BCS理論の転移温度の計算に出てくる積分

前回のエントリーで出てきた積分

 

\[ \int_0^\infty \frac{\log x}{\cosh^2 x} dx = \log \frac{\pi}{4} - \ga \approx -0.81878 \]

ただし、$\ga$はオイラーの定数。これが分からなくて2、3日使ってしまいました。子供の小学校の保護者会に出席したときも気になってしまいメモする始末。結局、自力では無理だったので色々調べました。MathematicaのWebバージョンWolframAlphaが正しい数値結果を出してくれましたが、解析的に計算してくれないと納得いきません。Google Chromeで「integral from 0 to infinity log(x) sech^2 (x) dx」と検索を掛けると Math Stack Exchange がドンピシャのサイトを見つけてくれました！ Microsoft Edgeではヒットしなかったので驚きました。解法を見て、これは自力では無理だなあと納得しました。双曲線関数の積分なんて忘れていました。学部の時にやったけど使う機会がないとダメですね。当時は公式集があれば何とかかなるだろうと思っていましたが、何ともならなかったです。双曲線関数の出てくる積分についてネットで調べてみたらインド人の学生向けにいろいろな積分が解説されていて興味深かったです。今では動画で複素積分の勉強ができるみたいですね。今後、積分に詰まったらまずChromeで検索かな。