6. 超伝導とBCS理論 vol.5

6.4 転移温度

この節ではBSC理論を用いて超伝導の転移温度を推定する。6.2節では相互作用ハミルトニアン$H_{int}$を次のように変形した。

\[\begin{eqnarray}    H_{int} &=& \sum_{kk'} V_{kk'} \left[ \alpha_{k'} \beta_{k'} \left( N_{k'} + {\tilde N}_{k'} - 1\right)    + \left(\alpha_{k'}^2 B^\dagger_{-k'} A^\dagger_{k'} - \beta_{k'}^2 A_{k'} B_{-k'} \right)    \right] \nonumber\\    && \hskip .5in    \times \left[ \alpha_{k} \beta_{k} \left( N_{k} + {\tilde N}_{k} - 1\right)    + \left( \alpha_{k}^2 A_{k} B_{-k}  - \beta_{k}^2 B^\dagger_{-k} A^\dagger_{k} \right)    \right]\nonumber\\    &\approx&  \sum_{kk'} V_{kk'} \alpha_{k'}\beta_{k'} \alpha_k \beta_k    - 2\, \sum_{kk'} V_{kk'}\alpha_{k'}\beta_{k'} \alpha_k \beta_k (N_k + {\tilde N}_k )\nonumber\\    &&\hskip .05in - \sum_{kk'} V_{kk'}\alpha_{k'}\beta_{k'} (\alpha_k^2 - \beta_k^2)  (A_k B_{-k}    + B^\dagger_{-k} A^\dagger_k ) ~+ ~ {\rm (4次の項)}   \tag{6.53} \\ \end{eqnarray}\]

ここでは、$A_k B_{-k}$とその共役に関わる項の係数として現れる数演算子$N_k$, ${\tilde N}_k$を残して、$H_{int}$を

\[    \begin{split}    H_{int} &= \sum_{kk'} V_{kk'} \left[ \alpha_{k'} \beta_{k'} \left( N_{k'} + {\tilde N}_{k'} - 1\right)     \left( \alpha_{k}^2 A_{k} B_{-k}  - \beta_{k}^2 B^\dagger_{-k} A^\dagger_{k} \right)\right]    \\     &\hskip .1in + \sum_{kk'} V_{kk'}     \left[  \left(\alpha_{k'}^2 B^\dagger_{-k'} A^\dagger_{k'} - \beta_{k'}^2 A_{k'} B_{-k'} \right)     \alpha_{k} \beta_{k} \left( N_{k} + {\tilde N}_{k} - 1\right)\right] + \cdots      \end{split}     \tag{6.73} \]

と変形する。絶対零度では$N_k$と${\tilde N}_k$はゼロとなる。絶対温度がゼロでないときこれらは熱的な占有数$\bra N_k \ket$, $\bra {\tilde N}_k \ket$に近似できる。このとき、6.2節と同様に計算するとギャップ方程式は

\[    \Delta - {V_0 \over 2} \sum_k {\Delta \over \sqrt{\epsilon_k^2 + \Delta^2}}    \left( 1 - \bra N_k \ket - \bra {\tilde N}_k \ket \right) \, = \, 0     \tag{6.74} \]

となる。また、6.3節で導いたBCS理論のハミルトニアン

\[    H ~ = ~ - G_0\, \omega_D \sqrt{\omega_D^2 +\Delta^2} ~+~    \sum_k \sqrt{\epsilon_k^2 +\Delta^2} ~(N_k +{\tilde N}_k) ~+\cdots     \tag{6.64} \]

から分かるように、1粒子の励起エネルギーは$\sqrt{\epsilon_k^2 + \Delta^2}$で与えられる。よって、占有数はフェルミ-ディラック分布から

\[    \bra N_k \ket = \bra {\tilde N}_k \ket =    {1\over e^{E_k/T} + 1} \,  , \hskip .3in E_k = \sqrt{\epsilon_k^2 + \Delta^2}     \tag{6.75} \]

と表せる。これより、ギャップ方程式は

\[    \Delta \left[ 1 - {V_0 G_0 \over 2} \int d \epsilon \, {1\over \sqrt{\epsilon^2 + \Delta^2}}    \,  \tanh (\sqrt{\epsilon^2 + \Delta^2} /2 T)    \right] = 0 \tag{6.76} \]

となる。6.2節と同様に、$\Delta = 0$は1つの解である。ギャップがゼロでない非自明な解は

\[    1 - {V_0 G_0 \over 2} \int d \epsilon \, {1\over \sqrt{\epsilon^2 + \Delta^2}}    \,  \tanh (\sqrt{\epsilon^2 + \Delta^2} /2 T)    = 0     \tag{6.77} \]

から得られる。低温では$\tanh (\sqrt{\epsilon^2 + \Delta^2} /2 T) \approx 1$と近似できるので、ギャップ方程式は以前に導いた方程式

\[    \Delta~\left[ 1- ~V_0 G_0 \sinh^{-1} (\omega_D/\Delta ) \right] =0     \tag{6.59} \]

に戻る。

　絶対零度$T = 0$で非自明なギャップから始めて、温度を上げていくとギャップ$\Delta$は$T$がある臨界値に達するとゼロになる。この点で超伝導から常伝導への相転移が起きる。よって、(6.77)で$\Delta$をゼロとおくことで、この転移温度$T_c$を求めることができる。つまり、$T_c$の満たす方程式は

\[\begin{eqnarray}    {1\over V_0 G_0 } &=& \int_{-\omega_D}^{\omega_D}    {d\epsilon \over 2 \sqrt{\epsilon^2}}    \tanh (\sqrt{\epsilon^2}/2T_c)\nonumber\\    &=& \log (\omega_D/2 T_c ) \tanh(\omega_D/2T_c)    - \int_0^{\omega_D/2T_c}  ds ~{\log s\over \cosh^2s}     \tag{6.78} \end{eqnarray}\]

となる。通常は$\omega_D \gg T_c$となるので、2項目の積分は$\omega_D /2T_C \rightarrow \infty$として近似できる。この積分は

\[ \int_0^\infty \frac{\log x}{\cosh^2 x} dx = \log \frac{\pi}{4} - \ga \approx -0.81878 \]

と計算できる。ただし、$\ga$はオイラー・マスケローニ定数 ($\ga \approx 0.5772$) である。よって、

\[    {1\over V_0 G_0} \approx \log( \omega_D / 2T_c) +\gamma - \log(\pi/4)    \tag{6.79} \]

と求まる。これより、転移温度は

\[    T_c  \, = \, {2 e^\gamma \over \pi} \omega_D \,\exp\left( {-{1\over V_0 G_0}}\right)    \, = \, {e^\gamma \over \pi}  \Delta_0  \, \approx  \, 0.5669 \Delta_0  \tag{6.80} \]

と評価できる。ここで、$\Delta_0 = 2 \omega_D \,\exp\left( {-{1\over V_0 G_0}}\right) $は絶対零度$T=0$での$\Delta$の値である。この公式は転移温度$T_c$がデバイ振動数$\omega_D$に依存することを示しているので、前節で触れたように転移温度にも同位体効果が適用されることが分かる。