7.2 非アーベル型ボソン化
前節では、(1+1)次元フェルミ粒子系のアーベル型のボソン化を議論した。この節では、この議論をアーベル型の場合に拡張する。具体的には非アーベル型のカレントが成すカッツ-ムーディ代数を導出する。そのために、$N$個の自由フェルミ粒子を導入する。このとき、2成分のディラック・スピノール$\psi$は
\[ \psi = \left( \begin{array}{c} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \end{array} \right) \, \rightarrow \, \left( \begin{array}{c} \psi_1^a \\ \psi_2^a \\ \end{array} \right) ~~~~ ( a = 1,2, \cdots , N ) \tag{7.77} \]
と表せる。前節の $J_{-} = \psi_1^\dag \psi_1$ に対応するカレントは $J_{-}^{ab} \sim {\psi_1^\dag}^a \cdot \psi_1^b$ と書ける。これらは$N^2$個のエルミート演算子と見做すことができる。ここで、$SU(N)$対称性を導入し、$N^2$個のカレントを次のように分類する。
\[ \left\{ \begin{array}{ll} {\psi_1^\dag}^{a} \, \psi_1^a & \mbox{トレース成分のカレント} \\ {\psi_1^\dag}^{a} ( T^\al )_{ab} \psi_1^b & \mbox{$SU(N)$カレント} \\ \end{array} \right. \tag{7.78} \]
ただし、$T^\al$ ($\al = 1,2, \cdots , N^2 -1 $) は$SU(N)$群の生成子であり、トレース・ゼロの$N \times N$エルミート行列で表現される。$SU(N)$代数は
\[ [ T^\al , \, T^\bt ] = i f^{\al \bt \ga} T^\ga \tag{7.79} \]
で与えられる。いつも通り、$T^\al$の規格化を
\[ \Tr ( T^\al T^\bt ) = \hf \del^{\al\bt} \tag{7.80} \]
とする。アーベル型の場合、カレント$J_{-} (x) $を
\[ J_{-} (x) \, = \, \psi_1^\dag (x + \ep ) \, \psi_1 ( x - \ep ) \tag{7.24} \]
と定義した。ただし、$x = ( x^0 , x^1 )$, $x \pm \ep = (x^0 , x^1 \pm \ep )$であり、計算の最後に $\ep \rightarrow 0$ の極限を取った。これとの類推から、非アーベル型のカレントを
\[ J_{-}^{\al} (x) \, = \, \psi_1^\dag ( x + \ep ) \, T^\al \, \psi_1 ( x - \ep ) \tag{7.81} \]
と定義できる。
これより、$J_{-}^{\al} (x)$の同時刻交換関係は
\[\begin{eqnarray} &&[ J_{-}^{\al} (x^0 , x^1 ) , \, J_{-}^{\bt} (x^0 , y^1 ) ] \nonumber \\ &=& \left[ \psi_1^\dag ( x + \ep ) T^\al \psi_1 ( x - \ep ), \, \psi_1^\dag ( y + \ep ) T^\bt \psi_1 ( y - \ep ) \right] \nonumber \\ &=& {\psi_1^\dag}^a (x + \ep ) ( T^\al )_{ab} \left\{ \psi_1^b ( x - \ep ) , \, {\psi_1^\dag}^c (y + \ep ) \right\} ( T^\bt )_{cd} \, \psi_1^d ( y - \ep ) \nonumber \\ && ~~ - {\psi_1^\dag}^a (y + \ep ) ( T^\bt )_{ab} \left\{ \psi_1^b ( y - \ep ) , \, {\psi_1^\dag}^c (x + \ep ) \right\} ( T^\al )_{cd} \, \psi_1^d ( x - \ep ) \nonumber \\ &=& \psi_1^\dag ( x + \ep ) T^\al T^\bt \psi_1 ( y - \ep ) \del ( x - y - 2 \ep ) \nonumber \\ && ~~~~ - \psi_1^\dag ( y + \ep ) T^\bt T^\al \psi_1 ( x - \ep ) \del ( x - y + 2 \ep ) \tag{7.82} \end{eqnarray}\]
と計算できる。ただし、スピノールの同時刻反交換関係
\[ \left\{ \psi_1^a ( x^0 , x^1 ) , \, {\psi_1^\dag}^b ( x^0 , y^1 ) \right\} = \del^{ab} \del ( x^1 - y^1 ) \tag{7.83}\]
を用いた。(7.82)は前節のアーベル型の関係式
\[\begin{eqnarray} [ J_{-} (x) , \, J_{-} (x) ] &=& \left[ \psi_1^\dag (x + \ep ) \psi_1 (x - \ep ) , \, \psi_1^\dag (y + \ep ) \psi_1 (y - \ep ) \right] \nonumber \\ &=& \psi_1^\dag (x + \ep ) \psi_1 ( y - \ep ) \del (x- y- 2\ep ) \nonumber \\ && ~~~~ - \psi_1^\dag ( y + \ep ) \psi_1 ( x- \ep ) \del (x- y + 2\ep ) \tag{7.25} \end{eqnarray}\]
の非アーベル型の拡張になっており、以前と同様に
\[ [ J_{-}^{\al} (x ) , \, J_{-}^{\bt} (y ) ] = if^{\al \bt \ga} J_{-}^{\ga} (x ) \del ( x - y ) - \frac{i}{2 \pi} \del^{\al \bt} \frac{\d}{\d x} \del ( x - y ) \tag{7.84} \]
と変形できる。ただし、$SU(N)$群の生成子$T^\al$についての関係式(7.79), (7.80)を用いた。また、アーベル型の場合と同様に ${\psi_1^\dag}^a ( x + \ep ) \psi_1^b ( y - \ep )$ と ${\psi_1^\dag}^a ( y + \ep ) \psi_1^b ( x - \ep )$ の $x^1 \rightarrow y^1$ での評価は
\[\begin{eqnarray} {\psi_1^\dag}^a ( x + \ep ) \psi_1^b ( y - \ep ) & \longrightarrow & \frac{i}{2\pi} \frac{1}{2 \ep} \del^{ab} ~~~~ ( x^1 \rightarrow y^1 ) \tag{7.85}\\ {\psi_1^\dag}^a ( y + \ep ) \psi_1^b ( x - \ep ) & \longrightarrow & \frac{i}{2\pi} \frac{1}{2 \ep} \del^{ab} ~~~~ ( x^1 \rightarrow y^1 ) \tag{7.86} \end{eqnarray}\]
で与えられることを用いた。交換関係(7.84)は非アーベル型のカッツ-ムーディ代数に対応する。この代数はカレント代数としても知られている。(7.84)の座標成分を明示的に書くと
\[ [ J_{-}^{\al} (x^0 , x^1 ) , \, J_{-}^{\bt} (x^0 , y^1 ) ] = if^{\al \bt \ga} J_{-}^{\ga} (x^0 , x^1 ) \del ( x^1 - y^1 ) - \frac{i}{2 \pi} \del^{\al \bt} \frac{\d}{\d x^1} \del ( x^1 - y^1 ) \tag{7.87} \]
となる。もう一方のフェルミオン・カレント $J_+^\al (x) = \psi_2^\dag ( x + \ep ) T^\al \psi_2 (x - \ep )$ の代数も同様に計算でき
\[ [ J_{+}^{\al} (x^0 , x^1 ) , \, J_{+}^{\bt} (x^0 , y^1 ) ] = if^{\al \bt \ga} J_{+}^{\ga} (x^0 , x^1 ) \del ( x^1 - y^1 ) + \frac{i}{2 \pi} \del^{\al \bt} \frac{\d}{\d x^1} \del ( x^1 - y^1 ) \tag{7.88} \]
と求まる。
ここで、カレント$J_-^\al (x)$を用いて新しいカレント$J_n^\al$を
\[ J_n^\al = J_n^\al ( x^0 ) = \int_{0}^{2 \pi R} \!\! e^{in \frac{x^1}{R}} J_-^\al (x^0 , x^1 ) dx^1 \tag{7.89} \]
とパラメータ表示しよう。ただし、$n$は整数である。この$J_n^\al ( x^0 )$を用いると、カレント代数の異なる表現を求めることができる。つまり、$J_-^\al (x)$の代数(7.87)に $\exp \left( in \frac{x^1}{R} \right) \exp \left( i m \frac{y^1}{R} \right)$ を掛けて、半径$R$の円周に沿って$x^1$と$y^1$の積分を取ると
\[\begin{eqnarray} [ J_n^\al , \, J_m^\bt ] &=& i f^{\al\bt\ga} \int_{x^1} \int_{y^1} e^{i n \frac{x^1}{R} + i m \frac{y^1}{R} } J^\ga (x) \del ( x^1 - y^1 ) dx^1 dy^1 \nonumber \\ && - \frac{i}{2 \pi} \del^{\al\bt} \int_{x^1} \int_{y^1} e^{in \frac{x^1}{R} } \frac{\d}{\d x^1} \del ( x^1 - y^1 ) e^{im \frac{y^1}{R} } dx^1 dy^1 \nonumber \\ &=& i f^{\al\bt\ga} J_{n+m}^\ga + m \del^{\al\bt} \del_{n+m, 0} \tag{7.90} \end{eqnarray}\]
を得る。ここで、第2項の導出に関係式
\[ \int_{0}^{2 \pi R} \!\! e^{i (n+m) \frac{x^1}{R}} dx^1 \, = \, 2 \pi R \, \del_{n+m, 0} \tag{7.91} \]
を用いた。$m= n= 0$ の場合、(7.90)は通常の$SU(N)$代数に帰着する。よって、非アーベル型のカッツ-ムーディ代数(7.90)は拡張された$SU(N)$代数と解釈できる。
数学の文献では、カレント代数に付随するレベル数$k$が存在し、これを含めると(7.90)は
\[ [ J_n^\al , \, J_m^\bt ] = i f^{\al\bt\ga} J_{n+m}^\ga + k m \del^{\al\bt} \del_{n+m, 0} \tag{7.92} \]
と表せる。カレント代数のレベル数$k$はユニタリー性の要請から整数であることが知られている。(7.90)は$k = 1$の場合に相当する。実際、「$k=1$のカッツ-ムーディ代数はユニタリー既約表現を唯一つだけ持つ」という（カッツの）定理が存在し、これは代数(7.68)のユニタリー既約表現の唯一性を保証する。この意味でこの定理は1, 4, 6章で議論したハイゼンベルク代数のストーン-フォン・ノイマンの定理と類似している。
上述の通り非アーベル型カッツ-ムーディ代数の導出は(1+1)次元フェルミオン・カレント $J_{-}^{\al} = \psi_1^\dag T^\al \psi_1 $ を用いて行われた。前節で見たようにアーベル型の場合、カレント $J_- = \psi_1^\dag \psi_1 $ のボソン表示は
\[ J_{-} (x) = \psi_1^\dag (x) \psi_1 (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \left( \frac{\d}{\d x^0} - \frac{\d}{\d x^1} \right) \phi (x) \tag{7.54} \]
で実現される。これは
\[\begin{eqnarray} \psi_1^\dag \psi_1 &=& J_- (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \d_- \phi (x) = - \frac{i}{\sqrt{2 \pi}} (\d_- g ) \, g^{-1} \tag{7.93}\\ g &=& g (x) = e^{i \phi (x)} \tag{7.94} \end{eqnarray}\]
と書き換えられる。ただし、$\d_- = \frac{\d}{\d x^0} - \frac{\d}{\d x^1}$ であり、$g(x)$はアーベル群$U(1)$の要素とみなせる。この表現は非アーベル型へ自然に拡張できる。
\[\begin{eqnarray} \psi^\dag T^\al \psi &=& J_{-}^{\al} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \d_- \phi^\al (x) = - \frac{i}{\sqrt{2 \pi}} ( \d_{-} g ) \, g^{-1} \tag{7.95}\\ g &=& g (x) = e^{i T^\al \phi^\al (x)} \tag{7.96} \end{eqnarray}\]
ここで、$g (x)$は$SU(N)$群の要素である。関係式(7.95)は非アーベル型カレント$J_{-}^{\al} (x)$のボソン表示を与える。カレント$J_{-}^{\al} (x)$で表されるフェルミ粒子の物理系と等価な2次元物理系を記述するボソン場の作用が存在することが知られている。これは、非アーベル群の要素$g (x)$で表され、ヴェス-ズミノ-ウィッテン(WZW)作用と呼ばれる。次節ではこの作用の動力学について簡単に紹介する。
ボソン化の表現(7.95)はフェルミオン・カレント$J_{-}$がボソン場$\phi$の関数として表せることを示している。前回(7.59), (7.60)で見たようにアーベル型の場合は、カイラル・フェルミオン$\psi_1$, $\psi_2$をスカラーボソン$\phi$の関数として表せる。
\[\begin{eqnarray} \psi_1 (x) & = & A \, \exp \left( i \sqrt{\pi} \phi (x ) + i \sqrt{\pi} \int_{x^1}^{\infty} \dot{\phi} (x^0, \tilde{x}^1 ) d \tilde{x}^1 \right) \tag{7.59} \\ \psi_2 (x) & = & A \, \exp \left( - i \sqrt{\pi} \phi (x ) + i \sqrt{\pi} \int_{x^1}^{\infty} \dot{\phi} (x^0, \tilde{x}^1 ) d \tilde{x}^1 \right) \tag{7.60} \end{eqnarray}\]
つまり、アーベル型の場合はフェルミオン場とボソン場を一対一対応させることができる。しかし、このような関数の存在は非アーベル型の場合には知られていない。
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