12. リー群の幾何学的側面 vol.4

12.3 既約表現

この節ではリー群要素 $g \in G$ の既約表現について考える。12.1節の初めに紹介した群の公理（合成則、結合則、単位元・逆元の存在）は群の要素を（可逆な）正則行列と見做しても成立する。実際、群の要素と行列の集合は準同型 (homomorphic) であることが知られている。12.2節の(12.16)で $SU(2)$ 群の $2 \times 2$ 行列表現 $g (\th ) = \exp \left( i \frac{\si^a}{2} \th^a \right)$ を導入した。これは $SU(2)$ の定義表現と呼ばれる。この表現からさらに高次元の行列表現を構成できる。例えば、行列のブロック対角化

\[    \left(      \begin{array}{cc}        g_1 (\th ) & 0 \\        0 & g_1 (\th ) \\      \end{array}    \right)    \left(      \begin{array}{cc}        g_2 (\th ) & 0 \\        0 & g_2 (\th ) \\      \end{array}    \right)    =    \left(      \begin{array}{cc}        g_1 g_2 & 0 \\        0 & g_1 g_2 \\      \end{array}    \right) .    \tag{12.51} \]

を用いると、$4 \times 4$ 行列による可約表現を得る。一方、既約表現は行列の相似変換 (similarity transformation) によってブロック対角化されない表現で定義される。ここで、相似変換は一般に正則行列を変換行列として定義される。例えば、(12.51)の相似変換は $4 \times 4$ 特殊ユニタリー行列 $U$ を用いて

\[    U^\dagger    \left(      \begin{array}{cc}        g_1 (\th ) & 0 \\        0 & g_1 (\th ) \\      \end{array}    \right)    U \,    U^\dagger    \left(      \begin{array}{cc}        g_2 (\th ) & 0 \\        0 & g_2 (\th ) \\      \end{array}    \right)    U    \, = \,    U^\dagger    \left(      \begin{array}{cc}        g_1 g_2 & 0 \\        0 & g_1 g_2 \\      \end{array}    \right)    U \, .    \tag{12.52}　\]

と表せる。

復習：テンソル解析

　5.3節で解説したように $SU(3)$ 群の既約表現はテンソル解析によって構成できる。以下では一般のリー群についてテンソル解析を用いてどのように既約表現が構成できるかを見る。まず、$N \times N$ 行列はベクトル空間 $V$ の線形変換を定義することに注意する。$V$ の基底を $\phi_i$ $(i = 1,2, \cdots N)$ とおく。このとき $\phi_i$ の変換は

\[    \phi^\prime_i  \, = \, g_{ij} \, \phi_i    \tag{12.53} \]

と表せる。ただし、$g_{ij}$ は対象となる群 $G$ の要素 $g (\th ) = \exp \left( i t^a \th^a \right)$ の行列成分である。ここで、$g$ は $N \times N$ 行列表現であり、$t^a$ $(a = 1, 2, \cdots , N = \dim G )$ はリー代数 G の生成子を表す。

　つぎに、２つの基底の直積 $\Psi_{ij} \equiv \phi_i \chi_j \in V \otimes V$ を考える。$\chi_j$ は2つ目のベクトル空間 $V$ の基底を表す。$\Psi_{ij}$ の変換は上と同様に

\[   \Psi^{\prime}_{ij} \, = \, g_{ik} \, g_{jl} \, \Psi_{kl}    \, \equiv \, G_{ij,kl} \,  \Psi_{kl}     \tag{12.54} \]

と書ける。このとき、$G_{ij,kl}$ は群の合成則 $g^{(1)} \cdot g^{(2)} = g^{(3)}$ を保存する。

\[    G^{(1)}_{ij,kl} G^{(2)}_{kl,mn}    \, = \,    g^{(1)}_{ik} g^{(2)}_{km} \, g^{(1)}_{jl} g^{(2)}_{ln}    \, = \,    g^{(3)}_{im} g^{(3)}_{jn}    \, = \,    G^{(3)}_{ij,mn}   \tag{12.55} \]

この関係式は $G_{ij,kl}$ が2つの表現の合成表現であることを示している。一般に、このような合成表現は既約であり、対称成分と反対称成分を含む。任意の階数の合成表現から既約表現を得るには、次の還元則を適用する必要がある。

1.  対称成分と反対称成分を分離する。5.3節の(5.21), (5.22)で見たように対称成分と反対称成分はそれぞれ独立に変換する。\[     \frac{1}{2} ( \Psi^{\prime}_{ij}  \pm \Psi^{\prime}_{ji} ) \,=\,   \frac{1}{2} ( g_{ik} \, g_{jl} \Psi_{kl} \pm g_{jk}\, g_{il} \Psi_{kl} )   \,  = \, g_{ik} \, g_{jl} \frac{1}{2}( \Psi_{kl} \pm \Psi_{lk} ) \tag{12.56} \]この関係は群の構造に依らない。
2. それぞれの群に応じて不変なテンソルが存在する。これらの不変テンソルを用いてテンソルの添え字を縮約できる。

定義表現 $g (\th ) = \exp \left( i t^a \th^a \right)$ の複素共役は $g^* (\th ) = \exp \left( i t^a \th^a \right)^*$ で与えられる。よって、変換(12.53)の複素共役は

\[   \chi^i \, = \, g^{* ij} \chi^j    \tag{12.57} \]

と表せる。この共役表現は明らかに(12.53)と同じ合成則に従う。慣例として、共役表現の添え字は上付き添え字で表示される。つまり、テンソルの一般形は

\[    \Psi^{j_1 j_2 \cdots j_q}_{i_1 i_2 \cdots i_p}     \tag{12.58} \]

と表せる。ただし、$p$, $q$ は自然数である。注意として、$SU(2)$ 群の場合、

\[\begin{eqnarray}    g^* &=& \exp \left( i \frac{\si^a}{2} \th^a \right)     = e^{- i \frac{\si^1}{2} \th^1 + i \frac{\si^2}{2} \th^2 - i \frac{\si^3}{2} \th^3}    \tag{12.59} \\    \si^2 g^* \si^2 &=& \si^2 \exp \left( i \frac{\si^a}{2} \th^a \right)  \si^2    =  e^{ i \frac{\si^1}{2} \th^1 + i \frac{\si^2}{2} \th^2 + i \frac{\si^3}{2} \th^3} \, = \, g    \tag{12.60} \end{eqnarray}\]

が成り立つ。ただし、パウリ行列の関係式 $( \si^1 )^2 \, = \,  ( \si^2 )^2 = ( \si^3 )^2 = {\bf 1}$ と $\si^i \si^j = - \si^j \si^i$ $( i \ne j )$ を用いた。$SU(2)$ 群の要素の1つとして $ \tilde{g} = \exp \left( i \frac{\si^2}{2} \pi \right) = i \si^2 $ と表せるので、関係式(12.60)は $\tilde{g} g^* \tilde{g}^\dag = g $ と書ける。すなわち、SU(2) 群では共役表現を考える必要がない。この意味で関係式(12.60)は $SU(2)$ 群の擬実数性と言及されることがある。

　ユニタリー表現の場合、$g^{* ij} = ( g^\dag )^{ji } = ( g^{-1} )^{ji } $ となるので、5.3節の(5.27)で解説したようにユニタリー性から $\del^{i}_{j}$ が不変であることが導ける。

\[ {\del^{i}_{j}}^\prime \, = \, g^{*ik} g_{jl} \, \del^{k}_{l} \, = \, g^{* ik} g_{jk} \, = \, g_{jk} ( g^\dag )^{ki} \, = \, ( g \, g^\dag )^{i}_{j} \, = \, \del^{i}_{j} \tag{12.61} \]

また、特殊群の場合、群の要素を行列と見做すとその行列式は１となる。

\[    \det g \, = \, \sum_{\si \in S_N} {\rm sgn} ( \si ) g_{1 \si_1 } g_{2 \si_2 } \cdots g_{N \si_N}    \, = \, 1    \tag{12.62} \]

ただし、$\si$ は添え字$\{ 1, 2, \cdots, N \}$ あるいは対称群 $S_N$ の要素の置換を表す。置換の符号記号は階数 $N$ のレビ-チビタ記号に他ならない。

\[     {\rm sgn} ( \si ) \, = \, \ep_{\si_1 \si_2 \cdots \si_N} \tag{12.63} \]

つぎに、群の要素の行列表現において行のシャッフル $g =( g_{i j }) \rightarrow g_\tau = ( g_{\tau_i j } )$ を考える。ただし、$\tau$ は要素 $\{ 1,2, \cdots, N \}$ の別の置換を表す。このとき、$g_\tau$ の行列式は

\[\begin{eqnarray}    \det g_\tau &=& \sum_{\si \in S_N} {\rm sgn} (\si )     g_{ \tau_1 \si_1} g_{\tau_2 \si_2 } \cdots g_{\tau_N \si_N}    \nonumber \\   &=& \sum_{\si \in S_N} {\rm sgn} ( \si )     g_{ 1 (\tau^{-1} \si)_1} g_{2 (\tau^{-1} \si)_2} \cdots g_{N (\tau^{-1} \si)_N}   \nonumber \\   &=& {\rm sgn} ( \tau ) \sum_{\rho \in S_N}  {\rm sgn} ( \rho )   g_{ 1 \rho_1} g_{2 \rho_2} \cdots g_{N \rho_N}   \nonumber \\   &=& {\rm sgn} ( \tau ) \, \det g = {\rm sgn} ( \tau )   \tag{12.64} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、$\rho = \tau^{-1} \si$ であり、関係式 ${\rm sgn} ( \si ) = {\rm sgn} (\tau) \, {\rm sgn} (\tau^{-1} \si )$ を用いた。ここで、$\si \in S_N$ についての総和は $\rho \in S_N$ についての総和と等しくなることに注意しよう。式(12.63)と(12.64)からレビ-チビタ記号の不変性が直ちに導かれる。

\[    \ep_{i_1 i_2 \cdots i_N }^\prime \,= \, g_{i_1 \si_1} g_{i_2 \si_2} \cdots g_{i_N \si_N} \,   \ep_{\si_1 \si_2 \cdots \si_N}     \,= \, \ep_{i_1 i_2 \cdots i_N } \, \det g \, = \,  \ep_{i_1 i_2 \cdots i_N }     \tag{12.65} \]

これは5.3節で示した $SU(3)$ の場合

\[ \ep_{ijk}^{\prime} = U_{ia} U_{jb} U_{kc} \ep_{abc} = \ep_{ijk} \det U = \ep_{ijk} \tag{5.30} \]

の一般形である。反対称テンソル $\ep_{i_1 i_2 \cdots i_N }$ あるいは $\ep^{i_1 i_2 \cdots i_N }$ との縮約をとると、テンソル(12.58)の上付き添え字 (j1 j2 ... jq) と下付き添え字 (i1 i2 ... ip) はそれぞれ完全対称であることが保証される。さらに、クロネッカーのデルタ $\del^i_j$ との縮約からトレース・ゼロのテンソルのみが有効であることが分かる。

　$SU(2)$ 群の場合、上述の通り、下付き添え字だけのテンソル $\Psi_{i_1 i_2 \cdots i_p}$ から既約表現を分類できる。ただし、添え字は１か２の値をとる。反対称テンソル $\ep^{ij}$ との縮約を考えると、添え字は完全対称に取れる。よって、既約表現の次元は $p+1$ で与えられる。通常、既約表現は $j = p/2$ で特徴付けられるが、この値は $SU(2)$ 代数の生成子 $J^3$ の最大の固有値（スピン）に対応する。

　$SU(3)$ 群の場合、不変テンソルは $\del^{i}_{j}$ と $\ep_{ijk}$ (あるいは $\ep^{ijk}$) で与えられる。(12.56)の第１の還元則を基本表現 ${\bf 3}$ の直積に適用すると、2階テンソル $\Psi_{ij}$ を対称成分 $\Psi_{(ij)}$ と反対称成分 $\Psi_{[ij]}$ に分解できる。$\Psi_{(ij)}$ には６つの項があり、$\Psi_{[ij]}$ には３つの項がある。$\Psi_{ij}$ に第２の還元則を適用すると、反対称成分は $\ep^{ijk} \Psi_{ij} = \chi^k$ と上付き添え字1つをもつテンソルで表せる。これは共役な基本表現 ${\bf 3}^*$ に相当する。テンソル $\chi^k$ が共役表現として変換することは次のように確認できる。

\[\begin{eqnarray}   \chi^{ \prime k} & = & \ep^{ijk} g_{im} g_{jn} \Psi_{mn} \nonumber \\    &=& \ep^{mnp} g^{* kp} \Psi_{mn} \, = \, g^{* kp} \chi^p \tag{12.66} \end{eqnarray} \]

ただし、関係式 $\ep^{ijk} g_{im} g_{jn} = \ep^{mnp} g^{*kp}$ を用いた。この関係式は $\ep^{mnp}$ の不変性あるいは単位行列式 $\det g =1$ から導出できる。実際、

\[    \ep^{\prime mnp} \, = \, \ep^{ijk} g_{im} g_{jn} g_{kp}    \, = \, \ep^{mnp} \, \det g \, = \, \ep^{mnp}     \tag{12.67} \]

なので、$\ep^{mnp} g^{*lp}$ は

\[\begin{eqnarray}    \ep^{mnp}g^{*lp} &= & \ep^{ijk} g_{im} g_{jn} g_{kp}  g^{*lp}    \nonumber \\    &=&  \ep^{ijk} g_{im} g_{jn} g_{kp}  ( g^{\dag})^{pl}    \nonumber \\    &=& \ep^{ijk} g_{im} g_{jn} \del_k^l ~ = ~ \ep^{ijl}  g_{im} g_{jn}   \tag{12.68} \end{eqnarray} \]

と表せる。階数２テンソルの分解 $\Psi_{ij} = \Psi_{(ij)} +\Psi_{[ij]}$ を既約表現の次元で表すと

\[    {\bf 3} \otimes {\bf 3} \, = \, {\bf 6} \oplus {\bf 3}^*   \tag{12.69} \]

と書ける。$SU(3)$ 群の既約表現はテンソル $\Psi_{i_1 i_2 \cdots i_p}^{j_1 j_2 \cdots j_q}$ で分類できる。ここで、上付き・下付きの添え字はそれぞれ完全対称であり、添え字1つ1つは $(1, 2, 3)$ のいずれかの値をとる。さらに、上付きと下付きの添え字の (不変テンソル $\del_i^j$ による) 縮約はテンソル解析においてトレース成分に相当しゼロとおける。テンソル $\Psi_{i_1 i_2 \cdots i_p}^{j_1 j_2 \cdots j_q}$ において下付き添え字の組み合わせは ${}_{p+2}C_{2} = \frac{1}{2} (p+1)(p+2)$ で与えられる。同様に、上付き添え字の組み合わせは ${}_{q+2}C_{2} = \frac{1}{2} (q+1)(q+2)$ となる。よって、トレース成分を差し引くと $SU(3)$ 既約表現の次元 $\dim ( p, q )$ を導出できる。

\[\begin{eqnarray}    \dim ( p, q )  &= & \frac{1}{2} (p+1)(p+2) \frac{1}{2} (q+1)(q+2) - \frac{1}{2}p (p+1) \frac{1}{2}q (q+1)    \nonumber \\    &=& \frac{1}{2} ( p+1) (q + 1 ) ( p+ q +2 )    \tag{12.70} \end{eqnarray} \]

これは、5.3節の(5.34)で求めたもとの同じである。低次元の $SU(3)$ 既約表現とそのテンソル表示は以下のようになる。

\[ \begin{array}{cclcccl} \hline (p, q) & {\rm 次元}& &~~& (p, q) &{\rm 次元} & \\ \hline  (1, 0) & {\bf 3}&  \Psi_i &~~& (3, 0) & {\bf 10}& \Psi_{ijk} \\ (0, 1) & \,\,{\bf 3}^* & \Psi^i &~~& (0, 3) & \,\,{\bf 10}^*  & \Psi^{ijk} \\ (2, 0) & {\bf 6} & \Psi_{ij} &~~& (2, 1) & {\bf 15} & \Psi_{ij}^{k} \\ (0, 2) & \,\,{\bf 6}^*  & \Psi^{ij} &~~& (1, 2) & \,\,{\bf 15}^*  & \Psi_{i}^{jk} \\ (1, 1) & {\bf 8} & \Psi_{i}^{j}  &~~& (2, 2) & {\bf 27} & \Psi_{ij}^{kl} \\ \hline \end{array} \]