\[ \frac{ \d \psi_1}{\d x^0} - \frac{\d \psi_1}{\d x^1} = 0 \, , ~~~~ \frac{ \d \psi_2}{\d x^0} + \frac{\d \psi_2}{\d x^1} = 0 \tag{7.17} \]
に従う。フェルミオンのカレント $J = \bar{\psi} \ga \psi$ は
\[ J = \bar{\psi} \ga \psi = \left( \begin{array}{c} \psi_1^\dag \psi_1 + \psi_2^\dag \psi_2 \\ - \psi_1^\dag \psi_1 + \psi_2^\dag \psi_2 \end{array} \right) \equiv \left( \begin{array}{c} J_0 \\ J_1 \end{array} \right) \tag{7.19} \]
と計算できた。ここで、カレント$J_\pm$を
\[\begin{eqnarray} \psi_1^\dag \psi_1 & = & \frac{ J_0 - J_1 }{2} ~ \equiv ~ J_{-} \tag{7.20} \\ \psi_2^\dag \psi_2 & = & \frac{ J_0 + J_1 }{2} ~ \equiv ~ J_{+} \tag{7.21} \end{eqnarray}\]
で定義し、これらのカレントの代数を考える。$J_{-}$を
\[ J_{-} (x) \, = \, \psi_1^\dag (x + \ep ) \, \psi_1 ( x - \ep ) \tag{7.24} \]
とおき、特異点の振る舞いに注意して計算の最後に $\ep \rightarrow 0$ の極限をとることにする。$x$, $x \pm \ep$は複合記号であり、それぞれ$x = ( x^0 , x^1 )$, $x \pm \ep = (x^0 , x^1 \pm \ep )$ を表す。このとき、$J_{-} (x) $の交換関係はフェルミオン場の同時刻反交換関係
\[\begin{eqnarray} \psi ( x^0 , x^1 ) \psi ( x^0 , y^1 ) + \psi ( x^0 , y^1 ) \psi (x^0 ,x^1 ) &=& 0 \nonumber \\ \psi^\dag ( x^0 , x^1 ) \psi^\dag ( x^0 , y^1 ) + \psi^\dag ( x^0 , y^1 ) \psi^\dag ( x^0 , x^1 ) &=& 0 \tag{7.22}\\ \psi ( x^0 , x^1 ) \psi^\dag ( x^0 , y^1 ) + \psi^\dag ( x^0 , y^1 ) \psi ( x^0 , x^1 ) &=& \del ( x^1 - y^1 ) {\bf 1} \nonumber \end{eqnarray}\]
を用いると
\[\begin{eqnarray} [ J_{-} (x) , \, J_{-} (x) ] &=& \left[ \psi_1^\dag (x + \ep ) \psi_1 (x - \ep ) , \, \psi_1^\dag (y + \ep ) \psi_1 (y - \ep ) \right] \nonumber \\ &=& \psi_1^\dag (x + \ep ) \psi_1 ( y - \ep ) \del (x- y- 2\ep ) \nonumber \\ && ~~~~ - \psi_1^\dag ( y + \ep ) \psi_1 ( x- \ep ) \del (x- y + 2\ep ) \tag{7.25} \end{eqnarray}\]
と計算きる。ここで、$\del (x- y \pm 2\ep )$は
\[ \del (x- y \pm 2\ep ) = \del (x - y ) \pm 2 \ep \frac{\d}{\d x} \del (x - y) + \O (\ep^2 ) \tag{7.26} \]
と展開できるので、$\ep \rightarrow 0$ の極限で(7.25)がゼロとならないためには関係式
\[ \psi_1^\dag ( x + \ep ) \, \psi_1 ( y - \ep ) \, \sim \, \frac{1}{\ep} ~~~~ \mbox{($x \rightarrow y$)} \tag{7.27}\]
を要請する必要がある。
(1+1)次元のフェルミオン伝播関数
上式の$\psi_1^\dag ( x + \ep ) \psi_1 ( y - \ep )$ を評価するには２通りの方法がある。１つはモード展開を利用するもので、もう１つはフェルミオンの伝播関数を用いるものである。ここでは、後者のアプローチを採用する。フェルミオン$\psi_1$の伝播関数は
\[\begin{eqnarray} S_{-} ( x , y ) &=& \bra 0 | \psi_1 (x^0 , x^1 ) \psi_1^\dag ( y^0 , y^1 ) | 0 \ket \th (x^0 - y^0 ) \nonumber \\ &&~~~~~~~~~ - \bra 0 | \psi_1^\dag (y^0 , y^1 ) \psi_1 ( x^0 , x^1 ) | 0 \ket \th (y^0 - x^0 ) \nonumber \\ &=& \bra 0 | \left[ \psi_1 (x) \psi_1^\dag (y) \th (x^0 - y^0 ) - \psi_1^\dag (y) \psi_1 (x) \th (y^0 - x^0 ) \right] | 0 \ket \tag{7.28} \end{eqnarray}\]
と定義される。ここで、$\th ( x^0 - y^0 ) $はヘヴィサイドのステップ関数
\[ \th (x^0 - y^0 ) = \left\{ \begin{array}{lr} 1 & ~ \mbox{$( x^0 > y^0 )$} \\ 0 & ~ \mbox{ $( x^0 < y^0 )$} \\ \end{array} \right. \tag{7.29} \]
である。(7.28)の負号は$x^0 = y^0$におけるディラック場$\psi_1$の同時刻反交換関係に由来する。(7.17)で示したように、$\psi_1$はディラック方程式
\[ \left( \frac{\d}{\d x^0} - \frac{\d }{\d x^1} \right) \psi_1 = 0 \tag{7.30} \]
に従う。つぎに、この方程式を用いて$S_{-} (x, y) $の微分を計算すると
\[\begin{eqnarray} \frac{\d}{\d x^0} S_{-} (x, y) \!\! &=& \!\! \bra 0 | \left[ \th (x^0 - y^0 ) \frac{\d \psi_1 (x)}{\d x^0} \psi_1^\dag ( y) - \th ( y^0 - x^0 ) \psi_1^\dag (y ) \frac{\d \psi_1 (x)}{\d x^0} \right] | 0 \ket \nonumber \\ && \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! + \, \underbrace{ \bra 0 | \left[ \del (x^0 - y^0 ) \psi_1 (x) \psi_1^\dag ( y) + \del( y^0 - x^0 ) \psi_1^\dag (y ) \psi_1 (x) \right] | 0 \ket }_{= \, \del (x^0 - y^0 ) \bra 0 | \left\{ \psi_1 (x) , \, \psi_1^\dag (y) \right\} | 0 \ket \, = \, \del (x^0 - y^0 ) \del (x^1 - y^1 ) } \tag{7.31} \\ \frac{\d}{\d x^1} S_{-} (x, y) \!\! &=& \!\! \bra 0 | \left[ \th (x^0 - y^0 ) \frac{\d \psi_1 (x)}{\d x^1} \psi_1^\dag (y) - \th ( y^0 - x^0 ) \psi_1^\dag (y ) \frac{\d \psi_1 (x)}{\d x^1} \right] | 0 \ket \tag{7.32} \end{eqnarray} \]
となる。ただし、関係式
\[ \frac{\d}{\d x^0} \th (x^0 - y^0 ) = \del (x^0 - y^0 ) \tag{7.33} \]
を用いた。(7.31)と(7.32)から
\[ \left( \frac{\d }{ \d x^0} - \frac{\d}{\d x^1} \right) S_{-} (x , y ) = \del ( x^0 - y^0 ) \del ( x^1 - y^1 ) \tag{7.34} \]
となることが分かる。この解は
\[\begin{eqnarray} S_{-} (x, y) \!\! &=& \!\! \int \frac{d^2 p}{ (2 \pi )^2 } \frac{ i e^{- i p_0 (x^0 -y^0 ) + i p_1 ( x^1 - y^1 )}} { p_0^2 - p_1^2 } (p_0 - p_1 ) \nonumber \\ &=& \!\! i ( \d_0 + \d_1 ) \underbrace{ \int_{-\infty}^{\infty} \! \frac{d p_0}{ 2 \pi } \int_{-\infty}^{\infty} \! \frac{d p_1}{ 2 \pi } \frac{ i e^{- i p_0 (x^0 -y^0 ) + i p_1 ( x^1 - y^1 )}}{ p_0^2 - p_1^2 } }_{ \equiv \, G (x,y) } \tag{7.35} \end{eqnarray}\]
で与えられる。積分$G (x, y)$は、下図に示すように$p_1$から$p_E = - i p_1$への解析接続を行うと、2次元ラプラス方程式のグリーン関数に変形できる。
 |
| $p_1$から$p_E$へのウィック回転 |
\[\begin{eqnarray} G (x, y ) &=& \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d p_0}{ 2 \pi } \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d p_E}{ 2 \pi } \frac{ e^{- i p_0 (x^0 -y^0 ) - i p_E (i( x^1 - y^1 ))}}{ p_0^2 + p_E^2 } \nonumber \\ &=& \frac{1}{4 \pi} \log \left( (x^0 - y^0 )^2 - ( x^1 - y^1 )^2 \right) \tag{7.36} \end{eqnarray}\]
ただし、解析接続を適切に行うには被積分関数の分母を $(p_E + i p_0 - \eta ) ( p_E - i p_0 + \eta )$ と理解しなければならない。ここで、$\eta$は正の微小量であり、最終的に $\eta \rightarrow 0$ の極限をとる。このような実軸から虚軸への回転はウィック回転と呼ばれる。
(7.35), (7.36)から、$S_{-} ( x, y )$は
\[ S_{-} ( x, y ) = \frac{i}{2 \pi} \frac{1} { (x^0 - y^0 ) + ( x^1 - y^1 ) } \tag{7.37} \]
と求まる。$J_{+}=\psi_2^\dag \psi_2$ の場合も同様に
\[ S_{+} ( x, y ) = \frac{i}{2 \pi} \frac{1} { (x^0 - y^0 ) - ( x^1 - y^1 ) } \tag{7.38} \]
が得られる。係数$\frac{i}{2 \pi}$は次のように確認することもできる。定数$c$を用いて$S_{-} (x, y) $を
\[ S_{-} ( x, y) = \frac{c}{ ( x^0 - y^0 ) + ( x^1 - y^1 ) } = c \frac{( x^0 - y^0 ) - ( x^1 - y^1 ) }{ ( x^0 - y^0 )^2 - ( x^1 - y^1 )^2 + \ep^2} \tag{7.39} \]
と表し、伝番関数の満たす方程式(7.34)から$c$を決定する。(7.34)は $( \d_0 - \d_1 ) S_{-} ( x, y) = \del^{(2)} (x - y)$ を意味するので、両辺の積分をとると
\[ c ( \d_0 - \d_1 ) \int_{-\infty}^{\infty} dx^0 \int_{-\infty}^{\infty} d x^1 \frac{ x^0 - x^1 }{(x^0 )^2 - (x^1 )^2 + \ep^2} = 1 \tag{7.40} \]
となる。左辺は次のように計算できる。
\[\begin{eqnarray} && 2c \int_{-\infty}^{\infty} dx^0 \int_{-\infty}^{\infty} d x^1 \frac{ \ep^2}{\left[ (x^0 )^2 - (x^1 )^2 + \ep^2 \right]^2 } \nonumber \\ &=& -i 2 c \int_{-\infty}^{\infty} dx^0 \int_{-\infty}^{\infty} d x_E \frac{ \ep^2}{\left[ (x^0 )^2 + (x_E )^2 + \ep^2 \right]^2 } \nonumber \\ &=& -i 2 c \int_{0}^{\infty} \pi dr^2 \frac{ \ep^2}{ (r^2 + \ep^2 )^2 } \, = \, -i 2 \pi c \tag{7.41} \end{eqnarray}\]
ただし、$x^1$から$x_E = i x^1$へのウィック回転を用いた。(7.40), (7.41)から(7.37)の係数$\frac{i}{2 \pi}$が正しいことが確認できる。
伝播関数$S_{-} ( x, y)$を同時刻 $x^0 \rightarrow y^0$ ($x^0 > y^0$) で評価すると
\[ \bra 0 | \psi_1 (x) \psi_1^\dag (y) | 0 \ket = \frac{i}{2\pi} \frac{1}{ (x^1 - y^1 )} \tag{7.42} \]
を得る。これは冒頭で要請した関係式
\[ \psi_1^\dag ( x + \ep ) \, \psi_1 ( y - \ep ) \, \sim \, \frac{1}{\ep} ~~~~ \mbox{($x \rightarrow y$)} \tag{7.27}\]
に他ならない。
\[ \psi_1 (x) \psi_1^\dag (y) = \frac{i}{2\pi} \frac{1}{ x^1 - y^1 } + f ( x^1 - y^1 ) \, \O \tag{7.43} \]
と表せる。ただし、$\bra 0 | \O | 0 \ket = 0$ であり、$f(x^1 - y^1 )$は$(x^1 - y^1 )$の関数を表す。$f (x^1 - y^1 )$は $ x^1 \rightarrow y^1 $ の極限で特異点を持たないと主張できる。これは次元解析から分かる。まず、$\bra 0 | \psi_1 \psi_1^\dag | 0 \ket \sim \frac{1}{x^1}$ であるので、$\psi_1$は $\mbox{(長さ)}^{-1/2} = L^{-1/2}$ の次元をもつ。$\O$は真空期待値がゼロでスピノールの双線形の形を持つので、$\psi_1^\dag \psi_1$, $\psi_1^\dag \nabla \psi_1$の線形結合で表せる。前者の場合、$\O$の次元は $ \O ( \psi_1^\dag \psi_1 ) \sim L^{-1}$ となり、次元解析から $f(x^1 - y^1 ) \sim \log (x^1 - y^1 ) \sim L^0$ が分かる。後者の場合は、$\O ( \psi_1^\dag \nabla \psi_1 ) \sim L^{-2}$ から、$f (x^1 - y^1 ) \sim L$ となる。よって、任意の$\O$に対して$f (x^1 - y^1 )$は $ x^1 \rightarrow y^1$ の極限で特異点を持たない。
(1+1)次元フェルミオン系の観測量代数
(7.27)の具体的な形が分かったので、(7.25)の計算を再開しよう。上の結果から、$\psi_1^\dag ( x + \ep ) \psi_1 ( y - \ep )$ と $\psi_1^\dag ( y + \ep ) \psi_1 ( x - \ep )$ の $x^1 \rightarrow y^1$ での値は$\ep^{-1}$のオーダーで
\[\begin{eqnarray} \psi_1^\dag ( x + \ep ) \psi_1 ( y - \ep ) = \frac{i}{2 \pi} \frac{1}{(x^1 + \ep ) - ( y^1 - \ep )} \longrightarrow \frac{i}{2\pi} \frac{1}{2 \ep} ~~~~ ( x^1 \rightarrow y^1 ) && \tag{7.44}\\ \psi_1^\dag ( y + \ep ) \psi_1 ( x - \ep ) = \frac{i}{2 \pi} \frac{1}{(y^1 + \ep ) - ( x^1 - \ep )} \longrightarrow \frac{i}{2\pi} \frac{1}{2 \ep} ~~~~ ( x^1 \rightarrow y^1 ) && \tag{7.45} \end{eqnarray}\]
と計算できる。したがって、カレント$J_{-}$の代数は
\[ [ J_{-} (x^0 , x^1 ) , \, J_{-} (x^0 , y^1) ] \, = \, \frac{-i}{\pi} \frac{\d}{\d x^1} \del ( x^1 - y^1 ) \tag{7.46} \]
となる。(7.23)と同様にカレント$J_{+}$を $J_{+} (x) = \psi_2^\dag (x + \ep ) \psi_2 ( x - \ep )$ と定義すると、 $J_{+}$の代数は
\[ [ J_{+} (x^0 , x^1 ) , \, J_{+} (x^0 , y^1) ] \, = \, \frac{i}{\pi} \frac{\d}{\d x^1} \del ( x^1 - y^1 ) \tag{7.47} \]
となる。よって、代数(7.46), (7.47)は(1+1)次元フェルミオン系の観測量代数を与える。この代数はアーベル型のカッツ-ムーディ代数に対応する。次節ではこの代数の非アーベル型へ一般化を解説する。
カレントのボソン表示
つぎに、実変数で表されるボソン場$\phi ( x^0 , x^1 )$を導入して、観測量$J_{-} (x^0 , x^1 )$のボソン表示を考える。このボソン場の時間微分 $\frac{\d}{\d x^0} \phi ( x^0 , x^1 ) = \dot{\phi} ( x^0 , x^1 )$ は独立変数であり、次の同時刻交換関係を満たす。
\[\begin{eqnarray} \left[ \phi ( x^0 , x^1 ) , \, \phi ( x^0 , y^1 ) \right] &=& 0 \nonumber \\ \left[ \dot{\phi} ( x^0 , x^1 ) , \, \dot{\phi} ( x^0 , y^1 ) \right] &=& 0 \\ \left[ \phi ( x^0 , x^1 ) , \, \dot{\phi} ( x^0 , y^1 ) \right] &=& i \del ( x^1 - y^1 ) \nonumber \end{eqnarray} \tag{7.48} \]
これらの同時刻交換関係はボソン演算子の交換関係
\[[ a_k , a_l ] = 0 \, , ~~ [ a_k , a_l^\dag ] = \del_{kl} \, , ~~ [ a_k^\dag , a_l^\dag ] = 0 \, \tag{7.1} \]
と等価である。これは、ボソン場$\phi (x)$のモード展開
\[ \phi ( x ) = \sum_k \frac{1}{\sqrt{2 k_0 L}} \left( a_k e^{-ikx} + a_k^\dag e^{ikx} \right) \tag{7.49} \]
を用いれば確認できる。ただし、$i kx = i k_0 x^0 - i k_1 x^1$ とし、$k$の和は$L \rightarrow \infty$ の極限で
\[ \sum_k \, \rightarrow \, L \int \frac{d k_1}{2\pi} \tag{7.50} \]
と置き換えられる。
カレント$J_-$のボソン表示は
\[ J_{-} = \al \left( \frac{\d \phi}{\d x^0} - \frac{\d \phi}{\d x^1} \right) \tag{7.51} \]
で与えられる。ただし、$\al$は定数である。実際に$J_{-}$の交換関係を計算すると
\[\begin{eqnarray} &&[ J_{-} ( x^0 , x^1 ) , \, J_{-} ( x^0 , y^1 ) ] \nonumber \\ &=& \al^2 \left[ \dot{\phi} ( x ) - \frac{\d}{\d x^1} \phi (x) , \, \dot{\phi} ( y ) - \frac{\d}{\d y^1} \phi (y) \right] \nonumber \\ &=& - \al^2 \frac{\d}{\d y^1} \left[ \dot{\phi} (x) , \, \phi (y) \right] - \al^2 \frac{\d}{\d x^1} \left[ \phi (x) , \, \dot{\phi} (y) \right] \nonumber \\ &=& i \al^2 \frac{\d}{\d y^1} \del ( y^1 - x^1 ) -i \al^2 \frac{\d}{\d x^1} \del ( x^1 - y^1 ) \nonumber \\ &=& -i \al^2 \frac{\d}{\d x^1} \left( \del ( y^1 - x^1 ) + \del ( x^1 - y^1 ) \right) \nonumber \\ & = & -i 2 \al^2 \frac{\d}{\d x^1} \del ( x^1 - y^1 ) \tag{7.52} \end{eqnarray}\]
となる。ただし、デルタ関数の定義
\[ \del ( x^1 - y^1 ) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{2\pi} e^{ik (x^1 - y^1 ) } \tag{7.53} \]
から、$\frac{\d}{\d x^1} \del ( x^1 - y^1 ) = - \frac{ \d}{\d y^1 } \del ( x^1 - y^1 )$ となることを用いた。(7.46)と(7.52)を比較すると、定数$\al$を$\al^2 = \frac{1}{2 \pi}$と決められる。したがって、フェルミオン観測量（カレント）$J_{-}=\psi_1^\dag \psi_1$ のボソン表示の1つは
\[ J_{-} (x) = \psi_1^\dag (x) \psi_1 (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \left( \frac{\d}{\d x^0} - \frac{\d}{\d x^1} \right) \phi (x) \tag{7.54} \]
で与えられる。同様に、$J_{+} = \psi_2^\dag \psi_2$ のボソン化も
\[ J_{+} (x) = \psi_2^\dag (x) \psi_2 (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \left( \frac{\d}{\d x^0} + \frac{\d}{\d x^1} \right) \phi (x) \tag{7.55} \]
と表示できる。
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