h+1)24h36h(h+1)2(h+2)(4h+c2)+18h4(4h+c2)24h4(4h+c2)2(3h+c)|=96h (h+1)(2h+1)9h(h+1)6h3(h+1)(h+2)(4h+c2)+9h2(4h+c2)22(4h+c2)3h+c↑−1=96h (h+1)(2h+1)9h(h+1)6h3h+1h(4h+c2+9)5h22(4h+c2)3h+c ⟵−1=96h (h+1)(2h+1)3h(3h+1)6h3h+1h(4h+c2+4)5h25h3h+c=96h2 (h+1)(2h+1)3(3h+1)6h3h+14h+c2+45h253h+c ⟶−5/2=96h2 (h+1)(2h+1)−5h2+32h+126h3h+1−72h+c2+325h203h+c=96h2 |˜M(3)|
ここで、|˜M(3)| は次のように展開できる。
|˜M(3)|=−(−5h2+32h+12) 3h+15h23h+c +(−72h+c2+32) (h+1)(2h+1)6h23h+c=24h4+(11c−71)h3+(c2−52c+51)h2+(32c2−132c−10)h+c22+c=(3h2+(c−7)h+(c+2))(8h2+(c−5)h+c2)
以上より、(1)は確かに N=3 のカッツ行列式を与えることが分かる。
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