12. リー群の幾何学的側面 vol.3

前回のエントリーではリー群についてカルタン-キリング計量を導入し、計量を定義するフレーム場が満たすモーレー-カルタン恒等式を求めた。この恒等式とトーション・ゼロの条件式との類推から、リー群をリーマン多様体と解釈できることが分かった。リー群の幾何学を考察するにあたり重要となる量はフレーム場１形式である。今回も引き続きこの視点からリー群の幾何学的な側面について考える。具体的にはリー群のコセット空間（商空間）として表せる2次元球面 $S^2 = SU(2) / U(1)$ の計量を導出する。

コセット空間 S² = SU(2)/U(1) の計量

　ここで $SU(2)$ 群の場合に戻ると、$SU(2)$ 群の要素の一般形は

\[    g \, = \, \frac{1}{\sqrt{1 + z \bz }}    \left(    \begin{array}{cc}                  1 & z \\    - \bz & 1 \\    \end{array}  \right)     \left(    \begin{array}{cc}   e^{i \th /2} & 0 \\   0 & e^{-i \th /2} \\   \end{array}  \right)    \tag{12.40}\]

と表せる。ただし、$z = x + i y$ は複素変数である。実際、微小な $\th$, $|z|$ に対して、$g$ は恒等行列とパウリ行列 $\si_i$ で展開できる。

\[    g \, \approx \,  \left(  \begin{array}{cc}   1 + i \th /2  & x + i y \\   - x + iy & 1 - i \th /2 \\   \end{array}  \right)    \, = \,    {\bf 1} +  i \frac{\th}{2} \si_3  + i x \si_2  + i y \si_1   \tag{12.41} \]

つぎに、

\[ g (z, \th ) = v (z) h( \th ) \tag{12.42} \]

として変数分離を考える。

\[    v (z) = \frac{1}{\sqrt{1 + z \bz }}   \left(  \begin{array}{cc}    1 & z \\  - \bz & 1 \\    \end{array}   \right) , ~~~    h (\th ) =  \left(  \begin{array}{cc}      e^{i \th / 2} & 0 \\  0 & e^{-i \th / 2} \\   \end{array} \right)    \tag{12.43} \]

このとき、群の要素の規格化  $g^\dagger g = 1$ は $v^\dagger v = 1$ から簡単に確認できる。フレーム場１形式は

\[    g^{-1} d g \, = \, h^{-1} ( v^{-1} d v ) h +  h^{-1} d h    \tag{12.44} \]

と表せる。ただし、右辺の各項は次のように計算できる。

\[\begin{eqnarray}    v^{-1} d v &=&   \frac{1}{\sqrt{1 + z \bz }}  \left(            \begin{array}{cc}    1 & -z \\     \bz & 1 \\    \end{array}   \right)    \nonumber \\    && ~~~~~    \cdot  \left[   \frac{1}{\sqrt{1 + z \bz }}     \left(                \begin{array}{cc}   0 & d z \\    - d \bz & 0 \\    \end{array}  \right)   -              \left(  \begin{array}{cc}  1 & z \\  - \bz & 1 \\    \end{array}   \right)  \frac{\bz dz + z d \bz }{2(1 + z \bz )^{3/2}}    \right]    \nonumber \\    &=&    \frac{1}{1+ z \bz}  \left(  \begin{array}{cc}  z d \bz & d z \\   - d \bz & \bz d z \\            \end{array}  \right)  -  \frac{\bz dz + z d \bz }{2(1 + z \bz )}  {\bf 1}   \nonumber \\    &=&   \frac{1}{1+ z \bz}   \left(  \begin{array}{cc}                  (z d \bz - \bz dz )/2 & d z \\   - d \bz & - (z d \bz - \bz dz ) /2 \\                \end{array}  \right)   \nonumber \\    &=&    \frac{\si_1}{2}  \frac{d z -  d \bz }{1+ z\bz}  +  i \frac{\si_2}{2} \frac{ d z +  d \bz }{1+ z\bz}    +    \frac{\si_3}{2}  \frac{ z d \bz - \bz dz}{1+ z\bz}    \tag{12.45}\\    h^{-1} ( v^{-1} d v ) h    &=&    \left(  \begin{array}{cc}  ( z d \bz - \bz dz ) /2 & e^{-i \th} d z \\     - e^{i \th} d \bz & - ( z d \bz - \bz dz ) /2 \\   \end{array}    \right)     \frac{1}{1+ z \bz}    \nonumber \\    &=&    \frac{\si_1}{2} \frac{ e^{-i \th}  d z - e^{i \th} d \bz }{1+ z\bz}    +    i \frac{\si_2}{2} \frac{ e^{-i \th}  d z + e^{i \th} d \bz }{1+ z\bz}    +    \frac{\si_3}{2}  \frac{ z d \bz - \bz dz}{1+ z\bz}    \tag{12.46}\\    h^{-1} d h &=& \left(  \begin{array}{cc}    \frac{i}{2} d \th  & 0 \\   0 & - \frac{i}{2} d \th \\   \end{array}    \right) = \, i \frac{\si_3}{2} d \th     \tag{12.47} \end{eqnarray}\]

　式(12.45)-(12.47)を用いると、カルタン-キリング計量(12.44)は

\[\begin{eqnarray}    ds^2 &=& - 2 \Tr ( g^{-1} dg \, g^{-1} dg )    \nonumber \\    &=&    -2 \Tr \left[    (v^{-1} d v )^2 + 2 v^{-1} dv dh h^{-1} + ( h^{-1} dh)^2    \right]    \nonumber \\    &=&    - \left( \frac{ dz - d \bz }{1 + z \bz} \right)^2    + \left( \frac{ dz + d \bz }{1 + z \bz} \right)^2    - \left( \frac{ z d \bz - \bz d z }{1 + z \bz} \right)^2    \nonumber \\    && ~~    - i 2 \left( \frac{ z d \bz - \bz d z }{1 + z \bz} \right) d \th    + d \th^2    \nonumber \\    &=&    4 \frac{ dz d \bz}{(1+ z \bz )^2}    - \left( \frac{ z d \bz - \bz d z }{1 + z \bz} + i d \th \right)^2    \tag{12.48} \end{eqnarray}\]

と計算できる。上式の第1項は2次元球面 $S^2$ の計量に対応する。これはフビニ-スタディ計量と呼ばれる。実際、2次元球面のステレオ射影（立体射影）による座標

\[    x_1 = \frac{z + \bz }{1 + z\bz} \, , ~~~    x_2 = i \frac{z - \bz }{1 + z\bz} \, , ~~~    x_3 = \frac{1 - z \bz }{1 + z\bz}    \tag{12.49} \]

を用いると、これらは $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1$ を満たし、その計量は

\[ ds^2 \, = \, dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 \, = \, 4 \frac{ dz d \bz}{(1+ z \bz )^2}   \tag{12.50} \]

と計算できる。よって、カルタン-キリング計量(12.48)は計量レベルでコセット関係 $S^2 = SU(2)/U(1)$ を明示していることが分かった。この計量は $SU(2)$ 対称性の自発的破れの解析に有用である。この自発的対称性の破れは、物理において強磁性体とスピン波の動力学を記述する。第14章ではこのような現象についてより詳しく解説する。