5.3 $SU(3)$の既約表現
$SU(3)$群はその名の通り、行列式が1となる全ての$3 \times 3$ユニタリー行列$U$ ($\det\, U = 1$) の集合で定義される。$SU(3)$群は、ユニタリー行列$U$がベクトル空間の線形変換として働くとみなすと理解しやすい。このために、まず複素３成分の列ベクトル
\[ \phi_i = \left( \begin{array}{ccc} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \phi_3 \\ \end{array} \right) \tag{5.18} \]
($i=1,2,3$) を考える。この列ベクトルの$U$の作用による線形変換は $\phi^{\prime} = U \phi$ で与えられる。成分表示で表すと
\[ \phi_{i}^{\prime} = \sum_{k=1}^{3} U_{ik} \phi_k \tag{5.19} \]
となる。この$3\times 3$行列$U$は$SU(3)$群の定義表現を与える。（リー群の定義表現について詳しくは1.2節を参照のこと。）しばしば、用語の乱用から変換が作用する空間も表現と言及されることもある。よって、(5.18)の形の列ベクトルで張られる空間も$SU(3)$の定義表現（あるいは基本表現）と呼ばれる。
つぎに、変換のテンソル版 $T_{ij}^{\prime} = U_{ik} U_{jl} T_{kl}$ を考える。群の合成則を確認すれば分かるように、これは群の表現を与える。実際、行列成分の直積$U_{ik} U_{jl} $を（添え字に注目して）${\bf U}_{ij, kl}$と指定すると、群の２つの要素$U_1$, $U_2$の合成が要素$U_3$となれば、${\bf U}$についても同様に合成則が成り立つ。
\[ U_1 U_2 = U_3 ~~\Longrightarrow ~~ {\bf U}_1 \, {\bf U}_2 = {\bf U}_3 \tag{5.20} \]
直積の表現${\bf U}$は一般に可約である。つまり、この表現が作用するベクトル空間は群の作用によって不変な部分空間へ分解できる。これはテンソルを対称化すれば分かる。テンソルの対称成分と反対称成分は独立に変換するからである。対称テンソルの変換は
\[\begin{eqnarray} \left( \frac{T_{ij} + T_{ji} }{2} \right)^{\prime} &=& \frac{1}{2} ( U_{ij} U_{jl} T_{kl} + \underbrace{U_{jk} U_{il} T_{kl} }_{U_{jl} U_{ik} T_{lk} } ) \nonumber \\ &=& U_{ij} U_{jl} \left( \frac{T_{kl} + T_{lk} }{2} \right) \tag{5.21} \end{eqnarray}\]
で与えられる。これは対称成分の集合はそれ自体に変換することを示している。つまり、対称成分は不変な部分空間を成す。これは既約な１成分であり、更に分解することはできない。同様に、反対称成分もそれ自体に変換し、別の不変な部分空間を成す。
\[ \left( \frac{T_{ij} - T_{ji} }{2} \right)^{\prime} \, = \, U_{ij} U_{jl} \left( \frac{T_{kl} - T_{lk} }{2} \right) \tag{5.22} \]
これもまた既約である。よって、$T_{ij}$の9つの要素は6次元と3次元の2つの既約表現に分解する。
テンソルを用いた直積の分解から、$SU(3)$の既約表現を得るには以下に示す3つの規則を課せばよいことが分かる。最初の規則はこれまでの議論から次のようになる。
規則１：対称成分と反対称成分を分離する
列ベクトル$\phi_i$の複素共役
\[ \phi_{i}^{*} = \left( \begin{array}{ccc} \phi_{1}^{*} \\ \phi_{2}^{*} \\ \phi_{3}^{*} \\ \end{array} \right) \tag{5.23} \]
を考える。(5.19)の共役は ${\phi_{i}^{*}}^{\prime} = U_{ik}^{*} \phi_{k}^{*}$ と書ける。ただし、$k$の和については縮約表記した。これは ${\phi_{i}^{*}}^{\prime}= U_{ik}^{*} \phi_{k}^{*} = \phi_{k}^{\dag} ( U^\dag )_{ki} = ( \phi^\dag U^{\dag} )_i$ とも表せる。つまり、
\[ {\phi^\dag}^{\prime} = \phi^\dag U^\dag \tag{5.24} \]
である。共役関係は線形変換ではないので、$\phi$と$\phi^*$は線形独立であることに注意しよう。よって、明らかに$U^\dag$は別の表現を定義する。この表現は基本表現の共役あるいは反基本表現と呼ばれる。混乱を避けるため、共役な表現の添え字を上付きにして追跡できるようにする。
\[ {\phi^i}^{*} = {U^{ik}}^{*} {\phi^k}^{*} \tag{5.25} \]
よって、$T^{i}_{j}$の形のテンソルは
\[ {T^{i}_{j}}^\prime = {U^{ik}}^{*} U_{jl} T^{k}_{l} \tag{5.26} \]
と変換する。この変換にクロネッカー・デルタを当てはめると
\[ {\del^{i}_{j}}^\prime = {U^{ik}}^{*} U_{jl} \del^{k}_{l} = {U^{ik}}^{*} U_{jk} = U_{jk} ( U^\dag )^{ki} = ( U U^\dag )^{i}_{j} = \del^{i}_{j} \tag{5.27} \]
となることが分かる。ただし、$U$のユニタリー性を用いた。したがって、$\del^{i}_{j}$は不変なテンソルであり、上下の添え字を縮約するのに利用できる。クロネッカー・デルタの作用によって得られる量は群の変換のもとで正しく変換するという意味で、この上下の添え字を縮約する演算は不変である。さらに、関係式
\[ {T^{i}_{i}}^\prime = {U^{ik}}^{*} U_{il} T^{k}_{l} = ( U^\dag U )^{k}_{l} T^{k}_{l} = \del^{k}_{l} T^{k}_{l} = T^{k}_{k} \tag{5.28} \]
が成り立つ。よって、$T^{i}_{i}$ (つまり、$T$のトレース) は$U$の変換のもとで不変である。言い換えると、これは恒等変換である。これらの結果から、テンソル$T^{i}_{j}$は
\[ T^{i}_{j} = (T_{{\rm traceless}})^{i}_{j} + \frac{1}{3} \, \del^{i}_{j} \, T^{k}_{k} \tag{5.29} \]
と分解できる。トレースレス成分とトレース成分は2つの異なる不変部分空間（つまり、2つの既約表現）を成す。このことから2つ目の規則が導かれる。
規則2：上下の添え字の縮約はすべて分離する
添え字の縮約は不変テンソル$\del^{i}_{j}$を作用させることで実行できることをみたが、もう1つの不変テンソルが存在する。これはレビ-チビタ反対称テンソル$\ep_{ijk}$であり、条件$\det \, U = 1$に起因する。実際、
\[ \ep_{ijk}^{\prime} = U_{ia} U_{jb} U_{kc} \ep_{abc} = \ep_{ijk} \det U = \ep_{ijk} \tag{5.30} \]
と確認できる。ただし、行列式の定義式
\[ \ep_{ijk} U_{ia} U_{jb} U_{kc} = \ep_{abc} \, (\det\, U ) \tag{5.31} \]
を用いた。よって、テンソルの添え字の縮約に$\ep_{ijk}$または$\ep^{ijk}$を利用することができる。例えば、$T_{ij}$の添え字が反対称であるとすると、これらの成分は $T^k = T_{ij} \ep^{ijk} $ と書き換えることができる。$\ep^{ijk}$は不変テンソルなので、これは$T_{ij}$（つまり、$T^k$）は$SU(3)$の反基本表現として変換することを示している。同様に、$T^{ij} \ep_{ijk} = T_k$ のような縮約も実行できる。$\ep$-テンソルを繰り返し用いると、テンソルの階数に関わりなく反対称の添え字を消すことができる。これより、3つ目の規則が導かれる。
規則3：反対称の添え字のペアは不変テンソル$\ep_{ijk}$あるいは$\ep^{ijk}$で縮約されなければならない
以上の３つの規則に基づいて、どのような既約テンソル表現が$SU(3)$において可能であるかを見ていく。一般のテンソルにこれらの規則を課すことを考える。テンソルの一般形は
\[ T_{i_{1} i_{2} \cdots i_{p}}^{j_{1} j_{2} \cdots j_{q}} \tag{5.32} \]
と書ける。ただし、添え字はそれぞれ$1, 2, 3 $の値をとる。3つ目の規則から、テンソルの上付きの添え字 $( j_1 j_2 \cdots j_q )$、下付きの添え字 $( i_1 i_2 \cdots i_p )$ はそれぞれ置換のもとで完全対称となるように取れる。このテンソルのトレースは $SU(3)$ 変換のもとでそれ自体に変換する階数の低いテンソルである。よって、既約成分を取り出すには、このトレースはゼロと置ける。つまり、階数の低いテンソルの中で既に(5.32)のトレースは数えられているとみなす。これは、上記の規則２に当てはまる。よって、
\[ \del^{i_n}_{j_m} T_{i_{1} i_{2} \cdots i_{p}}^{j_{1} j_{2} \cdots j_{q}} = 0 \tag{5.33} \]
を課すことができる。これより、既約表現を得るには(5.32)の形のテンソルのトレースレス成分のみを考えればよいことが分かる。$SU(3)$代数の有限次元の既約表現はすべて(5.32)と(5.33)の2つの条件の組み合わせで与えられる。
ここで、これらのテンソル表現の次元を数え上げよう。まず、各成分が$1, 2, 3$の値をもつ添え字の集合$( i_1 i_2 \cdots i_p )$を考える。これらは完全対称なので、$k$個の添え字が$3$の値をもつなら、$(p-k)$個の添え字は$1$か$2$の値をもつ。例えば、$(p-k)$個の$1$とゼロ個の$2$、$(p-k-1)$個の$1$と1個の$2$などとなる。明らかに、$(p-k+1)$通りの可能性がある。$k$はゼロから$p$の値をとるので、和をとると $\sum_k (p-k+1) = {\half} (p+1) (p+2)$ となる。よって、(5.32)の独立成分の数は ${\half} (p+1)(p+2) \times {\half} (q+1)(q+2)$ で与えられる。このトレースは$(p-1)$個の上付き添え字と$(q-1)$個の下付き添え字のテンソルに対応するので、トレースを除くと独立成分の数は
\[ \frac{(p+1)(p+2)}{2} \frac{(q+1)(q+2)}{2} - \frac{p(p+1)}{2} \frac{q(q+1)}{2} = \frac{(p+1) (q+1) (p + q+ 2) }{2} \tag{5.34} \]
となる。この数は$(p, q)$でラベルされる$SU(3)$の既約表現の次元を与える。いくつかの低次元の値は下表の通りである。
\[ \begin{array}{c c c c c} \hline (p, q) & {\rm 次元} &~~& (p, q) &{\rm 次元} \\ \hline (1, 0) & {\bf 3} &~~& (3, 0) & {\bf 10} \\ (0, 1) & \,\,{\bf 3}^* &~~& (0, 3) & \,\,{\bf 10}^* \\ (2, 0) & {\bf 6} &~~& (2, 1) & {\bf 15} \\ (0, 2) & \,\,{\bf 6}^* &~~& (1, 2) & \,\,{\bf 15}^* \\ (1, 1) & {\bf 8} &~~& (2, 2) & {\bf 27} \\ \hline \end{array} \]
$(p, q) = (1,1)$ の表現は随伴表現と呼ばれる。これは$T^{j}_{i}$の形のテンソルに対応する。既出の関係式
\[ T^{i}_{j} = (T_{{\rm traceless}})^{i}_{j} + \frac{1}{3} \, \del^{i}_{j} \, T^{k}_{k} \tag{5.29} \]
は既約表現の次元を用いると
\[ {\bf 3} \otimes {\bf 3}^* = {\bf 8} \oplus {\bf 1} \tag{5.35} \]
と表せる。ただし、${\bf 1}$は恒等変換を示す。
余談：SU(2)のテンソル解析
これまでのテンソルを使った解析は$SU(2)$代数にも応用できる。$SU(2)$代数の場合、ランク２の不変テンソル$\ep_{ij}$がある。$\ep_{ij}$あるいは$\ep^{ij}$でテンソルの添え字を縮約すると、上付き添え字と下付き添え字の区別が付かなくなる。これは例えば、$T_i \ep^{ij} = T^{j}$ から分かる。よって、下付き添え字のテンソル$T_{i_1 i_2 \cdots i_p}$だけを考えればよい。ただし、$( i_1 , i_2 , \cdots i_p )$は添え字について完全対称であり、添え字は$1, \, 2$の値をもつ。したがって、既約表現は1つの整数$p$でラベルされる。スピン$j$の値は$p/2$で与えられる。この表現の次元はテンソル$T_{i_1 i_2 \cdots i_p}$の独立成分の数に対応しており、その数は明らかに $p+1 = 2j+1$ である。
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