前節までの結果を簡単にまとめると以下のようになる。
- 一般共変性あるいは微分同相写像の要請から反対称化した微分を用いる必要がある。
- 曲がった多様体に計量 gμν=eaμeaν を導入する。フレーム場 eaμ の局所回転(ローレンツ)変換は e′aμ=Rabebμ と表せる。Rab は直交行列。
- フレーム場の微分の共変性から共変微分 Dμeaν=∂μeaν+ωabμebν が必要となる。スピン接続 ωabμ の局所変換は ω′abμ=(RωμR−1−∂μRR−1)ab と表せる。ωabμ は(a,b)について反対称。
- 1.からトーション (Dμeν−Dνeμ)a=Taμν とリーマン曲率 (DμDνϕ−DνDμϕ)a=Rabμνϕb を定義できる。ϕa はスカラー場。
8.3 リーマン多様体
前節の最後に触れたように、リーマン多様体は一般的な曲がった多様体にトーション・ゼロの条件
Taμν=(Dμeν)a−(Dνeμ)a=0
を課すことで定義できる。今節ではこの条件がどのような結果を導くのかを考え、リーマン多様体の特徴を明らかにする。(ただし、超重力理論や弦理論などゼロでないトーションを含む理論も存在することに注意。)
(8.28)から (Dμeν)a は添え字μ, νについて対称であることはすぐに分かる。そこで、この量を Γaμν とおく。フレーム場が可逆であることを用いると、Γaμνは Γλμνeaλ と表せる。すなわち、
(Dμeν)a=∂μeaν+ωabμebν≡Γλμνeaλ
とおける。ただし、Γλμν はμ, νについて対称である。これがどのように計量 gμν=eaμeaν に影響するかを見てみよう。そこで、計量gαβの微分を計算すると
∂μgαβ=(∂μeaα)eaβ+eaα(∂μeaβ)=(∂μeaα+ωabμebα)eaβ+eaα(∂μeaβ+ωabμebβ)−ωabμ(ebαeaβ+eaαebβ)⏟=0=Γλμαeaλeaβ+Γλμβeaαeaλ=Γλμαgλβ+Γλμβgαλ
と表せる。ここで、ωabμ がa, bについて反対称であることを用いた。(8.30)において添え字の対称性を利用すると、関係式
∂αgμβ+∂βgαμ−∂μgαβ=2Γλαβgμλ
が求まる。つぎに、計量の逆テンソルを上付き添え字で表して、gαβgβλ=δλα とおく。つまり、この表示法では (g−1)βλ=gβλ となる。このとき、Γλαβ は計量を用いて
Γλαβ=12gλμ(∂αgμβ+∂βgαμ−∂μgαβ)
と表せる。この Γλαβ はクリストッフェル記号 (Christoffel symbol) と呼ばれる。8.1節で考えたように(8-29)の局所座標変換を ˜Dμ˜eν=˜Γλμν˜eλ と表す。ベクトル Aμ(x) の局所座標変換は
˜Aν(y)=Aμ(x)∂xμ∂yν
で与えられた。また、この微分の局所座標変換は
∂∂yα˜Aν(y)=[∂∂xβAμ(x)]∂xβ∂yα∂xμ∂yν+Aμ(x)∂2xμ∂yα∂yν
となる。これらを用いると˜Dμ˜eνは
˜Dμ˜eν=(∂∂yμ+ωα(x)∂xα∂yμ)[eβ(x)∂xβ∂yν]=(Dαeβ)∂xα∂yμ∂xβ∂yν+eβ∂2xβ∂yμ∂yν=(Γλαβ∂xα∂yμ∂xβ∂yν+∂2xλ∂yμ∂yν)eλ
と計算できる。よって、Γλμνの局所座標変換は
˜Γλμν=Γσαβ∂xα∂yμ∂xβ∂yν∂yλ∂xσ+∂2xλ∂yμ∂yν∂yλ∂xσ
と表せる。これはクリストッフェル記号がテンソルとして振る舞わないことを明示している。
トーション・ゼロのもとでスピン接続 ωabμ は eaμ と Γλμν で表せる。(8.29)から
∂μeaν(e−1)bν+ωabμ=Γλμνeaλ(e−1)bν
が分かる。ただし、計量の逆テンソルに倣って ebν の逆関数を (e−1)bν と表示した。ここで、Γλμν=(Γμ)λν を (Γμ) の行列要素と考える。同様に、eaλ=(ea)λ を列ベクトル (ea) の要素、(e−1)bν を行ベクトル(e−1)b の要素と見做すと、スピン接続は
ωabμ=eaλΓλμν(e−1)bν−∂μeaν(e−1)bν=eaΓμ(e−1)b−∂μea(e−1)b
と表せる。ただし、2行目では行列表示を用いた。上式は前回で導いた曲がった多様体の一般的な結果
ω′μ=RωμR−1−∂μRR−1
と類似していることに注意しよう。関係式(8.36)から、Taμν=0 となるリーマン多様体上ではスピン接続は計量 gμν=eaμeaν で完全に決定できることが分かる。
前回導いたリーマン曲率テンソル
Rabμν=∂μωabν−∂νωabμ+ωacμωcbν−ωacνωcbμ
についても同様に変形できる。行列表示では、これは
Rμν=∂μων−∂νωμ+[ωμ,ων]
と表せる。ここで、スピン接続を一般形
ωμ=MΩμM−1−∂μMM−1
で表そう。ただし、M, Ωμは任意のn×n行列であり、M−1はMの逆行列である。(8.38)を ∂μων−∂νωμ に代入すると
∂μων−∂νωμ=M(∂μΩν−∂νΩμ)M−1+[∂μMM−1,MΩνM−1]+[MΩμM−1,∂νMM−1]−[∂μMM−1,∂νMM−1]
と変形できる。ただし、∂μM−1=−M−1∂μMM−1 を用いた。また、交換関係 [ωμ,ων] は
[ωμ,ων]=M[Ωμ,Ων]M−1−[MΩμM−1,∂νMM−1]−[∂μMM−1,MΩνM−1]+[∂μMM−1,∂νMM−1]
と展開できる。よって、スピン接続(8.38)に対応するリーマン曲率テンソルは
Rμν=M(∂μΩν−∂νΩμ+[Ωμ,Ων])M−1
と表せる。この関係式はその構成からリーマン多様体だけでなく一般の曲がった多様体で成り立つ。(M,Ωμ) = (R,ωμ) と選択すると、この関係式は以前に導出したリーマン曲率のローレンツ共変性
R′adμν=RabRbcμν(R−1)cd
を証明する。ただし、Rは局所回転変換の直交行列を表す。
式(8.36)と(8.38)を比較すると、リーマン多様体は (M,Ωμ)=(e,Γμ) と選択することに対応する。よって、(8.41)の形から直接、リーマン多様体上のリーマン曲率を
Rμν=e(∂μΓν−∂νΓμ+[Γμ,Γν])e−1
と行列表示できることが分かる。行列要素を明示的に書き出せば、その他のテンソル添え字も自動的に再現できる。すなわち、
Rabμν=eaλRλμνα(e−1)bαRλμνα=∂μΓλνα−∂νΓλμα+ΓλμβΓβνα−ΓλνβΓβμα
となる。以上の導出からスピン接続ωμを(8.38)と行列でパラメータ表示することが非常に有効であることが分かる。つまり、ある量の行列表示が求まれば、行列要素を書き出すことで全てのテンソル添え字を機械的に再現することができる。通常、テンソル解析に重点を置いた一般相対性理論の学習では、テンソルの添え字を追うのが煩雑になる。しかし、ここで示したようにゲージ理論の枠組みでゲージ場(スピン接続)の行列表示を用いるとクリストッフェル記号やリーマン曲率テンソルの計算の見通しが良くなる。(計算途中で添え字を追う必要はなく、行列表示の最後に添え字を辻褄の合うよう追記するだけでよい!)
まとめ
この章では、一般の曲がった多様体とその特定の場合に当たるリーマン多様体について考えた。まず、微分可能なトポロジカル多様体から始めて、計量を定義することで幾何学的な情報を追加した。計量テンソル gμν の対称性と非退化性から、これはフレーム場 eaμ の積として表現できる。スピン接続 ωabμ はフレーム場に作用する共変微分の定義から自然に現れる。また、一般共変性の原理より共変微分を反対称化させる必要がある。この要請を考慮すると捩率(トーション)テンソル Taμν とリーマン曲率テンソル Rabμν は (eaμ,ωabμ) から以下の形で求められる。
gμν=eaμeaν(Dμeν)a=∂μeaν+ωabμebν(Dμeν−Dνeμ)a=Taμν[(DμDν−DνDμ)ϕ]a=Rabμνϕb
ただし、ϕa は曲がった多様体上で定義されるスカラー関数である。
リーマン多様体はこれらの関係式にトーション・ゼロの条件を課すことで得られる。(8.47)からこの条件はフレーム場の共変微分 Dμeaν が添え字μ, νについて対称であることを意味する。これより、クリストッフェル記号 Γλμν を導入するのが便利であり、これは計量の微分を用いて表せる。このとき、スピン接続 ωabμ は (eaμ,Γλμν) の関数として与えられる。これに対応して、リーマン曲率 Rabμν も (eaμ,Γλμν) を用いて以下の形で求められる。
(Dμeν)a=Γλμνeaλ (μ,νについて対称)Γλμν=12gλα(∂μgνα+∂νgμα−∂αgμν)ωabμ=eaλΓλμν(e−1)bν−∂μeaλ(e−1)bλRabμν=eaλRλμνα(e−1)bαRλμνα=∂μΓλνα−∂νΓλμα+ΓλμβΓβνα−ΓλνβΓβμα
ここで重要な量 (eaμ,ωabμ,Γλμν,Rabμν,Rλμνα) はすべて計量テンソル gμν から導けることに注意しよう。この意味で、リーマン多様体の理論は「計量の理論」と理解できる。
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