12. リー群の幾何学的側面 vol.2

12.2 リー群の幾何学的側面

前節ではリー群の概要について復習した。今節ではリー群を幾何学的な視点から考察する。まず、$SU(2)$ 群について調べ、その一般化を考える。結論として、リー群は一般にリーマン多様体と解釈できることを示す。

SU(2)群

　$SU(2)$ 群の要素は $2 \times 2$ 特殊ユニタリー行列

\[    u = e^{iH} \, ,  ~~~ {\rm det}u = 1    \tag{12.14} \]

で与えられる。ここで、$H$ は $2 \times 2$ トレースレス・エルミート行列である。一般に、$H$ はパウリ行列を用いて

\[    H = \frac{\si_i}{2} \th^i    ~~~~ (i = 1,2,3) \tag{12.15} \]

と表せる。よって、$SU(2)$ 群の要素は

\[    g ( \th ) = u = \exp \left( i \frac{\si_i}{2} \th^i \right)     \tag{12.16} \]

とパラメータ表示できる。これは1.2節の(1.38)と同じである。要素 $u$ の変分は（線形のオーダーで）次のように計算できる。

\[\begin{eqnarray}    u + du &=& \exp \left( i \frac{\si_k}{2} ( \th^k + d \th^k ) \right)    \nonumber \\    &=& 1 + i \frac{\si_k}{2} ( \th^k + d \th^k )    + \frac{i^2}{2!} \frac{\si_k}{2} \frac{\si_l}{2}    ( \th^k + d \th^k )( \th^l + d \th^l ) + \cdots    \nonumber \\    &=&    u + i \frac{\si_k}{2} d \th^k + \frac{i^2}{2!}    \left(    \frac{\si_k}{2} \frac{\si_l}{2} + \frac{\si_l}{2} \frac{\si_k}{2}    \right)    \th^k d \th^l + \cdots    \nonumber \\    &=&    u + i \frac{\si_k}{2} d \th^k + i \frac{\si_k}{2} \th^k  \, i \frac{\si_l}{2} d \th^l    + \frac{i^2}{2} \underbrace{ \left[ \frac{\si_l}{2} ,    \frac{\si_k}{2} \right]}_{ = \,  i \ep_{lkm} \frac{\si_m}{2} } \th^k d \th^l    + \cdots    \nonumber \\    &=&    u + \left( 1 + i \frac{\si_k}{2} \th^k \right)    \left[    i \frac{\si_l}{2} d \th^l - \frac{i}{2} \ep_{lkm} \frac{\si_m}{2} \th^k d \th^l    \right] + \cdots    \nonumber \\    & \equiv &    u + i u \frac{\si_m}{2} E^m_l (\th ) d \th^l    \tag{12.17} \end{eqnarray}\]

ただし、$E^m_l ( \th )$ は

\[    E^m_l ( \th ) \, \simeq \, \del^m_l - \hf  \ep^{m}_{~ \, lk} \, \th^k     \tag{12.18} \]

と表せる。すなわち、

\[    u^{-1} d u   \, = \, i \frac{\si_m}{2} E^m_l (\th ) \, d \th^l     \tag{12.19} \]

を得る。上式は前回求めた関係式

\[     g^{-1} d g \, = \, i T_k d \, \th^k      \tag{12.11} \]

の具体的な形を与える。リーの第１定理から$\exp \left( i \frac{\si_k}{2} ( \th^k + d \th^k ) \right)$ の級数展開とその収束が保証されていることに注意しよう。

　前節で議論したように $E^m_l ( \th )$ は微分演算子 $X_i = i ( E^{-1} )^k_i \frac{\d}{\d \th^k}$ の定義に必要な量であり、この微分演算子は対応するリー代数を成す。よって、 $E^m_l ( \th )$ はリー群の解析に非常に重要な量である。以下で見るように、$u$ の行列成分から $E^m_l ( \th )$ を直接計算することもできる。$u$ は $2\times 2$ ユニタリー行列で表せるので

\[    u \, = \, a {\bf 1} + b_i \si_i \, = \,    \left(      \begin{array}{cc}        a+ib_3 & ib_1 + b_2 \\        ib_1 - b_2 & a - i b_3 \\      \end{array}    \right)    \tag{12.20} \]

とパラメータ表示できる。ただし、$a$, $b_i$ $(i=1,2,3)$ は実数である。条件 ${\rm det} u = 1$ から

\[    a^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 = 1     \tag{12.21} \]

が分かる。これより、簡単に $u^\dag u = {\bf 1}$ を確認できる。ただし、$u^\dag = u^{-1} = a {\bf 1} - i b_i \si_i$ である。関係式(12.21)は $SU(2)$ 群を3次元球面 $S^3$ と解釈できることを意味する。ここで、$a = \sqrt{ 1 - b \cdot b}$ を用いると、

\[    d u \, = \, d a + i d b \cdot \si    \, = \, - \frac{b \cdot d b}{a} + i db \cdot \si     \tag{12.22} \]

と書ける。ただし、恒等行列 ${\bf 1}$ を省略した(以下同様)。このとき、$u^{-1} d u $ は次のように計算できる。

\[\begin{eqnarray}    u^{-1} d u   &=&    ( a - i b \cdot \si )    \left[ - \frac{b \cdot d b}{a} + i db \cdot \si \right]    \nonumber \\    &=&     - b_i \, d b_i + i a \, db_i \, \si_i + i \frac{b_i b_j}{a} \si_i \, d b_j     +  b_i \, db_j \,  \si_i \si_j  \nonumber \\    &=&    i \si_i \left[ a \, d b_i + \frac{b_i b_k }{a} \, d b_k + \ep_{ijk} \, b_j \,  db_k \right] \nonumber \\  &\equiv&   i \frac{\si_i}{2} E^i_k (a, b) \,  d b_k  \tag{12.23}  \end{eqnarray}\] 

ただし、関係式 $\si_i \si_j =  \del_{ij} + i \ep_{ijk} \si_k$ を用いた。これより、興味ある量 $E^i_k (a, b) $ は

\[  E^i_k (a, b) \, = \, 2 \left(   \del^i_k \, a + \frac{b^i b_k }{a} + \ep^{i}_{\, jk} \, b_k     \right) \tag{12.24} \]

と求まる。

SU(2)群のカルタン-キリング計量

　$SU(2)$ 群の計量はカルタン-キリング計量

\[    ds^2 \, = \, -2 \Tr ( u^{-1} d u \, u^{-1} du )     \tag{12.25} \]

で定義される。この計量は多くのアイソメトリーを持つ。実際、そのようなアイソメトリーの集合は $SU(2)$ 代数を成す。関係式(12.23)を用いると、カルタン-キリング計量は

\[\begin{eqnarray}    ds^2 &=& -2 \Tr \left( i \frac{\si^a}{2} \right) \left( i \frac{\si^b}{2} \right)    E^a_\al E^b_\bt \, db^\al d b^\bt    \nonumber \\    &=&    E^a_\al  E^a_\bt \, db^\al d b^\bt    \tag{12.26}  \end{eqnarray}\]

と表せる。8.2節の(8.13)で議論したように曲がった多様体上の計量 $ds^2$ はフレーム場 $e_\mu^a$ を用いて $ds^2 = g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu  = e_\mu^a e_\nu^a dx^\mu dx^\nu$ と定義される。したがって、$SU(2)$ 群を計量(12.26)をもつ曲がった多様体とみなすと、上式は $E^a_\al$ が $SU(2)$ 群のフレーム場を与えることを示す。この意味で $u^{-1} d u$ はフレーム場１形式と呼べる。

一般化とモーレー-カルタン恒等式

　以上 $SU(2)$ の場合を扱ったがこれらの結果はスムーズに一般化できる。リー群 $G$ の要素を $g ( \th )$ とすると、$G$ のカルタン-キリング計量 $ds^2$ はフレーム場１形式

\[   g^{-1} d g \, = \,  i t^a E^a_\al (\th ) \, d \th^\al     \tag{12.27} \]

を用いて

\[  ds^2 \, = \, -2 \Tr (  g^{-1} d g \, g^{-1} d g ) \, = \, E^a_\al \, E^a_\bt \, d \th^\al d \th^\bt    \tag{12.28}  \]

と定義される。ただし、$t^a$ ($a = 1,2, \cdots , {\rm dim}G$) はリー代数 $\mathfrak{G}$ の生成子の行列表現であり、規格化 $\Tr (t^a t^b ) = \hf \del^{ab}$ のもと、

\[    \left[ t^a , t^b \right] \, = \, i C^{abc} t^c    \tag{12.29} \]

を満たす。$C^{abc}$ はリー代数の構造定数である。(12.27)から次の量を定義できる。

\[    A_\al \, \equiv \, g^{-1} \frac{\d g}{\d \th^\al} \, = \, i t^a E^a_\al     \tag{12.30} \]

パラメータ $\th^\al$ による $A_\bt$ の微分は

\[\begin{eqnarray}    \frac{\d}{\d \th^\al} A_\bt    &=& \left( -g^{-1} \frac{\d g}{\d \th^\al} g^{-1} \right) \frac{\d g}{\d \th^\bt}    + g^{-1} \frac{\d^2 g}{\d \th^\al \d \th^\bt}    \nonumber \\    &=& - A_\al A_\bt +  g^{-1} \frac{\d^2 g}{\d \th^\al \d \th^\bt}    \tag{12.31} \end{eqnarray}\]

と計算できる。ただし、関係式 $\frac{\d g^{-1}}{\d \th^\al} = - g^{-1} \frac{\d g}{\d \th^\al} g^{-1}$ を用いた。この関係式は $\frac{\d}{\d \th^\al} (g g^{-1}) = 0$ から自明である。微分を反対称化させると恒等式

\[    \d_\al A_\bt - \d_\bt A_\al + [ A_\al , A_\bt ] \, = \, 0     \tag{12.32} \]

を得る。これはモーレー-カルタン恒等式と呼ばれる。フレーム場で表すとこの恒等式は

\[    \d_\al E^a_\bt - \d_\bt E^a_\al - C^{abc} E^b_\al E^c_\bt    \, = \, 0     \tag{12.33} \]

と書ける。$E^b_\al E^c_\bt$ の因子を反対称化させると、上式は

\[    \d_\al E_\bt^a - \d_\bt E_\al^a - \hf C^{abc} \left(    E^b_\al E^c_\bt - E^b_\bt E^c_\al    \right) \, = \, 0     \tag{12.34} \]

とも表せる。

　上式の左辺は8.2節の(8.22)で定義されたトーション $T^{a}_{\mu\nu}$ と類似していることに注意しよう。このトーション $T^{a}_{\mu\nu}$ を書き下すと

\[    T^{a}_{\mu\nu} \, = \,    \d_\mu e^a_\nu - \d_\nu e^a_\mu + \om^{ab}_{\mu} e^b_\nu - \om^{ab}_{\nu} e^b_\mu    \tag{12.35} \]

となる。ただし、$\om^{ab}_{\mu}$ はスピン接続である。モーレー-カルタン恒等式(12.34)とトーション・ゼロの条件式 $T^{a}_{\mu\nu} = 0$ には構造上の類似性がある。そこで、モーレー-カルタン恒等式(12.34)の解あるいは解釈を関係式(12.35)との比較で考えてみよう。

解１：平行化可能な多様体

　1つ目の解は $\om^{ab}_{\mu} = 0$ で与えられる。(12.35)から、これは $T^{a}_{\mu\nu} = \d_\mu e^a_\nu - \d_\nu e^a_\mu $ を意味する。この場合、フレーム場 $E^a_\al$ に対応するトーションは $T^{a}_{\al\bt} = \d_\al E^a_\bt - \d_\bt E^a_\al$ と定義できる。 よって、(12.34)から

\[    T^{a}_{\al\bt} \, = \, C^{abc} E^b_\al E^c_\bt     \tag{12.36} \]

が分かる。8.2節の(8.26)で紹介したように、リーマン曲率テンソル ${\cal R}^{ab}_{\mu\nu}$ はスピン接続を用いて

\[   {\cal R}_{\mu\nu}^{ab} \, = \, \d_\mu \om^{ab}_{\nu} - \d_\nu \om_{\mu}^{ab}    + \om_{\mu}^{ac}\om_{\nu}^{cb} - \om_{\nu}^{ac}\om_{\mu}^{cb}     \tag{12.37} \]

と定義される。よって、この場合、リー群 $G$ は曲率がゼロでトーションがゼロでない微分可能多様体であると解釈できる。このような多様体は平行化可能な多様体 (parallelizable manifold) と呼ばれる。コンパクトな多様体のうち平行化可能な多様体はリー群と7次元球面 S⁷ のみで与えられることが知られている。

解２：リーマン多様体

　もう1つの解はトーション・ゼロ条件 $T_{\mu \nu}^{a} = 0$ で与えられる。この場合、(12.35)からフレーム場 $E^a_\al$ に対応するスピン接続は

\[    \om^{ab}_{\al} \, = \, \hf C^{abc} E^c_\al     \tag{12.38} \]

と表せる。よって、対応するリーマン曲率テンソルは次のように計算できる。

\[\begin{eqnarray}   {\cal R}_{\al\bt}^{ab} & = & \d_\al \om^{ab}_{\bt} - \d_\bt \om_{\al}^{ab}    + \om_{\al}^{ac}\om_{\bt}^{cb} - \om_{\bt}^{ac}\om_{\al}^{cb}    \nonumber \\    &=&    \hf C^{abc} \underbrace{\left(    \d_\al E^c_\bt - \d_\bt E^c_\al    \right)}_{C^{ckl} E^k_\al E^l_\bt }    + \frac{1}{4} \left(    C^{ack} C^{cbl} - C^{acl} C^{cbk}    \right) E^k_\al E^l_\bt    \nonumber \\    &=&    \left[    \frac{1}{4} C^{abc} C^{ckl} + \frac{1}{4}    \left(    C^{abc} C^{ckl} + C^{kac} C^{cbl} + C^{bkc}  C^{cal}    \right)    \right] E^k_\al E^l_\bt    \nonumber \\    &=&    \frac{1}{4} C^{abc} C^{ckl} E^k_\al E^l_\bt    \tag{12.39} \end{eqnarray}\]

ただし、最終行で構造定数のヤコビ律(12.13)を用いた。このでヤコビ律は添え字 $(a, b, k)$ についての巡回和で表されることに注意。これらの結果から、リー群 $G$ はトーションがゼロで曲率がゼロでない微分可能多様体であると解釈できる。この多様体はリーマン多様体に他ならない。よって、リー群は一般にリーマン多様体と見做せる。カルタン-キリング計量(12.28)を代表とするリー群 $G$ の幾何学的な量は(12.27)で定義されるフレーム場１形式 $g^{-1} d g$ から導出できる。