9. アインシュタイン方程式の現代的な導出 vol.2

9.2 アインシュタイン方程式の現代的な導出

前節では点粒子の運動方程式を計量がローレンツ不変であることから導出できることを見た。今節では計量の運動方程式、すなわちアインシュタイン方程式を対称性に基づいて考える。以前触れたように、計量は物質の分布から動力学的に決定できる。アインシュタイン方程式を求めるにあたり、まず望まれる全ての対称性のもとで不変な作用を書き出すことから始めよう。リーマン多様体上でそのような作用は

\[    \S \, = \, - \int d^4 x \sqrt{- \det g} ~  \Bigl( \mbox{不変な項} \Bigr)    \tag{9.13}\]

と表せる。ここで、積分測度 $d^4 x \sqrt{- \det g}$ は座標変換のもとで不変である。ミンコフスキー空間上で座標変換のヤコビアンは $\sqrt{- \det g}$ の因子によって相殺される。ここでは詳細は省略するが、例えば、平坦な計量 $ds^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 -dz^2 = g_{\mu\nu} d x^\mu d x^\nu$ から球面の計量 $ds^2 = dt^2 -dr^2 - r^2 d\th^2 - r^2 \sin \th^2 d \varphi^2 = \tilde{g}_{\mu\nu} d \tilde{x}^\mu d \tilde{x}^\nu$ への座標変換を考えると、積分測度は $ d^4 x \sqrt{- \det g} = dt d x dy dz \rightarrow r^2 \sin \th \, dt dr d \th d \varphi =  d^4 \tilde{x} \sqrt{- \det \tilde{g}}$ と変換するので、$\int d^4 x \sqrt{- \det g}$ が不変量であることはすぐに確認できる。

　定数を除くと、(9.13)の不変な項はリーマン曲率テンソル ${\cal R}^{\la}_{\mu \nu \al} $ で表せると予測できる。これは8.3節で計算したように ${\cal R}^{\la}_{\mu \nu \al} $ がローレンツ共変であることから分かる。(8.44)で定義したようにリーマン曲率テンソルは

\[    {\cal R}^{\la}_{\mu \nu \al}    \, = \,    \d_{\mu} \Ga^{\la}_{\nu \al} -  \d_{\nu} \Ga^{\la}_{\mu \al}    + \Ga^{\la}_{\mu \bt}\Ga^{\bt}_{\nu \al}    - \Ga^{\la}_{\nu \bt}\Ga^{\bt}_{\mu \al}    \tag{9.14}\]

で定義される。ただし、クリストッフェル記号 $\Ga^{\la}_{\al\bt}$ は

\[    \Ga^{\la}_{\al\bt} \, = \,    \frac{1}{2} g^{\la\mu}    \left(    \d_\al g_{\mu \bt}    + \d_\bt g_{\mu \al}    -  \d_\mu g_{\al\bt}    \right)     \tag{9.15}\]

で与えられる。${\cal R}^{\la}_{\mu \nu \al}$ から不変量を求めるには、添え字の縮約を考えるのが便利である。つまり、${\cal R}^{\la}_{\mu \nu \al}  \rightarrow {\cal R}^{\la}_{\la \nu \al} \equiv  {\cal R}_{\nu \al}$ とおく。具体的に、${\cal R}_{\nu \al}$ は

\[    {\cal R}_{\nu \al} =    \d_{\la} \Ga^{\la}_{\nu \al} -  \d_{\nu} \Ga^{\la}_{\la \al}    + \Ga^{\la}_{\la \bt}\Ga^{\bt}_{\nu \al}    - \Ga^{\la}_{\nu \bt}\Ga^{\bt}_{\la \al}     \tag{9.16} \]

と表せる。${\cal R}_{\nu \al}$ はリッチ・テンソルと呼ばれる。$\Ga^{\la}_{\nu \al}$ は$\nu$, $\al$について対称であったので、$\d_\nu \Ga^{\la}_{\la \al}$ が$\nu$, $\al$について対称であれば、${\cal R}_{\nu \al}$ も$\nu$, $\al$について対称であることがすぐに分かる。この対称性は次のように確認できる。(9.15)から $\Ga_{\la \al}^{\la} = \hf g^{\la \mu} ( \d_\al g_{\mu \la} )$ である。よって、$\d_\nu \Ga^{\la}_{\la \al} = (\d_\nu g^{\la\mu} )( \d_\al g_{\mu\la} ) + g^{\la \mu} (\d_\nu \d_\la g_{\mu \la}) = - \Tr ( \d_\nu g \, g^{-1} \d_\al g \, g^{-1}) + g^{\la \mu} (\d_\nu \d_\la g_{\mu \la})$ と計算でき、これは $\d_\nu \Ga^{\la}_{\la \al}$ が$\nu$, $\al$について対称であることを明示している。

　ここで、計量テンソル $g_{\mu \nu}$ も添え字について対称なので、非自明なスカラー量

\[    {\cal R} \, = \, g^{\nu \al} {\cal R}_{\nu \al}     \tag{9.17}\]

を求めることができる。これはリッチ・スカラーあるいはスカラー曲率と呼ばれる。半径$r$の球面のスカラー曲率は$r^{-2}$に比例することが知られている。

　対称性の原理から、不変な作用(9.13)は形式的に

\[\begin{eqnarray}    \S &=& - \int d^4 x \sqrt{- \det g }    ~  \Bigl[ \mbox{(定数)} + c \, {\cal R} + \bigl(    {\cal R}^2 , \,  {\cal R}_{\nu\al}{\cal R}^{\nu\al} , \, {\cal R}^{\la}_{\mu\nu\al}{\cal R}^{\mu\nu\al}_{\la},    \, \cdots    \bigr)\Bigr]    \nonumber \\    &=&    - \int d^4 x \sqrt{- \det g }    \left[    \frac{1}{16\pi G} {\cal R} - \La    \right] \, + \, \cdots    \tag{9.18} \end{eqnarray}\]

と書ける。ただし、$c$ は比例係数である。ここでは、後の便宜上 $c$ を $\frac{1}{16\pi G}$ と固定した。$G$はニュートンの重力定数である。$\La$は宇宙定数と呼ばれる定数を表す。$G$は非相対論的な極限を考えると同定できる。この点については次回に後述する。上式2行目ではスカラー曲率 ${\cal R}$、リッチ・テンソル ${\cal R}_{\nu\al}$、リーマン曲率テンソル ${\cal R}^{\la}_{\mu\nu\al}$ に関する2次以上の項を省略した。

　つぎに、作用(9.18)の変分を考える。スカラー曲率 ${\cal R} = {\cal R}_{\al\bt} g^{\al\bt}$ の変分は

\[    \del {\cal R} \, = \, \del {\cal R}_{\al\bt}\, g^{\al\bt} \, + \, {\cal R}_{\al\bt} \del g^{\al\bt}        \tag{9.19} \]

で与えられる。また、$\sqrt{- \det g }$ の変分は次のように求まる。$M$を可逆な行列とすると、恒等式

\[    \log \det M \, = \, \Tr \log M     \tag{9.20} \]

から、関係式

\[    \del ( \log \det M )    \, = \,    \frac{\del ( \det M ) }{ \det M }    \, = \,    \Tr M^{-1} \del M \, = \, - \Tr M \del M^{-1}     \tag{9.21} \]

が分かる。よって、$\sqrt{- \det g }$の変分は

\[    \del \sqrt{- \det g }    \, = \,    - \frac{1}{2} \sqrt{- \det g } \, g_{\al\bt} \del g^{\al \bt}    \tag{9.22} \]

と計算できる。よって、曲率の2次以上の項を無視すると(9.18), (9.19), (9.22)から

\[\begin{eqnarray}    \del \S &=& - \int d^4 x \sqrt{- \det g}    \left[    - \frac{1}{2} g_{\al\bt} \left(    \frac{1}{16 \pi G} {\cal R} - \La    \right) + \frac{1}{16 \pi G} {\cal R}_{\al\bt}    \right] \del g^{\al\bt}    \nonumber \\    &&    - \int d^4 x \sqrt{- \det g} \,    \frac{1}{16 \pi G} \del {\cal R}_{\al\bt} g^{\al \bt}     \tag{9.23} \end{eqnarray}\]

と求まる。

9. アインシュタイン方程式の現代的な導出 vol.1

前節で解説したリーマン多様体は物理において非常に重要である。実際、次の仮説を立てることができる。

1. この世界はミンコフスキー符号$(+ ---)$を持ったリーマン多様体で記述できる。
2. 計量テンソル $g_{\mu\nu}$ は物質分布によって動力学的に決定される。

2番目の主張は $g_{\mu \nu}$ の運動方程式を導く。この方程式のことをアインシュタイン方程式と呼ぶ。この章の主要目標はリーマン幾何学と望ましい対称性を用いてアインシュタイン方程式を導出することである。

　これらの仮説は等価原理と深く関係している。等価性のレベルに応じて歴史的に以下２つの等価原理が存在する。

1. 慣性質量は重力質量と等しい。(弱い等価原理)
2. 重量との相互作用は通常の微分を共形微分で置き換えることで実現される。(強い等価原理

$m_I$を慣性質量、$m_{G}$を重力質量とすると、ニュートン力学 $m_{I} \frac{d^2 x}{dt} = - \frac{G M_{G} }{r^2} m_{G}$ の枠組みで、弱い等価原理 $m_{I} = m_{G}$ は、$\frac{d^2 x}{dt} = - \frac{GM_{G} }{r^2} $ となる。これは、任意の加速度系が重力場と等価であることを意味する。光あるいは質量ゼロの光子の軌跡を考えると、この等価性は重力の効果が曲がった空間で実現されることを示唆する。というのも、最小作用の原理から光の曲がりを説明するには、曲がった空間を考えるのが最も自然であるからである。よって、重力場は曲がった多様体、より特定すれば、曲率が物理的な役割を果たすリーマン多様体から創発される。この考えから、上述の最初の仮説「世界はリーマン多様体で記述される」が導かれる。この弱い等価原理は1ミリメートル以上のスケールにおいて検証されている。強い等価原理についても原理とはいえ完全ではない。これはスピンを持たない点粒子について成立する。しかし、スピンを持つ粒子については、以下で議論するように、強い等価原理は一般に適用できない。

9.1 点粒子の運動

この節ではラグランジアン形式で点粒子の運動方程式を求めて、対称性が如何に有用であるかを例証する。点粒子は最も簡単な物質分布である。8.2節で紹介した通り、平坦なミンコフスキー空間の計量は

\[    ds^2 \, = \, g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu \, = \, dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2    \tag{9.1} \]

で与えられる。定義よりこの量はローレンツ不変である。よって、相対論的に不変な作用として

\[    \S \, = \, -m \int ds    \, = \, -m \int \sqrt{g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu}    \tag{9.2} \]

を選ぶことができる。係数$-m$の意味は非相対論的な近似

\[\begin{eqnarray}    S &=& -m \int dt \sqrt{1 - v^2}    \nonumber \\    &\approx&  \int dt    \left( -m + \frac{mv^2}{2} \right)    \tag{9.3} \end{eqnarray}\]

を考えると理解できる。ここで、$v$は光速 $c=1$ の単位系での粒子の速度である($| v | \ll 1$)。作用(9.2)は計量 $g_{\mu\nu}$ にのみ依存する。これは作用に課されたローレンツ不変性に起因する。リーマン曲率テンソル ${\cal R}_{\mu \nu}^{ab}$ はローレンツ共変なので原理的には ${\cal R}_{\mu \nu}^{ab}$ からローレンツ不変な項を構成することができる。例えば、${\cal R}_{\mu \nu}^{ab}$ はスピンの情報を持つので、スピンを持つ粒子に対して ${\cal R}_{\mu\nu}^{ab} S_{\mu \nu}$ のような項を追加できる。ただし、$S_{\mu \nu}$ はローレンツ変換の生成子におけるスピンの寄与を表す。上で触れたようにこのような追加項が存在すると強い等価原理は適用できない。しかし、スピン・ゼロの粒子には強い等価原理は有効であり、作用(9.2)をもちいて点粒子を解析することができる。この作用は曲がった空間の固有距離 $ds$ の積分として解釈できる。その拡張として、曲がった空間の固有面積 $ds^2$ に渡る積分を考えることも興味深い。これは南部-後藤作用として知られており、弦理論の基礎付けを与える。

8. 曲がった多様体、計量、リーマン多様体 vol.3

前節までの結果を簡単にまとめると以下のようになる。

1. 一般共変性あるいは微分同相写像の要請から反対称化した微分を用いる必要がある。
2. 曲がった多様体に計量 $g_{\mu \nu} = e_\mu^a  e_\nu^a$ を導入する。フレーム場 $e_\mu^a$ の局所回転（ローレンツ）変換は $e_{\mu}^{\prime a} = R^{ab} e_{\mu}^{b}$ と表せる。$R^{ab}$ は直交行列。
3. フレーム場の微分の共変性から共変微分 $D_\mu e_\nu^a = \d_\mu e_\nu^a + \om_{\mu}^{ab} e_\nu^b $ が必要となる。スピン接続 $\om_{\mu}^{ab}$ の局所変換は $\om_{\mu}^{\prime ab} = ( R \om_\mu R^{-1} - \d_\mu R \, R^{-1} )^{ab}$ と表せる。$\om_{\mu}^{ab}$ は$(a, b)$について反対称。
4. 1.からトーション $( D_\mu e_\nu - D_\nu e_\mu )^a  = T_{\mu\nu}^{a}$ とリーマン曲率 $( D_\mu D_\nu \phi  -  D_\nu  D_\mu \phi )^a   = {\cal R}_{\mu \nu}^{ab} \phi^b$ を定義できる。$\phi^a$ はスカラー場。

8.3 リーマン多様体

前節の最後に触れたように、リーマン多様体は一般的な曲がった多様体にトーション・ゼロの条件

\[     T^{a}_{\mu \nu} \, = \, ( D_\mu e_\nu )^a - ( D_\nu e_\mu )^a   \, = \, 0    \tag{8.28} \]

を課すことで定義できる。今節ではこの条件がどのような結果を導くのかを考え、リーマン多様体の特徴を明らかにする。（ただし、超重力理論や弦理論などゼロでないトーションを含む理論も存在することに注意。）

　(8.28)から $( D_\mu e_\nu )^a$ は添え字$\mu$, $\nu$について対称であることはすぐに分かる。そこで、この量を $\Ga^{a}_{\mu\nu}$ とおく。フレーム場が可逆であることを用いると、$\Ga^{a}_{\mu\nu}$は $\Ga^{\la}_{\mu\nu} e^a_\la$ と表せる。すなわち、

\[    ( D_\mu e_\nu )^a \, = \,    \d_\mu e_\nu^a + \om_{\mu}^{ab} e^b_\nu    \, \equiv \,    \Ga^{\la}_{\mu\nu} e^a_\la   \tag{8.29} \]

とおける。ただし、$\Ga^{\la}_{\mu\nu}$ は$\mu$, $\nu$について対称である。これがどのように計量 $g_{\mu \nu} = e_\mu^a  e_\nu^a$ に影響するかを見てみよう。そこで、計量$g_{\al \bt}$の微分を計算すると

\[\begin{eqnarray}    \d_\mu g_{\al \bt}    &=& ( \d_\mu e^a_\al ) e^a_\bt + e^a_\al ( \d_\mu e^a_\bt )    \nonumber \\    &=&    ( \d_\mu e^a_\al + \om^{ab}_{\mu} e^b_\al ) e^a_\bt    + e^a_\al ( \d_\mu e^a_\bt + \om^{ab}_{\mu} e^b_\bt )    -   \underbrace{ \om^{ab}_{\mu} ( e^b_\al e^a_\bt + e^a_\al e^b_\bt)}_{=0}    \nonumber \\    &=&    \Ga^{\la}_{\mu \al}  e_\la^a  e_\bt^a +  \Ga^{\la}_{\mu \bt} e_\al^a  e_\la^a    \nonumber \\    &=&    \Ga^{\la}_{\mu \al} \, g_{\la \bt} +  \Ga^{\la}_{\mu \bt} \, g_{\al \la}    \tag{8.30} \end{eqnarray}\]

と表せる。ここで、$\om^{ab}_{\mu}$ が$a$, $b$について反対称であることを用いた。(8.30)において添え字の対称性を利用すると、関係式

\[    \d_\al g_{\mu \bt} + \d_\bt g_{\al \mu} - \d_\mu g_{\al\bt}    \, = \,    2  \Ga^{\la}_{\al\bt} \, g_{\mu \la}     \tag{8.31} \]

が求まる。つぎに、計量の逆テンソルを上付き添え字で表して、$g_{\al \bt} g^{\bt \la} = \del^{\la}_{\al}$ とおく。つまり、この表示法では $(g^{-1})^{\bt \la} = g^{\bt \la}$ となる。このとき、$\Ga^{\la}_{\al\bt}$ は計量を用いて

\[    \Ga^{\la}_{\al\bt} \, = \,    \frac{1}{2} g^{\la \mu} \left(    \d_\al g_{\mu \bt} + \d_\bt g_{\al \mu} - \d_\mu g_{\al\bt}    \right)    \tag{8.32} \]

と表せる。この $\Ga^{\la}_{\al\bt}$ はクリストッフェル記号 (Christoffel symbol) と呼ばれる。8.1節で考えたように(8-29)の局所座標変換を $\widetilde{D}_{\mu} \widetilde{e}_{\nu} = \widetilde{\Gamma}^{\la}_{\mu\nu} \widetilde{e}_{\la}$ と表す。ベクトル $A_\mu (x)$ の局所座標変換は

\[ \widetilde{A}_{\nu} (y) \, = \, A_\mu (x) \frac{\d x^\mu}{\d y^\nu} \tag{8.3} \]

で与えられた。また、この微分の局所座標変換は

\[ \frac{\d}{\d y^\al} \widetilde{A}_{\nu} (y) = \left[ \frac{\d}{\d x^\bt} A_\mu (x) \right] \frac{\d x^\bt}{\d y^\al} \frac{\d x^{\mu}}{\d y^\nu} + A_\mu (x) \frac{\d^2 x^\mu}{\d y^\al \d y^\nu} \tag{8.4} \]

となる。これらを用いると$\widetilde{D}_\mu \widetilde{e}_\nu $は

\[\begin{eqnarray}   \widetilde{D}_\mu \widetilde{e}_\nu &=&    \left( \frac{\d}{ \d y^\mu } + \om_\al (x) \frac{\d x^\al}{\d y^\mu} \right)    \left[ e_\bt (x)  \frac{\d x^\bt}{\d y^\nu} \right] \nonumber \\   &=& ( D_\al e_\bt ) \frac{\d x^\al}{\d y^\mu} \frac{\d x^\bt}{\d y^\nu} + e_\bt \frac{\d^2 x^\bt}{\d y^\mu \d y^\nu}   \nonumber \\   &=& \left( \Gamma_{\al \bt }^{\la}\frac{\d x^\al}{\d y^\mu} \frac{\d x^\bt}{\d y^\nu}    +  \frac{\d^2 x^\la }{\d y^\mu \d y^\nu} \right) e_\la    \tag{8.33} \end{eqnarray}\]

と計算できる。よって、$\Gamma^{\la}_{\mu\nu}$の局所座標変換は

\[   \widetilde{\Gamma}^{\la}_{\mu\nu} = \Gamma_{\al \bt }^{\si}    \frac{\d x^\al}{\d y^\mu} \frac{\d x^\bt}{\d y^\nu} \frac{\d y^\la}{\d x^\si}   +  \frac{\d^2 x^\la }{\d y^\mu \d y^\nu}  \frac{\d y^\la}{\d x^\si}    \tag{8.34} \]

と表せる。これはクリストッフェル記号がテンソルとして振る舞わないことを明示している。

　トーション・ゼロのもとでスピン接続 $\om_{\mu}^{ab}$ は $e^a_\mu$ と $\Ga^{\la}_{\mu\nu}$ で表せる。(8.29)から

\[    \d_\mu e_\nu^a (e^{-1} )^{b \nu} + \om_{\mu}^{ab} = \Gamma_{\mu \nu}^{\la} e_\la^a (e^{-1} )^{b \nu}     \tag{8.35} \]

が分かる。ただし、計量の逆テンソルに倣って $e_\nu^b$ の逆関数を $(e^{-1} )^{b \nu} $ と表示した。ここで、$\Gamma_{\mu \nu}^{\la} = (\Gamma_\mu )_\nu^\la$ を $(\Gamma_\mu )$ の行列要素と考える。同様に、$e_\la^a = (e^a )_\la $ を列ベクトル $(e^a )$ の要素、$(e^{-1} )^{b \nu} $ を行ベクトル$(e^{-1} )^{b}$ の要素と見做すと、スピン接続は

\[\begin{eqnarray}    \om_{\mu}^{ab} &=& e^a_\la \Ga^{\la}_{\mu\nu} (e^{-1})^{b \nu}    - \d_\mu e_\nu^a (e^{-1})^{b \nu} \nonumber \\    &=&    e^a \Ga_\mu (e^{-1})^b  -  \d_\mu e^a (e^{-1})^b    \tag{8.36} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、2行目では行列表示を用いた。上式は前回で導いた曲がった多様体の一般的な結果

\[    \om^\prime_\mu \, = \, R \om_\mu R^{-1} - \d_\mu R \, R^{-1}     \tag{8.20} \]

と類似していることに注意しよう。関係式(8.36)から、$T^{a}_{\mu\nu} = 0$ となるリーマン多様体上ではスピン接続は計量 $g_{\mu\nu} = e_\mu^a e_\nu^a$ で完全に決定できることが分かる。

　前回導いたリーマン曲率テンソル

\[ {\cal R}_{\mu \nu}^{ab}   =    \d_\mu \om_{\nu}^{ab} - \d_\nu \om_{\mu}^{ab}    + \om_{\mu}^{ac} \om_{\nu}^{cb} - \om_{\nu}^{ac} \om_{\mu}^{cb}     \tag{8.26} \]

についても同様に変形できる。行列表示では、これは

\[    {\cal R}_{\mu \nu} \, = \, \d_\mu \om_\nu - \d_\nu \om_\mu    + [ \om_\mu , \om_\nu ]    \tag{8.37} \]

と表せる。ここで、スピン接続を一般形

\[    \om_\mu \, = \, M \Om_\mu M^{-1} - \d_\mu M \, M^{-1}    \tag{8.38} \]

で表そう。ただし、$M$, $\Om_\mu$は任意の$n \times n$行列であり、$M^{-1}$は$M$の逆行列である。(8.38)を $\d_\mu \om_\nu - \d_\nu \om_\mu$ に代入すると

\[\begin{eqnarray}    \d_\mu \om_\nu - \d_\nu \om_\mu    &=&    M ( \d_\mu \Om_\nu - \d_\nu \Om_\mu ) M^{-1}    + [ \d_\mu M \, M^{-1} , M \Om_\nu M^{-1} ]    \nonumber \\    &&    +  [ M \Om_\mu M^{-1} , \d_\nu M \, M^{-1} ]    - [ \d_\mu M \, M^{-1} , \d_\nu M \, M^{-1} ]     \tag{8.39} \end{eqnarray}\]

と変形できる。ただし、$\d_\mu M^{-1} = - M^{-1} \d_\mu M \, M^{-1}$ を用いた。また、交換関係 $\left[ \om_{\mu} , \om_{\nu} \right]$ は

\[\begin{eqnarray}    \left[ \om_{\mu} , \om_{\nu} \right]    &=&    M [ \Om_\mu , \Om_\nu ] M^{-1}    - [ M \Om_\mu M^{-1} , \d_\nu M \, M^{-1} ]    \nonumber \\    &&    - [ \d_\mu M \, M^{-1} , M \Om_\nu M^{-1} ]    + [ \d_\mu M \, M^{-1} , \d_\nu M \, M^{-1} ]     \tag{8.40} \end{eqnarray}\]

と展開できる。よって、スピン接続(8.38)に対応するリーマン曲率テンソルは

\[    {\cal R}_{\mu \nu} \, = \, M \left( \d_\mu \Om_\nu - \d_\nu \Om_\mu    + [ \Om_\mu , \Om_\nu ] \right) M^{-1}     \tag{8.41} \]

と表せる。この関係式はその構成からリーマン多様体だけでなく一般の曲がった多様体で成り立つ。$(M, \Om_\mu )$ = $(R , \om_\mu )$ と選択すると、この関係式は以前に導出したリーマン曲率のローレンツ共変性

\[    {\cal R}^{\prime a d}_{\mu \nu} \, = \, R^{ab} \, {\cal R}^{bc}_{\mu \nu} \, ( R^{-1} )^{cd}       \tag{8.27} \]

を証明する。ただし、$R$は局所回転変換の直交行列を表す。

　式(8.36)と(8.38)を比較すると、リーマン多様体は $(M, \Om_\mu ) = ( e ,  \Ga_\mu )$ と選択することに対応する。よって、(8.41)の形から直接、リーマン多様体上のリーマン曲率を

\[    {\cal R}_{\mu \nu} = e \left(  \d_\mu \Ga_\nu - \d_\nu \Ga_\mu + [\Ga_\mu , \Ga_\nu ] \right) e^{-1}     \tag{8.42} \]

と行列表示できることが分かる。行列要素を明示的に書き出せば、その他のテンソル添え字も自動的に再現できる。すなわち、

\[\begin{eqnarray}    {\cal R}^{ab}_{\mu \nu} &=& e^a_\la \, {\cal R}_{\mu \nu \al}^{\la} \, (e^{-1})^{ b \al }       \tag{8.43}\\    {\cal R}^{\la}_{\mu \nu \al} &=&    \d_{\mu} \Ga^{\la}_{\nu \al} -  \d_{\nu} \Ga^{\la}_{\mu \al}    + \Ga^{\la}_{\mu \bt}\Ga^{\bt}_{\nu \al}    - \Ga^{\la}_{\nu \bt}\Ga^{\bt}_{\mu \al}       \tag{8.44} \end{eqnarray}\]

となる。以上の導出からスピン接続$\om_\mu$を(8.38)と行列でパラメータ表示することが非常に有効であることが分かる。つまり、ある量の行列表示が求まれば、行列要素を書き出すことで全てのテンソル添え字を機械的に再現することができる。通常、テンソル解析に重点を置いた一般相対性理論の学習では、テンソルの添え字を追うのが煩雑になる。しかし、ここで示したようにゲージ理論の枠組みでゲージ場（スピン接続）の行列表示を用いるとクリストッフェル記号やリーマン曲率テンソルの計算の見通しが良くなる。（計算途中で添え字を追う必要はなく、行列表示の最後に添え字を辻褄の合うよう追記するだけでよい！）

8. 曲がった多様体、計量、リーマン多様体 vol.2

8.2 計量

　$n$次元多様体の局所座標を $x^\mu$ ($\mu = 1,2, \cdots , n$) とする。このとき、計量 (metric) は

\[    ds^2 \, = \, g_{\mu\nu}(x) dx^\mu dx^\nu    \tag{8.6} \]

で定義される。ただし、$g_{\mu\nu}(x)$は計量テンソルである。3次元の平坦空間では計量は

\[\begin{eqnarray}    ds^2    &=& dx^2 + dy^2 + dz^2    \nonumber \\    &=&    dr^2 + r^2 d \th^2 + r^2 \sin^2 \th d \phi^2    \tag{8.7} \end{eqnarray}\]

と書ける。ここでは通常の球面座標 $(x^1 , x^2 , x^3 ) = ( r, \th , \phi )$ を用いた。球面座標に対して計量テンソルのゼロでない成分は $g_{11} = 1$, $g_{22} = r^2$, $g_{33} = r^2 \sin^2 \th$ で与えられる。

　つぎに、$y^\mu$を別の局所座標系とすると、(8.6)から $ds^2 = g_{\mu\nu}(x) dx^\mu dx^\nu = \tilde{g}_{\mu \nu} (y) dy^\mu dy^\nu$ が分かる。すなわち、

\[    \tilde{g}_{\mu \nu} (y) \, = \, g_{\al\bt}(x) \frac{\d x^\al}{\d y^\mu}    \frac{\d x^\bt}{\d y^\nu}  \tag{8.8} \]

である。したがって、計量テンソル$g_{\mu \nu}$は2階の対称テンソルである。

　$n$次元の場合、$g_{\mu \nu}$は非退化な$n \times n$対称行列で表せる。対称行列は常に直交行列で対角化可能で、固有値は$n$個の実数 $\la_i \in \mathbb{R}$ ($i = 1,2, \cdots , n$) で与えられる。非退化な行列とは行列式がゼロでないことを意味するので、これらの固有値は非特異 $\la_i \ne 0$ である。ただし、座標特異点が存在することには注意しよう。例えば、(8.7)の場合、座標特異点は $r=0$, $\th = 0, \pi$ に現れる。しかし、これは特定の座標にのみ生じるものであり、$g_{\mu\nu}$の非退化性は一般に成り立つ。したがって、固有値$\la_i$は正か負の値をとる。多くの場合、すべての固有値を正にそろえると便利である。しかし、特殊相対性理論では光の伝播はローレンツ変換のもとで不変なので関係式

\[    dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 \, = \,    d {t'}^{2} - d {x'}^{2} - d{y'}^{2} - d{z'}^{2}    \tag{8.9} \]

を要請する必要がある。ここで、ダッシュのついている変数はローレンツ変換後の変数を表す。この場合、時間成分が空間座標とは異なる符号をもつ。特殊相対性理論は現代の理論体系には欠かせないので、物理ではこれら固有値の符号は重要な意味をもつ。これらは計量の符号 (signature) としてラベルされ、例えば、$(++ \cdots +)$, $(-++ \cdots +)$ などと表示される。高エネルギー理論では慣習としてミンコフスキー符号 $(+-- \cdots -)$ が選ばれる。

　行列表現を用いると、計量テンソルの対角化は

\[    g \, = \, S^{T}  g_{\rm diag} S    \, = \, e^{T} e    \tag{8.10} \]

と表せる。ただし、$g_{\rm diag} = \diag ( \la_1 , \la_2 , \cdots , \la_n )$, $e = \diag ( \sqrt{\la_1 } , \sqrt{\la_2 } , \cdots , \sqrt{\la_n} ) S$ である。上述の通り、$S$は直交行列 $S^{T} = S^{-1}$ である。$S$と$g_{\rm diag}$は一般に$x$に依存するので、$e$も$x$の関数である。行列要素で表すと、(8.10)は

\[\begin{eqnarray}    g_{\mu \nu} & = & e^{a}_{\mu} e^{a}_{\nu}    ~ = ~ e^{a}_{\mu} \eta^{ab} e^{b}_{\nu}    \tag{8.11}\\    \eta^{ab} &=& (+ -- \cdots -)    \tag{8.12} \end{eqnarray}\]

と書ける。ここで、$a,b = 1,2, \cdots , n$ である。$e^a_\mu$はフレーム場と呼ばれる。$n=4$ の場合、フレーム場は4脚場 (vierbein) あるいはテトラッド (tetrad) とも呼ばれる。また、$\eta^{ab}$はミンコフスキー符号とした。これらを用いると、計量(8.6)は

\[\begin{eqnarray}    ds^2 & = & g_{\mu \nu} d x^\mu d x^\nu    \, = \, e_{\mu}^{a} e_{\nu}^{a} d x^\mu d x^\nu    \nonumber \\    &=& \xi^a \xi^a \, = \, \xi^a \xi^b \eta^{ab}    \tag{8.13} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、$\xi^a = e^{a}_{\mu} dx^{\mu}$ は局所直交座標系の無限小長さの基底である。

フレーム場、共変微分、スピン接続

　つぎに、フレーム場の局所変換

\[    e_\mu^a (x) \, \longrightarrow \, {e}_{\mu}^{\prime a} (x) \, = \, R^{ab} (x) e^b_\mu (x)    \tag{8.14} \]

を考える。これに伴い、計量テンソルは

\[    g_{\mu \nu} = e^a_\mu e^a_\nu \, \longrightarrow \,    g_{\mu \nu}^{\prime} = R^{ab} e^b_\mu R^{ac} e^c_\nu     \tag{8.15} \]

と変換する。どのようなフレーム場を選択するかは物理的な測定には影響しないので、$g_{\mu \nu} = g_{\mu \nu}^{\prime}$ を要請できる。つまり、

\[    ( R^T R )^{bc} \, = \, \del^{bc}    \tag{8.16} \]

が成り立つ。これは、$R^{ab} (x)$が直交行列であることを意味する。よって、(8.14)はフレーム場の局所回転変換と見做せる。$R^{ab} (x)$が直交行列であれば、フレーム場は物理的な測定に関与しない。言い換えると、物理現象はフレーム場の局所回転に依存しない。また、(8.12)のミンコフスキー符号$\eta$は対角化されているので

\[    R^T \eta R \, = \, \eta    \tag{8.17} \]

となり、局所回転変換のもとで不変である。よって、この局所回転が局所ローレンツ変換を定義すると解釈できる。

　物理モデルを構築するには、少なくとも2階の微分を定義する必要がある。そこで、まずフレーム場の微分とそのローレンツ変換を考えよう。(8.14)を用いると $\d_\mu {e'}^a_\nu = ( \d_\mu R^{ab} ) e_\nu^b + R^{ab} \d_\mu e_\nu^b$ が分かる。明らかにこの微分は共変性を持ち合わせない。この問題を回避するために微分

\[    D_\mu e_\nu^a = \d_\mu e_\nu^a + \om_{\mu}^{ab} e_\nu^b     \tag{8.18} \]

を導入する。ローマ字の添え字を省略すると、これは $D_\mu e_\nu =  \d_\mu e_\nu + \om_{\mu} e_\nu$ とも表せる。$\om_\mu$を行列、$e_\nu$をベクトルと解釈すると、省略した添え字はいつでも復元できる。同様に、$\d_\mu e^{\prime a}_{\nu}$ は $\d_\mu e_{\nu}^{\prime} = ( \d_\mu R ) e_\nu + R \d_\mu e_\nu$ と書ける。以下では、簡単のためこれらの表記法を随時用いる。

　つぎに、局所ローレンツ変換(8.14)のもとで(8.18)がどのように変換するか考える。これは

\[\begin{eqnarray}    D_\mu^\prime e_\nu^\prime    &=&    \d_\mu e_\nu^\prime + {\om'}_{\mu} e_{\nu}^{\prime}    \nonumber \\    &=&    ( \d_\mu R ) e_\nu + R \d_\mu e_\nu + \om_\mu^\prime R e_\nu    \nonumber \\    &=&    R  ( \d_\mu e_\nu + \om_\mu e_\nu )    ~ = ~ R ( D_\mu e_\nu )    \tag{8.19} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、$\om_\mu$の局所変換を

\[    \om^\prime_\mu \, = \, R \om_\mu R^{-1} - \d_\mu R \, R^{-1}     \tag{8.20} \]

と選んだ。ここで、$\d_\mu R \, R^{-1}$は反対称行列と見做せることに注意しよう。これは次のように確認できる。恒等式 $\d_\mu (R^{T} R) = 0$ から、関係式 ${R^{-1}}^T \d_\mu R^T + \d_\mu R \, R^{-1}  = 0$ が分かるので、行列要素を書き出すと $(R^{-1} \d_\mu R)^{ba} + (\d_\mu R \, R^{-1})^{ab} = 0$ となり、$(\d_\mu R \, R^{-1})^{T} = - \d_\mu R \, R^{-1}$ と求まる。よって、変換(8.20)を正しく定義するには、$\om_{\mu}^{ab}$が添え字 $a$, $b$ について反対称であることを要請すればよい。そのような$\om_{\mu}^{ab}$はスピン接続と呼ばれる。スピン接続を用いると、微分(8.18)は(8.19)に示したように共変性をもつ。この微分$D_\mu$を共変微分と呼ぶ。これらの結果は素粒子物理学におけるゲージ理論の標準的な手法に沿って導出された。

微分同相写像、トーション、リーマン曲率

　以上の考察からフレーム場に作用する微分として共変微分のみを用いるべきであることが強く示唆される。さらに、前節(8.5)で議論したように、微分同相写像（あるいは一般共変性）の要請からフレーム場の微分を反対称化させる必要がある。ただし、このとき(8.3)に対応するフレーム場の座標変換は

\[    e^a_\mu (x) \, \longrightarrow \, e^{\prime a}_{\mu} ( x^\prime )    \, = \, e^{a}_{\nu} ( x ) \frac{\d x^{\nu} }{\d x^{\prime \mu} }     \tag{8.21} \]

で与えられる。以上より、反対称化された共変微分

\[    T^{a}_{\mu \nu} \, = \, ( D_\mu e_\nu )^a - ( D_\nu e_\mu )^a    \tag{8.22} \]

を定義するのが自然である。実際に$T^{a}_{\mu \nu}$は局所ローレンツ変換(8.14)と座標変換(8.21)のもとで斉次に変換することが分かる。

\[    ( D^\prime_\mu e^\prime_\nu - D^\prime_\nu e^\prime_\mu )^a    \, = \,    R^{ab}  ( D_\al e_\bt - D_\bt e_\al )^b    \frac{\d x^\al}{\d x^{\prime \mu} } \frac{\d x^\bt}{\d x^{\prime \nu} }     \tag{8.23} \]

(8.22)で定義した反対称2階テンソル$T^{a}_{\mu \nu}$は捩率テンソル (torsion tensor) あるいは単にトーションと呼ばれる。

とても良かった初めての川越

　都内からは一般道では遠すぎるし、高速に乗っちゃえば近すぎるという理由から未だに行ってなかった川越に4/7日曜日に行ってきました。子供たちは友達と遊ぶ予定があるので自由にしていいとのこと。川越水上公園のテニスに午後から参加することにして、午前中は川越氷川神社へ。大泉から関越乗ってしまえばスグでした。

氷川神社の裏の川沿いの駐車場に止めました。桜の季節で素晴らしい景色でした。駐車場はハイシーズン料金で30分200円。

8. 曲がった多様体、計量、リーマン多様体 vol.1

前回までの前半部では量子論における代数的な手法について議論したが今回からの後半部では物理学における幾何学的な手法について解説する。幾何学的な手法が重要となる代表例はアインシュタインの相対性理論である。この章ではその準備としてリーマン多様体について解説する。

8.1 曲がった多様体

まず、$n$次元の曲がった多様体$\M$を考える。大域的に$\M$は$n$次元トポロジカル空間と見做すことができる。一方、局所的には$\M$は$n$次元の平坦な空間 $\mathbb{R}^n$ に近似できる。このような平坦空間の近傍では実数でパラメータ表示される$n$個の局所座標を定義できる。多様体においてそのような近傍はパッチとも呼ばれ無数に存在する。２つの異なるパッチの重複部分では対応する２つの局所座標系を関係付ける推移関数 (transition function) が存在する。この関数は2つのパッチ間の一対一可逆写像を与える。これはまた連続関数でもある。連続関数とは無限に微分可能な関数、つまり $C^\infty$ 関数である。したがって、局所的な描像では曲がった多様体は微分可能な多様体とみなせる。これを簡単にスケッチすると以下のようになる。

　曲がった空間上の一般的な関数$f(x )$は多様体$\M$の近傍の局所座標 $x \in \mathbb{R}^n$ から実数 $\mathbb{R}$ への写像で定義される。

\[ f(x ) : \, \left\{ \mbox{多様体$\M$の近傍の局所座標 $x \in \mathbb{R}^n$} \right\} \, \longrightarrow \mathbb{R} \tag{8.1}\]

同様に、ベクトルを初めとする高階テンソルも構成できる。座標基底を $d x^\mu$ ($\mu = 1,2, \cdots , n$) で表すと、ベクトルは

\[ A = \sum_{\mu} A_{\mu} (x) d x^\mu \tag{8.2} \]

と定義できる。ただし、$A_\mu (x)$はベクトル成分を表す。数学では$A$を共変1形式と呼ぶ。これは局所基底の選び方に依らないはずなので、関係式 $\sum_{\mu} A_{\mu} (x) d x^\mu = \sum_{\nu} \widetilde{A}_{\nu} (y) d y^\nu$ を要請できる。つまり、

\[ \widetilde{A}_{\nu} (y) \, = \, A_\mu (x) \frac{\d x^\mu}{\d y^\nu} \tag{8.3} \]

が成り立つ。ただし、添え字の和については縮約表記した。

　つぎに、$A_\mu (x)$の$x$微分を考える。関数$f(x)$については問題なく微分$\frac{\d f}{\d x^\mu}$を定義できる。しかし、ベクトルの場合、微分$\frac{\d A_\mu}{\d x^\nu}$は不変な意味を成さない。これは微分を

\[ \frac{\d}{\d y^\al} \widetilde{A}_{\nu} (y) = \left[ \frac{\d}{\d x^\bt} A_\mu (x) \right] \frac{\d x^\bt}{\d y^\al} \frac{\d x^{\mu}}{\d y^\nu} + A_\mu (x) \frac{\d^2 x^\mu}{\d y^\al \d y^\nu} \tag{8.4} \]

と書けば簡単に分かる。第2項を残すとこの微分を2階テンソルとして定義することが困難になる。そこで、$\d y^\al$と$\d y^\nu$を反対称にとって第2項を除くと

\[\begin{eqnarray} \frac{\d}{\d y^\al} \widetilde{A}_\nu - \frac{\d}{\d y^\nu} \widetilde{A}_\al &=& \frac{\d}{\d x^\bt} A_\mu \left( \frac{\d x^\bt}{\d y^\al} \frac{\d x^\mu}{\d y^\nu} - \frac{\d x^\bt}{\d y^\nu} \frac{\d x^\mu}{\d y^\al} \right) \nonumber \\ &=& \left[ \frac{\d}{\d x^\bt} A_\mu - \frac{\d}{\d x^\mu} A_\bt \right] \frac{\d x^\bt}{\d y^\al}\frac{\d x^\mu}{\d y^\nu} \tag{8.5} \end{eqnarray}\]

と表せる。これは左辺の反対称化された微分が斉次に変換することを意味する。よって、重要な物理量を記述するのに必須となるベクトルやテンソルを正しく定義するには、常に反対称化された微分を扱う必要がある。つまり、反対称化された共変テンソルと反対称化された微分を用いる必要がある。数学ではこれらは微分形式、外微分のことを指す。

　物理的な視点でみると、この反対称化のルールは一般共変性原理の自然な要請である。一般共変性とは、座標変換のもとでの不変性あるいは微分同相写像 (diffeomorphism) のことである。次章で議論するように、これは弱い等価原理に関係している。

最近読んだ本：書いてはいけない

電子書籍で一気に読みました。森永卓郎著『書いてはいけない』

言論人として文字通り命を懸けた勇気のある告発です。ジャニーズ、財務省の話は何となくそうだろうなと思っていましたが、日航123便の話については知らないことも書かれていて驚きました。JALが持っているというフライトレコーダーを公開すれば良いだけなので、何とかして公開してもらいたいものです。誰かが裁判にかけるしかないのかな。それともメディアが健全なジャーナリズムを取り戻して世論の力で何とかしてくれないか。私ができることはブログで取り上げるくらいです。興味ある方は著者本人が動画で宣伝してくれているのでご覧になってはいかがでしょうか。

Mathematical Review 122: チャーン-サイモン理論と量子群

前回までヘビーなレビューが続いたので背景知識を理解するのに数日掛かりましたが、今回は比較的軽かったので簡単に済ませました。（レビューはこちら。）Chern-Simons理論のウィルソン線演算子の結合法則を量子群に出てくる co-product (余積) で表現できるという話でした。量子群については昔にこちら

で勉強しましたが、結局使わずじまいだったような。量子群とはいえ量子論とは特に関係ない形で$\hbar$が入ってくるので注意が必要です。量子群は組紐群とも関連しており興味深いのですが、個人的にはWZW模型からKZ方程式に進み組紐群との関係を議論するという流れが好きです。

7. ボソン化とカッツ-ムーディ代数 vol.5

7.3 ヴェス-ズミノ-ウィッテン作用

この節では非アーベル型ボソン化を議論した前節の最後に触れたヴェス-ズミノ-ウィッテン(WZW)作用について紹介し、その運動方程式を導く。WZW作用は

\[\begin{eqnarray} S &=& \frac{k}{8 \pi} \int d^2 x \, \Tr \left( \d_\mu g \, \d_\mu g^{-1}  \right)   + \Ga_{WZ} \tag{7.97} \\ \Ga_{WZ} &=&  \frac{k}{4\pi} \int_{0}^{1} d \la \int d^2 x \, \Tr \left( g^{-1} \d_\la  g \, g^{-1} \d_\mu g \, g^{-1} \d_\nu  g \right) \ep^{\mu \nu} \tag{7.98} \end{eqnarray}\]

で定義される。ただし、ここではミンコフスキー計量を用いる ($\mu, \nu = 0, 1$)。前節と同様に、$g = g(x)$は$SU(N)$群の要素を表し、$k \in \mathbb{N}$はレベル数である。第2項$\Ga_{WZ}$はヴェス-ズミノ(WZ)項と呼ばれる。WZ項において $g = g(x)$ は別の変数 $\la \in [0 ,1]$ にも依存する。つまり、$g= g(x, \la)$ であり、$g (x, \la )$は境界条件

\[ g( x , 0 ) = 1 \, , ~~ g ( x , 1 ) = g (x) = e^{i T^\al \phi^\al (x) } \tag{7.99} \]

を満たす。変数$\la$はコンパクトな(2+1)次元時空間の3つ目の座標と解釈することもできる。つまり、$\la = x^2$とおき、$( x , \la ) \rightarrow (x^0 , x^1 , x^2)$ と変換する。ただし、$0 \le x^2 \le 1$ を課す。本来の(1+1)次元時空間はステレオ投影の手法を用いると3次元球面に対応させることができる。条件(7.99)より、無限遠$| \vec{x} | \rightarrow \infty$ で $g = 1$ となることが保証される。$g ( x, \la )$は $S^3$ から $G= SU(N)$ への写像を与える。つまり、$g ( x, \la ): S^3 \rightarrow G$ となる。このとき、$\Ga_{WZ}$は

\[\begin{eqnarray} \Ga_{WZ} &=& \frac{k}{12 \pi} \int_{S^3}  d^3 x \, \Tr \left( g^{-1} \d_\la  g \, g^{-1} \d_\mu  g \, g^{-1} \d_\nu  g \right) \ep^{\mu \nu \la}   \nonumber \\   &=& - 2 \pi k Q [g]    \tag{7.100} \\    Q [g]  &=& - \frac{1}{24 \pi^2 } \int_{S^3}  d^3 x \,    \Tr \left( g^{-1} \d_\la g \, g^{-1} \d_\mu  g \, g^{-1} \d_\nu  g \right) \ep^{\mu \nu \la} \tag{7.101} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、添え字は(2+1)次元座標を表す ($ \mu , \nu , \la  = 0,1,2$)。$Q [g]$の積分値は整数をとる。この値は写像 $g: S^3 \rightarrow G$ の巻き数 (winding number) として知られている。（この巻き数については第15章で詳しく解説する。）よって、$k \in \mathbb{N}$を考慮すると$\Ga_{WZ}$は$2 \pi$の整数倍で与えられることが分かる。理論は重み$\exp ( - i S )$を用いて汎関数積分を構成することで定義できるので、WZW模型は本来の(1+1)次元空間上で問題なく定義される。つまり、境界条件(7.97)が満たされている限り、WZW作用$S$は$g(x, \la)$における$\la$の内挿の仕方に依存しない。

　運動方程式を求めるためにまず$g (x)$の変分を考えよう。関係式 $g + \del g = e^{i T^\al ( \phi^\al + \del \phi^\al )}$ から

\[ \del g = g \xi \, , ~~~~ \del g^{-1} = - \xi g^{-1} \tag{7.102} \]

を得る。ただし、$\xi $ は 

\[   \xi = i T^\al \del \phi^\al = g^{-1} \del g \tag{7.103} \]

で定義される。作用(7.97)第１項の変分は

\[\begin{eqnarray} \del S^{(1)} &=& \frac{k}{8\pi} \int d^2 x \, \Tr \, \left[ \d_\mu ( g \xi  ) \d_\mu  g^{-1} - \d_\mu g \d_\mu (\xi g^{-1} ) \right] \nonumber \\ &=& \frac{k}{8\pi} \int d^2 x \, \Tr \, (\d_\mu \xi) \left[ g \d_\mu  g^{-1} - \d_\mu g \,  g^{-1} \right] \nonumber \\ &=& \frac{k}{4 \pi} \int d^2 x \, \Tr \,  \xi \d_\mu (\d_\mu g \, g^{-1} ) \nonumber \\ &=& \frac{k}{4 \pi} \int d^2 x \, \Tr \,  \xi \left[ \d_0 ( \d_0 g \, g^{-1} ) - \d_1 ( \d_1 g \, g^{-1} )\right] \tag{7.104} \end{eqnarray}\]

と表せる。また、WZ項の変分は

\[\begin{eqnarray} \del \Ga_{WZ} & = &   \frac{k}{4\pi} \int_{0}^{1} d \la \int d^2 x \,    \Tr \, \d_\la \left( \xi   \, g^{-1} \d_\mu g \, g^{-1} \d_\nu  g    \right) \ep^{\mu \nu}    \nonumber \\    &=& \frac{k}{4 \pi} \int d^2 x \, \Tr \, \xi \left( g^{-1} \d_0  g  \, g^{-1}\d_1 g -  g^{-1}  \d_1 g \, g^{-1}  \d_0 g \right)    \nonumber \\   &=& \frac{k}{4 \pi} \int d^2 x \, \Tr \,  \xi \left[ \d_0 ( \d_1 g \, g^{-1} ) - \d_1 ( \d_0 g \, g^{-1} )\right] \tag{7.105} \end{eqnarray}\]

7. ボソン化とカッツ-ムーディ代数 vol.4

7.2 非アーベル型ボソン化

 

前節では、(1+1)次元フェルミ粒子系のアーベル型のボソン化を議論した。この節では、この議論をアーベル型の場合に拡張する。具体的には非アーベル型のカレントが成すカッツ-ムーディ代数を導出する。そのために、$N$個の自由フェルミ粒子を導入する。このとき、2成分のディラック・スピノール$\psi$は

\[ \psi = \left( \begin{array}{c} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \end{array} \right) \, \rightarrow \, \left( \begin{array}{c} \psi_1^a \\ \psi_2^a \\ \end{array} \right) ~~~~ ( a = 1,2, \cdots , N ) \tag{7.77} \]

と表せる。前節の $J_{-} = \psi_1^\dag \psi_1$ に対応するカレントは $J_{-}^{ab} \sim {\psi_1^\dag}^a \cdot \psi_1^b$ と書ける。これらは$N^2$個のエルミート演算子と見做すことができる。ここで、$SU(N)$対称性を導入し、$N^2$個のカレントを次のように分類する。

\[   \left\{ \begin{array}{ll} {\psi_1^\dag}^{a} \, \psi_1^a & \mbox{トレース成分のカレント}  \\ {\psi_1^\dag}^{a} ( T^\al )_{ab} \psi_1^b & \mbox{$SU(N)$カレント} \\ \end{array}   \right. \tag{7.78} \]

ただし、$T^\al$ ($\al = 1,2, \cdots , N^2 -1 $) は$SU(N)$群の生成子であり、トレース・ゼロの$N \times N$エルミート行列で表現される。$SU(N)$代数は

\[ [ T^\al , \, T^\bt ] = i f^{\al \bt \ga} T^\ga \tag{7.79} \]

で与えられる。いつも通り、$T^\al$の規格化を

\[ \Tr ( T^\al T^\bt ) = \hf \del^{\al\bt} \tag{7.80} \]

とする。アーベル型の場合、カレント$J_{-} (x) $を

\[ J_{-} (x) \, = \,  \psi_1^\dag (x + \ep ) \, \psi_1 ( x - \ep ) \tag{7.24} \]

と定義した。ただし、$x = ( x^0 ,  x^1 )$, $x \pm \ep = (x^0 , x^1 \pm \ep )$であり、計算の最後に $\ep \rightarrow 0$ の極限を取った。これとの類推から、非アーベル型のカレントを

\[ J_{-}^{\al} (x) \, = \, \psi_1^\dag ( x + \ep ) \, T^\al \, \psi_1 ( x - \ep ) \tag{7.81} \]

と定義できる。

　これより、$J_{-}^{\al} (x)$の同時刻交換関係は

\[\begin{eqnarray} &&[ J_{-}^{\al} (x^0 , x^1 ) , \, J_{-}^{\bt} (x^0 , y^1 ) ] \nonumber \\ &=& \left[ \psi_1^\dag ( x + \ep ) T^\al \psi_1 ( x - \ep ), \, \psi_1^\dag ( y + \ep ) T^\bt \psi_1 ( y - \ep ) \right] \nonumber \\ &=& {\psi_1^\dag}^a (x + \ep ) ( T^\al )_{ab} \left\{ \psi_1^b ( x - \ep ) , \, {\psi_1^\dag}^c (y + \ep ) \right\} ( T^\bt )_{cd} \, \psi_1^d ( y - \ep ) \nonumber \\ && ~~ - {\psi_1^\dag}^a (y + \ep ) ( T^\bt )_{ab} \left\{ \psi_1^b ( y - \ep ) , \, {\psi_1^\dag}^c (x + \ep ) \right\} ( T^\al )_{cd} \, \psi_1^d ( x - \ep ) \nonumber \\ &=& \psi_1^\dag ( x + \ep ) T^\al T^\bt \psi_1 ( y - \ep ) \del ( x - y - 2 \ep ) \nonumber \\ && ~~~~ - \psi_1^\dag ( y + \ep ) T^\bt T^\al \psi_1 ( x - \ep ) \del ( x - y + 2 \ep ) \tag{7.82} \end{eqnarray}\]

と計算できる。ただし、スピノールの同時刻反交換関係

\[ \left\{ \psi_1^a ( x^0 , x^1 ) , \, {\psi_1^\dag}^b ( x^0 , y^1 ) \right\} = \del^{ab} \del ( x^1 - y^1 ) \tag{7.83}\]

を用いた。(7.82)は前節のアーベル型の関係式

\[\begin{eqnarray} [ J_{-} (x) , \, J_{-} (x) ] &=& \left[ \psi_1^\dag (x + \ep ) \psi_1 (x - \ep ) , \, \psi_1^\dag (y + \ep ) \psi_1 (y - \ep ) \right] \nonumber \\ &=& \psi_1^\dag (x + \ep ) \psi_1 ( y - \ep ) \del (x- y- 2\ep ) \nonumber \\ && ~~~~ - \psi_1^\dag ( y + \ep ) \psi_1 ( x- \ep ) \del (x- y + 2\ep ) \tag{7.25} \end{eqnarray}\]

の非アーベル型の拡張になっており、以前と同様に

\[ [ J_{-}^{\al} (x ) , \, J_{-}^{\bt} (y ) ] = if^{\al \bt \ga} J_{-}^{\ga} (x ) \del ( x - y ) - \frac{i}{2 \pi} \del^{\al \bt} \frac{\d}{\d x} \del ( x - y ) \tag{7.84} \]

と変形できる。ただし、$SU(N)$群の生成子$T^\al$についての関係式(7.79), (7.80)を用いた。また、アーベル型の場合と同様に ${\psi_1^\dag}^a ( x + \ep ) \psi_1^b ( y - \ep )$ と ${\psi_1^\dag}^a ( y + \ep ) \psi_1^b ( x - \ep )$ の $x^1 \rightarrow y^1$ での評価は

\[\begin{eqnarray} {\psi_1^\dag}^a ( x + \ep ) \psi_1^b ( y - \ep )  & \longrightarrow &  \frac{i}{2\pi} \frac{1}{2 \ep} \del^{ab} ~~~~ ( x^1 \rightarrow y^1 ) \tag{7.85}\\ {\psi_1^\dag}^a ( y + \ep ) \psi_1^b ( x - \ep ) & \longrightarrow & \frac{i}{2\pi} \frac{1}{2 \ep} \del^{ab} ~~~~ ( x^1 \rightarrow y^1 ) \tag{7.86}  \end{eqnarray}\]

で与えられることを用いた。交換関係(7.84)は非アーベル型のカッツ-ムーディ代数に対応する。この代数はカレント代数としても知られている。(7.84)の座標成分を明示的に書くと

\[ [ J_{-}^{\al} (x^0 , x^1 ) , \, J_{-}^{\bt} (x^0 , y^1 ) ] = if^{\al \bt \ga} J_{-}^{\ga} (x^0 , x^1 ) \del ( x^1 - y^1 ) - \frac{i}{2 \pi} \del^{\al \bt} \frac{\d}{\d x^1} \del ( x^1 - y^1 ) \tag{7.87} \]

となる。もう一方のフェルミオン・カレント $J_+^\al (x) = \psi_2^\dag ( x + \ep ) T^\al \psi_2 (x - \ep )$ の代数も同様に計算でき

\[ [ J_{+}^{\al} (x^0 , x^1 ) , \, J_{+}^{\bt} (x^0 , y^1 ) ] = if^{\al \bt \ga} J_{+}^{\ga} (x^0 , x^1 ) \del ( x^1 - y^1 ) + \frac{i}{2 \pi} \del^{\al \bt} \frac{\d}{\d x^1} \del ( x^1 - y^1 ) \tag{7.88} \]

と求まる。

　ここで、カレント$J_-^\al (x)$を用いて新しいカレント$J_n^\al$を

\[ J_n^\al = J_n^\al ( x^0 ) = \int_{0}^{2 \pi R} \!\! e^{in \frac{x^1}{R}} J_-^\al (x^0 , x^1 )  dx^1 \tag{7.89} \]

とパラメータ表示しよう。ただし、$n$は整数である。この$J_n^\al ( x^0 )$を用いると、カレント代数の異なる表現を求めることができる。つまり、$J_-^\al (x)$の代数(7.87)に $\exp \left( in \frac{x^1}{R} \right) \exp \left( i m \frac{y^1}{R} \right)$ を掛けて、半径$R$の円周に沿って$x^1$と$y^1$の積分を取ると

\[\begin{eqnarray} [ J_n^\al , \, J_m^\bt ] &=& i f^{\al\bt\ga} \int_{x^1} \int_{y^1} e^{i  n \frac{x^1}{R} + i m \frac{y^1}{R}  } J^\ga (x) \del ( x^1 - y^1 ) dx^1 dy^1 \nonumber \\ &&  - \frac{i}{2 \pi} \del^{\al\bt} \int_{x^1} \int_{y^1} e^{in \frac{x^1}{R} } \frac{\d}{\d x^1} \del ( x^1 - y^1 ) e^{im \frac{y^1}{R} } dx^1 dy^1 \nonumber \\ &=& i f^{\al\bt\ga} J_{n+m}^\ga + m \del^{\al\bt} \del_{n+m, 0} \tag{7.90} \end{eqnarray}\]

を得る。ここで、第2項の導出に関係式

\[ \int_{0}^{2 \pi R} \!\! e^{i (n+m) \frac{x^1}{R}} dx^1 \, = \, 2 \pi R \, \del_{n+m, 0} \tag{7.91} \]

を用いた。$m= n= 0$ の場合、(7.90)は通常の$SU(N)$代数に帰着する。よって、非アーベル型のカッツ-ムーディ代数(7.90)は拡張された$SU(N)$代数と解釈できる。

　数学の文献では、カレント代数に付随するレベル数$k$が存在し、これを含めると(7.90)は

\[ [ J_n^\al , \, J_m^\bt ] = i f^{\al\bt\ga} J_{n+m}^\ga + k m \del^{\al\bt} \del_{n+m, 0} \tag{7.92} \]

と表せる。カレント代数のレベル数$k$はユニタリー性の要請から整数であることが知られている。(7.90)は$k = 1$の場合に相当する。実際、「$k=1$のカッツ-ムーディ代数はユニタリー既約表現を唯一つだけ持つ」という（カッツの）定理が存在し、これは代数(7.68)のユニタリー既約表現の唯一性を保証する。この意味でこの定理は1, 4, 6章で議論したハイゼンベルク代数のストーン-フォン・ノイマンの定理と類似している。

7. ボソン化とカッツ-ムーディ代数 vol.3

前回に引き続いてアーベル型ボソン化の話を進めよう。

ボソン場とフェルミオン場の一対一対応

前回導いた関係式

\[ J_{-} (x) = \psi_1^\dag (x) \psi_1 (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \left( \frac{\d}{\d x^0} - \frac{\d}{\d x^1} \right) \phi (x) \tag{7.54} \]

はフェルミオン・カレント$J_- (x)$がボソンのスカラー場$\phi (x)$の関数として表せることを示している。フェルミオン場$\psi_1 (x)$についても同様に$\psi_1 (x)$をボソン場$\phi (x)$の関数として表せるだろうか？アーベル型の場合、これは可能であり、マンデルスタムによる次の関係式が知られている。

\[   \psi_1 (x) \, = \,  A \, \exp \left( i \phi (x ) + i \pi \int_{x^1}^{\infty} \dot{\phi} (x^0, \tilde{x}^1 )   d \tilde{x}^1 \right) \equiv e^{ i \Phi_1 (x) }   \tag{7.56} \]

ただし、$A$は規格化定数。上式を用いると$\psi_1^\dag (x)$と$\psi_1 (y)$の反交換関係を次のように確認できる。

\[\begin{eqnarray}    \psi_1^\dag (x) \psi_1 (y) &=& A^2 e^{ - i \Psi_1 (x) } e^{i \Phi_1 (y)} \nonumber \\    &=& A^2 e^{ - i \Phi_1 (x)+ i \Phi_1 (y) } e^{\hf \left[  \Phi_1 (x) , \Phi_1 (y) \right] } \nonumber \\    &=&  - \psi_1 (y) \psi_1^\dag (x)    \tag{7.57} \end{eqnarray}\]

ただし、$\phi$の交換関係

\[  \left[ \phi ( x^0 , x^1 ) , \, \dot{\phi} ( x^0 , y^1 ) \right] = i \del ( x^1 - y^1 )   \tag{7.48} \]

を用いた。また、演算子$A$, $B$について

\[    e^A e^B = e^{A+B} e^{\hf [A, B] }    \tag{7.58} \]

が成り立つことを用いた。ここで、$[A, B]$は$c$数である。因子$\exp \left( i \pi \int_{x^1}^{\infty} \dot{\phi} (x^0, \tilde{x}^1 )  d \tilde{x}^1 \right)$はクライン変換(7.8)で現れた因子$\exp \left( i \pi \sum_{k<i} N_k \right)$と類似した働きをすることに注意しよう。

　反交換関係(7.57)の導出は関係式(7.56)を

\[    \psi_1 (x) \, = \,  A \, \exp \left( i \sqrt{\pi} \phi (x ) + i \sqrt{\pi} \int_{x^1}^{\infty} \dot{\phi} (x^0, \tilde{x}^1 )    d \tilde{x}^1 \right)    \tag{7.59} \]

と置き換えても変わらない。また、スピノールのカイラリティからもう一方のスピノール$\psi_2 (x)$を

\[    \psi_2 (x) \, = \,  A \, \exp \left( - i \sqrt{\pi} \phi (x ) + i \sqrt{\pi} \int_{x^1}^{\infty} \dot{\phi} (x^0, \tilde{x}^1 )    d \tilde{x}^1 \right)     \tag{7.60} \]

と定義できる。規格化因子$A$は、例えば

\[ \psi_1^\dag ( x + \ep ) \psi_1 ( y - \ep ) = \frac{i}{2 \pi} \frac{1}{(x^1 + \ep ) - ( y^1 - \ep )} \longrightarrow  \frac{i}{2\pi} \frac{1}{2 \ep} ~~~~ ( x^1 \rightarrow y^1 )  \tag{7.44}\]

から決定でき、$A = \frac{1}{\sqrt{2 \pi (2 \ep ) }}$となることが分かる。これより、$\psi_1^\dag (x + \ep ) \psi_1 (x - \ep)$ を計算すると

\[\begin{eqnarray}    \psi_1^\dag (x + \ep ) \psi_1 (x - \ep) &=& \frac{1}{2 \pi} \frac{1}{2 \ep} e^{- i \Phi_1 (x + \ep) } e^{ i \Phi_1 (x - \ep) }     \nonumber \\    &=& \frac{i}{2 \pi} \frac{1}{2 \ep} e^{- i \left( \Phi_1 (x+ \ep) - \Phi_2 (x- \ep) \right)} \nonumber \\    &=& \frac{i}{2 \pi} \frac{1}{2 \ep} + \frac{1}{2 \pi} \frac{\d}{\d x^1} \Phi_1 (x^0 , x^1 ) + \O (\ep)  \nonumber \\    &=& \frac{i}{2 \pi} \frac{1}{2 \ep} - \frac{1}{\sqrt{2}} J_{-} (x) + \O (\ep )    \tag{7.61} \end{eqnarray}\]

と求まる。ここで、$\Phi_1 (x) $は

\[    \Phi_1 (x) = \sqrt{\pi} \phi (x ) +  \sqrt{\pi} \int_{x^1}^{\infty} \dot{\phi} (x^0, \tilde{x}^1 )    d \tilde{x}^1    \tag{7.62}\]

で与えられる。また、関係式(7.54)から

\[    \frac{\d}{\d x^1} \Phi_1 = \sqrt{\pi} \left( \frac{\d}{\d x^1} \phi - \frac{\d}{\d x^0} \phi \right)     = - \sqrt{2} \pi J_{-} (x)     \tag{7.63} \]

であることを用いた。同様に、関係式

\[    \psi_1 (x + \ep ) \psi_1^\dag (x - \ep) = \frac{i}{2 \pi} \frac{1}{2 \ep} + \frac{1}{\sqrt{2}}     \psi_1^\dag (x + \ep ) \psi_1 (x - \ep) + \O (\ep )     \tag{7.64} \]

が得られる。これは、前回紹介した同時刻における関係式

\[ \psi_1 (x) \psi_1^\dag (y) = \frac{i}{2\pi} \frac{1}{ x^1 - y^1 } + f ( x^1 - y^1 ) \, \O \tag{7.43} \]

の具体的な表現である。（つまり、$\psi_1$を(7.59)で定義すると真空期待値がゼロとなる演算子$\O$は具体的に$\psi_1^\dag \psi_1 $と求まる。）

モード展開

　つぎに、(7.49)と同様にボソン場$\Phi_1 (x)$のモード展開を考える。

\[ \Phi_1 ( x ) = \sum_{k \ge 1} \frac{1}{\sqrt{2 k_{0} L}} \left( a_{k} e^{-i k_{0} x^{0} - i k_1 x^1}   + a_k^\dag e^{i k_{0}  x^{0} + i k_1 x^1} \right) \tag{7.65} \]

ただし、ここではユークリッド計量を用いた。質量がゼロの場合$(m=0)$、$k_0 = \sqrt{k_1^2 + m^2 } = | k_1 | $ であり、$\Phi_1$はスケール不変な演算子となる。このとき、$\Phi_1 (x)$は

\[ \Phi_1 ( x ) = \frac{1}{\sqrt{2L}} \sum_{k \ge 1} \frac{1}{\sqrt{k}} \left( a_k e^{-ik ( x^0 + x^1)}   + a_k^\dag e^{ik ( x^0 + x^1 )} \right) \tag{7.66} \]

と書ける。ここで、空間方向を円周上にコンパクト化 $0 \le x^1 \le 2 \pi$ ($L = 2 \pi$) して、$\Phi_1 (x)$に周期性を課すと、モード展開は一般に整数 $n \in {\bf Z}$ で展開できるので、

\[\begin{eqnarray} \Phi_1 ( x ) &=& \frac{1}{\sqrt{4 \pi}} \sum_{n < 0} \frac{1}{\sqrt{|n|}} \left( a_n e^{-i n ( x^0 + x^1) } + a_n^\dag e^{in( x^0 + x^1)} \right)  \nonumber \\    && ~ + \frac{1}{\sqrt{4 \pi}}  \sum_{n > 0} \frac{1}{\sqrt{n}} \left( a_n e^{-i n ( x^0 + x^1) } + a_n^\dag e^{in( x^0 + x^1)} \right) +  \phi_0  \nonumber \\   &=& \frac{1}{\sqrt{ \pi}}  \sum_{n > 0} \frac{1}{\sqrt{n}} \left( a_n e^{-i n ( x^0 + x^1) } + a_n^\dag e^{in( x^0 + x^1)} \right) +  \phi_0 \tag{7.67} \end{eqnarray}\]

となる。ただし、$a_{-m} = a^\dag_m$, $a^{\dag}_{-m} = a_m $ ($m > 0$) を用いた。また、自由ボソン場$\Phi_1 $のゼロモード$\phi_0$も含めた。ゼロモード$\phi_0$の正準共役は $\pi_0 = \dot{\phi_0}$ で与えられ、正準交換関係

\[    [ \phi_0 , \pi_0 ] = i    \tag{7.68} \]

を満たす。ゼロモードの時間発展は $\phi_0 + \pi_0 x^0$ で与えられる。以前議論したように$\psi_1 (x)$は

\[ \frac{ \d \psi_1}{\d x^0} -  \frac{\d \psi_1}{\d x^1} = 0  \tag{7.17} \]

を満たすので、$\psi_1 (x)$は$(x^0 + x^1 )$の関数である。よって、関係式 $\psi_1 (x) = \psi_1 (x^0 + x^1 ) \sim \exp ( i \Phi_1 (x^0 + x^1 ) )$ から$\Phi_1 (x) $も$(x^0 + x^1 )$の関数である。このことに注意すると、 上式でのゼロモードによる寄与は正しくは $\phi_0 + \pi_0 (x^0 + x^1 )$ で与えられることが分かる。$\Phi_1 $のようにカイラル・フェルミオンと関係するボソンはカイラル・ボソンと呼ばれる。以上より、$\Phi_1 $のモード展開は

\[   \Phi_1 ( x^0 + x^1 ) =   \sum_{n > 0} \frac{1}{\sqrt{n}} \left( a_n e^{-i n ( x^0 + x^1) } + a_n^\dag e^{in( x^0 + x^1)} \right) +  \phi_0 + \pi_0 (x^0 + x^1 )    \tag{7.69} \]

と再定義できる。

7. ボソン化とカッツ-ムーディ代数 vol.2

前回に引き続いてアーベル型のボソン化を考える。(1+1)次元のフェルミオン場 $\psi = \left( \begin{array}{c} \psi_1 \\ \psi_2 \end{array} \right)$ はディラック方程式

\[ \frac{ \d \psi_1}{\d x^0} -  \frac{\d \psi_1}{\d x^1} = 0 \, , ~~~~ \frac{ \d \psi_2}{\d x^0} +  \frac{\d \psi_2}{\d x^1} = 0 \tag{7.17} \]

に従う。フェルミオンのカレント $J = \bar{\psi} \ga \psi$ は

\[ J = \bar{\psi} \ga \psi = \left( \begin{array}{c} \psi_1^\dag \psi_1 + \psi_2^\dag \psi_2 \\ - \psi_1^\dag \psi_1 + \psi_2^\dag \psi_2 \end{array} \right) \equiv \left( \begin{array}{c} J_0 \\ J_1 \end{array} \right) \tag{7.19} \]

と計算できた。ここで、カレント$J_\pm$を

\[\begin{eqnarray} \psi_1^\dag \psi_1 & = &  \frac{ J_0 - J_1 }{2} ~ \equiv ~  J_{-}  \tag{7.20} \\ \psi_2^\dag \psi_2 & = & \frac{ J_0 + J_1 }{2}  ~ \equiv  ~ J_{+} \tag{7.21} \end{eqnarray}\]

で定義し、これらのカレントの代数を考える。$J_{-}$を

\[ J_{-} (x) \, = \,  \psi_1^\dag (x + \ep ) \, \psi_1 ( x - \ep ) \tag{7.24} \]

とおき、特異点の振る舞いに注意して計算の最後に $\ep \rightarrow 0$ の極限をとることにする。$x$, $x \pm \ep$は複合記号であり、それぞれ$x = ( x^0 ,  x^1 )$, $x \pm \ep = (x^0 , x^1 \pm \ep )$ を表す。このとき、$J_{-} (x) $の交換関係はフェルミオン場の同時刻反交換関係

\[\begin{eqnarray} \psi ( x^0 , x^1 ) \psi ( x^0 , y^1 ) + \psi ( x^0 , y^1 ) \psi (x^0 ,x^1 )  &=& 0 \nonumber \\ \psi^\dag ( x^0 , x^1 ) \psi^\dag ( x^0 , y^1 ) + \psi^\dag ( x^0 , y^1 ) \psi^\dag ( x^0 , x^1 ) &=& 0 \tag{7.22}\\ \psi ( x^0 , x^1 ) \psi^\dag ( x^0 , y^1 ) + \psi^\dag ( x^0 , y^1 ) \psi ( x^0 , x^1 ) &=& \del ( x^1 - y^1 ) {\bf 1} \nonumber \end{eqnarray}\]

を用いると

\[\begin{eqnarray} [ J_{-} (x) , \, J_{-} (x) ] &=& \left[ \psi_1^\dag (x + \ep ) \psi_1 (x - \ep ) , \, \psi_1^\dag (y + \ep ) \psi_1 (y - \ep ) \right] \nonumber \\ &=& \psi_1^\dag (x + \ep ) \psi_1 ( y - \ep ) \del (x- y- 2\ep ) \nonumber \\ && ~~~~ - \psi_1^\dag ( y + \ep ) \psi_1 ( x- \ep ) \del (x- y + 2\ep ) \tag{7.25} \end{eqnarray}\]

と計算きる。ここで、$\del (x- y \pm 2\ep )$は

\[ \del (x- y \pm 2\ep ) = \del (x - y ) \pm 2 \ep \frac{\d}{\d x} \del (x - y) + \O (\ep^2 ) \tag{7.26} \]

と展開できるので、$\ep \rightarrow 0$ の極限で(7.25)がゼロとならないためには関係式

\[ \psi_1^\dag ( x + \ep ) \, \psi_1 ( y - \ep ) \, \sim \, \frac{1}{\ep} ~~~~ \mbox{($x \rightarrow y$)} \tag{7.27}\]

を要請する必要がある。

(1+1)次元のフェルミオン伝播関数

上式の$\psi_1^\dag ( x + \ep ) \psi_1 ( y - \ep )$ を評価するには２通りの方法がある。１つはモード展開を利用するもので、もう１つはフェルミオンの伝播関数を用いるものである。ここでは、後者のアプローチを採用する。フェルミオン$\psi_1$の伝播関数は

\[\begin{eqnarray}　S_{-} ( x , y )   &=&  \bra 0 | \psi_1 (x^0 , x^1 ) \psi_1^\dag ( y^0 , y^1 ) | 0 \ket \th (x^0 - y^0 ) \nonumber \\　&&~~~~~~~~~  - \bra 0 | \psi_1^\dag (y^0 , y^1 ) \psi_1 ( x^0 , x^1 ) | 0 \ket \th (y^0 - x^0 ) \nonumber \\　&=&  \bra 0 | \left[ \psi_1 (x) \psi_1^\dag (y) \th (x^0 - y^0 )  - \psi_1^\dag (y) \psi_1 (x) \th (y^0 - x^0 ) \right] | 0 \ket  \tag{7.28}　\end{eqnarray}\]

と定義される。ここで、$\th ( x^0 - y^0 ) $はヘヴィサイドのステップ関数

\[　\th (x^0 - y^0 ) = \left\{　\begin{array}{lr} 1 & ~ \mbox{$( x^0 > y^0 )$} \\ 0 & ~ \mbox{ $( x^0 < y^0 )$} \\ \end{array} \right. \tag{7.29} \]

である。(7.28)の負号は$x^0 = y^0$におけるディラック場$\psi_1$の同時刻反交換関係に由来する。(7.17)で示したように、$\psi_1$はディラック方程式

\[ \left( \frac{\d}{\d x^0} - \frac{\d }{\d x^1} \right) \psi_1 = 0    \tag{7.30} \]

に従う。つぎに、この方程式を用いて$S_{-} (x, y) $の微分を計算すると

\[\begin{eqnarray} \frac{\d}{\d x^0} S_{-} (x, y) \!\! &=& \!\! \bra 0 | \left[ \th (x^0 - y^0 ) \frac{\d \psi_1 (x)}{\d x^0} \psi_1^\dag ( y) - \th ( y^0 - x^0 ) \psi_1^\dag (y ) \frac{\d \psi_1 (x)}{\d x^0} \right] | 0 \ket \nonumber \\ && \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! + \,  \underbrace{ \bra 0 |  \left[ \del (x^0 - y^0 ) \psi_1 (x) \psi_1^\dag ( y) + \del( y^0 - x^0 ) \psi_1^\dag (y ) \psi_1 (x) \right] | 0 \ket }_{= \, \del (x^0 - y^0 ) \bra 0 | \left\{ \psi_1 (x) , \,  \psi_1^\dag (y) \right\} | 0 \ket \, = \, \del (x^0 - y^0 ) \del (x^1 - y^1 ) } \tag{7.31} \\ \frac{\d}{\d x^1} S_{-} (x, y) \!\! &=& \!\! \bra 0 | \left[ \th (x^0 - y^0 ) \frac{\d \psi_1 (x)}{\d x^1} \psi_1^\dag (y) - \th ( y^0 - x^0 ) \psi_1^\dag (y ) \frac{\d \psi_1 (x)}{\d x^1} \right] | 0 \ket \tag{7.32} \end{eqnarray} \]

となる。ただし、関係式

\[ \frac{\d}{\d x^0} \th (x^0 - y^0 ) = \del (x^0 - y^0 ) \tag{7.33} \]

を用いた。(7.31)と(7.32)から

\[ \left( \frac{\d }{ \d x^0} - \frac{\d}{\d x^1} \right) S_{-} (x , y ) = \del ( x^0 - y^0 ) \del ( x^1 - y^1 ) \tag{7.34} \]

となることが分かる。この解は

\[\begin{eqnarray} S_{-} (x, y) \!\! &=& \!\! \int \frac{d^2 p}{ (2 \pi )^2 } \frac{ i e^{- i p_0 (x^0 -y^0 ) + i p_1 ( x^1 - y^1 )}} { p_0^2 - p_1^2 } (p_0 - p_1 ) \nonumber \\ &=& \!\! i ( \d_0 + \d_1 ) \underbrace{ \int_{-\infty}^{\infty}  \! \frac{d p_0}{ 2 \pi  } \int_{-\infty}^{\infty}  \! \frac{d p_1}{ 2 \pi  } \frac{ i e^{- i p_0 (x^0 -y^0 ) + i p_1 ( x^1 - y^1 )}}{ p_0^2 - p_1^2 } }_{ \equiv \, G (x,y) } \tag{7.35} \end{eqnarray}\]

で与えられる。積分$G (x, y)$は、下図に示すように$p_1$から$p_E = - i p_1$への解析接続を行うと、2次元ラプラス方程式のグリーン関数に変形できる。

$p_1$から$p_E$へのウィック回転

\[\begin{eqnarray} G (x, y ) &=& \int_{-\infty}^{\infty}  \frac{d p_0}{ 2 \pi  } \int_{-\infty}^{\infty}  \frac{d p_E}{ 2 \pi  } \frac{ e^{- i p_0 (x^0 -y^0 ) - i p_E (i( x^1 - y^1 ))}}{ p_0^2 + p_E^2 } \nonumber \\ &=& \frac{1}{4 \pi} \log \left( (x^0 - y^0 )^2 - ( x^1 - y^1 )^2 \right) \tag{7.36} \end{eqnarray}\]

ただし、解析接続を適切に行うには被積分関数の分母を $(p_E + i p_0 - \eta ) ( p_E - i p_0 + \eta )$ と理解しなければならない。ここで、$\eta$は正の微小量であり、最終的に $\eta \rightarrow 0$ の極限をとる。このような実軸から虚軸への回転はウィック回転と呼ばれる。

　(7.35), (7.36)から、$S_{-} ( x, y )$は

\[ S_{-} ( x, y ) = \frac{i}{2 \pi} \frac{1} { (x^0 - y^0 ) + ( x^1 - y^1 ) } \tag{7.37} \]

と求まる。$J_{+}=\psi_2^\dag \psi_2$ の場合も同様に

\[ S_{+} ( x, y ) = \frac{i}{2 \pi} \frac{1} { (x^0 - y^0 ) - ( x^1 - y^1 ) } \tag{7.38} \]

が得られる。係数$\frac{i}{2 \pi}$は次のように確認することもできる。定数$c$を用いて$S_{-} (x, y) $を

\[ S_{-} ( x, y) = \frac{c}{ ( x^0 - y^0 ) + ( x^1 - y^1 ) } = c \frac{( x^0 - y^0 ) - ( x^1 - y^1 ) }{ ( x^0 - y^0 )^2 - ( x^1 - y^1 )^2 + \ep^2} \tag{7.39} \]

と表し、伝番関数の満たす方程式(7.34)から$c$を決定する。(7.34)は $( \d_0 - \d_1 ) S_{-} ( x, y) = \del^{(2)} (x - y)$ を意味するので、両辺の積分をとると

\[ c ( \d_0 - \d_1 ) \int_{-\infty}^{\infty} dx^0 \int_{-\infty}^{\infty} d x^1 \frac{ x^0 - x^1 }{(x^0 )^2 - (x^1 )^2 + \ep^2} = 1 \tag{7.40} \]

となる。左辺は次のように計算できる。

\[\begin{eqnarray} && 2c \int_{-\infty}^{\infty} dx^0 \int_{-\infty}^{\infty} d x^1 \frac{ \ep^2}{\left[ (x^0 )^2 - (x^1 )^2 + \ep^2 \right]^2 } \nonumber \\ &=& -i 2 c \int_{-\infty}^{\infty} dx^0 \int_{-\infty}^{\infty} d x_E \frac{ \ep^2}{\left[ (x^0 )^2 + (x_E )^2 + \ep^2 \right]^2 } \nonumber \\ &=& -i 2 c \int_{0}^{\infty}  \pi dr^2 \frac{ \ep^2}{ (r^2 + \ep^2 )^2 } \, = \,  -i 2  \pi c \tag{7.41} \end{eqnarray}\]

ただし、$x^1$から$x_E = i x^1$へのウィック回転を用いた。(7.40), (7.41)から(7.37)の係数$\frac{i}{2 \pi}$が正しいことが確認できる。

　伝播関数$S_{-} ( x, y)$を同時刻 $x^0 \rightarrow y^0$ ($x^0 > y^0$) で評価すると

\[ \bra 0 | \psi_1 (x) \psi_1^\dag (y) | 0 \ket = \frac{i}{2\pi} \frac{1}{ (x^1 - y^1 )}  \tag{7.42} \]

を得る。これは冒頭で要請した関係式

\[ \psi_1^\dag ( x + \ep ) \, \psi_1 ( y - \ep ) \, \sim \, \frac{1}{\ep} ~~~~ \mbox{($x \rightarrow y$)} \tag{7.27}\]

に他ならない。

7. ボソン化とカッツ-ムーディ代数 vol.1

7.1 アーベル型ボソン化

空間1次元、時間1次元の(1+1)次元においてフェルミ粒子の物理系はボース粒子の物理系と等価である。つまり、ボソンとフェルミオンは(1+1)次元では区別できない。この章の主な目的はこの等価性を代数的に理解することである。

　($d$+1)次元における粒子のスピンの概念は$d$次元の空間回転に起因し、これらは角運動量代数 $[ J_i , J_j ] = i \ep_{ijk} J_k$ ($i,j,k = 1,2, \cdots , d$) で記述される。よく知られているように、$d=3$ の角運動量代数$J$の表現はスピンの値 $s = 0, \, \hf ,  \, 1, \, \frac{3}{2}, \cdots$ で特徴づけられる。この場合、スピン統計定理より「整数スピンをもつ粒子はボソンであり、半奇数のスピンをもつ粒子はフェルミオンでなければならない」ことが分かる。しかし、$d=2$ の場合はスピンの値にこのような制限はない。すなわち、(2+1)次元では$s$は分数の値をとることができる。このとき、スピン統計定理は「分数スピン$s$をもつ粒子は分数統計に従う」と言い換えられる。このような粒子はしばしばエニオンと呼ばれる。（分数統計やエニオンについては分数量子ホール効果の正孔の動力学について解説した4.3節も参照のこと。）この章で議論する $d=1$ の場合、スピンの概念は存在しない。つまり、(1+1)次元では粒子の統計に制約はかからない。以下では、(1+1)次元においてボソンとフェルミオンが等価であることがどのように実現されるのかを見ていく。

クライン変換

　一般に、ボソンは代数

\[[ a_k , a_l ] = 0 \, , ~~　[ a_k , a_l^\dag ] = \del_{kl} \, , ~~　[ a_k^\dag , a_l^\dag ] = 0 \,　\tag{7.1} \]

で記述される。ただし、ここではボソンを１次元の長さ$L$の線分上で考えているので、ラベル$k$は $k = \frac{2 \pi n}{L}$ で与えられる。$n$は自然数 $n \in {\mathbb Z}$ であり、モード数（あるいは自由度の数）を表す。

　このとき、数演算子は

\[ N_k = a_k^\dag a_k \tag{7.2} \]

で定義され、交換関係

\[ [ N_k , a_k ] = - a_k \, , ~~~ [ N_k , a_k^\dag ] = a_k^\dag \tag{7.3} \]

を満たす。ベイカー-キャンベル-ハウスドルフの公式
\[ e^A B e^{-A} = B + [ A, B ] + \frac{1}{2} [ A , [A, B]] + \cdots  \tag{7.4}\]

を用いると、関係式

\[\begin{eqnarray} e^{i \al N} a e^{-i \al N} &=& a + i \al [ N , a ] + \frac{(i \al )^2}{2!} [ N , [ N , a ] ] + \frac{(i \al )^3}{3!} [ N , [ N , [ N , a ] ] ] + \cdots \nonumber \\ &=& a - i \al a + \frac{(i \al )^2}{2!} a + \frac{(i \al )^3}{3!} (- a ) + \cdots \nonumber \\ &=& e^{-i \al} a \tag{7.5} \end{eqnarray}\]

が得られる。ただし、簡単のためラベル$k$を省略した。$\al$は定数である。ラベルを追加すると上の結果は

\[ a_k e^{ i \al N_k} \, = \, e^{ i \al} e^{i \al N_k} a_k \tag{7.6} \]

と表せる。同様に関係式

\[ a_k^\dag e^{i \al N_k}  \, = \, e^{-i \al} e^{i \al N_k} a_k^\dag  \tag{7.7} \]

が得られる。

　つぎに演算子

\[\begin{eqnarray} C_i  &=&  \exp \left( i \pi \sum_{k<i} N_k \right) a_i \tag{7.8}\\ C_j &=& \exp \left( i \pi \sum_{k<j} N_k \right) a_j ~~~~ (i < j) \tag{7.9} \end{eqnarray}\]

を導入する。ただし、$1 \le i < j \le n$としても一般性は失われない。(7.6)を用いると$C_i C_j$, $C_j C_i$は次のように計算できる。

\[\begin{eqnarray} C_i C_j &=& \exp \left( i \pi \sum_{k < i} N_k \right) a_i \exp \left( i \pi \sum_{k < j} N_k \right) a_j \nonumber \\ &=& \exp \left( i \pi \sum_{k < i} N_k \right) \exp \left( i \pi \sum_{k < j} N_k \right) e^{i \pi} a_i a_j \tag{7.10} \\ C_j C_i &=& \exp \left( i \pi \sum_{k < j} N_k \right) a_j \exp \left( i \pi \sum_{k < i} N_k \right) a_i \nonumber \\ &=& \exp \left( i \pi \sum_{k < j} N_k \right) \exp \left( i \pi \sum_{k < i} N_k \right) a_j a_i \tag{7.11} \end{eqnarray}\]

$a_i$と$\exp \left( i \pi \sum_{k < j} N_k \right)$を入れ替えると(7.6)から因子$e^{i \pi}$が現れることに注意しよう。一方、$a_j$と$\exp \left( i \pi \sum_{k < i} N_k \right)$の入れ替えからは新たな因子は生じない。これより、演算子$C$についての反交換関係

\[ C_i C_j + C_j C_i = \exp \left( i \pi \sum_{k < i} N_k \right) \exp \left( i \pi \sum_{k < j} N_k \right) \left( - a_i a_j + a_j a_i \right) = 0 \tag{7.12} \]

が得られる。これは、(7.8)と(7.9)で与えられる演算子の変換を実行すると、ボソン代数からフェルミオン代数が得られることを示している。このような変換はクライン変換と呼ばれる。

ボソン化：代数的アプローチ

　つぎに上の議論の逆を考える。つまり、(1+1)次元のフェルミオンから始めてそれがボソン表現と等しいことを示す。この過程は一般にボソン化と呼ばれる。ボソン化には基本的に2つの手法がある。これは物理系の量子論が２つの方法で定義されることに基づく。1つ目の方法は観測量代数のユニタリー既約表現によるものであり、もう一方は対象となる粒子の相関関数によるものである。言い換えると、ボソン化の実行は (a) フェルミオンの観測量代数にボソン表示が存在することを示すこと、あるいは (b) フェルミオンの相関関数とボソンの相関関数が等価であることを示すこと、のどちらかによって成される。ここでは (a) の方法を採用する。

Mathematical Review 121: 高階スピン自己双対ヤン-ミルズ理論

質量ゼロの高いスピンを持つ粒子をツイスター空間上で記述する話題は以前にこちらでレビューしました。今回はより具体的に、最近提案された高階スピン自己双対ヤン-ミルズ理論の作用からMHV散乱振幅を計算し、さらに自己双対ヤン-ミルズ理論の可積分性から一般の高階スピン・ヤン-ミルズ理論のMHV散乱振幅も古典レベルで導出できるという話でした。レビューはこちら。自己双対ヤン-ミルズ理論はインスタントンとの関連で長年研究されている分野です。1990年には自己双対ヤン-ミルズ理論をトポロジカルなゲージ理論として構成できるというモデルがナイアによって提唱されました。これはケーラー-チャーン-サイモン理論あるいはドナルドソン-ナイア-シッフ理論として知られています。高階スピンへの拡張もこの文脈で考えるとツイスター空間への埋め込みも自然に理解できるはずです。というか、MHV散乱振幅をWZW模型の相関関数として理解する方向から高階スピン理論へ拡張すればいいのになんて思いました。それにしても高階スピンのゲージ理論の話が私に回ってくるのはどういうことでしょう？特に興味ないのに。高階スピン理論の祖バシリエフ先生の学生さんが皆エネルギッシュで論文量産するので仕方ないか。

BCS理論の転移温度の計算に出てくる積分

前回のエントリーで出てきた積分

 

\[ \int_0^\infty \frac{\log x}{\cosh^2 x} dx = \log \frac{\pi}{4} - \ga \approx -0.81878 \]

ただし、$\ga$はオイラーの定数。これが分からなくて2、3日使ってしまいました。子供の小学校の保護者会に出席したときも気になってしまいメモする始末。結局、自力では無理だったので色々調べました。MathematicaのWebバージョンWolframAlphaが正しい数値結果を出してくれましたが、解析的に計算してくれないと納得いきません。Google Chromeで「integral from 0 to infinity log(x) sech^2 (x) dx」と検索を掛けると Math Stack Exchange がドンピシャのサイトを見つけてくれました！ Microsoft Edgeではヒットしなかったので驚きました。解法を見て、これは自力では無理だなあと納得しました。双曲線関数の積分なんて忘れていました。学部の時にやったけど使う機会がないとダメですね。当時は公式集があれば何とかかなるだろうと思っていましたが、何ともならなかったです。双曲線関数の出てくる積分についてネットで調べてみたらインド人の学生向けにいろいろな積分が解説されていて興味深かったです。今では動画で複素積分の勉強ができるみたいですね。今後、積分に詰まったらまずChromeで検索かな。

6. 超伝導とBCS理論 vol.5

6.4 転移温度

この節ではBSC理論を用いて超伝導の転移温度を推定する。6.2節では相互作用ハミルトニアン$H_{int}$を次のように変形した。

\[\begin{eqnarray}    H_{int} &=& \sum_{kk'} V_{kk'} \left[ \alpha_{k'} \beta_{k'} \left( N_{k'} + {\tilde N}_{k'} - 1\right)    + \left(\alpha_{k'}^2 B^\dagger_{-k'} A^\dagger_{k'} - \beta_{k'}^2 A_{k'} B_{-k'} \right)    \right] \nonumber\\    && \hskip .5in    \times \left[ \alpha_{k} \beta_{k} \left( N_{k} + {\tilde N}_{k} - 1\right)    + \left( \alpha_{k}^2 A_{k} B_{-k}  - \beta_{k}^2 B^\dagger_{-k} A^\dagger_{k} \right)    \right]\nonumber\\    &\approx&  \sum_{kk'} V_{kk'} \alpha_{k'}\beta_{k'} \alpha_k \beta_k    - 2\, \sum_{kk'} V_{kk'}\alpha_{k'}\beta_{k'} \alpha_k \beta_k (N_k + {\tilde N}_k )\nonumber\\    &&\hskip .05in - \sum_{kk'} V_{kk'}\alpha_{k'}\beta_{k'} (\alpha_k^2 - \beta_k^2)  (A_k B_{-k}    + B^\dagger_{-k} A^\dagger_k ) ~+ ~ {\rm (4次の項)}   \tag{6.53} \\ \end{eqnarray}\]

ここでは、$A_k B_{-k}$とその共役に関わる項の係数として現れる数演算子$N_k$, ${\tilde N}_k$を残して、$H_{int}$を

\[    \begin{split}    H_{int} &= \sum_{kk'} V_{kk'} \left[ \alpha_{k'} \beta_{k'} \left( N_{k'} + {\tilde N}_{k'} - 1\right)     \left( \alpha_{k}^2 A_{k} B_{-k}  - \beta_{k}^2 B^\dagger_{-k} A^\dagger_{k} \right)\right]    \\     &\hskip .1in + \sum_{kk'} V_{kk'}     \left[  \left(\alpha_{k'}^2 B^\dagger_{-k'} A^\dagger_{k'} - \beta_{k'}^2 A_{k'} B_{-k'} \right)     \alpha_{k} \beta_{k} \left( N_{k} + {\tilde N}_{k} - 1\right)\right] + \cdots      \end{split}     \tag{6.73} \]

と変形する。絶対零度では$N_k$と${\tilde N}_k$はゼロとなる。絶対温度がゼロでないときこれらは熱的な占有数$\bra N_k \ket$, $\bra {\tilde N}_k \ket$に近似できる。このとき、6.2節と同様に計算するとギャップ方程式は

\[    \Delta - {V_0 \over 2} \sum_k {\Delta \over \sqrt{\epsilon_k^2 + \Delta^2}}    \left( 1 - \bra N_k \ket - \bra {\tilde N}_k \ket \right) \, = \, 0     \tag{6.74} \]

となる。また、6.3節で導いたBCS理論のハミルトニアン

\[    H ~ = ~ - G_0\, \omega_D \sqrt{\omega_D^2 +\Delta^2} ~+~    \sum_k \sqrt{\epsilon_k^2 +\Delta^2} ~(N_k +{\tilde N}_k) ~+\cdots     \tag{6.64} \]

から分かるように、1粒子の励起エネルギーは$\sqrt{\epsilon_k^2 + \Delta^2}$で与えられる。よって、占有数はフェルミ-ディラック分布から

\[    \bra N_k \ket = \bra {\tilde N}_k \ket =    {1\over e^{E_k/T} + 1} \,  , \hskip .3in E_k = \sqrt{\epsilon_k^2 + \Delta^2}     \tag{6.75} \]

と表せる。これより、ギャップ方程式は

\[    \Delta \left[ 1 - {V_0 G_0 \over 2} \int d \epsilon \, {1\over \sqrt{\epsilon^2 + \Delta^2}}    \,  \tanh (\sqrt{\epsilon^2 + \Delta^2} /2 T)    \right] = 0 \tag{6.76} \]

となる。6.2節と同様に、$\Delta = 0$は1つの解である。ギャップがゼロでない非自明な解は

\[    1 - {V_0 G_0 \over 2} \int d \epsilon \, {1\over \sqrt{\epsilon^2 + \Delta^2}}    \,  \tanh (\sqrt{\epsilon^2 + \Delta^2} /2 T)    = 0     \tag{6.77} \]

から得られる。低温では$\tanh (\sqrt{\epsilon^2 + \Delta^2} /2 T) \approx 1$と近似できるので、ギャップ方程式は以前に導いた方程式

\[    \Delta~\left[ 1- ~V_0 G_0 \sinh^{-1} (\omega_D/\Delta ) \right] =0     \tag{6.59} \]

に戻る。

6. 超伝導とBCS理論 vol.4

6.3 BCS基底状態

前節に引き続きBCS理論のハミルトニアン

\[\begin{eqnarray}    H &=& \sum_k 2 \epsilon_k  \beta_k^2  - V_0 \sum_{kk'} \alpha_{k'}\beta_{k'} \alpha_k \beta_k\nonumber\\    &&+ \, \sum_k \left[ - \epsilon_k (\alpha_k^2 - \beta_k^2 )    + 2 V_0 \sum_{k'} \alpha_{k'}\beta_{k'} \alpha_k \beta_k\right] (N_k + {\tilde N}_k )    \, + \, \cdots    \tag{6.61} \end{eqnarray}\]

を考える。ただし、省略した項はボゴリューボフ変換

\[    \begin{split}    A_k &=  \alpha_k c_{-k} - \beta_k b^\dagger_k \hskip 1in    B_{-k}= \alpha_k b_{k} + \beta_k c^\dagger_{-k}\\    A^\dagger_k &=  \alpha_k c^\dagger_{-k} - \beta_k b_k \hskip 1in    B^\dagger_{-k}= \alpha_k b^\dagger_{k} + \beta_k c_{-k}    \end{split}    \tag{6.46} \]

で定義した新しい生成・消滅演算子について4次のオーダーの項を表す。変数$\alpha_k, \,  \beta_k$は

\[    \alpha_k = \sin \theta_k \, , \hskip .3in \beta_k = \cos\theta_k     \tag{6.49} \]

で与えられ、数演算子$N_k , \, {\tilde N}_k$は

\[    N_k = A^\dagger_k A_k \, , \hskip .3in {\tilde N}_k = B^\dagger_{-k} B_{-k}     \tag{6.52} \]

で定義される。以下では、ハミルトニアン(6.61)をさらに変形してしていく。前節でギャップ方程式を導出した(6.58)-(6.60)と同じ近似を用いると、

\[\begin{eqnarray}    \sum_k 2 \epsilon_k  \beta_k^2  - V_0 \sum_{kk'} \alpha_{k'}\beta_{k'} \alpha_k \beta_k    &=&  \sum_k \left( 2 \epsilon_k \cos^2 \theta_k - {\Delta \over 2}    \sin 2 \theta_k \right) \nonumber\\    &=& \int d\epsilon ~G(\epsilon )~ \left[ \epsilon - {\epsilon^2 \over \sqrt{\epsilon^2 +\Delta^2}} -{1\over 2} {\Delta^2 \over \sqrt{\epsilon^2 +\Delta^2}}\right]    \nonumber\\    &=& - G_0 \left[ {1\over 2} \epsilon \sqrt{\epsilon^2 +\Delta^2}\right]^{\omega_D}_{-\omega_D}\nonumber\\    &=& -G_0\, \omega_D \sqrt{\omega_D^2 +\Delta^2}    \tag{6.62} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、

\[    \sin 2\theta_k =  {\Delta \over \sqrt{\epsilon_k^2 + \Delta^2}} \, ,    \hskip .3in \cos 2 \theta_k =  - {\epsilon_k \over \sqrt{\epsilon_k^2 + \Delta^2}}     \tag{6.57} \]

\[ \Delta = V_0 \sum_{k'} \al_{k'} \bt_{k'}  \]

を用いた。また、

\[  -  \epsilon_k (\alpha_k^2 - \beta_k^2 ) + 2 V_0 \sum_{k'} \alpha_{k'}\beta_{k'}    \alpha_k \beta_k = \sqrt{\epsilon_k^2 +\Delta^2}     \tag{6.63} \]

と書ける。よって、ハミルトニアン(6.61)は

\[    H ~ = ~ - G_0\, \omega_D \sqrt{\omega_D^2 +\Delta^2} ~+~    \sum_k \sqrt{\epsilon_k^2 +\Delta^2} ~(N_k +{\tilde N}_k) ~+\cdots     \tag{6.64} \]

と表せる。4次の項を無視する近似で、基底状態$\vert G \ket$は

\[    A_k ~\vert G \ket \, = \, B_{-k} ~\vert G\ket \, = \, 0     \tag{6.65} \]

と定義できる。よって、基底状態$\vert G \ket$のエネルギーは

\[    {\cal E}_\Delta  \, = \, - G_0\, \omega_D \sqrt{\omega_D^2 +\Delta^2}     \tag{6.66} \]

と求まる。これを$\Delta =0$でのエネルギーと比較すると、その差分は

\[    {\cal E}_\Delta - {\cal E}_{\Delta =0} =    - G_0 \, \omega_D \left[ \sqrt{\omega_D^2 +\Delta^2} - \omega_D\right]    \approx - {1\over 2} G_0 \, \Delta^2     \tag{6.67} \]

となる。よって、確かにギャップ方程式の非自明な解のほうが（自明な解$\Delta =0$に比べて）基底エネルギーを極小化する点から好ましい。

　また、(6.64)から理論のエネルギー・スペクトルはエネルギー量子$\sqrt{\epsilon_k^2 +\Delta^2}$で構成されることが分かる。$\Delta =0$となる通常の相では、エネルギー固有値は任意の微小量をとる。つまり、フェルミエネルギー近傍に自由に近づくことができる。しかし、$\Delta$がゼロでなければ、１粒子エネルギーは$\Delta$に等しいエネルギーギャップをもつ。（これが前節の式(6.58)がギャップ方程式と呼ばれる所以である。）

ギャップ$\Delta$についての関係式

\[   \Delta ~=~ \omega_D ~{1\over \sinh(1/V_0G_0)} ~\approx ~ 2~ \omega_D ~\exp \left( - {1\over V_0 G_0 }\right)     \tag{6.60} \]

とエネルギー増加の関係式(6.67)は超伝導における「同位体効果」を示している。デバイ振動数は原子核の質量と$M_{nuc}^{-{1\over 2}}$の関係で比例している。これは、超伝導物質が同じ化学組成ではあるが異なる同位体を原子核に持つ場合、電子のエネルギーギャップがわずかながら変化することを意味する。この同位体効果は転移温度にも同様に適用される。

6. 超伝導とBCS理論 vol.3

6.2 BCS理論

前節では電子間で働くペアリング相互作用

\[ \begin{eqnarray} H_{int} &=&   \sum_{k, k'} V_{k k'}\, C^\dagger_{-k' \downarrow} C^\dagger_{k'\uparrow} C_{k\uparrow} C_{-k \downarrow}\tag{6.40} \\    V_{k k'} &=&   \left.  \left( {e^2 \over q^2 + a^2 }  - {F^2 \vert D_q\vert^2 \over 2 \, \omega_q^2 }    \right) \right|_{q = k' -k}  \tag{6.38} \end{eqnarray} \]

を導出した。$ V_{k k'}$の第1項はクーロン相互作用、第2項は電子-フォノン相互作用を表す。前者は電子間の斥力、後者は引力に対応する。引力が優勢になりボーズ粒子として振る舞う電子対（クーパー対）が生成され、ボーズ・アインシュタイン凝縮により超電導現象が誘発されるという描像がBCS理論の基礎付けである。よって、ここでは $ V_{k k'} < 0$ が要請される。自由ハミルトニアン$H_0$を含めるとBCSハミルトニアンは

\[\begin{eqnarray} H &=& H_0 + H_{int} \tag{6.41}\\ H_0 &=& \sum_{k, \si} \ep_k C_{k \si}^{\dag} C_{k \si} \, ,   ~~~~~ \si = (\uparrow , \downarrow ) \tag{6.42}\\ H_{int} &=& \sum_{k, k^\prime} V_{k k^\prime} C_{-k^\prime \downarrow}^{\dag} C_{k^\prime \uparrow}^{\dag} C_{k \uparrow} C_{-k \downarrow} \tag{6.43} \end{eqnarray}\]

で与えられる。以下では、表示の混乱を避けるため異なるスピンに対応する演算子を次のように別の記号で表す。

\[\begin{eqnarray}   b_k = C_{k \uparrow} \, , &\hskip .1in& b^\dagger_k = C^\dagger_{k \uparrow} \\   c_{-k} = C_{-k \downarrow} \, , &\hskip .1in& c^\dagger_{-k} = C^\dagger_{-k \downarrow} \end{eqnarray} \tag{6.44} \] 

ハミルトニアン(6.41)-(6.43)は

\[\begin{eqnarray}    H&=& H_0 ~+~ H_{int}  \\    H_0&=& \sum_k \epsilon_k \left[ b^\dagger_k b_k ~+~  c^\dagger_k c_k \right]   \\    H_{int}&=&  \sum_{k , k'} V_{k k'}\, b^\dagger_{k'} c^\dagger_{-k'}  c_{-k} b_k    \end{eqnarray} \tag{6.45} \]

と書き換えられる。このハミルトニアンを近似的に対角化するため演算子の組み合わせ

\[    \begin{split}    A_k &=  \alpha_k c_{-k} - \beta_k b^\dagger_k \hskip 1in    B_{-k}= \alpha_k b_{k} + \beta_k c^\dagger_{-k}\\    A^\dagger_k &=  \alpha_k c^\dagger_{-k} - \beta_k b_k \hskip 1in    B^\dagger_{-k}= \alpha_k b^\dagger_{k} + \beta_k c_{-k}    \end{split}    \tag{6.46} \]

を考える。ただし、$\alpha_k, \, \beta_k$は$k$の関数であり対角化の要請から決まる。ここでの基本的なアイデアは、これらの新しい演算子を「準粒子」の生成・消滅演算子と解釈することにある。これらの準粒子は少なくともいま計算している近似の範囲で新しい固有状態を形成する。ここで、新しい演算子も元の演算子と同じ反交換関係に従うことを要請する。つまり、反交換関係

\[\begin{eqnarray}    A_k A_l + A_l A_k = 0 & \hskip .5in & B_{-k} B_{-l} + B_{-l} B_{-k} =0\nonumber\\    A_k A^\dagger_l + A^\dagger_l A_k = \delta_{kl} & \hskip .5in &    B_{-k} B^\dagger_{-l} + B^\dagger_{-l} B_{-k} = \delta_{kl}\tag{6.47}\\    A^\dagger_k A^\dagger_l + A^\dagger_l A^\dagger_k = 0 & \hskip .5in &    B^\dagger_{-k} B^\dagger_{-l} + B^\dagger_{-l} B^\dagger_{-k} = 0    \nonumber \end{eqnarray}\]

を課す。これらの関係式は

\[    \alpha_k^2 \, + \, \beta_k^2 \, = \, 1     \tag{6.48} \]

となるときに成り立つことが簡単に分かる。よって、

\[    \alpha_k = \sin \theta_k \, , \hskip .3in \beta_k = \cos\theta_k     \tag{6.49} \]

と書ける。条件(6.48)を伴う変換(6.46)のように、正準演算子の変換により得られる新しい演算子が元の演算子と同じ交換関係を満たすことが保証される場合がある。このような変換はボゴリューボフ変換として知られている。ボゴリューボフ変換(6.46)の逆変換は

\[    \begin{split}    b_k &= \alpha_k B_{-k} - \beta_k A^\dagger_k \hskip 1in    c_{-k} = \alpha_k A_k +\beta_k B^\dagger_{-k}\\    b^\dagger_k &= \alpha_k B^\dagger_{-k} - \beta_k A_k \hskip 1in    c^\dagger_{-k} = \alpha_k A^\dagger_k +\beta_k B_{-k}    \end{split}    \tag{6.50} \]

となることが分かる。これらの関係式を(6.45)に代入して、$H_0$を$A_k,  A^\dagger_k, B_{-k}, B^\dagger_{-k}$で表すと

\[    H_0 = \sum_k \epsilon_k \left[ 2 \beta_k^2  ~+~(\alpha_k^2 - \beta_k^2 )  (N_k + {\tilde N}_k)     - 2 \alpha_k \beta_k ( A_k B_{-k} +B^\dagger_{-k} A^\dagger_k )    \right]    \tag{6.51} \]

となる。ただし、$N_k, {\tilde N}_k$は新しい生成・消滅演算子に対応する数演算子であり、

\[    N_k = A^\dagger_k A_k \, , \hskip .3in {\tilde N}_k = B^\dagger_{-k} B_{-k}     \tag{6.52} \]

で与えられる。つぎに、$H_{int}$を変形する。基底状態を見つけることが当面の目的であるので、新しい生成・消滅演算子について高々2次の項のみを残して考える。つまり、$N_{k'} A_k B_{-k} $などの4次の項は無視する。また、$V_{k k'}$が$k, k'$について対称であることから、$H_{int}$は

\[\begin{eqnarray}    H_{int} &=& \sum_{kk'} V_{kk'} \left[ \alpha_{k'} \beta_{k'} \left( N_{k'} + {\tilde N}_{k'} - 1\right)    + \left(\alpha_{k'}^2 B^\dagger_{-k'} A^\dagger_{k'} - \beta_{k'}^2 A_{k'} B_{-k'} \right)    \right] \nonumber\\    && \hskip .5in    \times \left[ \alpha_{k} \beta_{k} \left( N_{k} + {\tilde N}_{k} - 1\right)    + \left( \alpha_{k}^2 A_{k} B_{-k}  - \beta_{k}^2 B^\dagger_{-k} A^\dagger_{k} \right)    \right]\nonumber\\    &\approx&  \sum_{kk'} V_{kk'} \alpha_{k'}\beta_{k'} \alpha_k \beta_k    - 2\, \sum_{kk'} V_{kk'}\alpha_{k'}\beta_{k'} \alpha_k \beta_k (N_k + {\tilde N}_k )\nonumber\\    &&\hskip .05in - \sum_{kk'} V_{kk'}\alpha_{k'}\beta_{k'} (\alpha_k^2 - \beta_k^2)  (A_k B_{-k}    + B^\dagger_{-k} A^\dagger_k ) ~+ ~ {\rm (4次の項)}   \tag{6.53} \\ \end{eqnarray}\]

と変形できる。以下では、$( A_k B_{-k} + B^\dagger_{-k} A^\dagger_k )$-項の係数をゼロとおくことでハミルトニアンの対角化を進める。この場合、全ハミルトニアンは数演算子$N_k, {\tilde N}_k$だけに依存し、簡単に対角化できる。というのも、$N_k, {\tilde N}_k$の対角基底は自明であり簡単に構成できるからである。(6.51), (6.53)より、$( A_k B_{-k} + B^\dagger_{-k} A^\dagger_k )$-項の係数をゼロにする条件は

\[    2\, \epsilon_k \alpha_k \beta_k + ( \alpha_k^2 - \beta_k^2)~ \sum_{k'} V_{kk'} \alpha_{k'} \beta_{k'} = 0     \tag{6.54} \]

で与えられる。(6.49)を用いると、これは

\[    \epsilon_k \sin 2 \theta_k  + \Delta_k \cos2 \theta_k = 0    \tag{6.55} \]

と表せる。ただし、$\Delta_k$は

\[    \Delta_k = - \sum_{k'} V_{kk'} \alpha_{k'} \beta_{k'}    = - {1\over 2} \sum_{k'} V_{kk'} \sin 2\theta_{k'}     \tag{6.56} \]

と定義した。フェルミエネルギー近傍の状態を考えているので、$k$, $k'$がその狭い範囲に限られているとすると、$V_{kk'}$は$k$, $k'$に依らないと近似できる。よって、$V_{kk'} = - V_0$ $(V_{0} > 0)$ とおける。したがって、(6.56)で定義される$\Delta_k$は$k$とは独立にとれるので、今後はこれを$\Delta$で表す。このとき、式(6.55)から

\[    \sin 2\theta_k =  {\Delta \over \sqrt{\epsilon_k^2 + \Delta^2}} \, ,    \hskip .3in \cos 2 \theta_k =  - {\epsilon_k \over \sqrt{\epsilon_k^2 + \Delta^2}}     \tag{6.57} \]

が得られる。これらを$\Delta_k$の定義式、つまり(6.56)に代入すると、$\Delta$についての方程式

\[\begin{eqnarray}    \Delta &=& {V_0 \over 2} \sum_k {\Delta \over \sqrt{\epsilon_k^2 + \Delta^2}}    \nonumber\\    &\approx& {V_0 \over 2} \int d\epsilon~ G(\epsilon )~{\Delta \over \sqrt{\epsilon^2 + \Delta^2}}   \tag{6.58} \end{eqnarray}\]

が得られる。ただし、運動量についての和を積分で近似した。ここでは、さらに $d^3k \rightarrow d \epsilon \, G(\epsilon )$ として$k$-積分をエネルギー積分に変換した。$G(\epsilon )$は状態密度を表す。式(6.58)は次節で明らかになる理由からギャップ方程式と呼ばれる。引力相互作用はフェルミ準位付近のわずかなエネルギー範囲だけで有効となる。エネルギーはフェルミ準位からの差異で測定されることを思い出すと、このエネルギー範囲は $-\omega_D \leq \epsilon \leq \omega_D$ と取れる。ただし、$\omega_D$はデバイ振動数である。(6.58)の積分範囲はこのエネルギー範囲に限定される。（$\Delta$は、ある微小範囲内で定数の値をとりその範囲を外れると突然ゼロになるという意味で、$k$に依存する量と解釈することもできる。）このエネルギー範囲で状態密度$G(\epsilon)$は定数と近似できるので$G(\epsilon )$をフェルミ準位での値 $G_0 = G (0)$ と置き換えて積分を近似できる。よって、ギャップ方程式は

\[    \Delta~\left[ 1- ~V_0 G_0 \sinh^{-1} (\omega_D/\Delta ) \right] =0     \tag{6.59} \]

と変形できる。この方程式は2つの解をもつ。1つは自明な解 $\Delta =0$ であり、もう一つは非自明な解

\[\begin{eqnarray}    \Delta &=& \omega_D ~{1\over \sinh(1/V_0G_0)}\nonumber\\    &\approx& 2~ \omega_D ~\exp \left( - {1\over V_0 G_0 }\right)     \tag{6.60} \end{eqnarray}\]

である。最後の項の導出では、$V_0 G_0$の値が一般に微小量となることを用いた。この解は本質的に非摂動的な特性をもつことに注意しよう。$V_0$は結合定数あるいは相互作用の強さを表すので、摂動展開は$V_0$の級数展開で与えられる。上式では、$\Delta$は基本的に $V_0 =0$ で特異点を持つので、この点のまわりで級数展開することはできない。次節で示すように、ギャップ方程式の2つの解のうち基底状態のエネルギーを極小化するのは非自明な解(6.60)のほうである。

6. 超伝導とBCS理論 vol.2

前回のエントリーでは超電導現象の入門として結晶中の電子とフォノンの相互作用を考え、場の量子論の摂動計算から電子-フォノン相互作用の具体的な形

\[    S_{int} ~=~ e \omega_0 \sqrt{{1\over \epsilon_\infty} - {1\over \epsilon_0}}~   \int d^4x d^3y ~\psi^* \psi (x) ~G(\vx-\vy )~ \nabla \cdot \phi (y)    \tag{6.26} \]

を導いた。以下では、この相互作用を使ってBCS理論の基礎となるペアリング相互作用を導出する。

ペアリング相互作用

　相互作用(6.26)において、電子場$\psi$と$\psi^*$はそれぞれ電子の消滅・生成演算子を表す。（正確には(6.29)で定義するように$\psi$, $\psi^*$はフェルミオン演算子$C_k$, $C_k^\dag$のモード展開で表せる。）また、${\vec \phi}$ はフォノン場を表す。フォノン場の伝播関数は2点関数

\[\begin{align}   \bra \chi (x) \, \chi (y) \ket & = \int {d^3 q\over (2\pi )^3}\,  {\vert D_q\vert^2\over 2 \omega_q}   \left[ \theta (x^0 - y^0)\, e^{-i \omega_q (x^0 - y^0) +i \vq \cdot (\vx - \vy) }\right. \nonumber\\   &  \hskip 1in \left. + \, \theta (y^0 - x^0)\, e^{ i \omega_q (x^0 - y^0) - i \vq \cdot (\vx - \vy) } \right]   \tag{6.27} \end{align}\]

で与えられる。ただし、$\chi (x) = \int d^3y \, G(x,y) \nabla \cdot \phi (y)$ である。また、ここでは$\vert D_q \vert^2 = 1/q^2$とおける。しかし、結晶構造を考慮すると$ \vert D_q \vert^2$は$1/q^2$とは異なる可能性がある。よって、基本的に$ \vert D_q \vert^2$は物質ごとに特定される関数として扱われる。

　指数$e^{i S_{int}}$を$\chi (x)$について展開し、2次のオーダーでウィック縮約を実行すると、フォノン交換による有効作用

\[   \Gamma = i {F^2 \over 2} \int d^4x d^4y \, \psi^* \psi(x) ~\psi^* \psi (y) ~\bra \chi (x) \chi (y) \ket  \tag{6.28}\]

が（2次のオーダーで）得られる。ただし、前回と同じく

\[ F = e \omega_0 \sqrt{{1\over \epsilon_\infty} - {1\over \epsilon_0}} \]

である。ここで、電子場の演算子のモード展開

\[    \psi (x) = {1\over \sqrt{V}} \sum_l C^{}_l \, e^{- i E_l x^0 +i {\vec l} \cdot \vx }, \hskip .2in    \psi^* (x) =  {1\over \sqrt{V}}  \sum_k C^\dagger_k \, e^{ i E_k x^0 - i {\vec k} \cdot \vx }   \tag{6.29} \]

を導入する。ただし、$C_k$, $C^\dagger_k$はそれぞれ電子の消滅・生成演算子である。（これらフェルミオン演算子については前回のエントリーで解説した。）このモード展開を(6.28)に代入すると、$x^0 > y^0$となる項は

\[ \begin{align} \Gamma^{(1)} &= i {F^2 \over 2} \int_q  {\vert D_q \vert^2 \over 2 \omega_q} \sum_{l,r} C^\dagger_k\, C^{}_l \,C^\dagger_p \,C^{}_r \,\, \delta_{\vp, \vr - \vq} \,\delta_{\vk, \vl +\vq}\, {2 \pi\, \delta (E_k + E_p - E_l - E_r) \over i ( E_p - E_r + \omega_q -i \epsilon)}\nonumber\\ &= {F^2 \over 2} \int_q  {\vert D_q \vert^2 \over 2 \omega_q} \sum_{l,r} \int dt\, {C^\dag_{l +q}(t) \, C^{}_l(t) \, C^\dag_{r-q}\,(t) C^{}_r (t) \over (E_{r-q} - E_r + \omega_q -i \epsilon )} \tag{6.30} \end{align} \]

と計算できる。ただし、$C_p (t) = C_p \, e^{-i E_p x^0}$ などの関係式を用いた。エネルギー保存のデルタ関数は$t$-積分で書き換えられている。同様に、運動量の入れ替えに注意すると$y^0 > x^0$となる項も

\[    \Gamma^{(2)} = -  {F^2 \over 2} \int_q  {\vert D_q \vert^2 \over 2 \omega_q} \sum_{l,r}    \int dt\, {C^\dag_{l +q}(t) \, C^{}_l(t) \, C^\dag_{r-q}\,(t) C^{}_r (t)    \over (E_{r-q} - E_r - \omega_q + i \epsilon )}\tag{6.31} \]

と計算できる。ただし、変数の変換 $\vq \rightarrow -\vq$ を用いた。これら2つの項の和をとると

\[ \begin{align}    \Gamma & =  {F^2 \over 2} \int_q  {\vert D_q \vert^2 \over 2 \omega_q} \sum_{l,r}    \int dt\, C^\dag_{l +q}(t) \, C^{}_l(t) \, C^\dag_{r-q}\,(t) C^{}_r (t) \times\nonumber\\    &\hskip .5in \left[ {1\over (E_{r-q} - E_r + \omega_q - i \epsilon )} -     {1\over (E_{r-q} - E_r - \omega_q + i \epsilon )}\right]     \tag{6.32} \end{align} \]

となる。この式の実部は、極限 $i \epsilon \rightarrow 0$ のもとで、

\[    \Gamma = {F^2 \over 2} \int_q  \vert D_q\vert^2 \int dt ~ \sum_{l, r}    { C^\dag_{l +q}(t) \, C^{}_l(t) \, C^\dag_{r-q}\,(t) C^{}_r (t) \over [ \omega_q^2 - (E_r - E_{r-q})^2]}   \tag{6.33} \]

と書ける。これは作用においてポテンシャル・エネルギーのように扱えるので、ハミルトニアンの補正項は

\[    {\tilde H} = - {F^2 \over 2} \int_q  \vert D_q\vert^2 \,\sum_{l, r}   { C^\dag_{l +q} \, C^{}_l \, C^\dag_{r-q}\, C^{}_r  \over [ \omega_q^2 - (E_r - E_{r-q})^2]}    \tag{6.34} \]

とおける。電子間に働く遮蔽されたクーロン斥力に加えてこの相互作用項も足さなければならない。つまり、４電子の相互作用項の総和は

\[    H_{int} = \int_q \sum_{l, r} C^\dag_{l +q} \, C^{}_l \, C^\dag_{r-q}\, C^{}_r     \left( {e^2 \over q^2 + a^2 }  - {F^2 \vert D_q\vert^2 \over 2 \,  [ \omega_q^2 - (E_r - E_{r-q})^2]}    \right) \tag{6.35} \]

で与えられる。ただし、$a^{-1}$はクーロン相互作用の遮蔽距離を表す。電子-フォノン相互作用の強さに応じて、(6.35)の第２項はクーロン斥力より優勢になり、$(E_r - E_{r-q})^2 < \omega_q^2$ の場合、電子間に引力相互作用を引き起こす。

Mathematical Review 120: 重力子散乱振幅 最近の話題

　ツイスター空間を使ったゲージ粒子や重力子の散乱振幅の計算についての研究は以前ほどではありませんが今でもホットなトピックです。先日、関連論文のレビュー依頼が来たので久しぶりに重力子散乱について見直してみました。論文ではツイスター空間での解析がしやすい状況で曲がった空間の効果がどうなるかを調べていましたが、背景知識がかなり要求されるのでモチベーションがないと読み進めるのが大変です。（最近の高エネルギー理論の論文は大抵そうですが。）詳細は追っていませんが当然ながら背景場の曲率の寄与が無視できなくなりいわゆるテイル効果（重力子と曲率の相互作用による効果）が出てくるとのことでした。

　論文を読んでいて自分が昔書いた話は全く知られていないのだなあと少し残念に思いました。あの時の話、重力子散乱と組紐群の関係やMHVルール（CSWルールともいう）から重力子散乱のS行列を導出できること、あるいはグラスマン多様体との関係などについては特に触れられていなかったので読みながら、そういうのじゃないんだけどなぁなんて何度も詰まってしまいました。なら、考えていたことを自分で書けばいいじゃないかと自問自答しながら昔のノートを引っ張り出したりしてレビューどころでありませんでした。埒が明かないのでやっつけ的にレビュー出しました。なんだかんだで4,5日掛かりました。その間、BCS理論のノートのほうは一時中止。これから再開します。

6. 超伝導とBCS理論 vol.1

6.1 超伝導入門

超伝導は超低温下において多くの物質で観測される現象である。これは、1911年に初めて観測されて以来、実験・理論の双方で広範囲に研究されている分野である。超伝導理論の基本的な枠組みはバーディーン(Bardeen)、クーパー(Cooper)、シュリーファー(Schrieffer)によって1957年に与えられた。この章ではBCS理論の代数的な側面について考える。その導入として、まず超伝導の基本事項を以下に示す。

1. 電気伝導性物質を冷却すると、ある温度$T_c$に達すると突然に電気抵抗がゼロとなりそれ以下の温度でゼロであり続ける。
2. 超伝導は多様な物質で観測される。これは物質各々のバンド構造の詳細がそれほど重要でないことを示唆している。
3. 励起電子のエネルギー・スペクトルにはギャップが存在する。
4. 転移温度$T_c$と原子核の質量$M_{\rm nuc}$の間には関係式 $T_c  \propto {M_{{\rm nuc}}}^{- \hf}$ が成り立つ。これは超伝導が単に電子だけの現象ではなく本質的に原子核が関わる現象であることを示す。また、以下で議論するように、この関係式は格子振動、つまりフォノンあるいは量子化された音波が重要であることを意味する。

　原子核の格子内にある多電子系において、2種類の電子間相互作用が重要となる。1つはもちろんクーロン斥力であり、もう1つは格子振動あるいはフォノンによって媒介される相互作用である。いま考えている状況、つまり原子核格子が背景となる多電子系ではクーロン相互作用は遮蔽されることが知られている。この遮蔽効果は湯川ポテンシャル$V_{ \rm Yuk} \sim (e^{-ar})/{r}$で記述される。ただし、$a^{-1}$はクーロン相互作用が有効となる距離を表す。運動量空間表示では湯川ポテンシャルは$(k^2 + a^2)^{-1}$に比例する。ただし、$\vec{k}$ $( k= \sqrt{|\vec{k}|^2} )$ は3次元空間の運動量ベクトルである。この関係はフーリエ変換

\[ \int \frac{d^3 k}{(2 \pi )^3} \frac{1}{k^2 + a^2} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}    \, = \,    \frac{e^{-ar}}{ 4 \pi r} \sim  V_{\rm Yuk} (r) \tag{6.1} \]

から簡単に確認できる。よって、$V_{\rm Yuk}$が比較的小さいエネルギー準位では電子-フォノン相互作用が引力として優勢になり、この引力によって電子のペア（電子対）が生成される。電子対はボース粒子として振る舞うため、超伝導はボース-アインシュタイン凝縮の帰結として解釈できる。これがBCS理論の主要なアイデアである。この電子対はクーパー対と呼ばれる。ここで、ばね振動との類推から$k_{\rm vib}$を原子核振動の「ばね定数」とみなすと、大まかに言って、電子フォノン相互作用の典型的なエネルギー準位は $\om_{\rm vib} \sim \sqrt{k_{\rm vib} / M_{\rm nuc}}$ で与えられる。よって、電子がフォノンとの相互作用を通してペアリングされるという描像から関係式 $T_c  \propto {M_{{\rm nuc}}}^{- \hf}$ を理解することは可能である。

フェルミオン演算子

　最初に多電子系における電子の生成・消滅演算子について復習しよう。運動量が$\vec{k}$の１電子状態は $| \cdots 1_k \cdots \ket \equiv | 1_k \ket$ と表せる。ただし、ここでは電子のスピンを無視する。この電子の消滅演算子$C_k$をとする。つまり、

\[ C_k | 1_k  \ket = | 0_k \ket \tag{6.2} \]

と定義する。これは、$\bra 0_k \vert C_k \vert 1_k \ket= 1$ と同じことである。この関係は $\bra \psi \vert 1_k\ket =1$ と書き換えられる。ただし、$\vert \psi \ket = C^\dagger_k \vert 0_k \ket$ であるが、これは基本的に$C_k$の随伴の定義を与える。よって、

\[ C^{\dag}_{k} | 0_k  \ket = | 1_k  \ket \tag{6.3} \]

が分かる。つまり、$C_k^\dag$は運動量が$\vec{k}$の電子の生成演算子である。電子はフェルミ粒子（フェルミオン）なのでパウリの排他律から状態が2重に占有されることは許されない。したがって、関係式

\[ C^{\dag}_{k}C^{\dag}_{k} | \cdots 0_k \cdots \ket = 0 \tag{6.4} \]

が成り立つ。（ここではスピンの自由度を無視していることに注意。）任意の状態から始めても同様の結果が得られるので、一般に排他律は

\[ C^{\dag}_{k}C^{\dag}_{k}  = C_{k} C_{k} = 0 \tag{6.5} \]

と表せる。以上より、関係式

\[ \begin{array}{l} C_k C_k^\dag | 0_k \ket = C_k | 1_k \ket = | 0_k \ket  \\ C_k^\dag C_k | 0_k \ket = C_k^\dag C_k C_k | 1_k \ket = 0 \\ C_k C_k^\dag | 1_k \ket = C_k C_k^\dag C_k^\dag | 0_k \ket = 0 \\ C_k^\dag C_k | 1_k \ket = C_k^\dag | 0_k \ket = | 1_k \ket \\ \end{array} \tag{6.6} \]

が成り立つ。よって、$C_k$と$C_k^\dag$は反交換関係

\[ C_k C^{\dag}_{k} + C^{\dag}_{k} C_k = 1 \tag{6.7} \]

に従うことが確認できる。

　これらの関係式は多電子系にも簡単に拡張できる。例えば、異なる運動量$\vec{k}$, $\vec{l}$でラベルされる状態を考える。2電子状態は粒子の交換について反対称なので $C_k^\dag C_l^\dag | 0_k 0_l \ket = | 1_k 1_l \ket = - | 1_l 1_k \ket$ とおける。これより、関係式 $C_k^\dag C_l^\dag = - C_l^\dag C_k^\dag$ が得られる。この共役も考えると

\[\begin{eqnarray} C_k^\dag C_l^\dag + C_l^\dag C_k^\dag &=& 0 \tag{6.8} \\ C_k C_l + C_l C_k &=& 0  \tag{6.9} \end{eqnarray} \]

が成り立つ。反交換関係(6.7)は

\[ C_k C_l^\dag + C_l^\dag C_k = \del_{kl} \tag{6.10} \]

と一般化される。関係式(6.8)-(6.10)はフェルミオンの生成・消滅についての代数を与える。また、(6.6)からフェルミオンの数演算子は$C_{k}^{\dag} C_{k}$で与えられることが分かる。

　より一般的に、１粒子状態ラベル$\alpha$, $\beta$などで表示できる。これらは運動量やスピンのラベルを表す複合的な添え字であり、例えば、$\vert \alpha \ket = \vert \vk, \uparrow\ket$ と書ける。そのような状態にあるフェルミオンの消滅演算子を$C_{\alpha}$で表すと、フェルミオン全体の代数は

\[\begin{eqnarray}   C_\alpha \, C_\beta +   C_\beta \, C_\alpha  &=& 0 \\   C^\dagger_\alpha \, C^\dagger_\beta +    C^\dagger_\beta \, C^\dagger_\alpha  &=& 0 \\    C_\alpha \, C^\dagger_\beta +   C^\dagger_\beta \, C_\alpha  &=& \delta_{\alpha \beta}   \end{eqnarray}  \tag{6.11}  \]

で与えられる。

電子-フォノン相互作用

　つぎに、超伝導、少なくとも標準的なBCS型の超伝導体にとって重要となる電子-フォノン相互作用について考える。この相互作用は結晶格子の振動イオン場を背景とする電子の静電エネルギーに起因する。まず、格子振動の振幅が格子間隔に比べて小さいという近似を用いてこの相互作用の解析を始めよう。

5. クォークとハドロン・スペクトル vol.5

前回はハドロンのメソンとバリオンについて解説し、バリオンの質量公式を導いた。今回はメソンの質量公式について紹介し、メソンとバリオンの相互作用について議論する。

メソンの質量公式

　

スピン-0とスピン-1の最軽量メソン（中間子）の一覧

\[ \begin{array}{|c | c | c|  c|  c|  c |} \hline &\mbox{スピン-0}&\mbox{質量}& \mbox{スピン-1}& \mbox{質量} & \mbox{クォーク構成}\\ && \mbox{(MeV)} && \mbox{(MeV)} &\\ \hline \mbox{1重項}& \eta^\prime & 958& \omega &783&  (u {\bar u} + d {\bar d} + s {\bar s})/\sqrt{3} \\ \hline & \pi^0 & 135& \rho^0 &775& (u {\bar u} - d {\bar d} )/\sqrt{2} \\ & \pi^+ &140& \rho^+ &775& u {\bar d} \\ & \pi^- &140& \rho^- &775& d {\bar u} \\ \mbox{8重項} & K^+ &494& K^{*+} &892& u {\bar s} \\ & K^- &494& K^{*-} &892& s {\bar u} \\ & K^0 &498& K^{*0} &896& d {\bar s} \\ & {\bar K}^0 &498& {\bar K}^{*0} &896& s {\bar d} \\ & \eta &548& \varphi &1019& ( u {\bar u} + d {\bar d} - 2 \,s {\bar s})/\sqrt{6} \\ \hline \end{array} \]

　これまで考えてきたメソンは上の表に示すように8重項の表現に属した。スピン-0の擬スカラー中間子の場合、その行列表現は8重項バリオンと同じように

\[   {\mathbf M} = \left( \begin{matrix}    {\pi^0\over \sqrt{2}}+ {\eta\over \sqrt{6}}& \pi^+ & K^+\\    \pi^-& -{\pi^0\over \sqrt{2}}+ {\eta\over \sqrt{6}}& K^0\\    K^-& {\bar K}^0& -{2 \over \sqrt{6}} \eta\\    \end{matrix}\right) = \sum_{a=1}^{8} \phi^a \frac{\la^a}{\sqrt{2}}    \tag{5.53} \]

と表せる。ただし、$\la^a$ ($a= 1,2, \cdots , 8$) は1.5節で紹介したゲルマン行列

\[\begin{eqnarray}    &&    \la^1 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 1 & 0 \\        1 & 0 & 0 \\        0 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^2 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & -i & 0 \\        i & 0 & 0 \\        0 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^3 =    \left(      \begin{array}{ccc}        1 & 0 & 0 \\        0 & -1 & 0 \\        0 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)    \nonumber \\    &&    \la^4 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & 1 \\        0 & 0 & 0 \\        1 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^5 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & -i \\        0 & 0 & 0 \\        i & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^6 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & 0 \\        0 & 0 & 1 \\        0 & 1 & 0 \\      \end{array}    \right)    \nonumber \\    &&    \la^7 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & 0 \\        0 & 0 & -i \\        0 & i & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^8 = \frac{1}{\sqrt{3}}    \left(      \begin{array}{ccc}        1 & 0 & 0 \\        0 & 1 & 0 \\        0 & 0 & -2 \\      \end{array}    \right)   \end{eqnarray} \tag{1.49} \]

である。擬スカラー中間子も8重項を成すので、8重項バリオンと類似した質量公式に従うと予想できる。擬スカラー中間子の有効ラグランジアンを考えると、質量項は質量に比例するのではなく質量の2乗に比例する。（これは複素スカラー粒子の自由ラグランジアンから類推できる。なお、擬スカラー中間子の有効ラグランジアンの詳細については、場の量子論の教科書（基礎編）12.10節を参照されたい。）よって、前回導出した8重項バリオンの質量公式

\[ 2 ( M_{p} + M_{\Xi^0} ) = M_{\Si^0} + 3 M_\La \tag{5.47} \]

の質量をメソンの(質量)$^2$としたものが擬スカラー中間子の質量公式として成り立つことが期待できる。つまり、

\[\begin{eqnarray}   2\, (M^2_K + M^2_{K^0}) &=& M^2_{\pi^0} + 3\, M^2_{\eta} \\   2\, (M^2_{K^*} + M^2_{K^{0*}}) &=& M^2_{\rho^0} + 3\, M^2_{\varphi}  　\end{eqnarray} \tag{5.54} \]

と予想できる。ただし、対応する8重項ベクター中間子の関係式も追記した。質量の観測値と比べると、これらの公式は妥当な精度で成り立つことが確認できる。

　ここで紹介した以外にも対称性による物理量の予測は数多くある。例えば、1961年には8重項バリオンの磁気モーメントを予測する関係式が導かれた。これは、コールマン-グラショウ関係式として知られている。

5. クォークとハドロン・スペクトル vol.4

5.4 メソンとバリオンと質量公式

この節では前節の結果（$SU(3)$群の既約表現についての結果）をハドロン・スペクトルの解析に応用する。5.1節で解説したように軽いクォークで構成されるハドロンはフレーバー$SU(3)$対称性をもつ。ただし、この対称性はクォーク間の質量差により明示的に破れる。フレーバー$SU(3)$対称性はウィグナー表示で実現されるので、$SU(3)$のユニタリー既約表現を用いればかなり簡単にハドロン・スペクトルを解析できる。まず、軽いクォーク$Q$とその反クォーク$\overline{Q}$の束縛状態であるメソンを考えよう。メソンのクォーク構成は$M^{i}_{j} = Q^{i} \overline{Q}_j$で与えられる。クォークは$SU(3)$の基本表現${\bf 3}$として変換するので、メソンは直積${\bf 3} \otimes {\bf 3}^*$に属す。随伴表現の次元分解

\[ {\bf 3} \otimes {\bf 3}^* = {\bf 1} \oplus {\bf 8} \tag{5.35} \]

を用いると、メソンは1重項（トレース成分）と8重項（トレースレス成分）に分解できる。よって、だいたい同じ質量をもつ8個のメソンと明らかに異なる質量をもつ1つのメソンの存在が期待できる。さらに、クォークはスピン-$\half$粒子であるので、束縛クォークの軌道角運動量がゼロの状態にあるとして、少なくともスピン-0とスピン-1のメソンのセットが期待できる。ただし、束縛クォークの角運動量がゼロでない場合はより高いスピンのメソンも存在できる。また、パリティは強い相互作用で保存するので、それぞれのスピンと$SU(3)$既約表現に対してパリティが偶・奇の状態が期待できる。典型的なスピン-0、パリティが奇のメソン（擬スカラー中間子）の質量、クォーク構成の一覧は以下のようになる。

スピン-0とスピン-1の最軽量メソン（中間子）の一覧

\[ \begin{array}{|c | c | c|  c|  c|  c |} \hline &\mbox{スピン-0}&\mbox{質量}& \mbox{スピン-1}& \mbox{質量} & \mbox{クォーク構成}\\ && \mbox{(MeV)} && \mbox{(MeV)} &\\ \hline \mbox{1重項}& \eta^\prime & 958& \omega &783&  (u {\bar u} + d {\bar d} + s {\bar s})/\sqrt{3} \\ \hline & \pi^0 & 135& \rho^0 &775& (u {\bar u} - d {\bar d} )/\sqrt{2} \\ & \pi^+ &140& \rho^+ &775& u {\bar d} \\ & \pi^- &140& \rho^- &775& d {\bar u} \\ \mbox{8重項} & K^+ &494& K^{*+} &892& u {\bar s} \\ & K^- &494& K^{*-} &892& s {\bar u} \\ & K^0 &498& K^{*0} &896& d {\bar s} \\ & {\bar K}^0 &498& {\bar K}^{*0} &896& s {\bar d} \\ & \eta &548& \varphi &1019& ( u {\bar u} + d {\bar d} - 2 \,s {\bar s})/\sqrt{6} \\ \hline \end{array} \]

上付きの添え字はメソンの電荷を表し、これは軽クォーク$(u, d, s)$の電荷$(+ 2/3 , - 1/3 , -1/3)$から計算できる。一覧には最も軽いスピン-1でパリティが奇のメソン（ベクター中間子）の8重項も示した。

　バリオンは3つのクォークの束縛状態($QQQ$)である。テンソル表現を用いると、これは$T_{ijk}$と表せる。これは、$T_{ijk} \ep^{jkl} = T^{l}_{i}$ などと縮約を取れるので、可約である。よって、バリオンは10重項(decuplets) $B_{ijk}$ と8重項(octets) $B^{i}_{j}$ に分類される。実際、$SU(3)$の次元を用いると、これは

\[\begin{eqnarray} {\bf 3} \otimes {\bf 3} \otimes {\bf 3} &=& ( {\bf 6} \oplus {\bf 3}^*  ) \otimes {\bf 3}\nonumber \\ &=& {\bf 10} \oplus {\bf 8} \oplus {\bf 8} \oplus {\bf 1} \tag{5.36} \end{eqnarray}\]

と分解できる。クォークはスピン$\frac{1}{2}$をもつので、バリオンはスピン$\frac{1}{2}$と$\frac{3}{2}$をもつ。最初に、10重項のバリオンを考える。これらは$(3,0)$表現に対応し、フレーバーの添え字について完全対称である。また、これらはカラーの添え字について反対称である。なぜなら、粒子は必ずカラー１重項でなければならず、３つのクォークからカラー1重項を作る唯一の方法はカラーの組み合わせを完全反対称にしなければならないからである。よって、パウリの排他律からこれらはスピンについて完全対称でなければならないことが分かる。つまり、10重項バリオンはスピン-${3\over 2}$粒子である。同様の理由から、8重項バリオンはスピン-$\half$粒子であると分かる。8重項バリオンの例はバリオンの集合$\{ \Si^{\pm} , \, \Si^{0}, \, p , \, n , \, \La , \, \Xi^{-}, \, \Xi^{0} \}$で与えられる。ここで、$p$は陽子、$n$は中性子であり、その他の粒子はストレンジ・クォークを含むバリオンである。行列表現を用いると、この8重項バリオンは

\[ B = \left( \begin{array}{ccc} \frac{\Si^0}{\sqrt{2}} + \frac{\La}{\sqrt{6}} & \Si^{+} & p \\ \Si^{-} & - \frac{\Si^0}{\sqrt{2}} + \frac{\La}{\sqrt{6}} & n \\ \Xi^{-} & \Xi^{0} & - \sqrt{\frac{2}{3}} \La \end{array} \right) = \sum_{a = 1}^{8} \psi^{a} \frac{\la^a}{\sqrt{2}} \tag{5.37} \]

と表せる。ただし、$\la^a$ ($a= 1,2, \cdots , 8$) は1.5節で紹介したゲルマン行列

\[\begin{eqnarray}    &&    \la^1 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 1 & 0 \\        1 & 0 & 0 \\        0 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^2 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & -i & 0 \\        i & 0 & 0 \\        0 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^3 =    \left(      \begin{array}{ccc}        1 & 0 & 0 \\        0 & -1 & 0 \\        0 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)    \nonumber \\    &&    \la^4 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & 1 \\        0 & 0 & 0 \\        1 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^5 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & -i \\        0 & 0 & 0 \\        i & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^6 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & 0 \\        0 & 0 & 1 \\        0 & 1 & 0 \\      \end{array}    \right)    \nonumber \\    &&    \la^7 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & 0 \\        0 & 0 & -i \\        0 & i & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^8 = \frac{1}{\sqrt{3}}    \left(      \begin{array}{ccc}        1 & 0 & 0 \\        0 & 1 & 0 \\        0 & 0 & -2 \\      \end{array}    \right)   \end{eqnarray} \tag{1.49} \]

である。$\psi^a$は対応する粒子の場（あるいは演算子）であり、例えば、$\psi^3 = \Sigma^0$, $(\psi^4 - i \psi^5)/\sqrt{2} = p$ などと対応する。(5.37)の係数は$\Tr (\overline{B} B )$の規格化から決まる。

\[ \Tr (\overline{B} B ) = \bar{p} p + \bar{n} n + \overline{\Si^{-}} \Si^{-} + \overline{\Si^{0}} \Si^{0} + \overline{\Si^{-}} \Si^{-} + \overline{\Xi^{-}} \Xi^{-} + \overline{\Xi^{0}} \Xi^{0} + \overline{\La} \La \tag{5.38} \]

ただし、$\overline{B}$は

\[ \overline{B} = \left( \begin{array}{ccc} \frac{\overline{\Si^0}}{\sqrt{2}} + \frac{\overline{\La}}{\sqrt{6}} & \overline{\Si^{-}} & \overline{\Xi^{-}} \\ \overline{\Si^{+}} & - \frac{\overline{\Si^0}}{\sqrt{2}} + \frac{\overline{\La}}{\sqrt{6}} & \overline{\Xi^{0}}\\ \bar{p} & \bar{n}  & - \sqrt{\frac{2}{3}} \overline{\La} \end{array} \right) \tag{5.39} \]

で与えられる。行列表示する利点は、フレーバー$SU(3)$の変換で $B \rightarrow U\, B \, U^\dagger$ と表せることである。ただし、$U$は$SU(3)$群の要素である$3\times 3$行列を表す。行列(5.37)からそれぞれのバリオンのクォーク構成が分かることに注意しよう。例えば、$p$, $n$, $\Si^{+}$は

\[\begin{eqnarray} p &\rightarrow & B_{1}^{~3} \sim \ep^{3ij} B_{1ij} \sim B_{112} \sim uud \nonumber \\ n &\rightarrow & B_{2}^{~3} \sim B_{212} \sim udd \tag{5.40} \\ \Si^{+} &\rightarrow & B_{1}^{~2} \sim B_{131} \sim uus \nonumber \end{eqnarray}\]

と表せる。こららのバリオンはスピン-$\hf$でパリティが偶の粒子である。その質量とクォーク構成は以下の通りである。

8重項バリオンとその質量

\[ \begin{array}{|r|c|r|r|} \hline\hline & \mbox{バリオン} & \mbox{質量(MeV)} & \mbox{クォーク構成} \\ \hline & p & 938 & uud \\ & n & 940 & udd \\ & \La & 1116 & uds \\ \mbox{8重項} & {\Si}^{+} & 1189 & uus \\ & {\Si}^{0} & 1193 & uds \\ & {\Si}^{-} & 1197 & dds \\ & \Xi^{0} & 1315 & uss \\ & \Xi^{-} & 1322 & dss \\ \hline\hline \end{array} \]

同様に、10重項バリオンとその質量の一覧は次のようになる。

10重項バリオンとその質量

\[ \begin{array}{|r|c|r|r|} \hline\hline & \mbox{バリオン} & \mbox{質量(MeV)} & \mbox{クォーク構成} \\ \hline & \Delta^{++} & 1232 & uuu \\ & \Delta^{+} & 1232 & uud \\ & \Delta^{0} & 1232 & udd \\ & \Delta^{-} & 1232 & ddd \\ \mbox{10重項} & {\Si^{*}}^{+} & 1383 & uus \\ & {\Si^{*}}^{0} & 1384 & uds \\ & {\Si^{*}}^{-} & 1387 & dds \\ & {\Xi^{*}}^{0} & 1532 & uss \\ & {\Xi^{*}}^{-} & 1535 & dss \\ & \Om^{-} & 1672 & sss \\ \hline\hline \end{array} \]