11. 共形対称性 vol.3

 11.3 共形代数と臨界現象の普遍性

この節ではまず共形アイソメトリーの代数、つまり共形代数を導出する。この代数は10.2節で導いたアイソメトリーに対するポアンカレ代数の自然な拡張と見做せる。ポアンカレ代数

\[\begin{eqnarray}    \left[ P_\mu , P_\nu \right] &=& 0     \nonumber \\    \left[ M_{\mu \nu} , P_{\al} \right] &=&    i \left( \eta_{\mu\al} P_{\nu} - \eta_{\nu\al} P_{\mu} \right)     \tag{10.29}\\    \left[ M_{\mu \nu} , M_{\al\bt} \right] &=&    i ( \eta_{\mu\al} M_{\nu\bt} - \eta_{\nu\al} M_{\mu\bt}    - \eta_{\mu\bt} M_{\nu\al} + \eta_{\nu\bt} M_{\mu\al} )     \nonumber \end{eqnarray}\]

との類推から、共形対称性の代数は11.1節で導いた共形変換

\[    \xi_\mu  \, = \,    \left\{    \begin{array}{ll}    a_\mu + \om_{\mu \al} \, x^\al    & \mbox{: ポアンカレ変換} \\   \ep \, x_\mu    & \mbox{: スケール変換} \\    b^\al ( x^2 \eta_{\mu \al} - 2 x_\mu x_\al )    & \mbox{: 特殊共形変換}    \end{array}    \right.    \tag{11.6} \]

の生成子を用いて構成できる。一般に、場の演算子の変換の生成子 ${\cal O}$ は

\[\begin{eqnarray}    \phi (x)  ~ \longrightarrow ~ \phi (x + \xi ) & = & \phi (x) +    \xi^\mu \frac{\d \phi}{\d x^\mu}    \nonumber \\    & \equiv &  \phi (x) + i \O \cdot \phi    \tag{10.27} \end{eqnarray}\]

で定義された。よって、共形変換の生成子は演算子

\[\begin{eqnarray}    \O &=& a^\mu \left( - i \frac{\d}{\d x^\mu} \right)    + \om^{\mu\nu} x_\nu \left( - i \frac{\d}{\d x^\mu} \right)    \nonumber \\    &&     + \,\ep \, x^\mu \left( - i \frac{\d}{\d x^\mu} \right)    + \, b_\al \left( x^2 \eta^{\mu \al} - 2 x^\mu x^\al \right)  \left( - i \frac{\d}{\d x^\mu} \right)    \nonumber \\    & \equiv & a^\mu P_\mu    - \frac{\om^{\mu\nu}}{2} M_{\mu\nu} + \ep \, D - b^\mu K_\mu     \tag{11.42} \end{eqnarray}\]

から読み取れる。これより、共形変換の生成子は

\[    \begin{array}{ll}    P_\mu = - i \d_\mu   & \mbox{: 並進変換}    \\    M_{\mu \nu} = x_\mu P_\nu - x_\nu P_\mu  & \mbox{: 回転変換}    \\    D = - i x^\mu \d_\mu & \mbox{: スケール変換}    \\    K_\mu = - i ( 2 x_\mu x^\nu \d_\nu - x^2 \d_\mu ) &    \mbox{: 特殊共形変換}    \end{array}     \tag{11.43} \]

で与えられることが分かる。したがって、共形代数はポアンカレ代数(10.29)と以下の交換関係の組み合わせで構成される。

\[\begin{eqnarray}    \left[ D , P_\mu \right] &=& i P_\mu \, , ~~~~ \left[ D , M_{\mu\nu} \right] \, = \, 0     \nonumber \\    \left[ D , K_\mu \right] &=& - i K_\mu \, , ~~~~ \left[ K_{\mu} , K_{\nu} \right] \, = \, 0     \nonumber \\    \left[ K_\mu , P_\nu \right] &=& i2 ( \eta_{\mu\nu} D + M_{\mu\nu} )     \nonumber \\    \left[ M_{\mu\nu} , K_\al \right] &=& i ( \eta_{\mu \al} K_\nu - \eta_{\nu \al} K_\mu )     \tag{11.44} \end{eqnarray}\]

共形代数は任意の次元 $d$ で成り立つ。$d$ 次元の共形代数は $(d+2)$ 次元ローレンツ代数、あるいは $SO(1, d+1)$ 代数と見做せる。これは次のように理解できる。

　まず、$A, B$ を複合添え字として $A, B = 0, 1,2, \cdots, d-1 , d ,d+1$ とおく。一方、$d$ 次元の添え字はこれまで同様、$\mu ,\nu = 0, 1, 2 ,\cdots d-1$ とする。生成子の集合 $( P_\mu , M_{\mu \nu} , D , K_\mu )$ を表す複合生成子 $J_{AB}$ を

\[\begin{eqnarray}    J_{AB} &=& - J_{BA}  \tag{11.45} \\    J_{\mu \nu} &=& M_{\mu \nu}  \tag{11.46} \\    J_{\mu  d} &=& \frac{ P_\mu + K_\mu}{2}  \tag{11.47} \\    J_{\mu \, d+1} &=& \frac{P_\mu - K_\mu }{2}   \tag{11.48} \\    J_{d \, d+1} &=& D \tag{11.49} \end{eqnarray}\]

と定義する。このとき、共形代数(10.29), (11.44)を用いると複合生成子は交換関係

\[    [ J_{AB} , J_{CD} ] =    i \left( \eta_{AC} J_{BD} - \eta_{BC} J_{AD} - \eta_{AD} J_{BC} + \eta_{BD} J_{AC} \right)    \tag{11.50} \]

を満たすことが確認できる。ただし、ミンコフスキー符号は $\eta_{AB} = (+ -- \cdots - )$ とした。これらの交換関係は $SO(1, d+ 1) $ 代数を成す。言い換えると、$J_{AB}$ は $SO(1, d+1)$ 対称性変換の生成子である。よって、d 次元共形代数は SO(1, d+1) 代数で与えられることが分かる。

　$SO(1, d+ 1) $ 代数の生成子の数は $\frac{1}{2} (d+2)(d+1)$ である。一方、$d$ 次元の共形代数には並進変換が $d$ 個、回転変換が $\frac{1}{2} d(d-1)$ 個、スケール変換が１つ、特殊共形変換が $d$ 個ある。よって、生成子の数の合計は確かに

\[    d + \frac{d(d-1)}{2} + 1 + d = \frac{(d+2)(d+1)}{2}     \tag{11.51} \]

となる。

臨界点と共形対称性

　統計力学において臨界点での2次相転移は長距離の相関関係で特徴付けられる。質量ゼロ・スカラー粒子の $d$ 次元自由理論を考える。この理論の2点相関関数は長距離極限 $| x - y | \rightarrow \infty$ で

\[    \bra \phi (x) \phi (y) \ket \, \sim \, \frac{1}{|x-y|^{d-2+\eta} }    \tag{11.52} \]

と表せる。ここで、$\eta$ は臨界指数と呼ばれる。この長距離相関は物質の局所的な構造とは無関係であり、大域的な幾何学に関係する。平坦なミンコフスキー空間において質量ゼロの点粒子の（大域的な）対称性は共形アイソメトリーで与えられる。よって、2次転移（あるいは臨界点）の物理は共形不変な理論で記述されると考えられる。

　臨界指数 $\eta$ は普遍的な量である。すなわち、その値は物質の詳細に依らない。これは臨界現象の普遍性（ユニバーサリティ）として知られている。別の臨界指数として $\nu$ があり、これは関係式

\[\begin{eqnarray}    \bra \phi (x) \phi (y) \ket & \sim & e^{ - \frac{|x-y|}{\xi}  }    \tag{11.53} \\    \xi & \sim & ( T - T_c )^{-\nu}    \tag{11.54} \end{eqnarray}\]

で定義される。ただし、$T_c$ は臨界温度であり、$\xi$ は相関長 (correlation length) と呼ばれる。臨界現象はこれらの臨界指数で特徴付けられる。上の考察から、これらの指数の理論的な基礎づけは共形アイソメトリーよって与えられると推測できる。言い換えると、臨界点のタイプは共形変換（と何かしら追加の演算）の表現によって分類されると考えられる。

　臨界点についてのこの理論的な枠組みは2次元では厳密に適用され、1980年代には2次元の臨界点は2次元共形理論によりすべて分類された。最近の研究によるとこの枠組みは3次元にも適用される。特に、2010年代に共形ブートストラップと呼ばれる計算手法が開発され、共形理論による3次元イジング模型の臨界点についての研究、分類が発展した。この分野について詳しくは以前紹介した教科書

を参考にされたい。