11.3 共形代数と臨界現象の普遍性
この節ではまず共形アイソメトリーの代数、つまり共形代数を導出する。この代数は10.2節で導いたアイソメトリーに対するポアンカレ代数の自然な拡張と見做せる。ポアンカレ代数
[Pμ,Pν]=0[Mμν,Pα]=i(ημαPν−ηναPμ)[Mμν,Mαβ]=i(ημαMνβ−ηναMμβ−ημβMνα+ηνβMμα)
との類推から、共形対称性の代数は11.1節で導いた共形変換
ξμ={aμ+ωμαxα: ポアンカレ変換ϵxμ: スケール変換bα(x2ημα−2xμxα): 特殊共形変換
の生成子を用いて構成できる。一般に、場の演算子の変換の生成子 O は
ϕ(x) ⟶ ϕ(x+ξ)=ϕ(x)+ξμ∂ϕ∂xμ≡ϕ(x)+iO⋅ϕ
で定義された。よって、共形変換の生成子は演算子
O=aμ(−i∂∂xμ)+ωμνxν(−i∂∂xμ)+ϵxμ(−i∂∂xμ)+bα(x2ημα−2xμxα)(−i∂∂xμ)≡aμPμ−ωμν2Mμν+ϵD−bμKμ
から読み取れる。これより、共形変換の生成子は
Pμ=−i∂μ: 並進変換Mμν=xμPν−xνPμ: 回転変換D=−ixμ∂μ: スケール変換Kμ=−i(2xμxν∂ν−x2∂μ): 特殊共形変換
で与えられることが分かる。したがって、共形代数はポアンカレ代数(10.29)と以下の交換関係の組み合わせで構成される。
[D,Pμ]=iPμ, [D,Mμν]=0[D,Kμ]=−iKμ, [Kμ,Kν]=0[Kμ,Pν]=i2(ημνD+Mμν)[Mμν,Kα]=i(ημαKν−ηναKμ)
共形代数は任意の次元 d で成り立つ。d 次元の共形代数は (d+2) 次元ローレンツ代数、あるいは SO(1,d+1) 代数と見做せる。これは次のように理解できる。
まず、A,B を複合添え字として A,B=0,1,2,⋯,d−1,d,d+1 とおく。一方、d 次元の添え字はこれまで同様、μ,ν=0,1,2,⋯d−1 とする。生成子の集合 (Pμ,Mμν,D,Kμ) を表す複合生成子 JAB を
JAB=−JBAJμν=MμνJμd=Pμ+Kμ2Jμd+1=Pμ−Kμ2Jdd+1=D
と定義する。このとき、共形代数(10.29), (11.44)を用いると複合生成子は交換関係
[JAB,JCD]=i(ηACJBD−ηBCJAD−ηADJBC+ηBDJAC)
を満たすことが確認できる。ただし、ミンコフスキー符号は ηAB=(+−−⋯−) とした。これらの交換関係は SO(1,d+1) 代数を成す。言い換えると、JAB は SO(1,d+1) 対称性変換の生成子である。よって、d 次元共形代数は SO(1, d+1) 代数で与えられることが分かる。
SO(1,d+1) 代数の生成子の数は 12(d+2)(d+1) である。一方、d 次元の共形代数には並進変換が d 個、回転変換が 12d(d−1) 個、スケール変換が1つ、特殊共形変換が d 個ある。よって、生成子の数の合計は確かに
d+d(d−1)2+1+d=(d+2)(d+1)2
となる。
臨界点と共形対称性
統計力学において臨界点での2次相転移は長距離の相関関係で特徴付けられる。質量ゼロ・スカラー粒子の d 次元自由理論を考える。この理論の2点相関関数は長距離極限 |x−y|→∞ で
⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩∼1|x−y|d−2+η
と表せる。ここで、η は臨界指数と呼ばれる。この長距離相関は物質の局所的な構造とは無関係であり、大域的な幾何学に関係する。平坦なミンコフスキー空間において質量ゼロの点粒子の(大域的な)対称性は共形アイソメトリーで与えられる。よって、2次転移(あるいは臨界点)の物理は共形不変な理論で記述されると考えられる。
臨界指数 η は普遍的な量である。すなわち、その値は物質の詳細に依らない。これは臨界現象の普遍性(ユニバーサリティ)として知られている。別の臨界指数として ν があり、これは関係式
⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩∼e−|x−y|ξξ∼(T−Tc)−ν
で定義される。ただし、Tc は臨界温度であり、ξ は相関長 (correlation length) と呼ばれる。臨界現象はこれらの臨界指数で特徴付けられる。上の考察から、これらの指数の理論的な基礎づけは共形アイソメトリーよって与えられると推測できる。言い換えると、臨界点のタイプは共形変換(と何かしら追加の演算)の表現によって分類されると考えられる。
臨界点についてのこの理論的な枠組みは2次元では厳密に適用され、1980年代には2次元の臨界点は2次元共形理論によりすべて分類された。最近の研究によるとこの枠組みは3次元にも適用される。特に、2010年代に共形ブートストラップと呼ばれる計算手法が開発され、共形理論による3次元イジング模型の臨界点についての研究、分類が発展した。この分野について詳しくは以前紹介した教科書
を参考にされたい。
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