放射現象における磁気双極子遷移と電気四重極子遷移の導出

　古典電磁気学の1つの重要なトピックとして電気四重極子あるいは多重極子の導出がある。

静電場の場合はスカラー・ポテンシャルの球面調和関数展開あるいはテイラー展開に相当するので自然に理解できるが、磁場を含める場合はベクトル・ポテンシャルを導入して電気双極子近似（ゼロ次近似）より高次の近似を考える必要がある。このとき1次のオーダーの項から磁気双極子と電気四重極子が出てくるが、これらはぞれぞれ電流ベクトルと位置ベクトルの積の非対称成分と対称成分に相当する。この話は例えばジャクソン電磁気学の第9章

に出ていて一応、大学の古典電磁気学で学習する内容となっている。ただし、このような近似が成立するのは基本的に原子・分子・結晶内などミクロな世界の話なので当然ながら量子電磁気学の領域であり、量子力学的な取り扱いが必要となる。

　一方、量子力学の教科書では大抵、ゼロ次近似での電気双極子相互作用の導出までが紹介され、磁気双極子・電気四重極子は古典電磁気学でやったから大丈夫だよね、という感じで学生もあぁあれね、という感じでそのままになってそれぞれ専門分野に進んで行くことが多い（個人的印象）。最近までそんな記憶もすっかり忘れていたが、久しぶりに原子内電子と外部電磁場の相互作用を考える機会があったので磁気双極子相互作用と電気四重極子相互作用を量子力学的に導出できるか手元の参考書・教科書で調べてみた。

しかしながら、分かる範囲では何処にも載っていなかったので自力で導出してみた。詳細は以下の通り。

曲面の数学、ポアンカレ群

大学に入ったとき「新入生に紹介する本」という読み物があり、（今もありますが）向学心のあった私はそこで紹介されていた長野正(著)「曲面の数学」を書店で購入。

著者が自由闊達に議論を展開していて引き込まれるような思いでした。私の力不足から最後まで読み切れませんでしたが、いまでも何故か序文の言葉が記憶に残っています。

驚くべきことに過去百年の日本の数学の歴史のうちには、ある分野の人々全部が妙な迷路に入り込んで時代に取り残されてしまった例もきわめて少なくはないのである。

当時、そんなことあるかぁ～。なんて思ってましたが今では意味するところがよくわかる気がします。 本文の内容でなく序文だけ覚えているってちょっとダメですね。 

　大学院で読んだ教科書に似たようなテイストの本がありました。大貫義郎(著)「ポアンカレ群と波動方程式」

前回のエントリーでポアンカレ代数の話が出たので久しぶりに手に取りました。「まえがき」からやはり引き込まれます。1976年に著された本書がまだ教科書として充分に通用し推薦に値することは驚くべきことです。「曲面の数学」に関しては初版が1963年とのこと。両著作とも今後も読み継がれてほしい良書です。

ランダウ-リフシッツ「場の古典論」ほか

前回のエントリーでシュワルツシルト計量がアインシュタイン方程式を満たすこと確認した。その際に久しぶりに手に取ったランダウ-リフシッツ「場の古典論」

ロシア語では Ландау и Лифшиц と書く。(英語では Landau and Lifshitz) 学部生の時に購入してすぐに挫折したけど、今ならだいぶ読めますね。少しは成長したか。一般相対性理論、宇宙論の分野では伝統的に $(-+++)$ のミンコフスキー符号が用いられる。この分野の有名な教科書もこれに倣う。

ランダウ-リフシッツでは場の量子論で慣習的な $(+---)$ 符号を使うので個人的にはとても参考になりました。ただ、ソ連時代の教科書だけあってレベルが高い。多くの途中計算が省略してあり初学者には読みこなすのが大変です。調べてみたところそんな学徒にとって待望のサイトを見つけました。

理論物理学PDF (要点と途中計算を分離)

なかでも、Schwarzschild解の導出過程(PDF)のファイルは、符号の問題で自分の計算が合っているのか不安になっている最中だったので、丁寧な計算過程がとても参考になりました。作成者が謳っている「理論物理学の脱商品化」という標語には少し意表を突かれましたが、作成者の意気込みが伝わり共感しました。

とても良かった初めての川越

都内からは一般道では遠すぎるし、高速に乗っちゃえば近すぎるという理由から未だに行ってなかった川越に4/7日曜日に行ってきました。子供たちは友達と遊ぶ予定があるので自由にしていいとのこと。川越水上公園のテニスに午後から参加することにして、午前中は川越氷川神社へ。大泉から関越乗ってしまえばスグでした。

氷川神社の裏の川沿いの駐車場に止めました。桜の季節で素晴らしい景色でした。駐車場はハイシーズン料金で30分200円。

My first trip to China in 1996

Camilo José Cela, a Spanish novelist, once wrote in his monumental work "Mazurca para dos muertos" that people all over the world would eventually be eaten by the Chinese. When I read the novel (translated in Japanese) first time more than two decades ago I found the expression funny, ironic and even poetic, yet perceiving some reality of the Chinese culture.

In September 1996 I traveled southern part of China, entering from Hong Kong(香港) and visiting Guangzhou(広州), Guilin(桂林), Yangshuo(陽朔), Hangzhou(杭州), Suzhou(蘇州), Shanghai(上海). This was my first trip to mainland China; HK was not yet China. I stayed a few days in HK to apply for a visa to mainland China. Then I took a train to Guangzhou via Shenzhen(深圳). I went around the busy city of Guangzhou for two days and enjoyed Cantonese cuisine. I then took a long-distance overnight bus to Guilin. A guy next to my sleeping sheet was in a military uniform and probably was in his early 20's.

 near Guilin in 1996

I stayed in the city of Guilin for a day and joined in an excursion trip to a suburban scenic spot together with local families. Although I learned Chinese for one semester apparently I could not make my Chinese (Mandarin) understood at all. So I had to communicate by writing Chinese characters (Kanji) in many occasions. If I remember correctly, I guess, I managed to book a train ticket from Guilin to Hangzhou which departed several days later. I then moved to Yangshuo where a lot of backpackers gathered at that time.

near Yangshuo in 1996

The stay at Yangshuo was fantastic. The rural town was astonishingly westernized; there were bars, movie theaters and cafes that you would never expect to have in other cities in China at that time. I enjoyed river rafting on a swim tube/donut with other backpackers and a local young lady, a university student from Nanning(南寧) who worked part-time there to learn English. After the river rafting I rushed to go back to Guilin so as to take a train which departed that night. Somehow I managed to catch the train where I met a young American traveler who was pursuing PhD in Chinese politics and was surprisingly fluent in Chinese. I waked up early next morning. Landscapes from the train was amazing. Full of rice fields everywhere. I felt I time-tripped to ancient China or Japan. The train arrived in Hangzhou around noon. There I happened to meet a Japanese backpacker and went around the town together. He was also a university student from Nagoya and used to play baseball, so did I. We got along well. He told me about his trip to Urumqi(烏魯木齊) and other places.

中性 $K$ 粒子系と弱い相互作用での $CP$ 対称性の破れ１：標準模型の相互作用から

　前回のエントリーでKメソン（中間子）の話が出てきたので昔のノートを取り出して $K^0 \bar{K^0}$ 系を復習することにしました。孔子の言う「学而時習之」の境地です。中性Kメソンのクォーク構成は $d \bar{s}$ であり、こちらのリストにもあるように$K^0$は擬スカラー中間子なので
\[
 K^0 \sim \bar{s} \ga_5 d  \, , ~~~~ \bar{K^0} \sim \bar{d} \ga_5 s
 \tag{1}
\]
と置ける。ただし、$\ga_5$ は4次元時空でのガンマ行列を用いて $\ga_5 \sim \ga_0 \ga_1 \ga_2 \ga_3$ で与えられる。$K^0 \bar{K^0}$ 系は自然現象の $CP$ 対称性が保存されていないことが初めて実験により確認されたという点でとても重要です。この発見自体は1964年ですが、1980年にこの成果によりCroninとFitchが1980年にノーベル賞受賞しました。2000年代にはBファクトリーと呼ばれる実験施設(SLACおよびKEK)で大量の中性 $B$ メソン $( B^0 \sim \bar{b} \ga_5 d$, $B_s^0 \sim \bar{b} \ga_5 s )$ が生成され、$B^0 \bar{B^0}$ 系での $CP$ 対称性の破れが確認されました。この $CP$ 対称性の破れを標準模型の枠組みで説明したのが我々日本人にはなじみ深い小林・益川モデルです。（2008年ノーベル賞受賞。このときKEKでのBelle実験の成果が受賞のはずみになった旨が報道されていました。益川先生ノーベル賞記念講演の日本語原稿はこちらです。）$CP$ 対称性の破れは理論上は存在してもおかしくない反物質がなぜ我々の世界には見られないのかを説明する有力な手掛かりとなっているためその現象の実験的・理論的な解明は今もなお素粒子理論研究の重要な分野の1つです。実際、ごく最近にも中性Dメソン $( D^0 \sim \bar{u} \ga_5 c )$ の崩壊過程の観測からcharmクォークが関与するハドロンの崩壊過程における$CP$対称性の破れが初めて確認されました。（論文はこちら、その意義についての相原博昭先生による解説はこちらから。）

　$CP$ 対称性の破れという言葉は何度も聞いたことがあっても専門家でない限りなかなかその真髄は分かりません。私も学部生の時に前述の相原先生の素粒子物理概論という講義で初めて $CP$ 対称性の破れについて聴いたときは、その意味がさっぱり分からず理解不能でした。物理なのだから第一原理（ラグランジアン）から考えれば分かるはずなのですが、そのラグランジアンが書き下されていないので困りました。そこで、当時書店にあった坂井典佑先生の『素粒子物理学 (物理学基礎シリーズ)』を購読してみると、そのようなラグランジアンは素粒子物理学の標準模型で与えられ、それを理解するには場の量子論でゲージ理論をマスターする必要があることを知りました。結局、大学院で場の理論を勉強してようやく $CP$ 対称性の破れについて理解できたような気がします。

　$K^0 \bar{K^0}$ の混合は$s$クォークが $| \Del s | =2$ だけ変化する以下のファインマン図で表される散乱過程を評価することで解析できる。

$K^0$ の崩壊に関与する相互作用は標準模型から
\[
 {\cal L}_{int} =  - \frac{g}{\sqrt{2}}
 \left( W^{+}_{\mu} \bar{U}^{i} \ga_\mu \frac{1 - \ga_5}{2} D^{j} V_{ij} +
 W^{-}_{\mu} \bar{D}^{j} \ga_\mu \frac{1 - \ga_5}{2} U^{i} V_{ij}^{*} \right)
 \tag{2}
\]
で与えられる。ここで、$U^i = (u, c, t)$, $D^i = (d, s, b)$ はそれぞれ３世代クォークのペアを表し、$V_{ij}$ はCKM(Cabibbo-Kobayashi-Maskawa)行列の行列要素、$g$ は弱い相互作用の結合係数、$W^{\pm}$ はWボソンを表す。上図の1ループ・ファインマン図で外線 ($d, s$とその反粒子) の運動量はWボソンの質量 $M_W$ や重いクォークの質量に比べて無視できるので、$| \Del s | =2$ となる $K^0 \bar{K^0}$ 混合を記述する有効ラグランジアンは
\[
 {\cal L}_{eff}^{| \Del s | =2} = - C \, \bar{s} \ga_\mu (1 - \ga_5 ) d \, \bar{s} \ga_\mu (1 - \ga_5 ) d + h.c.
 \tag{3}
\]
となることが導出できる。その詳細については専門家による解説

を参照されたい。特にサイエンス社の教科書はこの計算の第一人者（の1人）である林(Lim)先生によるもので歴史的な経緯に沿ってとても詳しい解説がなされているので興味ある方は是非手に取ってもらいたい。上式(3)の係数 $C$ はループ運動量の積分から求められ、
\begin{eqnarray}
 C &=& {G_F}^2 \sum_{i,j} \la_i \la_j \int \frac{d^4 p}{(2 \pi)^4}
\frac{p^2  M_W^4}{(p^2 + {M_W}^2 )^2 (p^2 + {m_i}^2 )^2 (p^2 + {m_j}^2 )^2 }
\nonumber \\
&=& \frac{{G_F}^2 M_W^2 }{16 \pi^2}  \sum_{i,j} \la_i \la_j \, A_{ij}
\tag{4} \\
A_{ij} &=& \left[
\frac{1}{ 1 - x_i } + \frac{ {x_i}^2 \log x_i }{ (1 - x_i )^2 }
\right] -
\left[
\frac{1}{ 1 - x_j } + \frac{ {x_j}^2 \log x_j }{ (1 - x_j )^2 }
\right]
\tag{5}
\end{eqnarray}
と表せる。ただし、$\la_i = V_{i 1} V_{i 2}^{*}$, $x_i = \frac{m_i^2}{M_W^2}$ である。$G_F$ はフェルミ結合定数 $G_F = \frac{\sqrt{2}}{8}\frac{g^2}{M_W^2}$ である。こちらを参照するとクォークの質量（$MeV$単位）は $m_u \approx 2.4$, $m_d \approx 4.8$, $m_s \approx 104$, $m_c \approx 1270$, $m_b = 4680$, $m_t \approx 171200$ で与えられ、Wボソンの質量は $M_W \approx 80400 [MeV]$ なので $\frac{m_u}{M_W} \approx 0$, $\frac{m_c}{m_t} \ll 1$ と近似すると
\[
C \approx \frac{{G_F}^2}{16 \pi^2} \left[
\la_2^2 m_c^2 + \la_3^2 m_t^2 + \frac{2 \la_2 \la_3 }{1 -  \left( \frac{m_c}{m_t} \right)^2 } m_c^2 \log \left( \frac{m_c}{m_t} \right)^2
\right]
\tag{6}
\]
が得られる。ただし、上で定義したように $\la_2$, $\la_3$ はCKM行列要素で与えられる。
\begin{eqnarray}
\la_2 &=& V_{21} V_{22}^{*} = s_1 c_2 (c_1 c_2 c_3 - s_2 s_3  e^{-i \del})
\nonumber \\
\la_3 &=& V_{31} V_{32}^{*} = s_1 s_2 (c_1 s_2 c_3 + c_2 s_3  e^{-i \del})
\tag{7}
\end{eqnarray}

従って、位相 $\del$ がゼロでなければ $C$ は複素数となり、このことから $K^0 {\bar K}^0$ 混合で $CP$ 対称性が破れていることが議論されるのが一般的である。

お世話になった先生方４：学部時代

以前のエントリーで教養学部時代に数学を教えてもらった３名の先生方、河野俊丈先生、横沼健雄先生、片岡清臣先生について触れました。同じエントリーの中で江口徹先生の本を紹介しましたが、その江口先生が先月末に残念ながら70歳という若さで亡くなられたそうです。私は学部生の時に確か「物理数学Ⅲ」の授業で江口先生から群論を教わりました。$SU(2)$群を丁寧に解説してもらいとても分かり易かったです。その後、クラスメイトから江口先生は素粒子論で世界的に有名な先生であることを知り畏怖の念を感じていました。理論演習では原子核理論を取ったので江口先生と直接お話しすることなく卒業しましたが、卒業後、アメリカで素粒子論の研究室に入ることができた頃、何度も読んだのが有名な Eguchi, Gilkey, Hanson の Physics Reports 66, No. 6 (1980)

でした。PDFバージョンはこちらから。ユークリッド化されたアインシュタイン方程式の解をゲージ理論のソリトン解との類推から導いたのが Eguchi-Hanson 計量です。江口先生はこの発見でおそらく当時の理論物理学界の最前線へ到達されたのではないでしょうか。もちろん先生の才能の賜物なのですが、個人的にはどうしてそのような発見ができたのか不思議でなりませんした。その背景が多少なりとも理解できたのは、最近になって2011年に行われた江口先生の最終講義

ツイスター空間上のホロノミー形式

夏休み気分で好き勝手にブログ書いていましたが、そろそろ研究再開しようということで、今年中にライフワークのツイスター空間上のホロノミー形式の研究を進めたいと考えています。具体的には、第7弾の論文の修正に取り組む予定です。と申しましても私以外の人にはチンプンカンプンでしょうから少しだけ背景を説明して、皆さんに興味を持ってもらえればと思います。私は素粒子理論の研究者志望でアメリカの大学院でPh.D.を取得しましたが、取得する前年も合わせると200校近くポスドクと言われる研究職に願書を出しましたがどこからも声がかからず、子供も生まれるというので日本に帰って民間就職することにしました。研究を続けながら働くつもりでしたがフルタイムの仕事では難しかったため、一年足らずで辞めて、パートタイムで働きながら研究をする今のスタイルを続けています。最近は色々と言い訳して研究がおろそかになっていますが、転職した当初は論文書いて大学に戻るぞ！と意気込んでいました。当時、気になっていたのがグルーオンの散乱振幅を導出する$S$-行列汎関数は一体何なのだろうということでした。場の理論の枠組みでは相互作用項が決まれば$S$-行列は決まるので、グルーオンつまり強い相互作用を媒介する素粒子（電磁相互作用の光子に当たるもの）のダイナミクスを多粒子系として理解したいという目標を立てました。そのヒントとなるのが私の指導教官だったナイアが何年も前に発表していた論文です。その中で彼はヘリシティーの配位が特定の場合グルーオンの散乱振幅はツイスター空間上で定義されたWZW模型と呼ばれる共形場理論の相関関数として理解できることを示しました。詳しくはナイア本人による解説

https://physicstoday.scitation.org/doi/10.1063/1.1825256

があるのでそちらを参照してください。（専門家向けです。）この散乱振幅はヘリシティーが最大限にそろった非自明な振幅という意味からMHV振幅 (Maximally Helicity Violating amplitudes) と呼ばれています。2003年の暮れにウィッテンがこのアイデアをさらに発展させ、MHV型以外の散乱振幅についてもトポロジカルな弦理論と関連付けて理解できることを示しました。その論文が

https://arxiv.org/abs/hep-th/0312171

です。この論文の後、ツイスター空間の変数を用いた散乱振幅の計算方法に飛躍的な進歩がみられました。特に

1. non-MHV振幅をMHV頂点作用素の組み合わせで理解するMHV則（CSW則とも呼ばれる）と
2. MHV振幅の複素解析性から得られる再帰的な公式（BCFW公式とも呼ばれる）を用いてnon-MHV振幅を求める手法

の二つがこれらの計算法の進歩に大きな役割を果たしました。これらの計算手法はグルーオンだけでなくグラビトン（重力子）の散乱振幅、古典的なツリー振幅だけでなく量子効果が現れるループ振幅、質量を持つスカラー粒子、フェルミ粒子を含む散乱振幅の計算などにも応用されています。この分野は今でも活発で従来のファイマン図による場の量子論の手法を一新するものとして期待されています。