5.4 メソンとバリオンと質量公式
この節では前節の結果（$SU(3)$群の既約表現についての結果）をハドロン・スペクトルの解析に応用する。5.1節で解説したように軽いクォークで構成されるハドロンはフレーバー$SU(3)$対称性をもつ。ただし、この対称性はクォーク間の質量差により明示的に破れる。フレーバー$SU(3)$対称性はウィグナー表示で実現されるので、$SU(3)$のユニタリー既約表現を用いればかなり簡単にハドロン・スペクトルを解析できる。まず、軽いクォーク$Q$とその反クォーク$\overline{Q}$の束縛状態であるメソンを考えよう。メソンのクォーク構成は$M^{i}_{j} = Q^{i} \overline{Q}_j$で与えられる。クォークは$SU(3)$の基本表現${\bf 3}$として変換するので、メソンは直積${\bf 3} \otimes {\bf 3}^*$に属す。随伴表現の次元分解
\[ {\bf 3} \otimes {\bf 3}^* = {\bf 1} \oplus {\bf 8} \tag{5.35} \]
を用いると、メソンは1重項（トレース成分）と8重項（トレースレス成分）に分解できる。よって、だいたい同じ質量をもつ8個のメソンと明らかに異なる質量をもつ1つのメソンの存在が期待できる。さらに、クォークはスピン-$\half$粒子であるので、束縛クォークの軌道角運動量がゼロの状態にあるとして、少なくともスピン-0とスピン-1のメソンのセットが期待できる。ただし、束縛クォークの角運動量がゼロでない場合はより高いスピンのメソンも存在できる。また、パリティは強い相互作用で保存するので、それぞれのスピンと$SU(3)$既約表現に対してパリティが偶・奇の状態が期待できる。典型的なスピン-0、パリティが奇のメソン（擬スカラー中間子）の質量、クォーク構成の一覧は以下のようになる。
スピン-0とスピン-1の最軽量メソン（中間子）の一覧
\[ \begin{array}{|c | c | c| c| c| c |} \hline &\mbox{スピン-0}&\mbox{質量}& \mbox{スピン-1}& \mbox{質量} & \mbox{クォーク構成}\\ && \mbox{(MeV)} && \mbox{(MeV)} &\\ \hline \mbox{1重項}& \eta^\prime & 958& \omega &783& (u {\bar u} + d {\bar d} + s {\bar s})/\sqrt{3} \\ \hline & \pi^0 & 135& \rho^0 &775& (u {\bar u} - d {\bar d} )/\sqrt{2} \\ & \pi^+ &140& \rho^+ &775& u {\bar d} \\ & \pi^- &140& \rho^- &775& d {\bar u} \\ \mbox{8重項} & K^+ &494& K^{*+} &892& u {\bar s} \\ & K^- &494& K^{*-} &892& s {\bar u} \\ & K^0 &498& K^{*0} &896& d {\bar s} \\ & {\bar K}^0 &498& {\bar K}^{*0} &896& s {\bar d} \\ & \eta &548& \varphi &1019& ( u {\bar u} + d {\bar d} - 2 \,s {\bar s})/\sqrt{6} \\ \hline \end{array} \]
上付きの添え字はメソンの電荷を表し、これは軽クォーク$(u, d, s)$の電荷$(+ 2/3 , - 1/3 , -1/3)$から計算できる。一覧には最も軽いスピン-1でパリティが奇のメソン（ベクター中間子）の8重項も示した。
バリオンは3つのクォークの束縛状態($QQQ$)である。テンソル表現を用いると、これは$T_{ijk}$と表せる。これは、$T_{ijk} \ep^{jkl} = T^{l}_{i}$ などと縮約を取れるので、可約である。よって、バリオンは10重項(decuplets) $B_{ijk}$ と8重項(octets) $B^{i}_{j}$ に分類される。実際、$SU(3)$の次元を用いると、これは
\[\begin{eqnarray} {\bf 3} \otimes {\bf 3} \otimes {\bf 3} &=& ( {\bf 6} \oplus {\bf 3}^* ) \otimes {\bf 3}\nonumber \\ &=& {\bf 10} \oplus {\bf 8} \oplus {\bf 8} \oplus {\bf 1} \tag{5.36} \end{eqnarray}\]
と分解できる。クォークはスピン$\frac{1}{2}$をもつので、バリオンはスピン$\frac{1}{2}$と$\frac{3}{2}$をもつ。最初に、10重項のバリオンを考える。これらは$(3,0)$表現に対応し、フレーバーの添え字について完全対称である。また、これらはカラーの添え字について反対称である。なぜなら、粒子は必ずカラー１重項でなければならず、３つのクォークからカラー1重項を作る唯一の方法はカラーの組み合わせを完全反対称にしなければならないからである。よって、パウリの排他律からこれらはスピンについて完全対称でなければならないことが分かる。つまり、10重項バリオンはスピン-${3\over 2}$粒子である。同様の理由から、8重項バリオンはスピン-$\half$粒子であると分かる。8重項バリオンの例はバリオンの集合$\{ \Si^{\pm} , \, \Si^{0}, \, p , \, n , \, \La , \, \Xi^{-}, \, \Xi^{0} \}$で与えられる。ここで、$p$は陽子、$n$は中性子であり、その他の粒子はストレンジ・クォークを含むバリオンである。行列表現を用いると、この8重項バリオンは
\[ B = \left( \begin{array}{ccc} \frac{\Si^0}{\sqrt{2}} + \frac{\La}{\sqrt{6}} & \Si^{+} & p \\ \Si^{-} & - \frac{\Si^0}{\sqrt{2}} + \frac{\La}{\sqrt{6}} & n \\ \Xi^{-} & \Xi^{0} & - \sqrt{\frac{2}{3}} \La \end{array} \right) = \sum_{a = 1}^{8} \psi^{a} \frac{\la^a}{\sqrt{2}} \tag{5.37} \]
と表せる。ただし、$\la^a$ ($a= 1,2, \cdots , 8$) は1.5節で紹介したゲルマン行列
\[\begin{eqnarray} && \la^1 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)~~~ \la^2 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)~~~ \la^3 = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \nonumber \\ && \la^4 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)~~~ \la^5 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \\ \end{array} \right)~~~ \la^6 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right) \nonumber \\ && \la^7 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \\ \end{array} \right)~~~ \la^8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} \tag{1.49} \]
である。$\psi^a$は対応する粒子の場（あるいは演算子）であり、例えば、$\psi^3 = \Sigma^0$, $(\psi^4 - i \psi^5)/\sqrt{2} = p$ などと対応する。(5.37)の係数は$\Tr (\overline{B} B )$の規格化から決まる。
\[ \Tr (\overline{B} B ) = \bar{p} p + \bar{n} n + \overline{\Si^{-}} \Si^{-} + \overline{\Si^{0}} \Si^{0} + \overline{\Si^{-}} \Si^{-} + \overline{\Xi^{-}} \Xi^{-} + \overline{\Xi^{0}} \Xi^{0} + \overline{\La} \La \tag{5.38} \]
ただし、$\overline{B}$は
\[ \overline{B} = \left( \begin{array}{ccc} \frac{\overline{\Si^0}}{\sqrt{2}} + \frac{\overline{\La}}{\sqrt{6}} & \overline{\Si^{-}} & \overline{\Xi^{-}} \\ \overline{\Si^{+}} & - \frac{\overline{\Si^0}}{\sqrt{2}} + \frac{\overline{\La}}{\sqrt{6}} & \overline{\Xi^{0}}\\ \bar{p} & \bar{n} & - \sqrt{\frac{2}{3}} \overline{\La} \end{array} \right) \tag{5.39} \]
で与えられる。行列表示する利点は、フレーバー$SU(3)$の変換で $B \rightarrow U\, B \, U^\dagger$ と表せることである。ただし、$U$は$SU(3)$群の要素である$3\times 3$行列を表す。行列(5.37)からそれぞれのバリオンのクォーク構成が分かることに注意しよう。例えば、$p$, $n$, $\Si^{+}$は
\[\begin{eqnarray} p &\rightarrow & B_{1}^{~3} \sim \ep^{3ij} B_{1ij} \sim B_{112} \sim uud \nonumber \\ n &\rightarrow & B_{2}^{~3} \sim B_{212} \sim udd \tag{5.40} \\ \Si^{+} &\rightarrow & B_{1}^{~2} \sim B_{131} \sim uus \nonumber \end{eqnarray}\]
と表せる。こららのバリオンはスピン-$\hf$でパリティが偶の粒子である。その質量とクォーク構成は以下の通りである。
8重項バリオンとその質量
\[ \begin{array}{|r|c|r|r|} \hline\hline & \mbox{バリオン} & \mbox{質量(MeV)} & \mbox{クォーク構成} \\ \hline & p & 938 & uud \\ & n & 940 & udd \\ & \La & 1116 & uds \\ \mbox{8重項} & {\Si}^{+} & 1189 & uus \\ & {\Si}^{0} & 1193 & uds \\ & {\Si}^{-} & 1197 & dds \\ & \Xi^{0} & 1315 & uss \\ & \Xi^{-} & 1322 & dss \\ \hline\hline \end{array} \]
同様に、10重項バリオンとその質量の一覧は次のようになる。
10重項バリオンとその質量
\[ \begin{array}{|r|c|r|r|} \hline\hline & \mbox{バリオン} & \mbox{質量(MeV)} & \mbox{クォーク構成} \\ \hline & \Delta^{++} & 1232 & uuu \\ & \Delta^{+} & 1232 & uud \\ & \Delta^{0} & 1232 & udd \\ & \Delta^{-} & 1232 & ddd \\ \mbox{10重項} & {\Si^{*}}^{+} & 1383 & uus \\ & {\Si^{*}}^{0} & 1384 & uds \\ & {\Si^{*}}^{-} & 1387 & dds \\ & {\Xi^{*}}^{0} & 1532 & uss \\ & {\Xi^{*}}^{-} & 1535 & dss \\ & \Om^{-} & 1672 & sss \\ \hline\hline \end{array} \]
バリオンの質量公式
もしフレーバー$SU(3)$対称性が完全な対称性ならば、同じ多重項のバリオンはすべて同じ質量を持つはずである。しかし、フレーバー対称性はクォーク間の質量差および弱い相互作用の効果によって破れる。よって、例えば8重項バリオンの質量差はこれらの効果で理解できると考えられる。実際、対称性の破れのパターンから可能な質量項を書き下すことによって、定性的でない議論も行える。例えば、8重項バリオンの質量項を
\[ M \, = \, a \, \Tr (\overline{B} B ) \, + \, \mbox{($SU(3)$対称性を破る項)} \tag{5.41} \]
と表すことができる。ただし、$\Tr (\overline{B} B)$は$SU(3)$対称性のもとで不変なので、係数$a$は8重項に共通する質量を示す。ここで、$B^{\prime} = U B U^\dag $ と $\overline{B}^{\prime} = U \overline{B} U^\dag$ から、$\Tr (\overline{B}^{\prime} B^{\prime} ) = \Tr (\overline{B} B)$ であることは簡単に確認できる。したがって、(5.41)の第1項はクォーク間の束縛エネルギーからの寄与を表している。残りの項は$SU(3)$対称性を破る項に対応する。この章の始め（5.1節）で議論したように、軽いクォークの有効ラグランジアンは
\[ \L (Q) = \overline{Q} \, i \ga \cdot ( \d - i g A ) \, Q + \overline{Q} \left( \begin{array}{c c c} m_u & 0 & 0 \\ 0 & m_d & 0 \\ 0 & 0 & m_s \\ \end{array} \right) Q \tag{5.1} \]
で与えられる。ただし、$Q$, $\overline{Q}$は
\[ Q = \left( \begin{array}{c} u \\ d \\ s \\ \end{array} \right) , ~~ \overline{Q} = \left( \, \bar{u} ~~ \bar{d} ~~ \bar{s} \, \right) \tag{5.2} \]
と定義される。クォークの質量項$\overline{Q} m Q$はその質量差 $m_u \approx m_d \ll m_s$ によって、フレーバー$SU(3)$対称性を破る。もし$m_u$と$m_d$の質量差を無視することが出来れば、(5.1)の質量行列は
\[ m \, \approx \, \left( \begin{array}{ccc} m_u & & \\ & m_u & \\ & & m_s \\ \end{array} \right) = \, m_u {\bf 1} \,+ \, \left( \begin{array}{ccc} 0 & & \\ & 0 & \\ & & m_{s} - m_{u} \\ \end{array} \right) \tag{5.42} \]
と近似できる。よって、対称性の破れの主な要因がクォーク間の質量差である場合、(5.42)より(5.41)の2項目以降は$3 \times 3$行列$\overline{B}B$あるいは$B \overline{B}$の$(3, 3)$成分で近似できることが分かる。つまり、8重項バリオンの一般的な質量公式は
\[\begin{eqnarray} M &=& a\, \Tr (\overline{B} B ) + b\, (\overline{B} B )_{33} + c\, (B \overline{B})_{33} \tag{5.43}\\(\overline{B} B )_{33} &=& \bar{p} p + \bar{n} n + \frac{2}{3} \overline{\La} \La \tag{5.44}\\ (B \overline{B} )_{33} &=& \overline{\Xi^{-}} \Xi^{-} + \overline{\Xi^{0}} \Xi^{0} + \frac{2}{3} \overline{\La} \La \tag{5.45} \end{eqnarray}\]
と書ける。ただし、$a$, $b$, $c$は未知のパラメータである。（これらのパラメータはクォークの動力学から原則的には計算可能であるが、それは非常に困難である。ここではこれらのパラメータを観測されているいくつかのバリオンの質量から求めることにする。）８つの質量と３つのパラメータがあるので、実際にはこの公式から質量を予測することが出来る。前出の関係式
\[ \Tr (\overline{B} B ) = \bar{p} p + \bar{n} n + \overline{\Si^{-}} \Si^{-} + \overline{\Si^{0}} \Si^{0} + \overline{\Si^{-}} \Si^{-} + \overline{\Xi^{-}} \Xi^{-} + \overline{\Xi^{0}} \Xi^{0} + \overline{\La} \La \tag{5.38} \]
と(5.43)-(5.45)から、関係式
\[ \left\{ \begin{array}{rcl} M_p = M_n &=& a + b \\ M_{\Si^{0}} = M_{\Si^{+}}= M_{\Si^{-}} &=& a \\ M_{\Xi^{0}} = M_{\Xi^{-}} &=& a + c \\ M_\La &=& a + \frac{2}{3} (b + c) \\ \end{array} \right. \tag{5.46} \]
が求まる。これより、8重項バリオン質量の関係式
\[\begin{eqnarray} && \left\{ \begin{array}{rcl} M_{p} + M_{\Xi^0} &=& 2a + b +c \, , \\ \hf M_{\Si^0} + \frac{3}{2} M_\La &=& 2a + b + c \\ \end{array} \right. \nonumber \\ & \Longrightarrow & 2 ( M_{p} + M_{\Xi^0} ) = M_{\Si^0} + 3 M_\La \tag{5.47} \end{eqnarray}\]
が得られる。(5.47)のバリオン質量のうち1つが分からないと仮定すると、この式から未知の質量を予測することが出来る。8重項バリオン質量の一覧と比べるとこの関係式はかなり良い精度で成り立つことが確認できる。
8重項バリオンとその質量
\[ \begin{array}{|r|c|r|r|} \hline\hline & \mbox{バリオン} & \mbox{質量(MeV)} & \mbox{クォーク構成} \\ \hline & p & 938 & uud \\ & n & 940 & udd \\ & \La & 1116 & uds \\ \mbox{8重項} & {\Si}^{+} & 1189 & uus \\ & {\Si}^{0} & 1193 & uds \\ & {\Si}^{-} & 1197 & dds \\ & \Xi^{0} & 1315 & uss \\ & \Xi^{-} & 1322 & dss \\ \hline\hline \end{array} \]
また、この質量データは(5.46)から予測できる関係式 $M_p = M_n$, $M_{\Si^{0}} = M_{\Si^{+}}= M_{\Si^{-}}$, $M_{\Xi^{0}} = M_{\Xi^{-}}$ ともよく一致する。
10重項バリオンについても同様に $m_{u} = m_{d}$ と仮定して質量公式を求めることが出来る。(5.43)に対応する質量公式は
\[ M ~=~ a \, + \, b \times \mbox{(${\overline{Q}_3}$の数)} \, + \, c \times \mbox{(${Q_3}$の数)} \tag{5.48} \]
と表せる。ただし、$Q_3$はストレンジ・クォークに対応する。（10重項バリオンはフレーバーの添え字について完全対称であることに注意して、そのうちの$u$と$d$を同一視すれば上式が導ける。）この公式(5.48)を10重項バリオンの質量の一覧に当てはめてみる。
10重項バリオンとその質量
\[ \begin{array}{|r|c|r|r|} \hline\hline & \mbox{バリオン} & \mbox{質量(MeV)} & \mbox{クォーク構成} \\ \hline & \Delta^{++} & 1232 & uuu \\ & \Delta^{+} & 1232 & uud \\ & \Delta^{0} & 1232 & udd \\ & \Delta^{-} & 1232 & ddd \\ \mbox{10重項} & {\Si^{*}}^{+} & 1383 & uus \\ & {\Si^{*}}^{0} & 1384 & uds \\ & {\Si^{*}}^{-} & 1387 & dds \\ & {\Xi^{*}}^{0} & 1532 & uss \\ & {\Xi^{*}}^{-} & 1535 & dss \\ & \Om^{-} & 1672 & sss \\ \hline\hline \end{array} \]
すると、10重項バリオン質量の関係式
\[\begin{eqnarray} M_{\Om^{-}} - M_{\Xi^*} &=& M_{\Xi^*} - M_{\Si^*} = M_{\Si^*} - M_{\Delta} \tag{5.49} \\ M_{\Delta} &=& M_{\Delta^{++}}= M_{\Delta^{+}}= M_{\Delta^{0}}= M_{\Delta^{-}} \tag{5.50} \\ M_{\Si^*} &=& M_{{\Si^{*}}^{+}}= M_{{\Si^{*}}^{0}}= M_{{\Si^{*}}^{-}} \tag{5.51} \\ M_{\Xi^*} &=& M_{{\Xi^{*}}^{0}} = M_{{\Xi^{*}}^{-}} \tag{5.52} \end{eqnarray} \]
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