13. ウィグナーの $\D$ 関数とその応用 vol.3

13.2 ウィグナー-エッカルトの定理

リー群 $G$ で対称性が記述される物理系において、あるテンソル演算子 $Q^A$ に注目しよう。前節で解説したように状態は $G$ の表現 $R$ とその表現に属す特定のベクトル、例えば $\al$ で指定できる。対称性のもとで状態 $| R ,\al \ket$ の変換は群の要素 $U(\th ) \in G$ を作用させることにより実行できる。ただし、$\th$ は群のパラメータを表す。今節では、任意の階数をもつテンソル演算子 $Q^A$ の行列要素を考える。一般にそのような行列要素は

\[    \bra R^\prime , \al | Q^A | R , m \ket    \, = \,    \bra R^\prime , \al | U  U^{-1}   Q^{A} U U^{-1}| R , m \ket     \tag{13.58} \]

と表せる。対称性のもとで $Q^A$ の変換は $Q^{\prime A } = U^{-1} Q^{A} U $ で与えられる。状態 $U^{-1}| R , m \ket$ は同じ表現に属する状態の線形結合で表せることに注意する。定義より、これはウィグナー $\D$ 関数を用いて

\[    U^{-1} | R , m \ket    \, = \,    \sum_n  \D^{(R)}_{mn} ( g ) | R, n \ket     \tag{13.59} \]

と展開できる。

　簡単な例として、回転のもとでの位置演算子 $x^a$ $(a = 1,2,3)$ を考えよう。対応する群は $G = SO(3)$ であり、群の要素は $U (\th ) = \exp ( i L^a \th^a )$ で与えられる。ただし、$L^a = \ep^{abc} x^b p^c $ は角運動量演算子である。2.1節で解説したように、$L^a$ と $x^b$ は交換関係

\[    \left[ L^{a} , x^{b} \right] \, = \, i \ep^{abc} x^c     \tag{13.60} \]

を満たす。これは、位置演算子 $x^a$ が回転のもとでベクトルとして変換することを示す。実際、微小な $\th^a$ において $x^a$ は

\[\begin{eqnarray}    U^{-1} (\th ) x^{a} U (\th ) & \approx &    ( 1- i L^b \th^b ) x^a ( 1 + i L^c \th^c )    \nonumber \\    & \approx &    x^a - i [ L^b , x^a ] \th^b    \nonumber \\    &=&    x^a + \ep^{bac} x^c \th^b    \nonumber \\    &=&    \left( \del^{ab}  + i (-i \ep^{abc} )\th^c  \right) x^b    \nonumber \\    &=&     \left( {\bf 1} + i T^c \th^c  \right)^{ab} x^b    \tag{13.61} \end{eqnarray}\]

と変換する。ただし、$( T^c )^{ab} = - i \ep^{abc}$ である。よって、$x^{\prime a } = U^{-1}  x^{a} U $ は

\[    x^{\prime a }   \, = \, \D^{ab} ( g ) \, x^b     \tag{13.62} \]

と表せる。ここで、$\D^{ab} ( g)$ は随伴表現に属す $SO(3)$ 群の要素である。

\[    \D^{ab} ( g) \, = \, \exp \left[ i ( T^c )^{ab} \th^{c} \right]     \tag{13.63} \]

これは $3 \times 3$ 行列で表せる $SO(3)$ 群のスピン１表現でもある。

　極座標を用いると座標 $x^a$ は

\[    (x^1, x^2 ,x^3 ) \, = \,     ( r \sin \vartheta \cos \varphi , \, r \sin \vartheta \sin \varphi , \, r \cos \varphi )     \tag{13.64} \]

と書ける。位置演算子の球面基底 (spherical basis) は

\[    x^{\pm } = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \mp x^1 - i x^2 ) \, , ~~ x^3     \tag{13.65} \]

で与えられる。これらは球面調和関数 $Y_l^m ( \vartheta , \varphi) $ で $l = 1$ を固定し $m = 0, \pm 1$ としたものに比例する。回転のもとで動径距離 $r$ は不変なので、変換(13.62)は

\[    x^m \, = \, r \, Y_1^m ( \vartheta , \varphi) \, \longrightarrow \,     x^{m^\prime  } \,= \, r \, \D^{m^\prime m} ( g ) \,  Y_1^m ( \vartheta , \varphi )     \tag{13.66} \]

と表せる。ただし、$\D^{m^\prime m} ( g )$ は $SO(3)$ 随伴表現の行列要素である。これは $SO(3)$ スピン１表現のウィグナー $\D$ 関数

\[    \D^{m^\prime m} ( g ) \, = \,  \D_{m^\prime m}^{(l = 1)} ( g )      \tag{13.67} \]

と同じである。

　同様に、階数２の対称テンソル

\[    T^{ab} = x^a x^b - \frac{1}{3} \del^{ab} x^2     \tag{13.68} \]

も球面調和関数 $Y_l^m ( \vartheta , \varphi) $ で $l = 2$ と固定し、$m = 0, \pm 1 , \pm 2$ とおいたものに比例する。回転のもとで $T^m = r^2 Y_2^m ( \vartheta , \varphi) $ の変換は

\[    T^m \, = \, r^2 \, Y_2^m ( \vartheta , \varphi) \, \longrightarrow \,    T^{m^\prime  } \,= \, r^2 \, \D_{m^\prime m}^{(l = 2)} ( g ) \,  Y_2^m ( \vartheta , \varphi )    \tag{13.69} \]

と表せる。ただし、$\D_{m^\prime m}^{(l = 2)} ( g ) $ は $SO(3)$ スピン２表現のウィグナー $\D$ 関数である。

　これらの例から、対称性のもとでテンソル Q^A は群 G の表現 R として変換することが分かる。具体的には、リー群 $G$ のユニタリー既約表現を $R$ とすると、$R$ に属すテンソル演算子 $Q^A$ の変換は

\[    U^{-1} (\th ) \, Q^{A} \, U  (\th )    \, = \,    \D^{(R)}_{AB} ( g ) \, Q^B    \tag{13.70} \]

と表せる。ただし、$\D^{(R)}_{AB} ( g )$ は群 $G$ の表現 $R$ に属すウィグナー $\D$ 関数である。

　ここで、冒頭(13.58)の行列要素 $\bra R^\prime , \al | Q^A | R , m \ket $ に戻り、これをウィグナー $\D$ 関数で表すことを考えよう。すでに(13.59)で状態 $U^{-1}| R , m \ket$ はウィグナー $\D$ 関数で展開できることを見た。この複素共役は

\[    \bra R^\prime , \al | U (\th )    \, = \,    \sum_{\bt} \bra R^\prime , \bt |  \D^{(R^\prime )*}_{\al \bt} ( g )     \tag{13.71} \]

と表せる。 式(13.59), (13.70), (13.71)から行列要素(13.58)は

\[    \bra R^\prime , \al | Q^A | R , m \ket \, = \,    \sum_{\bt ,n }     \D^{(R^\prime )*}_{\al \bt} (g ) \,  \D^{(R^{\prime\prime})}_{AB} ( g ) \, \D^{(R)}_{mn} (g )    \, \bra R^\prime , \bt | Q^B | R , n \ket     \tag{13.72} \]

と書ける。ただし、テンソル演算子 $Q^A$ は表現 $R^{\prime \prime}$ に属し、これは必ずしも $R$ あるいは $R^\prime$ に一致しないことに注意する。関係式(13.72)は全ての $\th$ つまり任意の群の要素について成り立つので、

\[\begin{eqnarray}    && \bra R^\prime , \al | Q^A | R , m \ket \nonumber \\    &=&  \int   d V (g) \sum_{\bt , n}    \frac{\D^{(R^\prime )*}_{\al \bt}(g) \, \D^{(R^{\prime\prime})}_{AB} (g) \, \D^{(R)}_{mn} (g) }{(\mbox{$G$ の体積} )}    \bra R^\prime , \bt | Q^B | R , n \ket    \tag{13.73} \end{eqnarray}\]

と書き換えることができる。ここで、 $\D^{(R^{\prime\prime})}_{AB} (g) \, \D^{(R)}_{mn} (g)$ の因子は

\[\begin{eqnarray}    \D_{AB}^{(R^{\prime\prime})} (g) \, \D_{mn}^{(R)} (g)    & = &  \bra R^{\prime\prime} , A | \hat{g} | R^{\prime\prime} , B \ket     \bra R , m | \hat{g} | R , n \ket     \nonumber \\    &=&      \sum_{\widetilde{R}, \la, \si}    {C^{R^{\prime\prime} R \widetilde{R}}_{A m \si}}^*    C^{R^{\prime\prime}R \widetilde{R}}_{Bn \la} \,    \bra \widetilde{R} , \si |    \hat{g}    | \widetilde{R} , \la \ket    \nonumber \\    &=&    \sum_{\widetilde{R}, \la, \si}    {C^{R^{\prime\prime} R \widetilde{R}}_{A m \si}}^*    C^{R^{\prime\prime}R \widetilde{R}}_{Bn \la} \,    \D_{\si\la}^{(\widetilde{R})} (g)    \tag{13.74} \end{eqnarray}\]

と計算できる。ただし、$C^{R^{\prime\prime}R \widetilde{R}}_{Bn \la}$ と $C^{R^{\prime\prime} R \widetilde{R}}_{A m \si}$ はクレブシュ-ゴルダン係数であり、2状態の合成に関するクレブシュ-ゴルダンの定理(13.5)から次のように定義される。

\[\begin{eqnarray}    | R^{\prime\prime} , B \ket \otimes | R ,n \ket    &=&    \sum_{\widetilde{R} , \la}    C^{R^{\prime\prime}R \widetilde{R}}_{Bn \la}    | \widetilde{R} , \la \ket    \tag{13.75}\\    \bra R^{\prime \prime} , A | \otimes \bra R , m |    &=&    \sum_{\widetilde{R} , \si}    {C^{R^{\prime\prime} R \widetilde{R}}_{A m \si}}^*    \bra \widetilde{R} , \si |     \tag{13.76} \end{eqnarray}\]

${C^{R^{\prime\prime} R \widetilde{R}}_{A m \si}}^* = \left( C^{R^{\prime\prime} R \widetilde{R}}_{A m \si} \right)^* = C^{R^{\prime\prime *} R^* \widetilde{R}^* }_{A m \si}$ は係数 $C^{R^{\prime\prime} R \widetilde{R}}_{A m \si}$ の共役表現である。また、式(13.74)内の群の要素 $\hat{g}$ は同じ表現 $\widetilde{R}$ に属し、これらの合成も定義から同じ表現に属す。

　前節で導いたウィグナー $\D$ 関数の大直交性定理

\[    \int d V (g) ~ \D^{(R)*}_{\al \bt } (g )    \D^{(R^\prime )}_{mn} ( g)    \, = \,    \frac{1}{ ({\rm dim} R) } \del_{\al m} \del_{\bt n} \del^{R R^\prime}     \tag{13.53} \]

を関係式(13.73)に適用すると、テンソル演算子 $Q^A$ の行列要素は

\[\begin{eqnarray}    && \bra R^\prime , \al | Q^A | R , m \ket \nonumber \\    &=&    \sum_{\bt , n} \sum_{\widetilde{R}, \la, \si}    {C^{R^{\prime\prime} R \widetilde{R}}_{A m \si}}^*    C^{R^{\prime\prime}R \widetilde{R}}_{Bn \la}    \frac{ \del_{\al \si} \del_{\bt \la} \del^{R^\prime \widetilde{R}} }{ ( {\rm dim} R^\prime ) ( \mbox{$G$ の体積}) }    \bra R^\prime , \bt | Q^B | R , n \ket    \nonumber \\    &=&    {C^{R^{\prime\prime} R R^{\prime}}_{A m \al}}^*    \left[      \sum_{\bt , n} \frac{C^{R^{\prime\prime}R R^{\prime}}_{Bn \bt} \, \bra R^\prime , \bt | Q^B | R , n \ket }    {  ( {\rm dim} R^\prime ) ( \mbox{$G$ の体積}) }    \right]    \nonumber \\    & \equiv &    {C^{R^{\prime\prime} R R^{\prime}}_{A m \al}}^* \, \bra R^\prime || Q^{R^{\prime\prime}} || R \ket    \tag{13.77} \end{eqnarray}\]

と変形できることが分かる。ここで、$\bra R^\prime || Q^{R^{\prime\prime}} || R \ket$ は還元行列要素と呼ばれる。この還元行列要素

\[     \bra R^\prime || Q^{R^{\prime\prime}} || R \ket \, = \,      \sum_{\bt , n} \frac{C^{R^{\prime\prime}R R^{\prime}}_{Bn \bt} \, \bra R^\prime , \bt | Q^B | R , n \ket }    {  ( {\rm dim} R^\prime ) ( \mbox{$G$ の体積}) }     \tag{13.78} \]

は始状態のベクトル $\al$, $m$ とは独立に決まることに注意しよう。(13.77)の結果はウィグナー-エッカルトの定理として知られている。この定理は物理の問題で有用である。例えば、状態間の遷移の選択則はクレブシュ-ゴルダン係数 ${C^{R^{\prime\prime} R R^{\prime}}_{A m \al}}^*$ の有無によって体系的に決定できる。前節で示したように、クレブシュ-ゴルダン係数は対称性を記述する群 $G$ の性質から完全に決まる。状態間の遷移に関するその他の詳細は還元行列要素から導かれる。次節ではウィグナー-エッカルトの定理の物理問題への応用例をいくつか紹介する。