シングルス市民大会 2025

今年は予定が合わずシニアではなく一般Aのカテゴリーで出場。今まで本戦上がったことないのでダメ元でしたが、予選は運よく勝ち上がり、先日の本戦もシードのデフォなどラッキーが重なりまさかのベスト４入り。ほんと棚ボタでした。準決勝で相手フォアが良かったのに上手く対策できなかったのが反省点です。反省点を活かして今後も練習したいと思います。

シジュウカラの巣箱掃除・補修

11月末の恒例行事、シジュウカラの巣箱の掃除をしました。

15. ソリトン vol.4

前回に引き続き(3+1)次元ソリトンの巻き数

\[    Q [g]  \, = \,    \frac{1}{24 \pi^2} \, \int d^3 x \, \ep_{ijk} \Tr ( g^{-1} \d_i g \, g^{-1} \d_j g \, g^{-1} \d_k g \, )     \tag{15.55} \]

について考える。

巻き数の一般共変性

　座標変換のもとでの巻き数 $Q[g]$ の変化を考える。座標変換 $x^l \rightarrow x^{\prime i}$ を

\[    M^l_i \, = \, \frac{\d x^l}{\d x^{\prime i}}    \tag{15.59} \]

で特定する。このとき、微分 $\d_l = \frac{\d}{\d x^l}$ は

\[    \frac{\d}{\d x^l} \, \rightarrow \, \frac{\d}{\d x^{\prime i}}     \, = \,  M^l_i \frac{\d}{\d x^{l}}    \tag{15.60} \]

と変換する。また、$d x^{\prime i} =  ( M^{-1} )^{i}_{l} d x^l$ なので、積分測度は

\[    d^3 x  \, \rightarrow \, d^3 x^{\prime} \, = \, ( \det M^{-1} ) d^3 x     \tag{15.61} \]

と変換する。ただし、$\det M^{-1}$ は座標変換のヤコビアンを表す。これより、$Q[g]$ の変化は

\[\begin{eqnarray}    Q [ g ]  & = &    \frac{1}{24 \pi^2}  \int d^3 x  \, \ep^{ijk} \Tr ( g^{-1} \d_i g \, g^{-1} \d_j g \, g^{-1} \d_k g  )    \nonumber \\    & \rightarrow &    \frac{1}{24 \pi^2}  \int ( \det M^{-1} ) d^3 x \,  \ep^{ijk} M^l_i M^m_j M^n_k \,    \Tr (  g^{-1} \d_l g \, g^{-1} \d_m g \, g^{-1} \d_n g   )    \nonumber \\    & = & Q [ g ]    \tag{15.62} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、関係式 $\ep^{ijk} M^l_i M^m_j M^n_k = \det M \, \ep^{lmn}$, $\det M  \det M^{-1} = \det M M^{-1} = 1$ を用いた。したがって、$Q[g]$ は座標変換のもとで不変である。言い換えると、$Q[ g]$ は一般共変性あるいは微分同相写像 (diffeomorphism) である。また、$Q[g]$ は(3+1)次元空間の計量に依らないことにも注意しよう。よって、$Q[g]$ の値は一般に曲がった空間にも適用される。

静的なソリトン解とスキルミオン

　巻き数 $Q$ のソリトンの静的な解を議論するには、サイン-ゴルドン模型の場合と同様にハミルトニアンを定義する必要がある。静的なハミルトニアンとしてまず単純に空間微分 $\d_i$ について２次の形となる

\[\begin{eqnarray}  \H [ g ] & = &   - \al^2 \int  d^3 x \, \Tr ( g^{-1} \d_i g \,  g^{-1} \d_i g )    \nonumber \\    &=& \al^2 \int d^3 x \, \Tr ( \d_i g^\dag \, \d_i g )    \tag{15.63} \end{eqnarray}\]

を考えよう。ただし、$\al^2 $ は正の係数である。ある特定の関数 $g = \widetilde{g}$ に対してハミルトニアンをゼロでない値 $\H [ \widetilde{g} ] \ne 0$ に取れる。このときスケール変換

\[    x^i \, \rightarrow  \,  x^{\prime i} =  R \, x^i    \tag{15.64} \]

を考える。ただし、$R$ はゼロでない実数である。座標変換(15.59)を用いると、これは $M_l^i = \frac{1}{R} \del_l^i$ に対応するので $d^3 x^\prime = R^3 d^3 x$, $\frac{\d}{\d x^{\prime i}} = \frac{1}{R} \frac{\d}{\d x^i}$ となる。よって、スケール変換のもとでゼロでないハミルトニアン $\H [ \widetilde{g} ]$ は

\[\begin{eqnarray}    \H [ \widetilde{g} ]  & = &     \al^2  \int d^3 x \, \Tr    \left( \frac{\d}{\d x^i} \widetilde{g}^{\dag} \, \frac{\d}{\d x^i} \widetilde{g}  \right)    \nonumber \\    & \rightarrow &   \al^2 \int  R^3 d^3 x \, \Tr    \frac{1}{R^2} \left( \frac{\d}{\d x^i} \widetilde{g}^{\dag} \, \frac{\d}{\d x^i} \widetilde{g}   \right)    \, = \,   R \, \H [\widetilde{g} ]     \tag{15.65} \end{eqnarray}\]

と変化する。スケール変換(15.64)のもとでハミルトニアンは $R$ に比例する。これはハミルトニアンに極小値が存在しないことを意味する。よって、ハミルトニアン(15.63)から有限エネルギーをもつ解を求められない。式(15.65)を導くにあたり次元の数が重要であることに注意しよう。式(15.62)で示したように、巻き数 $Q[g]$ は被積分関数に３つの空間微分を含むので $Q[g]$ はスケール変換のもとで不変である。これはまた $Q[g]$ が共形不変量であることも意味する。

　物理モデルを構築するにはハミルトニアン(15.63)が極小値を持つように修正する必要がある。そのような修正は４次の項を追加してハミルトニアンを

\[   \H [ g ] \, = \,   \al^2 \int d^3 x \, \Tr ( \d_i g^\dag \, \d_i g )  \, + \,    \bt^2 \int d^3 x \, \Tr ( \d_i g^\dag \, \d_i g  )^2    \tag{15.66} \]

と書き換えると実現できる。ただし、$\bt^2$ は別の正の係数を表す。スケール変換(15.64)のもとで４次の追加項は $\frac{1}{R}$ に比例する。よって、上のハミルトニアンは $\H \sim \al^2 R + \frac{\bt^2}{R}$ と評価できる。したがって、ハミルトニアン(15.66)は極小値をもち、有限エネルギーの静的なソリトン解を与える。

15. ソリトン vol.3

前回は(3+1)次元ソリトンのトポロジカル不変量が保存電荷

\[  Q [g] \, = \, \int d^3 x \, J_0   \, = \,   C \, \int d^3 x \, \ep_{ijk} \, \Tr ( I_i I_j I_k )  \tag{15.29} \]

で与えられることを見た。以下では、$Q=1$ のソリトン解から規格化定数 $C$ を 決定する。

規格化

　トポロジカル不変量は写像

\[    g(x) \, : \, \mathbb{R}^3 \, \longrightarrow \, S^3    \tag{15.24} \]

の巻き数に対応する。前回議論したように、群の要素をステレオ射影表示すると $Q[g ] = 1$ ソリトンが得られる。そのような要素は

\[    g_1 (x) \, = \, a (x) {\bf 1} + i b_{i} (x) \si_i ~~~( i = 1,2,3 )    \tag{15.37} \]

で与えられる。ただし、

\[    a (x) = \frac{1 - r^2}{1+ r^2} \, , ~~~    b_{i} (x)  = \frac{2 x_i}{1+ r^2}    \tag{15.38} \]

$( r^2  = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 )$ である。以下では、巻き数(15.29)の規格化定数 $C$ を定義式 $Q[g_1 ] = 1$ から求める。

　まず、$I_i =  g_{1}^{-1} \d_i g_{1}$ は

\[    I_i = g_{1}^{-1} \d_i g_{1} \, = \, (  a  {\bf 1}  -  i b_\al  \si_\al  )  \d_i (  a  {\bf 1}  + i b_\bt   \si_\bt  )     \tag{15.39} \]

と計算できる。$a$, $b_\bt$ の微分は

\[\begin{eqnarray}    \frac{\d}{\d x_i } a &=& - \frac{4 x_i}{(1+r^2)^2} \, = \, - \frac{2b_i}{1+r^2}  \tag{15.40} \\    \frac{\d}{\d x_i } b_\bt &=& \frac{2}{1+r^2} \left( \del_{i \bt} - \frac{2 x_i x_\bt }{1+ r^2} \right)    \, = \, \frac{2}{1+r^2} \del_{i \bt} - b_i b_\bt   \tag{15.41} \end{eqnarray}\]

と表せる。よって、

\[\begin{eqnarray}    I_i &=& (  a  {\bf 1}  -  i b_\al   \si_\al ) \left(  - \frac{2 b_i}{1+r^2} {\bf 1} +    \frac{i 2}{1+r^2} \si_{i} - i b_i b_\bt \si_\bt \right) \nonumber \\    &=& \frac{ 2 b_i }{ 1+ r^2 } \left( -a + 1 -  \frac{1+ r^2}{2 } b_\al b_\al  \right) {\bf 1} \nonumber \\    && ~~ \hspace{2cm} + \,  i \si_\al \frac{2}{1+r^2}    \left( a \del_{\al i} - \frac{1+r^2}{2} a b_i b_\al + b_i b_\al + \ep_{i \al \bt } b_\bt \right)\nonumber \\    &=&i \si_\al \frac{2}{1+r^2} \left( a \del_{\al i} + x_i b_\al  + \ep_{i \al \bt } b_\bt \right) \nonumber \\    & \equiv & i \si_\al  A_{\al i}   \tag{15.42} \end{eqnarray}\]

と計算できる。ただし、関係式 $\si_\al \si_\bt = \del_{\al \bt } {\bf 1} + i \ep_{\al \bt \ga} \si_\ga$ を用いた。これより、トレース $\Tr ( I_i I_j I_k )$ は

\[    \Tr ( I_i I_j I_k ) \, = \,  - i \Tr ( \si_\al \si_\bt \si_\ga ) A_{\al i} A_{\bt j} A_{\ga k}    \, = \, 2  \ep_{\al \bt \ga}  A_{\al i} A_{\bt j} A_{\ga k}    \tag{15.43} \]

と表せる。ただし、$ \Tr ( \si_\al \si_\bt \si_\ga ) = i 2\ep_{\al \bt \ga} $ を用いた。よって、因子 $\ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k )$ は

\[\begin{eqnarray}    \ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k )  \!   &=& \! 2 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3    \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} \, ( a \del_{\al i} + x_i b_\al  + \ep_{i \al l } b_l )    \nonumber \\    && ~\hspace{2cm} \times   ( a \del_{\bt j} + x_j b_\bt  + \ep_{j \bt m } b_m )  ( a \del_{\ga k} + x_k b_\ga  + \ep_{k \ga n } b_n )    \tag{15.44} \end{eqnarray}\]

と書ける。この内ゼロでない項は

\[\begin{eqnarray}    \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a^3 \del_{\al i } \del_{\bt j} \del_{\ga k } & = & \ep_{ijk} \ep_{ijk} a^3 \, = \, 6 a^3    \tag{15.45} \\    \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a^2 x_k b_\ga  \del_{\al i } \del_{\bt j} & = &  \ep_{ijk} \ep_{ij\ga} a^2 x_k b_\ga    \nonumber \\    &=& 2 \del_{k \ga} a^2 x_k b_\ga \, = \, 2 a^2 \vec{x} \cdot \vec{b}    \tag{15.46} \\    \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a  b_m b_n \del_{\al i } \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} & = &    \ep_{ijk} \ep_{i \bt\ga}  \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} a  b_m b_n    \nonumber \\    & = & - \ep_{j \bt m} \ep_{\bt j n} a b_m b_n   \, = \, 2 a \vec{b} \cdot \vec{b}    \tag{15.47} \\    \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} x_i b_\al  b_m b_n \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} & = &    \ep_{ijk} \ep_{j \bt m} \ep_{\al \bt\ga}  \ep_{k \ga n} x_i b_\al b_m b_n    \nonumber \\    & = &  \ep_{\al \bt \ga} \ep_{\bt \ga n} x_i b_\al  b_i b_n \, = \, 2 \vec{x} \cdot \vec{b} \, \vec{b} \cdot \vec{b}    \tag{15.48} \end{eqnarray}\]

などから得られるので、まとめると

\[\begin{eqnarray}    && \ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k ) \nonumber \\    &=& 2  \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3    \left( 6 a^3 +  2 a^2 \vec{x} \cdot \vec{b} \times 3 +  2 a \vec{b} \cdot \vec{b} \times 3    + 2 \vec{x} \cdot \vec{b} \, \vec{b} \cdot \vec{b} \times 3 \right)    \nonumber \\    &=& 12  \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3  \left[ a^2 \left( a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } \right)    + \left(\frac{2}{1+r^2 }  \right)^2 r^2 \left( a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } \right) \right]    \nonumber \\    &=& 12 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3    \tag{15.49} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、関係式

\[\begin{eqnarray}    a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } &=& 1     \tag{15.50} \\    a^2 + \left(\frac{2}{1+r^2 }  \right)^2 r^2 &=& \left(\frac{1}{1+r^2 }  \right)^2 \left[ (1 - r^2)^2 + 4 r^2 \right] \, = \, 1    \tag{15.51} \end{eqnarray}\]

を用いた。式(15.29)と式(15.49)から $Q[g_1 ]$ は

\[\begin{eqnarray}    Q [ g_1 ] &=&  C \, \int d^3 x \, \ep_{ijk} \, \Tr ( I_i I_j I_k ) \, = \,  C \, \int d^3 x  12 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3    \nonumber \\    &=& C \cdot 12 \cdot 8  \, \int \frac{ 4 \pi r^2}{ (1+ r^2 )^2 } dr \, = \, C \cdot 24 \pi^2    \tag{15.52} \end{eqnarray}\]

と求まる。ただし、積分測度を $d^3 x = 4 \pi r^2 dr$ と変換し

\[    \int_0^\infty  \frac{r^2}{(1+ r^2 )^3 } dr \, = \, \frac{\pi}{16}  \tag{15.53} \]

を用いた。したがって、定義式 $Q [ g_1 ] = 1$ より規格化定数は

\[    C \, = \, \frac{1}{24 \pi^2}     \tag{15.54} \]

とおける。

15. ソリトン vol.2

15.2   (3+1)次元のソリトン

この節では空間３次元のソリトンを考える。$\mathbb{R}^3$ 上の座標を $x_i$ ($i=1,2,3$) とする。３次元球面 $S^3$ のステレオ射影により $S^3$ は $x_i$ を用いて、

\[    y_i \, = \, \frac{2 x_i}{1 + r^2} \, , ~~~~~    y_4 \, = \, \frac{1- r^2}{1+ r^2}       \tag{15.21} \]

とパラメータ表示できる。ただし、$r^2  = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$ である。これは $\mathbb{R}^3$ 上の配位と $S^3$ の配位を同一視できることを意味する。パラメータ表示(15.21)は12.2節で見た２次元球面のステレオ射影

\[    x_1 = \frac{z + \bz }{1 + z\bz} \, , ~~~    x_2 = i \frac{z - \bz }{1 + z\bz} \, , ~~~    x_3 = \frac{1 - z \bz }{1 + z\bz}    \tag{12.49} \]

の３次元版になっている。

　また、$S^3 \simeq SU(2)$ から、$SU(2)$ 群の要素で $S^3$ の座標を表せる。群の要素 $g \in SU(2)$ は $g^\dag g = 1$, $\det g = 1$ を満たす。12.2節の(12.20)で示したように、$g$ は $2 \times 2$ パウリ行列 $\si_i$ を用いて

\[    g (x) \, = \, a (x)  +  i b_i (x) \, \si_i    \tag{15.22} \]

とパラメータ表示できる。ただし、$a$, $b_i$ ($i=1,2,3$) は $\vec{x}$ の関数であり、

\[    a^2 + b_i^2 \, = \, 1     \tag{15.23} \]

を満たす。これは $g(x)$ が写像

\[    g(x) \, : \, \mathbb{R}^3 \, \longrightarrow \, S^3    \tag{15.24} \]

を与えることを意味する。よって、$g(x)$ は前節における

\[    u( x) \, : \, \mathbb{R} \, \longrightarrow \, S^1     \tag{15.13} \]

の3次元空間への拡張と考えられる。写像(15.24)の巻き数を $Q [g]$ とする。ステレオ射影表示(15.21)は$\mathbb{R}^3$ と $S^3$ の配位を一対一に対応させるので、(15.22)で $a = y_4$, $b_i = y_i$ と同定すると定義より $Q = 1$ となる。今節ではこの $Q=1$ ソリトン解について詳しくみていく。

保存カレントとトポロジカル不変量

　前節の場合、相対論的な２元電流密度は $u (x) = \exp ( i \phi )$ を用いて

\[    J_\mu \, = \, \frac{1}{2 \pi} \ep_{\mu\nu} \, \d_\nu \phi    \, = \, - \frac{i}{2 \pi} \ep_{\mu\nu} \, u^\dagger \d_\nu u    \tag{15.14} \]

と表せた。同様に、(3+1)次元における相対論的な４元電流密度（４元カレント）は

\[   J_\mu \, = \, C \, \ep_{\mu\nu\al\bt} \, \Tr \left(  g^{-1} \d_\nu g ~ g^{-1} \d_\al g ~ g^{-1} \d_\bt g   \right)  \tag{15.25} \]

の形に表せると推測できる。ただし、$C$ は規格化定数である。（$g$ は非アーベル型群の要素であり行列で表される基底を持つためトレースが必要になる。）以下では、運動方程式を用いずに $J_\mu$ が保存するかどうかを見てみる。関係式

\[    \d_\mu ( g^{-1} \d_\nu g )    \, = \,    - g^{-1} \d_\mu g ~ g^{-1} \d_\nu g \, + \,    g^{-1} \d_\mu \d_\nu g    \tag{15.26} \]

と添え字 $(\mu , \nu , \al , \bt )$ の反交換関係から $\d_\mu J_\mu$ は

\[    \d_\mu J_\mu \, = \,    - \, C \, \ep_{\mu\nu\al\bt} \, \Tr \left(    I_\mu I_\nu I_\al I_\bt +    I_\nu I_\mu I_\al I_\bt +    I_\nu I_\al I_\mu I_\bt    \right)    \tag{15.27} \]

と計算できる。ただし、$I_\mu$ は $I_\mu = g^{-1} \d_\mu g$ で定義される。右辺の第一項は

\[\begin{eqnarray}    \ep_{\mu\nu\al\bt} \, \Tr ( I_\mu I_\nu I_\al I_\bt )    & = &    \ep_{\mu\nu\al\bt} \, \Tr ( I_\bt I_\mu I_\nu I_\al )    \, = \,    - \ep_{\bt \mu\nu\al} \, \Tr ( I_\bt I_\mu I_\nu I_\al )    \nonumber \\    & = &    - \ep_{\mu\nu\al\bt} \,  \Tr ( I_\mu I_\nu I_\al I_\bt )    \, = \, 0     \tag{15.28} \end{eqnarray}\]

と計算できる。同様に、他の項もゼロになることが分かる。したがって、(15.25)の４元カレント $J_\mu$ は $\d_\mu J_\mu = 0$ を満たし、確かに保存する。

ソリトン数１のスキルミオン解を ChatGPT に聞いたら答えが怪しかったので自力で計算してみた件

ここで、スキルミオンは $(3+1)$ 次元のソリトン解を指す。前回、サイン-ゴルドン方程式で扱った $(1+1)$ 次元のソリトン解を３次元空間に拡張したものに当たる。このソリトン数（巻き数）は

\[    Q [g]  \, = \,    \frac{1}{24 \pi^2} \, \int d^3 x \, \ep_{ijk} \Tr ( g^{-1} \d_i g \, g^{-1} \d_j g \, g^{-1} \d_k g \, )     \tag{1} \]

で与えられる。ただし、$g$ は $SU(2)$ 群の要素であり、$g^\dag g = 1$, $\det g = 1$ を満たす。パウリ行列を用いると $g$ は

\[    g (x) \, = \, a (x)  {\bf 1} +  i b_i (x) \, \si_i    \tag{2} \]

とパラメータ表示できる。ここで、$a$, $b_i$ $( i=1,2,3 )$ は $\vec{x}$ の関数であり条件式

\[    a^2 + b_i^2 \, = \, 1   \tag{3} \]

を満たす。これより、$g(x)$ は写像

\[    g(x) \, : \,  \mathbb{R}^3 \, \longrightarrow \, S^3     \tag{4} \]

を与えることが分かる。

　３次元球面 $S^3$ のステレオ射影を用いると $a$, $b_i$ は

\[     a  =  \frac{1- r^2}{1+ r^2} \, , ~~~~~ b_i  =  \frac{2 x_i}{1 + r^2}  \tag{5} \]

とパラメータ表示できる。ただし、$r^2  = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$ である。ステレオ射影により $S^3$ 上の配位は $\mathbb{R}^3$ 上の配位と等価なのでこのパラメータ表示は巻き数１に対応する。すなわち、式(2), (5)を(1)に代入すると $Q = 1$ が得られる（はずである）。これは良く知られている結果であるが、係数 $1/ 24 \pi^2$ が本当に正しいのだろうか。実際に手を動かしてみるとこの計算は自明でない。そこで、困ったときの ChatGPT 頼みということで、

calculate winding number for skyrmions using stereographic parametrization

calculate $Q=1$ winding number for skyrmions using stereographic parametrization

などとして聞いてみた。が、どうも回答が統一しない。何度か試しても同じだったので結局自力で計算することにした。

　求めたいのは式(1)なので先ず $I_i =  g^{-1} \d_i g$ を計算しよう。

\[ I_i = g^{-1} \d_i g = (  a  {\bf 1}  -  i b_\al  \si_\al  )  \d_i (  a  {\bf 1}  + i b_\bt   \si_\bt  ) \tag{6} \]

ただし、$a$ と $b_\bt$ の微分はそれぞれ

\[ \begin{eqnarray} \frac{\d}{\d x_i } a &=& - \frac{4 x_i}{(1+r^2)^2} \, = \, - \frac{2b_i}{1+r^2} \tag{7} \\  \frac{\d}{\d x_i } b_\bt &=& \frac{2}{1+r^2} \left( \del_{i \bt} - \frac{2 x_i x_\bt }{1+ r^2} \right) \, = \, \frac{2}{1+r^2} \del_{i \bt} - b_i b_\bt  \tag{8} \end{eqnarray} \]

と書ける。よって、

\[ \begin{eqnarray} I_i &=& (  a  {\bf 1}  -  i b_\al   \si_\al ) \left(  - \frac{2 b_i}{1+r^2} {\bf 1} + \frac{i 2}{1+r^2} \si_{i} - i b_i b_\bt \si_\bt \right) \nonumber \\ &=& \frac{ 2 b_i }{ 1+ r^2 } \left( -a + 1 -  \frac{1+ r^2}{2 } b_\al b_\al  \right) {\bf 1} + i \si_\al \frac{2}{1+r^2} \left( a \del_{\al i} - \frac{1+r^2}{2} a b_i b_\al + b_i b_\al + \ep_{i \al \bt } b_\bt \right)\nonumber \\ &=&i \si_\al \frac{2}{1+r^2} \left( a \del_{\al i} + x_i b_\al  + \ep_{i \al \bt } b_\bt \right) \nonumber \\ & \equiv & i \si_\al  A_{\al i} \tag{9}  \end{eqnarray} \]

となる。ただし、$\si_\al \si_\bt = \del_{\al \bt } {\bf 1} + i \ep_{\al \bt \ga} \si_\ga$ を用いた。これより、

\[ \Tr ( I_i I_j I_k ) \, = \,  - i \Tr ( \si_\al \si_\bt \si_\ga ) A_{\al i} A_{\bt j} A_{\ga k} \, = \, 2  \ep_{\al \bt \ga}  A_{\al i} A_{\bt j} A_{\ga k} \tag{10} \]

が分かる。ただし、$ \Tr ( \si_\al \si_\bt \si_\ga ) = i 2\ep_{\al \bt \ga} $ を用いた。$\ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k )$ は

\[ \begin{eqnarray} && \ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k ) \nonumber \\ &=& 2 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3 \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} ( a \del_{\al i} + x_i b_\al  + \ep_{i \al l } b_l )  ( a \del_{\bt j} + x_j b_\bt  + \ep_{j \bt m } b_m )  ( a \del_{\ga k} + x_k b_\ga  + \ep_{k \ga n } b_n ) \tag{11} \end{eqnarray} \]

と表せる。展開するとゼロでない項は

\[\begin{eqnarray}  \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a^3 \del_{\al i } \del_{\bt j} \del_{\ga k } & = & \ep_{ijk} \ep_{ijk} a^3 \, = \, 6 a^3 \tag{12} \\ \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a^2 x_k b_\ga  \del_{\al i } \del_{\bt j} & = &  \ep_{ijk} \ep_{ij\ga} a^2 x_k b_\ga \, = \, 2 \del_{k \ga} a^2 x_k b_\ga \, = \, 2 a^2 \vec{x} \cdot \vec{b} \tag{13} \\ \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a  b_m b_n \del_{\al i } \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} & = &  \ep_{ijk} \ep_{i \bt\ga}  \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} a  b_m b_n  \, = \, - \ep_{j \bt m} \ep_{\bt j n} a b_m b_n \, = \, 2 a \vec{b} \cdot \vec{b} \tag{14} \\  \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} x_i b_\al  b_m b_n \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} & = &  \ep_{ijk} \ep_{j \bt m} \ep_{\al \bt\ga}  \ep_{k \ga n} x_i b_\al b_m b_n  \, = \,  \ep_{\al \bt \ga} \ep_{\bt \ga n} x_i b_\al  b_i b_n \, = \, 2 \vec{x} \cdot \vec{b} \, \vec{b} \cdot \vec{b} \tag{15} \end{eqnarray} \]

などから得られるので、まとめると

\[\begin{eqnarray} \ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k ) &=& 2  \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3 \left( 6 a^3 +  2 a^2 \vec{x} \cdot \vec{b} \times 3 +  2 a \vec{b} \cdot \vec{b} \times 3 + 2 \vec{x} \cdot \vec{b} \, \vec{b} \cdot \vec{b} \times 3 \right) \nonumber \\ &=& 12  \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3  \left[ a^2 \left( a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } \right) + \left(\frac{2}{1+r^2 }  \right)^2 r^2 \left( a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } \right) \right] \nonumber \\ &=& 12 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3 \tag{16} \end{eqnarray} \]

と表せる。ただし、式(5)から明らかなように

\[\begin{eqnarray}  a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } &=& 1 \nonumber \\  a^2 + \left(\frac{2}{1+r^2 }  \right)^2 r^2 &=& \left(\frac{1}{1+r^2 }  \right)^2 \left[ (1 - r^2)^2 + 4 r^2 \right] \, = \, 1  \end{eqnarray} \]

が成り立つことに注意しよう。以上より、(2), (5)で定義される $g$ をソリトン数 $Q [g]$ に代入すると確かに

\[\begin{eqnarray} Q [g] &=& \frac{1}{24 \pi^2 } \int d^3 x  \, \ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k ) \, = \,  \frac{1}{24 \pi^2 } \int d^3 x \, 12 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3 \nonumber \\ &=&  \frac{16}{\pi } \int \frac{r^2}{(1+ r^2 )^3 } dr \, = \, 1 \tag{17} \end{eqnarray} \]

と求まる。ただし、積分測度を $d^3 x$ から $4 \pi r^2 dr$ へ変換し

\[ \int_0^\infty  \frac{r^2}{(1+ r^2 )^3 } dr \, = \, \frac{\pi}{16} \]

を用いた。

遠征登山：名阪国道針インターから大台ヶ原

　6月に大山登ったときは鳥取選出の首相でしたが、新たに「奈良の女」が首相になったので大台ヶ原へ！ 子供の時は大阪（柏原）と兵庫（神戸）に住んでいて母の実家が三重（楠町）だったので休日よく名阪国道を利用しました。馴染みのある道ですが途中で降りたことはありませんでした。降りたらいけないところだと思っていましたが、今回都内から最短ルートで大台ヶ原に行くには針インターがらが近いようなので初めて降りました。大宇陀から吉野川まで南下し川上村経由で大台ヶ原ドライブウェイへ。絶好のツーリングルートでした。ドライブウェイは県道40号ということで無料。去年同じ時期に伊吹山へ行きましたが、伊吹山ドライブウェイのように有料にして貰ってもいいと思います。少しでも道路整備の役に立つのなら数百円の通行料で文句言う人いないはず。首相の力で奈良県内の道路整備進めてくれないかな。先ずは名阪国道高速化の早期実現を！（やる気あるんか知らんけど。）

　都内を前日17時前に出て、途中のSAで仮眠を挟みつつ朝7時に大台ヶ原ビジターセンターに到着。すでに満車で誘導に従い路肩駐車しました。誘導員の方によると朝6時には満車になったとのこと。皆さん暗い中、前乗りされていたのですね。三連休舐めてました。登山口からしばらく歩くと展望台へ。志摩半島、熊野灘一望できます。熊野本宮大社、熊野那智大社、花の窟、鬼ヶ城など2023、2024年末に行ったなー。

ミューオン照射で放射性廃棄物無害化の続編、ミューオン触媒核融合の可能性も！？

前回の続編が上がっていたので紹介します。放射性廃棄物として具体的にアメリシウム、酸化ウラン、酸化トリウムの無害化が実験・理論で確認できているとのこと。アメリカではコバルト60についても確認済み。現在、セシウム、ストロンチウムの無害化についても研究中らしいです。さらに、加速器を使わずミューオンを増倍してミューオン触媒核融合が実現できる可能性についても言及されていました。夢の核融合が実現したら一気に世界が変わりますね！（追記：2025/11/15 動画は非公開になったみたいです。）

15. ソリトン vol.1

15.1  サイン-ゴルドン・ソリトン解

ソリトンとはざっくり言うと非線型方程式の古典解のことである。この節ではサイン-ゴルドン模型と呼ばれる物理モデルにおける $(1+1)$ 次元のソリトンを考える。スカラー場 $\phi ( t, x)$ を用いると、このモデルはラグランジアン

\[    \L \, = \, \hf \left(    \dot{\phi}^2 - \phi^{\prime 2}    \right)    - \la ( 1 - \cos \phi )    \tag{15.1} \]

で記述される。ただし、$\dot{\phi} = \frac{\d}{\d t} \phi (t, x)$, $\phi^\prime = \frac{\d}{\d x} \phi (t, x)$ であり、$\la$ は正の定数である。これより、運動方程式は

\[    \square \, \phi + \la \sin \phi \, = \, 0    \tag{15.2} \]

と求まる。ただし、$\square = \d_t^2 - \d_x^2$ である。これはサイン-ゴルドン方程式と呼ばれる。（サイン-ゴルドン方程式とそのソリトン解についてはこちらのノートも参考にされたい。）$\la = 0$ の場合方程式(15.2)は質量ゼロのクライン-ゴルドン方程式になる。「サイン-ゴルドン」の用語はこの方程式名をもじって（おそらくクラインの了承なしに）付けられた。ラグランジアン(15.1)に対応するハミルトニアンは

\[    \H \, = \, \int dx \left(    \frac{\dot{\phi}^2 + \phi^{\prime 2} }{2} + \la ( 1 - \cos \phi )    \right)    \tag{15.3} \]

で与えられる。

　つぎに、サイン-ゴルドン方程式(15.2)のあるタイプの解について考えよう。ハミルトニアン $\H$ は正なので境界条件

\[    \begin{array}{rc}    \phi^\prime \, \rightarrow \, 0  &  \mbox{$( x \rightarrow \pm \infty )$}    \\    (1 - \cos \phi ) \, \rightarrow \, 0 &  \mbox{$( x \rightarrow \pm \infty )$}    \\    \end{array}    \tag{15.4} \]

を課すと、有限エネルギーを持つ解が得られる。よって、境界が $\phi (t, \pm \infty ) = 2 \pi n$ $( n \in \mathbb{Z} )$ で与えられるときに有限エネルギーを持つ解が存在する。例えば、境界を

\[    \phi (t , - \infty ) = 0 \, , ~~ \phi ( t,  \infty ) = 2 \pi    \tag{15.5} \]

に固定できる。$\phi$ の古典的な時間発展は $\phi$ の滑らかな変形で与えられる。従って、(15.5)の解が存在するならその解は古典的には完全に安定している。特に、解(15.5)はキンク解と呼ばれる。$\phi$ の滑らかな変形のもとで、キンク解は変位はしても決して無くならない。つまり、キンクの配位は保存される。よって、キンクの数を

\[    Q \, = \, \frac{ \phi (t, \infty ) - \phi (t,  - \infty ) }{ 2 \pi }  \tag{15.6} \]

と定義できる。これはソリトン数と呼ばれる。(15.5)の場合は $Q = 1$ に対応する。

　ソリトン数は保存するのでこれは電荷と解釈できる。よって、$Q$ を

\[    Q \, = \, \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ \d \phi}{\d x} dx    \, \equiv \, \int J_0 \, dx    \tag{15.7} \]

と表せる。ただし、$J_0  = \frac{1}{2\pi} \frac{\d}{\d x} \phi  = \frac{1}{2\pi} \d_1 \phi$ は電荷密度を表す。このとき、相対論的な２元電流密度は

\[    J_\mu \, = \, \frac{1}{2 \pi} \ep_{\mu\nu}  \, \d_{\nu} \phi     \tag{15.8} \]

と定義される。２元電流密度の保存は

\[    \d_\mu J_\mu \, = \, \frac{1}{2\pi} \ep_{\mu\nu} \, \d_\mu \d_\nu \phi    \, = \, 0   \tag{15.9} \]

から簡単に確認できる。これらの結果は運動方程式を使わずに導かれた。$J_\mu$ の保存則は単に数学的な恒等式であり、これはソリトン解の１つの特徴である。

　ソリトン数 $Q$ をもつソリトン解 $\phi$ の滑らかな変形は $\widetilde{\phi} = \phi + \chi$ と書ける。ただし、$\chi (t, x)$ は $\phi$ からの揺らぎを表し、境界条件 $\chi (t, - \infty) = \chi (t,  \infty ) = 0$ あるいはより一般に $\chi ( t, - \infty) = \chi (t , \infty )$ を満たす。式(15.7)から $\widetilde{\phi}$ の電荷は

\[ {Q} \, = \, \frac{1}{2\pi} \int ( \d_x \phi + \d_x \chi )  \, dx    \, = \, Q + \frac{1}{2 \pi }\int  \d_x \chi \, d x \, = \, Q    \tag{15.10} \]

と計算できる。よって、ソリトン数 $Q$ は確かに $\phi$ の滑らかな変形のもとで保存される。任意のソリトン数 $Q$ のソリトンは $Q=1$ のソリトンから構成できるので、これらのソリトンの本質は境界条件(15.5)を満たすソリトンの存在にある。

　ここで、汎関数

\[    u (t, x) \, = \, \exp (i \phi )    \tag{15.11} \]

を導入する。ただし、$u (t, x)$ は同一の境界値 $u(t, - \infty ) = u (t, \infty )$ を持つとする。関係式 $\dot{\phi} = -i u^\dagger \dot{u}$, $\phi^\prime = - i u^\dagger \d_x u$ から、ハミルトニアン(15.3)は

\[    \H \, = \, \int dx \left[    \frac{1}{2} \dot{u}^\dagger \dot{u}    + \frac{1}{2}  \d_x u^\dagger \d_x u  + \la \left(    1 - \frac{u + u^\dagger}{2}    \right)    \right]    \tag{15.12} \]

と書き換えられる。固定時間において $u(t , x)$ は写像

\[    u( x) \, : \, \mathbb{R} \, \longrightarrow \, S^1     \tag{15.13} \]

を与える。これは、$\H$ の被積分関数つまりエネルギー密度が $S^1$ の値をもつ関数の関数（汎関数）であることを意味する。積分範囲は $[ 0, 2 \pi n ]$ とおけるので、$Q = \frac{1}{2\pi} \int dx \d_x \phi$ は $\phi (t, x)$ が $x = - \infty$ から $x = + \infty$ まで移動する間に円周 $S^1$ を何周するかを数える巻き数であると解釈できる。写像(15.13)は14.5節のシグマ模型における写像(14.128)と類似している。よって、この円周 $S^1$ はサイン-ゴルドン系の標的空間と見做せる。定義より、$Q$ は整数なので自動的に $\dot{Q} = 0$ である。$u( t, x)$ が $u(t, - \infty ) = u (t, \infty ) = 1$ を満たし、$S^1$ 構造を保つ限り、この結果は摂動的にも成り立つ。異なる $Q$ の間の相互作用は存在しないので、$Q$ は量子力学的にも保存されると考えられる。

　相対論的な２元電流密度は $u$ を用いて

\[    J_\mu \, = \, \frac{1}{2 \pi} \ep_{\mu\nu} \, \d_\nu \phi    \, = \, - \frac{i}{2 \pi} \ep_{\mu\nu} \, u^\dagger \d_\nu u    \tag{15.14} \]

と表せる。$J_\mu$ の特性をまとめると

1.   $\d_\mu J _\mu = 0$ は恒等式である。（運動方程式は必要ない。）
2.   $Q = \int J_0 \, dx $ は写像  $u( x): \mathbb{R} \rightarrow S^1$ の巻き数である。
3.   $J_\mu$ の変分 $\del J_\mu$ は発散量である。

となる。これらは $Q$ がトポロジカル不変量であることを示している。

ソリトン数１のサイン-ゴルドン・ソリトンの tanh 解を ChatGPT に聞いたら即解決

サイン-ゴルドン方程式

\[   \left( \frac{\d^2}{\d t^2} - \frac{\d^2}{\d x^2} \right) \phi + \la \sin \phi \, = \, 0   ~~~ (\la > 0 )  \tag{1} \]

の静的な解は

\[ \phi \, = \, 4 \arctan \left( e^{ \sqrt{\la} x } \right) \tag{2} \]

で与えられる。$\phi$ の範囲を $[ 0 , 2 \pi ]$ に指定するとこれはソリトン数 $Q =1$ のソリトン解になる。これは良く知られている結果であり、以前にこちらでも解説した。しかし、このソリトン解を $\tanh$ で書き換える場合もある。$\tanh$ の範囲 $|\tanh x | < 1$ から $\pi + \pi \tanh ( a x) $ の形になることは想像できるが係数を決めるのは大変そう。おそらく $x=0$ での傾きを一致させて求めるのだろうけど微分めんどくさいなあとためらっていました。そこで、現代の利器 chatGPT に

approximate arctan(exp(a x)) by tanh(b x)

と聞いてみると、なんと25秒！で

\[ \arctan \left( e^{ a x } \right) \, \approx \, \frac{\pi}{4} \left(    1 + \tanh \frac{2 a}{ \pi} x  \right) \tag{3} \]

と答えてくれました。今更ながら、いや～スゴイ。これからもお世話になります！

14. 自発的対称性の破れ vol.8

　前回に引き続き自発的対称性の破れ $G \rightarrow H$ が誘引されるパターンを群論の表現の視点から考える。最後の例として、自発的対称性の破れ

\[    SU(3) \, \longrightarrow \, SU(2) \times U(1) \, \simeq \, U(2)    \tag{14.133} \]

を考えよう。ゲルマン行列

\[\begin{eqnarray}    &&    \la^1 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 1 & 0 \\        1 & 0 & 0 \\        0 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^2 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & -i & 0 \\        i & 0 & 0 \\        0 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^3 =    \left(      \begin{array}{ccc}        1 & 0 & 0 \\        0 & -1 & 0 \\        0 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)    \nonumber \\    &&    \la^4 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & 1 \\        0 & 0 & 0 \\        1 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^5 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & -i \\        0 & 0 & 0 \\        i & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^6 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & 0 \\        0 & 0 & 1 \\        0 & 1 & 0 \\      \end{array}    \right)    \nonumber \\    &&    \la^7 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & 0 \\        0 & 0 & -i \\        0 & i & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^8 = \frac{1}{\sqrt{3}}    \left(      \begin{array}{ccc}        1 & 0 & 0 \\        0 & 1 & 0 \\        0 & 0 & -2 \\      \end{array}    \right)    \tag{14.134} \end{eqnarray} \]

を用いると、$SU(3)$ 生成子の $SU(2)$ 部分と $U(1)$ 部分はそれぞれ $(\la^1 , \la^2 , \la^3 )$ と $\la^8$ で指定される。前回の分解式(14.130)と同様に、$SU(3)$ 群の ${\bf 3}$ 表現は次のように部分群 $SU(2) \times U(1)$ の表現に分解できる。

\[    \begin{array}{ccc}    {\bf 3} &=& ({\bf 2} , \frac{1}{2\sqrt{3}} ) ~ \oplus ~    ({\bf 1}, - \frac{1}{\sqrt{3}} )  \\    \mbox{$\small{SU(3)}$} && \mbox{$\small{SU(2) \times U(1)}$} \\    \end{array}    \tag{14.135} \]

ただし、$U(1)$ 群の表現は $\frac{\la^8}{2}$ の値でラベルされる。この値は素粒子論でハイパーチャージ (hypercharge) として知られる量である。この右辺はどちらも $H = SU(2) \times U(1)$ の一重項ではない。よって、分解式(14.135)は自発的対称性の破れ(14.133)には適用できない。この自発的対称性の破れを引き起こすには $SU(2) \times U(1)$ の一重項を含むように $SU(3)$ 群の表現を分解する必要がある。いま、13.1節の式(13.16)で示したように、$SU(3)$ 群の ${\bf 3} \otimes {\bf 3}^*$ 表現は

\[    \begin{array}{ccc}    {\bf 3} \, \otimes \, {\bf 3}^* &=& {\bf 1} \, \oplus \, {\bf 8}  \\    \mbox{$\small{SU(3)}$} && \mbox{$\small{SU(3)}$} \\    \end{array}    \tag{14.136} \]

と分解できる。右辺の ${\bf 1}$ は $SU(2) \times U(1)$ ではなく $SU(3)$ の一重項であるので、この関係式を自発的対称性の破れ(14.133)に直接適用することはできない。しかし、テンソル解析を用いると $SU(3)$ 群の随伴表現 ${\bf 8}$ は

\[    T^i_j \, \longrightarrow \, T^\al_\bt + T^\al_3 + T^3_\al + T^3_3    \tag{14.137} \]

と分解できる。ただし、添え字は $i,j = 1,2,3$ と $\al, \bt = 1,2$ で指定される。$SU(2)$ 群の表現を用いると、この分解式は

\[    \begin{array}{ccc}    {\bf 8} & =& {\bf 3} \, \oplus \, {\bf 2}^*    \, \oplus \, {\bf 2} \, \oplus \, {\bf 1}  \\    \mbox{$\small{SU(3)}$} && \mbox{$\small{SU(2)}$} \\    \end{array}    \tag{14.138} \]

と表せる。ハイパーチャージ因子を含めるとこの分解式は

\[    \begin{array}{ccc}    {\bf 8} & = & ({\bf 3} , 0) \, \oplus \,    ( {\bf 2}^* , - \frac{3}{2 \sqrt{3}} )    \, \oplus \, ( {\bf 2},  \frac{3}{2 \sqrt{3}} ) \, \oplus \, ( {\bf 1}, 0 )  \\    \mbox{$\small{SU(3)}$} && \mbox{$\small{SU(2) \times U(1)}$} \\    \end{array}    \tag{14.139} \]

と拡張できる。ただし、$( {\bf 1}, 0 )$ は $SU(2) \times U(1)$ の一重項を表す。これは、随伴表現を用いると自発的対称性の破れ(14.133)を実現できることを意味する。よって、南部-ゴールドストン粒子は $SU(3)$ 群の随伴表現に属すベクトル場 $\phi^a$ ($a=1,2, \cdots , 8$) で記述される。13.3.2小節の8重項バリオンの表

\begin{array}{|c|cc|}        \hline        8重項バリオン (b) &  \psi^a & SU(3) \, 随伴表現~  {\bf 8}  \\ \hline       \Si^+ &  \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi^1 + i \psi^2 ) & (12) \\       p &  \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi^4 + i \psi^5 ) & (13) \\        \Si^- & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^1 - i \psi^2 ) & (21) \\        n & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^6 + i \psi^7 ) & (23) \\     \Xi^- & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^4 - i \psi^5 ) & (31) \\   \Xi^0 & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^6 - i \psi^7 ) & (32) \\   \Si^0 & \psi^3 & \frac{1}{\sqrt{2}}(11) -\frac{1}{\sqrt{2}}(22) \\        \La & \psi^8 & \frac{1}{\sqrt{6}}(11) + \frac{1}{\sqrt{6}}(22) -  \frac{2}{\sqrt{6}}(33) \\ \hline    \end{array}

で明示したように、場の演算子$\phi^a$ は随伴表現  $\phi_i^j$ $( i,j = 1,2,3 )$ でラベルされる。また、この共役表現は ${\phi^\dag}_i^j = \phi_{j}^{i*}$ と書ける。この意味で $\phi^a$ は $3 \times 3$ ユニタリー行列で表せる。

　いま、基底状態の期待値 $\phi_0$ の等方部分群は $SU(2) \times U(1)$ である。つまり、$\phi_0$ は(14.139)の一重項 $( {\bf 1}, 0 )$ に対応する。行列表現でこの $\phi_0$ は

\[    \phi_0 \, = \,    \left(      \begin{array}{ccc}        0  & 0 & z_{13} \\        0 & 0 & z_{23}    \\        0 & 0  & 1 \\      \end{array}    \right)    \tag{14.140} \]

と選べる。これは前回の例における式(14.131)の類似形である。$\phi_0$ の２乗は

\[    \phi_0^2 \, = \, \phi_0^\dag \phi_0 \, = \,    \left(      \begin{array}{ccc}        0   & 0 & 0 \\        0 & 0 & 0    \\        0 & 0  & v^2 \\      \end{array}    \right) , ~~~~~ v^2 = | z_{13} |^2 + | z_{23} |^2 + 1    \tag{14.141} \]

と表せる。期待値 $\phi_0$ は基本的に列ベクトル $( \phi_0 )_i^3$ $( i = 1,2,3 )$ で与えられる。これは $SU(3)$ 群の ${\bf 3}$ 表現として変換するので南部-ゴールドストン粒子 $\phi$ は ${\bf 3}$ 表現で考えられる。具体的に、$\phi$ は

\[    ( \phi )_i^3 \, = \, g_{ij} ( \phi_0 )_j^3 \, = \, \left( e^{i \frac{\la^a}{2} \th^a } \right)_{ij} ( \phi_0 )_j^3    \tag{14.142} \]

と表せる。ただし、$\th^a$ $(a = 1,2, \cdots, 8 )$ は実数パラメータである。この変換により $\phi_0 = ( \phi_0 )_i^3$ の成分は混合され、$\phi = (\phi )_i^3 = ( z_1 , z_2 , z_3 )^T$ の成分の斉次性が保証される。$g^\dag g = {\bf 1}$ よりこれらの成分は条件式

\[    | z_1 |^2 + | z_2 |^2 + |z_3 |^2 \, = \, v^2     \tag{14.143} \]

を満たす。$\phi = (\phi )_i^3$ を用いると自発的対称性の破れ(14.133)を誘引するポテンシャル項は $V = \la ( \phi^\dag \phi - v^2 )^2 = \la ( z_i^* z_i - v^2 )^2$ ($i=1,2,3$) と表せる。条件式(14.143)は $U(1)$ 変換 $z_i \rightarrow e^{i\th} z_i$ のもとでも不変である。よって、$\phi$ は幾何学的に $S^5 / S^1 = {\bf CP}^2$ で与えられることが分かる。${\bf CP}^2$ は複素射影平面とも呼ばれる。$\phi$ はコセット空間 $G/H = \frac{SU(3)}{ SU(2) \times U(1)}$ の座標に対応しているので、この結果はより直接的に関係式

\[    \frac{SU(3)}{SU(2) \times U(1)} \, \simeq \,    \frac{SU(3)}{SU(2)} \biggl/ U(1) \, \simeq \, S^5 / S^1 \, = \, {\bf CP}^2     \tag{14.144} \]

から理解することもできる。

複素射影空間

　ここで、簡単に複素射影空間について解説する。射影空間を視覚化するためにまず実射影空間を考える。すなわち、${\bf R}^3$ 上の直線を同一視する。これより、２次元の実射影空間 ${\bf RP}^2$ は ${\bf R}^3$ 上の全ての直線の集合と見做せる。ステレオ射影を用いると２次元平面は２次元球面 $S^2$ で表せる。よって、${\bf RP}^2$ は $S^2$ から対蹠点を除いた空間に相当する。言い換えると、${\bf RP}^2$ は空間ベクトル $x^a$ $(a= 1,2,3 )$ のスケール同値性

\[    x^a  \sim  \al x^a    ~~ (\al \in {\bf R}, \, \al \ne 0 )    \tag{14.145} \]

で定義できる。ただし、$\al$ はゼロでない実数を表す。この同値関係(14.145)の複素数バージョンは

\[    z^a  \sim  \la z^a ~~ (\la \in {\bf C}, \, \la \ne 0)    \tag{14.146} \]

と書ける。ただし、$\la$ はゼロでない複素数である。規格化を例えば

\[   ( z^{a} )^*  z^a \, = \, 1   ~~~~(a = 1,2,3)   \tag{14.147} \]

と取れば $|\la |^2 = \la^* \la$ の値を１に固定できる。すなわち、複素座標 $z^a$ とその複素共役は５次元球面 $S^5$ を定義する。複素座標 $z^a$ はさらに位相因子の自由度 $z^a \rightarrow e^{i \th} z^a$ を持つので、複素射影空間 ${\bf CP}^2$ はコセット空間 $S^5 / S^1$ で定義されることが分かる。

　射影空間の概念は数学で重要である。特に、ユークリッド幾何学は射影幾何学の部分集合と考えられる。一般の複素射影空間 ${\bf CP}^{n-1}$ は同値関係 $z^a \sim \la z^a$ と規格化 $ ( z^{a} )^* z^a  = 1$ を満たす $n$ 個のゼロでない複素変数 $z^a$ ($ a = 1,2, \cdots , n$) で定義される。式(14.144)と同様に、${\bf CP}^{n-1}$ $(n \ge 2)$ もコセット空間を用いて

\[  {\bf CP}^{n-1} \, = \, S^{2n-1} / S^1 \, \simeq \, \frac{SU(n)}{U(n-1)}    \tag{14.148} \]

と表せる。$n=2$ の簡単な場合、複素射影空間はリーマン球面 ${\bf CP}^1 = SU(2) / U(1 ) = S^2$ となる。11.4節で議論したようにリーマン球面 $( z , \bz )$ は $SL ( 2 , {\bf C} )$ 代数あるいは２次元の広域共形代数で記述される６つの解析対称性をもつ。この対称性は解析関数の研究で重要となる。例えば、よく知られているようにガウスの超幾何関数は $SL(2 ,{\bf C} )$ 対称性をもつ。

14. 自発的対称性の破れ vol.7

14.5 シグマ模型と $G/H$ 標的空間

リーマン多様体 $\M$ 上の点粒子の軌跡を $x^\mu (t)$ とする。つまり、写像 $x^\mu (t): \mathbb{R} \rightarrow \M$ を考える。測地線方程式方程式は作用

\[    \S \, = \, \hf \int dt \, g_{\mu\nu} \frac{\d x^\mu}{\d t} \frac{\d x^\nu}{\d t}    \tag{14.124} \]

の極値を取ることで求まる。ただし、$g_{\mu\nu}$ は $\M$ の計量を表す。つぎに、4次元時空からコセット空間への写像

\[    \phi^a (x) \, : \, \mathbb{R}^4 \, \longrightarrow \, G/H     \tag{14.125} \]

を考えよう。このとき、測地線の作用(14.124)に対応する作用は

\[    \S \, = \, \frac{1}{2} \int d^4 x \,    G_{ab} \, \d_\mu \phi^a \d_\mu \phi^b    \tag{14.126} \]

と書ける。ただし、$G_{ab} $ は $G/H$ 空間の計量を表す。この作用の被積分関数は前節で求めた南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー有効ラグランジアン(14.102)に比例する。

シグマ模型

　上の議論を一般化すると、作用(14.126)は

\[    \S \, = \, \frac{1}{2} \int d^4 x \,  G_{ab} \, \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b    \,  \sqrt{- \det g} \, g^{\mu \nu} \tag{14.127} \]

と表せる。ただし、$\phi^a (x)$ は計量 $g^{\mu \nu}$ のリーマン多様体 $\N$ から計量 $G^{ab}$ の別のリーマン多様体への写像

\[    \phi^a (x) \, : \, \N \, \longrightarrow \, \M     \tag{14.128} \]

を与える。作用(14.127)は $\M$ 上のシグマ模型を定義する。作用(14.127)の極小化から求まるシグマ模型の古典解は調和写像 (harmonic maps) と呼ばれる。また、$\N$, $\M$ はそれぞれシグマ模型の基底空間、標的空間と呼ばれる。以上より、自発的対称性の破れ G → H  により生じる南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー有効作用は G/H を標的空間とするシグマ模型で与えられることが分かる。

G/H 標的空間と G → H のパターン

　ここで、あるリー群 $G$ で表せる連続的な対称性がその部分群 $H$ に自発的に破れるとき、この自発的な破れ $G \rightarrow H$ がどのように誘引されるかを考えよう。$G$ の既約表現に属すベクトル場 $\phi$ に対して、その基底状態での期待値 $\phi_0 = \bra \Om | \phi | \Om \ket $ がゼロでないとき対称性 $G$ は自発的に破れる。この期待値の等方部分群（小群）が $G$ の部分群 $H$ に当たる。つまり、$\phi_0$ は $h$ 変換  $( h \in H )$ のもとで不変であり、一重項を成す。よって、群論的には自発的な破れのパターン $G \rightarrow H$ は $G$ の分解が部分群 $H$ の一重項を含むような $G$ の表現から $H$ の表現への還元、あるいは  $H$ 表現の $G$ 表現への埋め込みで与えられる。

　一例として、$G/H = SU(2)/U(1)$ を考えよう。このとき、$h$ 変換は $\phi$ への $\si_3$ 作用に対応する。ただし、$\si_i$ $( i=1,2,3 )$ は $2 \times 2$ パウリ行列を表す。${\bf 2}$ 表現（あるいはスピン $\frac{1}{2}$ 表現）では

\[  h \, = \, \left(     \begin{array}{cc}   e^{i \th} & 0 \\    0 & e^{-i\th} \\  \end{array}  \right)    \tag{14.129} \]

となるので $h $ 作用のもとで一重項は $\th =0$ でない限り存在しない。しかし、${\bf 3}$ 表現（あるいはスピン 1 表現）では $\si_3$ 作用のもとで $\phi$ は ${\bf 3} \rightarrow {\bf 2} \oplus {\bf 1}$ と分解できる。よって、基底状態の期待値 $\phi_0 = ( \phi_0^1 , \phi_0^2 , \phi_0^3 )^T $ を $\phi_0^1 = \phi_0^2 = 0$, $\phi_0^3 = v \ne 0$ と選べる。このとき、自発的破れ $SU(2) \rightarrow U(1)$ を引き起こすポテンシャル項は $V = \la (\phi^a \phi^a - v^2 )^2$ $( a = 1,2,3) $ で与えられる。ただし、$\la > 0$ である。このポテンシャルは $O(N)$ 理論のハミルトニアン

\[    \H \, = \,    \int d^3 x \left[    \hf \dot{\phi}_i \dot{\phi}_i + \hf (\nabla \phi_i  )(\nabla \phi_i  )    + \la (\phi_i \phi_i )^2 + \frac{\si}{2} (\phi_i \phi_i )    \right]    \tag{14.29}\]

で $N=3$ とおいたものに対応する。この理論は回転対称性を持つので南部-ゴールドストン粒子 $\phi^a$ は直交群 $O(3)$ の生成子 $R_{ab}$ を用いて $\phi^a = R_{ab} \phi_0^b$ と表せる。明らかに、$\phi^a$ は条件式 $\phi^T \phi = \phi^a \phi^a  = v^2$ を満たす。期待値 $\phi_0$ の等方部分群は $O(2) \subset O(3)$ である。以上より、自発的対称性の破れに関連するコセット空間 $SU(2)/U(1)$ は幾何学的に2次元球面 $S^2 = O(3)/O(2) $ と等しいことが分かる。

秋晴れの高川山からリニア見学センター

秋晴れに誘われて道の駅つるまで。高川山に登ってきました。思いがけずリニア見学センターが麓にあったので寄ってきました。山梨県立の施設で、以前子供といった科学館と同様に展示が充実していて入館料もお得。おススメです。リニア開通すると品川から甲府まで25分！大阪まではなんと67分！ 名古屋・大阪間はまだ時間かかりそうですが、品川・名古屋は生きているうちに実現してくれるかな。

ミューオン照射で放射性廃棄物・核デブリの無害化へ ⁉

ミュー粒子（ミューオン）と言えば大学３年生の時の物理実験で宇宙線のミューオンを電子観測してその平均寿命 $2.2 \times 10^{-6} $ 秒を計算したなあ。あのとき、ミューオンってなに？っていう状態から実験を始めたので印象に残っています。後に標準模型を勉強してようやくミューオンが第二世代の荷電レプトンであることが分かりました。電子の約 207 倍の質量をもつ。ちなみに第三世代の荷電レプトンはタウ粒子、電子の約 3500 倍の質量をもつ。ミューオン照射と言えばピラミッドや古墳の内部構造、あるいは火山の地下構造をレントゲンと同じ手法で解析できるので近年、考古学や地質学へ応用されていますが、まさか、放射性廃棄物に照射して無害化できるとは知りませんでした。最終的に無害なマグネシウムと鉛になるそうです。実験で確認されており後は実用化するだけとのこと。何百年もかかると言われている懸案の放射性廃棄物の処理が、一気に解決できるとなると夢のような技術です。この技術を発見・開発された奈良林先生の一般向けの解説動画があるので興味ある方はご覧ください。

14. 自発的対称性の破れ vol.6

　前回に引き続き、南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー有効ラグランジアンについて考える。この有効ラグランジアンに関する定理を以下に再掲する。

連続的な対称性 $G$ が部分群 $H \subset G$ に自発的に破れる場合（$H$ は基底状態の期待値 $\bra \Om | \phi | \Om \ket$ の小群に当たる）、次の２つが成り立つ。

１．${\rm dim} G - {\rm dim} H$ 個の質量ゼロの粒子（あるいは質量ギャップがゼロの励起）が存在する。これらは南部-ゴールドストン粒子（あるいは南部-ゴールドストン・モード）と呼ばれる。

２．南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー動力学は有効ハミルトニアン

 \[     \H_{\rm eff} \,  = \,  \frac{f^2}{2}  \int d^3 x  \left( G_{\imath \jmath} (\th ) \dot{\th}^\imath \dot{\th}^\jmath    + G_{\imath \jmath} (\th ) \nabla \th^\imath \nabla \th^\jmath  \right)   \tag{14.101}  \]

で与えられる。ただし、$ G_{\imath \jmath} ( \th ) d \th^\imath d \th^\jmath$ はコセット空間 $G/H$ の計量を表す。$\H_{\rm eff}$ に対応する有効ラグランジアンは\[\begin{eqnarray}      \L_{\rm eff} & = &    \frac{f^2}{2}  \left( G_{\imath \jmath} (\th ) \dot{\th}^\imath \dot{\th}^\jmath    - G_{\imath \jmath} (\th ) \nabla \th^\imath \nabla \th^\jmath  \right) \nonumber \\    &=&    \frac{f^2}{2}  \, G_{\imath \jmath} (\th ) \, \d_\mu \th^\imath \d_\mu \th^\jmath  \tag{14.102} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、係数 $f$ は古典的な基底状態の解、つまり元々のハミルトニアンの極小化から求まる。

　有効ラグランジアンの例として前回は強磁性体のハイゼンベルク模型を考えた。今回はハドロン・スペクトルの章で言及したカイラル対称性の自発的破れについて考える。このトピックについては以前のQCDノート (note 11,  note 17) でも取り上げた。より詳しくはこれらのノートも参考にされたい。

例２: QCDのカイラル対称性の自発的破れと擬スカラーメソン

　これまで、自発的に破れる対称性として元々のハミルトニアンあるいはラグランジアンにおいて完全に保たれる対称性を考えてきた。しかし、物理モデルでは対称性が完全ではないものの、対象となるエネルギーレベルでは十分良い近似とみなせる場合がある。例えば、5.1節で議論したように、量子色力学 (QCD) の軽クォーク部分のラグランジアン

\[ \L (Q) = \overline{Q} \,  i \ga \cdot ( \d - i g A ) \, Q + \overline{Q} \left( \begin{array}{c c c} m_u & 0 & 0  \\ 0 & m_d & 0  \\ 0 & 0 & m_s \\ \end{array} \right) Q \tag{5.1} \]

はフレーバー・カイラル対称性 $U(3)_L \times U(3)_R$ をもつ。このカイラル対称性は質量項により自明に破れるので完全ではない。ここで、軽クォークの質量はパイオン質量 $m_\pi \approx 140$ MeV 以下であり、およそ 1 GeV のQCDスケールでは無視できる。言い換えると、クォーク質量と電弱相互作用が無視できるエネルギーレベルにおいてラグランジアン(5.1)はカイラル対称性をもつ。QCDスケールにおいてカイラル対称性は強い相互作用の効果により自発的に破れる。5.1節で見たように、軽クォークのカイラル変換は

\[    Q_L ' = U_L \, Q_L \, , ~~~~~~    Q_R ' = U_R \, Q_R    \tag{14.106} \]

と表せる。ただし、$Q_L = {\half} (1 + \gamma_5 ) Q$, $Q_R = {\half}(1 - \gamma_5 ) Q$ である。また、軽クォーク演算子 $Q$, $\overline{Q}$ は

\[ Q = \left( \begin{array}{c} u \\ d \\ s \\ \end{array} \right)  , ~~~~~ \overline{Q} = \left( \, \bar{u} ~~ \bar{d} ~~ \bar{s} \, \right) \tag{5.2} \]

と定義されることを思い出そう。$U_{L}$, $U_{R}$ はそれぞれ$U(3)_{L}$, $U(3)_{R}$ 群の $3 \times 3$ 行列要素でありカイラル成分 $Q_L$, $Q_R$ は独立に変換する。自発的対称性の破れの秩序変数（ハイゼンベルク模型の磁化に対応するもの）は複合演算子 $\overline{Q} Q$ の基底状態における期待値

\[    \bra \Om | \overline{Q} Q | \Om \ket \, = \,     \bra \Om | ( \bar{u} u + \bar{d} d + \bar{s} s )  | \Om \ket     \tag{14.107} \]

で与えられる。この秩序変数はクォーク凝縮と呼ばれる。このクォーク凝縮がゼロでないこと、すなわち、$\bra \Om | \overline{Q} Q | \Om \ket \ne 0$ となることは実験的な事実である。（この現象は強い相互作用の閉じ込め効果から生じると考察できるが、理論的にはまだ証明されていない。）よって、14.1節の定義からQCDエネルギー・スケールにおいてカイラル対称性は自発的に破れることが分かる。

　カイラル演算子 $Q_L$, $Q_R$ を用いると複合演算子 $\overline{Q} Q$ は

\[    \overline{Q} Q \, = \,  \overline{Q}_L Q_R \, + \, \overline{Q}_R Q_L     \tag{14.108} \]

と表せる。カイラル変換のもとでこれは

\[    \overline{Q} '   Q '  \, = \, \overline{Q}_L U_L^\dag U_R  Q_R  \, + \, \overline{Q}_R U_R^\dag U_L Q_L     \tag{14.109} \]

と変換する。ただし、式(14.106)および $\overline{Q}_L ' = \overline{Q}_L U_L^\dag$, $\overline{Q}_R ' = \overline{Q}_R U_R^\dag$ を用いた。明らかに、クォーク凝縮(14.107)はカイラル対称性の $U_L = U_R$ 部分群による変換のもとで不変である。つまり、基底状態の期待値(14.107)の等方部分群はこの $U_L = U_R$ 部分群で与えられる。ここで、$U_V = U_L = U_R $ を $U(3)_V$ 群の $3 \times 3$ 行列要素とする。この $U(3)_V$ は

\[ Q \rightarrow Q^{\prime} = U Q \, , ~~~ \overline{Q} \rightarrow \overline{Q}^{\prime} = \overline{Q} U^\dag  \tag{5.3} \]

のユニタリー行列 $U$ すなわち軽クォーク $( u, s, d )$ の間のフレーバー対称性に対応する。このフレーバー対称性は軽クォークの質量が同じである場合に保存する。$U(1)$ 部分を分離すると

\[    U(3)_V \, \sim \,  SU(3)_V \times U(1)_V    \tag{14.110} \]

と書ける。ただし、$SU(3)_V$ はゲルマンとネーマンにより独立に提唱されたクォーク模型の $SU(3)$ 群を表す。定義より、$U(1)_V$ 電荷は $Q_L$, $Q_R$ 共に同一であり、$Q$ の電荷に対応する。クォークの電荷は $\theta_V / 3$ で表せる分数で与えられることに注意しよう。この $U(1)_V$ 群はバリオン数を与える。同様に、カイラル対称性の $U(1)$ 部分を分離すると

\[\begin{eqnarray}     U_{L} (3) \times  U_{R} (3) & \sim & SU(3)_L \times SU(3)_R \times U(1)_L \times U(1)_R     \nonumber \\     & \sim & SU(3)_L \times SU(3)_R \times U(1)_V \times U(1)_A    \tag{14.111} \end{eqnarray}\]

となる。ここで、$U(1)_V$, $U(1)_A$ は $U(1)_L$, $U(1)_R$ の線形結合として求まるが、その組み合わせは $U(1)_A$ 電荷が $Q_L$ と $Q_R$ に対してそれぞれ反対の符号を持つように選ばれる。すなわち、$U(1)_A$ パリティのもとで奇であり対称性は軸性ベクトル型である。一方、$U(1)_V$ はパリティのもとで偶であり対称性はベクトル型である。$U(1)_L$, $U(1)_R$ ではなく $U(1)_V$, $U(1)_A$ を用いる理由の１つは、QCDを含むベクトル型のゲージ理論においてベクトル型の対称性は自発的に破れないというヴァッファとウィッテンによる定理の存在である。これより、カイラル対称性の自発的破れは $SU(3)_V \times U(1)_V$ よりも小さな部分群に破れることはない。また、$U(1)_A$ 対称性はグルーオン場の量子アノマリーによって自明的に破れる。よって、フレーバー・カイラル対称性の自発的な破れに関わるコセット空間は

\[    \frac{SU (3)_{L} \times  SU (3)_{R} \times U(1)_V }{SU (3)_{V} \times U(1)_V} \sim  SU(3)     \tag{14.112} \]

と表せる。

　$U(1)_V$ 部分を省略するとフレーバー・カイラル対称性の自発的な破れは

\[    G = SU_{L} (3) \times  SU_{R} (3)    \, \longrightarrow \,    H= SU_{V} (3)  \tag{14.113} \]

と書ける。この場合、南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー有効ラグランジアン(14.102)は、$SU(3)$ 群のカルタン-キリング計量

\[    ds^2 \, = \, - 2 \, \Tr \left( U^\dag d U \,  U^\dag d U \right)    \tag{14.114} \]

を用いて表せる。ただし、$U = \exp ( i t^a \phi^a )$  $(a = 1,2, \cdots , 8 )$ は $SU(3)$ の行列要素である。生成子 $t^a$ はゲルマン行列 $\la^a$ を用いて $t^a = \frac{\la^a}{2}$ と表せる。元々のカイラル対称性は完全でないので、ここでの南部-ゴールドストン粒子は実際には（QCDエネルギー・スケールでは無視できる）質量を持つことに注意しよう。この意味で、これらのボース粒子は擬・南部-ゴールドストン粒子と呼ばれる。

　破れない対称性はパリティが奇なので、これらの擬・南部-ゴールドストン粒子は擬スカラー8重項メソン $\pi^{\pm}$, $\pi^0$, $K^0$, $\overline{K^0}$, $K^+$, $K^-$, $\eta$ を記述できる。これらの8重項メソンの質量は5.4節で紹介したように下表の通りである。

\[ \begin{array}{|c | c | c|  c|  c|  c |} \hline &\mbox{スピン-0}&\mbox{質量}& \mbox{スピン-1}& \mbox{質量} & \mbox{クォーク構成}\\ && \mbox{(MeV)} && \mbox{(MeV)} &\\ \hline \mbox{1重項}& \eta^\prime & 958& \omega &783&  (u {\bar u} + d {\bar d} + s {\bar s})/\sqrt{3} \\ \hline & \pi^0 & 135& \rho^0 &775& (u {\bar u} - d {\bar d} )/\sqrt{2} \\ & \pi^+ &140& \rho^+ &775& u {\bar d} \\ & \pi^- &140& \rho^- &775& d {\bar u} \\ \mbox{8重項} & K^+ &494& K^{*+} &892& u {\bar s} \\ & K^- &494& K^{*-} &892& s {\bar u} \\ & K^0 &498& K^{*0} &896& d {\bar s} \\ & {\bar K}^0 &498& {\bar K}^{*0} &896& s {\bar d} \\ & \eta &548& \varphi &1019& ( u {\bar u} + d {\bar d} - 2 \,s {\bar s})/\sqrt{6} \\ \hline \end{array} \]

パイ中間子の質量 (135-140 MeV) は約１GeV のQCDエネルギー・スケールに比べて十分小さいことが確認できる。その他の擬スカラー・メソンはストレンジ・クォーク $(m_s \gg m_u \approx m_d)$ を構成要素に持つのでより重い質量 (494-548 MeV) をもつ。最重量のメソン $\eta$ (548 MeV) は実際には $SU(3)$ 一重項の擬スカラー・メソンとの混合による寄与を含む。これは、擬・南部-ゴールドストン粒子 $\phi^8$ と $U(1)$ 部分の擬・南部-ゴールドストン粒子 $\phi^0$ との混合から生じる。もう一方の混合成分は $\eta^\prime$ (958 MeV) で与えられる。$\eta$ と $\eta^\prime$ の質量差は $U(1)_A$ 問題と呼ばれる。前述の通り、この問題はグルーオン場による量子アノマリーによって説明できるがここでは議論しない。（$U(1)_A$ 対称性は量子アノマリーにより離散的な部分群 ${\bf Z}_6$ に明示的に破れることが知られている。）有効ラグランジアン(14.102)を $SU(3)$ 計量(14.114)に適用すると、擬スカラー・8重項メソンの低エネルギー有効ラグランジアン

\[\begin{eqnarray}     \L_{\rm eff} & = & - f^{2} \, \Tr ( U^\dag \d_\mu U \, U^\dag \d_\mu U )    \, = \, f^{2} \, \Tr ( \d_\mu U^\dag \d_\mu U )    \nonumber \\    &=& \frac{f^2}{2} \, \d_\mu \phi^a  \, \d_\mu \phi^a \, + \, \O (\phi^3 ) \tag{14.115} \end{eqnarray}\]

を構成できる。ただし、$f$ は定数であり、高次の項 $\O ( \phi^3 )$ は南部-ゴールドストン粒子間の相互作用を表す。

トランプ大統領の国連演説を聞いてみる

 あまりニュースになっていないようですが、凄い発言のオンパレード。ここまでぶっちゃけてくれると清々しい。こんな政治家いままでにいた？！ 政策ではなく政局争いばかりしている日本の政治家に見習ってほしい。アメリカの大統領が方向性を示しているのだから日本としてはやり易いはず。今の自民党ではたとえ高市さんが総理になっても難しいか。

14. 自発的対称性の破れ vol.5

前回はコセット空間について解説した。今回は南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー有効理論のラグランジアンがコセット空間の計量テンソルを用いて表せることを示す。

南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー動力学に関する定理

　14.3節で議論した $O(N)$ スカラー理論の有効ハミルトニアンは

\[\begin{eqnarray}    \H_{\rm eff} &=&     - \frac{v^2}{2} \int d^3 x  \left(    R^{-1} \dot{R} R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R \, R^{-1} \nabla R \right)_{\! N \! N}     \nonumber \\    &=&    - \frac{v^2}{2} \int d^3 x   ~ \Tr \left[    \left(   R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R \, R^{-1} \nabla R   \right) W    \right]    \tag{14.68} \end{eqnarray}\]

で与えられた。 $\H_{\rm eff} = \int \ep (R ) d^3 x $ とおき、被積分関数（ハミルトニアン密度）を書き出すと

\[\begin{eqnarray}     \ep ( R ) & = & - \frac{v^2}{2} \Tr     \left(   R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R   \right) W    \nonumber \\    &=&    - \frac{v^2}{2} \left(    R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R \right)_{\! N \! N}     \tag{14.99} \end{eqnarray}\]

となる。ただし、$R$ は群 $G=O(N)$ の $N \times N$ 行列要素であり、$W$ は $N \times N$ 行列

\[  W \, = \,    \left(      \begin{array}{cccc}        0 & \cdots & 0 & 0 \\        \vdots & \ddots &   \vdots & \vdots \\        0 & \cdots & 0 & 0 \\        0 & \cdots & 0 & 1 \\      \end{array}    \right)   \tag{14.69} \]

で定義される。14.3節の(14.73)で示したように $\ep ( R )$ は条件式 $\ep ( R h ) = \ep ( R )$ を満たす。ただし、$h$ は小群（あるいは等方部分群）$H = O(N-1)$ の要素を表す。$\ep (R)$ の $W$ によりフレーム場１形式 $R^{-1} d R = i t^a E^a_i \th^i + i S^\al E^\al_\imath \th^\imath$ から $S^\al$ 部分が取り出される。ただし、添え字は $a, i = 1,2, \cdots, {\rm dim} H$ と $\al, \imath = 1,2, \cdots , {\rm dim}G - {\rm dim}H$ で指定される。これは $\ep (R )$ がコセット空間 $G/H = O(N)/O(N-1) = S^{N-1}$ 上の計量 $ds^2 = G_{\imath \jmath} ( \th ) d \th^\imath d \th^\jmath$ を用いて表せることを意味する。規格化 $\Tr ( S^\al S^\bt )  = \frac{1}{2}$ を用いると、$\ep (R )$ は

\[    \ep (R ) \, = \, \frac{v^2}{4} G_{\imath \jmath} \left( \dot{\th}^\imath \dot{\th}^\jmath + \nabla \th^\imath \nabla \th^\jmath \right)    \tag{14.100} \]

で与えられることが分かる。実際、より一般に、以下に示す南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー動力学に関する定理が存在する。

連続的な対称性 $G$ が部分群 $H \subset G$ に自発的に破れる場合（$H$ は基底状態の期待値 $\bra \Om | \phi | \Om \ket$ の小群に当たる）、次の２つが成り立つ。

１．${\rm dim} G - {\rm dim} H$ 個の質量ゼロの粒子（あるいは質量ギャップがゼロの励起）が存在する。これらは南部-ゴールドストン粒子（あるいは南部-ゴールドストン・モード）と呼ばれる。

２．南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー動力学は有効ハミルトニアン

 \[     \H_{\rm eff} \,  = \,  \frac{f^2}{2}  \int d^3 x  \left( G_{\imath \jmath} (\th ) \dot{\th}^\imath \dot{\th}^\jmath    + G_{\imath \jmath} (\th ) \nabla \th^\imath \nabla \th^\jmath  \right)   \tag{14.101}  \]

で与えられる。ただし、$ G_{\imath \jmath} ( \th ) d \th^\imath d \th^\jmath$ はコセット空間 $G/H$ の計量を表す。$\H_{\rm eff}$ に対応する有効ラグランジアンは\[\begin{eqnarray}      \L_{\rm eff} & = &    \frac{f^2}{2}  \left( G_{\imath \jmath} (\th ) \dot{\th}^\imath \dot{\th}^\jmath    - G_{\imath \jmath} (\th ) \nabla \th^\imath \nabla \th^\jmath  \right) \nonumber \\    &=&    \frac{f^2}{2}  \, G_{\imath \jmath} (\th ) \, \d_\mu \th^\imath \d_\mu \th^\jmath  \tag{14.102} \end{eqnarray}\]

と表せる。

ここで、係数 $f$ は古典的な基底状態の解、つまり元々のハミルトニアンの極小化から求まる。$O(N)$ 理論のハミルトニアン
\[ \H \, = \, \int d^3 x \left[ \hf \dot{\phi}_i \dot{\phi}_i + \hf (\nabla \phi_i )(\nabla \phi_i ) + \la (\phi_i \phi_i )^2 + \frac{\si}{2} (\phi_i \phi_i ) \right] ~~~~~ ( \si < 0 < \la ) \tag{14.29}\]
の場合、この係数は $f = \sqrt{\frac{|\si |}{8 \la}}$ で与えられる。

例１: ハイゼンベルク強磁性体とスピン波

　この章の最初で議論したように自発的対称性の破れの簡単な例は強磁性体のハイゼンベルク模型で与えられる。この模型では転移温度 $T_c$ が存在し、この温度より低温では回転対称性の自発的な破れ $O(3)  \rightarrow  O(2)$ が起こり、ゼロでない磁化が発生する。関連するコセット空間は $O(3)/O(2) = S^2$ であり、スピン波と呼ばれる２つの南部-ゴールドストン・モードが現れる。

14. 自発的対称性の破れ vol.4

 14.4 コセット空間と低エネルギー有効理論

コンパクト・リー群 $G$ とその部分群 $H \subset G$ を考える。12.2節で議論したように、$G$ は微分可能なリーマン多様体であると見做せる。群の要素 $g \in G$ は多様体の点座標に対応する。ここで、部分群の要素 $h \in H$ として、点 $g$ を $gh$ を同等とみなす。すなわち、多様体 $G$ 上に同値性 $g \sim gh$ を課す。これにより、コセット多様体と呼ばれるより小さな多様体 $G/H$ が導かれる。$G/H$ の次元は

\[ {\rm dim} \, G/H \, = \, {\rm dim} G - {\rm dim} H  \tag{14.75} \]

で与えられる。14.2節で出た生成子（リー代数の要素）についての記号

\[    T^A \, = \, \left\{    \begin{array}{l}      t^a \, \in \underline{H}  \\      S^{\al} \in \underline{G} - \underline{H}     \end{array}    \right.    \tag{14.37} \]

を用いると、$G$ と $H$ の要素は原点 $( \th^A = 0 )$ の近傍でそれぞれ $g \approx 1 + i T^A \th^A$, $h \approx 1 - i t^a \th^a$ と表せる。よって、要素 $gh$ は $gh \approx 1 + i T^A \th^A - i t^a  \th^a$ とパラメータ表示できる。これはコセット空間の次元が ${\rm dim} ( T^A - t^a )  = {\rm dim} S^\al$ であることを示しており、(14.75)に一致する。

　$G/H$ 空間の関数は $f(gh) = f(g)$ に従う。すなわち、$G/H$ 上の関数は $H$ 変換のもとで不変な $G$ 上の関数で与えられる。13.1節で解説したように、ピーター-ワイルの定理によると、コンパクト・リー群 $G$ 上の関数は完全系を成す。これは、$G/H$ 上の関数にも当てはまる。このようなコセット空間上の関数について詳しくは、数学の表現論の分野において Harish-Chandra, Gelfand, Vilenkin, Naimark らによって研究された。

G/H 空間の計量

　コンパクト・リー群 $G$ 上のカルタン-キリング計量については12.2節で定義した。ここではまずこの計量について復習してから $G/H$ 空間上の計量を考える。群 $G$ の要素 $g$ は

\[    g ( \th ) \, = \,  \exp ( i T^A \th^A )    \tag{14.76} \]

とパラメータ表示される。ただし、$T^A$ は $G$ の生成子であり、$\th^A$ $(A = 1, 2, \cdots , {\rm dim } G )$ は連続バラメータを表す。生成子は規格化条件

\[    \Tr ( T^A T^B ) \, = \, \frac{1}{2} \del^{AB}     \tag{14.77} \]

に従う。$G$ のフレーム場１形式は

\[    g^{-1} d g  \, = \,  iT^A E^A_I ( \th ) d \th^I    \tag{14.78} \]

で定義される。ただし、$E^A_I ( \th )$ $(A, I = 1, 2, \cdots , {\rm dim } G )$ は $G$ 上のフレーム場を表す。このフレーム場はパラメータ表示(14.76)から計算できる。例えば、12.2節では $SU(2)$ 群のフレーム場は２つの異なるパラーメータ表示を用いて

\[    E^m_l ( \th ) \, \simeq \, \del^m_l - \hf  \ep^{m}_{~ \, lk} \, \th^k     \tag{12.18} \]

\[  E^i_k (a, b) \, = \, 2 \left(   \del^i_k \, a + \frac{b^i b_k }{a} + \ep^{i}_{\, jk} \, b_k     \right) \tag{12.24} \]

と求まった。$G$ 上のカルタン-キリング計量 $ds^2$ は

\[    ds^2 \, = \, -2 \Tr ( g^{-1} d g \, g^{-1} d g ) \, = \, E^A_I E^A_J  \, d \th^I d \th^J     \, = \, G_{IJ} (\th )  d \th^I d \th^J     \tag{14.79} \]

と定義される。ただし、$E_A^I$ は $G$ 上のフレーム場であり、$G_{IJ} = E^A_I E^A_J$ は $G$ 上の計量テンソル である。

　$G$ がユニタリー群である場合 (あるいはより一般に複素構造を持つとき) 、フレーム場の積は $E^{* A}_{I} E^A_J = E^{\bar{A}}_{\bar{I}} E^A_J = G_{\bar{I} J}$ と表せる。このとき、対応する$G$ 上の計量は

\[    ds^2 \, = \, E^{\bar{A}}_{\bar{I}} E^A_J  \, d \th^{\bar{I}} d \th^J    \, = \, G_{\bar{I} J} (\th ) d \th^{\bar{I}} d \th^J    \tag{14.80} \]

と書ける。

　式(14.37)に従って、生成子 $T^A$ を $t^a \in \underline{H}$ と $S^\al \in \underline{G} - \underline{H}$ に分解すると $g^{-1} d g$ は

\[    g^{-1} d g \, = \,   i t^a E^a_i d \th^i + i S^\al E^\al_\imath  d \th^\imath    \tag{14.81} \]

と表せる。規格化 $\Tr (S^\al S^\bt ) = \frac{1}{2} \del^{\al\bt}$ を用いると、フレーム場の $S^\al$ 部分は

\[    E^\al_\imath  d \th^\imath \, = \, - i 2 \Tr ( S^\al g^{-1} d g ) \, \equiv \, E^\al_\imath (g ) d \th^\imath    \tag{14.82} \]

と分離できる。ただし、$E^\al_\imath (g )d \th^\imath $ は $E^\al_\imath  d \th^\imath$ が $g^{-1} d g$ の関数であることを示す。変換 $g \rightarrow gh$  $( h \in H )$ のもとでフレーム場１形式 $g^{-1} d g$ は

\[    g^{-1} d g  \, \rightarrow \,    h^{-1} g^{-1} d ( gh ) \, = \,   h^{-1} g^{-1} d g \, h \,  + \, h^{-1} d h     \tag{14.83} \]

と変化する。このとき、$E^\al_\imath (g ) d \th^\imath$ の変換は

\[\begin{eqnarray}        E^\al_\imath ( g ) d \th^\imath  \, \rightarrow  \, E^\al_\imath ( gh ) d \th^\imath  & = & - i2 \Tr ( S^\al h^{-1} g^{-1} d g \, h )    - i2 \Tr ( S^\al  h^{-1} d h )   \nonumber \\    &=&    -i2 \, \D^{\al\bt} (h) \, \Tr ( S^\bt g^{-1} d g )    \nonumber \\    &=&    \D^{\al\bt} (h) \, E^\bt_\imath (g) d \th^\imath \tag{14.84} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、関係式 $h^{-1} d h = i t^a E^a_i d \th^i$ と $\Tr ( S^\al t^a ) = 0$ を用いた。$\D^{\al \bt} (h)$ は $S^\al$ の随伴表現を表し、 

\[    h \, S^\al \, h^{-1} \, = \, \D^{\al\bt} (h) \, S^\bt   \tag{14.85} \]

で定義される。14.2節で考えたように $H$ を直交群と仮定すると、$\D^{\al \bt}(h)$ は直交性関係

\[ \D^{\al\bt} (h) \D^{\al \ga} ( h) \, = \, \D^{\bt\al} (h^T ) \D^{\al \ga} ( h)  \, = \,  \D^{\bt \ga} (h^T h ) \, = \, \del^{\bt \ga}      \tag{14.86}  \]

を満たす。ただし、$h^T = h^{-1}$ である。よって、$G/H$ 空間上の計量は 

\[\begin{eqnarray}    d s^2 &=&    E^\al_\imath (g ) E^\al_\jmath (g) \, d \th^\imath d \th^\jmath    \nonumber \\    &=&    E^\al_\imath (gh ) E^\al_\jmath (gh ) \,d \th^\imath d \th^\jmath    \tag{14.87} \end{eqnarray}\]

と定義できる。明らかにこれは $g \rightarrow g h$ 変換のもとで不変である。

　$H$ がユニタリー群の場合、$h^\dag = (h^{*})^{T} = h^{-1}$ であるので直交性関係(14.86)は

\[    \D^{* \al\bt} (h) \D^{\al \ga} ( h) \, = \,  \D^{\bt\al} (h^\dag ) \D^{\al \ga} ( h)     \, = \, \D^{\bt \ga} (h^\dag h ) \, = \, \del^{\bt \ga}    \tag{14.88}  \]

と書き換えられることに注意しよう。このとき、$G/H$ 上の計量は

\[ ds^2 \, = \,  E^{\bar{\al}}_{\bar{\imath}} E^\al_\jmath \, d \th^{\bar{\imath}} d \th^\jmath
  \, = \, G_{\bar{\imath} \jmath} ( \th ) \, d \th^{\bar{\imath}} d \th^\jmath \tag{14.89}  \]

と表せる。これは計量(14.80)のコセット空間版に対応する。

14. 自発的対称性の破れ vol.3

 14.3 南部-ゴールドストン粒子の動力学

この節では前回に引き続き $O(N)$ 対称性の自発的破れを例に南部-ゴールドストン粒子の動力学を考える。前回と同じくハミルトニアン

\[    \H \, = \, \int d^3 x \left[   \frac{1}{2} \dot{\phi}^2 + \frac{1}{2} (\nabla \phi )^2 + V (\phi_i \phi_i )    \right]   \tag{14.56}\]

を持つ実ベクトル場 $\phi_i$ $(i = 1,2, \cdots, N)$ の理論を採用する。ここで、ポテンシャル項は

\[    V ( \phi_i \phi_i )    \, = \,    \la (\phi_i \phi_i )^2 + \frac{\si}{2} \phi_i \phi_i    ~~~~~~ ( \si < 0 < \la ) \tag{14.41} \]

で定義される。ポテンシャルの極小は

\[    \phi_i \phi_i \, = \, v^2     \tag{14.57} \]

で与えられる。ただし、$v =  \sqrt{\frac{|\si |}{4 \la}}$ である。よって、古典的な基底状態の解の1つとして

\[    \phi^{(0)} \, = \, \left( 0,  \cdots , 0, v \right)^T     \tag{14.58} \]

を選択できる。ハミルトニアンは $O(N)$ 群の変換 $\phi_i \rightarrow R_{ij} \phi_j$ のもとで不変である。ただし、$R_{ij}$ は直交関係 $R_{ij} R_{ik} = \del_{jk}$ を満たす。$R_{ij}$ は $O(N)$ 群の $N \times N$ 行列要素を表す。$\phi^{(0)}$ の等方部分群あるいは小群は $O(N-1)$ で与えられる。$R_{ij} \phi^{(0)}_{j} = \phi^{(0)}_{i}$ を満たす全ての $R_{ij}$ の集合に注目すると、そのような $R_{ij}$ の自由度は ${\rm dim} \left[ O(N) \right] - {\rm dim} \left[ O(N-1) \right] = N-1$ である。前節で議論したように、各自由度について南部-ゴールドストン粒子（あるいは南部-ゴールドストン・モード）が存在する。

　前節では実ベクトル場 $\phi_i = \phi^{(0)}_{i} + \eta_i$ をハミルトニアン(14.56)に代入して、南部-ゴールドストン・モードの動力学を $O(N)$ 群の生成子を用いて議論した。しかし、今節では先ず $\phi^{(0)}$ のゼロでない成分のみの摂動を考える。

\[    \chi \, = \,   ( 0 , \cdots , 0 , v + \rho (x) )^T     \tag{14.59} \]

ただし、$\rho (x)$ は実スカラー場である。そして $\chi_i$ の $O(N)$ 変換を古典的な基底状態 $\phi^{(0)}$ の周りの揺らぎと見做す。つまり、

\[    \phi_i \,  = \, R_{ij} (x) \, \chi_j     \tag{14.60}  \]

とおく。ただし、$R_{ij} (x)$ は時空間座標に依存する $O(N)$ 群の要素である。$\chi$ の小群も $O(N-1)$ なので、$R_{ij} (x)$ のうち独立な場の数は $N-1$ である。$\rho ( x)$ も含めると(14.60)の揺らぎの場 $\phi_i$ $(i = 1,2, \cdots ,N)$ は確かに $N$ 個の実スカラー場で記述されることが分かる。このパラメータ表示を用いると $O(N)$ 群の生成子を持ち出さなくても $N-1$ 個の南部-ゴールドストン粒子を記述できることに注意しよう。

　つぎに、(14.60)の揺らぎの場 $\phi_i$ をハミルトニアン(14.56)に代入する。$\phi_i$ は列ベクトルであるので、その2乗は

\[    \phi_i \phi_i \, = \, ( R_{ij} \chi_j )^T \, R_{ik} \chi_k \, = \,     \chi_j^T ( R^T R )_{jk} \chi_k \, = \, ( v + \rho )^2    \tag{14.61}  \]

と計算できる。ただし、直交関係 $( R^T R )_{jk} = \del_{jk}$ と $\chi_i = \del_{iN} (v + \rho )$ を用いた。これはポテンシャル項 $V ( \phi_i \phi_i )$ が $R_{ij} (x)$ に依らないことを示す。$\dot{\phi} = \dot{R} \chi + R \dot{\chi}  =  R ( R^{-1} \dot{R} \chi + \dot{\chi} )$ の2乗は次のように計算できる。

\[\begin{eqnarray}    \dot{\phi}^2 &=&     ( R^{-1} \dot{R} \chi + \dot{\chi} )^T R^T R \, ( R^{-1} \dot{R} \chi + \dot{\chi} )    \nonumber \\    &=&    ( \chi^T ( R^{-1} \dot{R} )^T + \dot{\chi}^T ) ( R^{-1} \dot{R} \chi + \dot{\chi} )    \nonumber \\    &=&        \chi^{T} ( R^{-1} \dot{R} )^{T} R^{-1} \dot{R}  \chi  +  \chi^{T}  R^{-1} \dot{R}  \dot{\chi}    + \dot{\chi}^T  R^{-1} \dot{R}  \chi   +    \dot{\chi}^T \dot{\chi}    \nonumber \\    &=&    \chi^{T} ( R^{-1} \dot{R} )^{T} R^{-1} \dot{R}  \chi  + 2 \dot{\rho} (v+ \rho ) (R^{-1} \dot{R} )_{\! N \! N} + \dot{\rho}^2   \tag{14.62} \end{eqnarray}\]

ただし、$ R^T R  = {\bf 1}$ と $\dot{\chi}_i = \del_{i  N} \, \dot{\rho}$ を用いた。ここで、$R^{-1} \dot{R}$ の反対称性関係

\[    (R^{-1} \dot{R})^T \, = \, \dot{R}^T R^{-1 \, T}    \, = \, \dot{R}^{-1} R \, = \, - R^{-1} \dot{R}   \tag{14.63} \]

に注意する。これより明らかに $(R^{-1} \dot{R} )_{\! N \! N} = 0$ である。よって、$\dot{\phi}^2 $ は

\[    \dot{\phi}^2 \, = \, - \chi^{T} ( R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R} )  \chi  + \dot{\rho}^2   \tag{14.64} \]

と表せる。同様に、$ ( \nabla \phi )^2 $ は

\[    ( \nabla \phi )^2 \, = \, - \chi^{T} \left( R^{-1} \nabla R ~  R^{-1} \nabla R \right)  \chi  + ( \nabla \rho )^2   \tag{14.65} \]

と計算できる。したがって、(14.60)を(14.56)に代入するとハミルトニアンは

\[\begin{eqnarray}    \H    &=&     \int d^3 x    \left( \frac{1}{2}\dot{\rho}^2  + \frac{1}{2} ( \nabla \rho )^2  + V ( (v + \rho )^2 ) \right.    \nonumber \\    &&    ~~~   \left.  -  \frac{1}{2} \chi^T ( R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R} ) \chi    -  \frac{1}{2} \chi^T ( R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R ) \chi \right)    \tag{14.66} \end{eqnarray}\]

と表せる。ポテンシャル項 $V$ は実スカラー場 $\rho (x)$ の汎関数であり、一般にこれは $\rho (x)$ の質量項を与える。一方、$R (x)$ は質量項をもたず、$(N-1)$ 個の南部-ゴールドストン粒子を表す。これらの南部-ゴールドストン粒子の動力学はハミルトニアン(14.66)の $R$ 部分

\[\begin{eqnarray}     \H_{R}  &= & - \frac{1}{2} \int d^3 x    ~ \chi^T \left(    R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R \right) \chi    \nonumber \\    &=& - \frac{1}{2} \int d^3 x ~ ( v + \rho )^2 \left(    R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R \right)_{\! N \! N}  \tag{14.67}  \end{eqnarray}\]

で与えられる。ただし、$\chi$ の具体的なパラメータ表示(14.59)を用いた。$\rho$ の質量が無限小となる低エネルギー・スケールでは $\rho$ と $R$ の相互作用項を含む $\rho$ に依存する項は無視できる。よって、南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー有効理論はハミルトニアン

\[\begin{eqnarray}    \H_{\rm eff} &=&     - \frac{v^2}{2} \int d^3 x  \left(    R^{-1} \dot{R} R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R \, R^{-1} \nabla R \right)_{\! N \! N}     \nonumber \\    &=&    - \frac{v^2}{2} \int d^3 x   ~ \Tr \left[    \left(   R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R \, R^{-1} \nabla R   \right) W    \right]    \tag{14.68} \end{eqnarray}\]

で記述される。ただし、$R$ は $O(N)$ 群の $N \times N$ 行列要素を表し、$W$ は $N \times N$ 行列

\[  W \, = \,    \left(      \begin{array}{cccc}        0 & \cdots & 0 & 0 \\        \vdots & \ddots &   \vdots & \vdots \\        0 & \cdots & 0 & 0 \\        0 & \cdots & 0 & 1 \\      \end{array}    \right)   \tag{14.69} \]

で与えられる。

　$\rho$ に関する項を無視するのは古典的には正しいが、量子論では一般的に正しくない。例えば、たとえ低エネルギー近似であっても質量を持つ $\rho$ 粒子による真空の揺らぎを無視できない。このような量子補正は基底状態の期待値 $v$ を再定義する（繰り込む）ことで対応できる。実際、南部-ゴールドストン粒子の動力学に関して次の定理が存在する。

式(14.68)のハミルトニアン $\H_{\rm eff}$ は、全ての量子論的な相互作用も含めた低エネルギー有効ハミルトニアンである。

（この定理の証明には量子論における相関関数の広域対称性を記述するウォード-高橋恒等式が用いられる。）

日航123便の話

 以前にこちらで触れましたが、物理学者による興味深い話があったので動画だけ紹介。（いつ消されるか分かりませんが。）

いままで見聞した中では一番説得力がありました。さすがに圧力隔壁の破損だけではないだろうし、自衛隊が証拠隠滅したとかもおかしいと思っていたのでなんとなくスッキリしました。真相は永遠に明かされないのでしょうか。

14. 自発的対称性の破れ vol.2

 14.2 ゴールドストンの定理

ゴールドストンの定理は以下の通り。

連続的な大域的対称性が自発的に破れると、運動量がゼロの極限 $( |\vec{p}| \rightarrow 0 )$ でエネルギーがゼロ $( \om_p \rightarrow 0 )$ となる状態が存在する。

相対論ではこの状態は質量ゼロの粒子に対応し、スピン-0 のスカラー粒子を記述する。この粒子は南部-ゴールドストン粒子と呼ばれる。ゴールドストンの定理は非相対論的な理論にも適用され、その場合、上記の状態は南部-ゴールドストン・モードと呼ばれる場の励起に対応する。南部-ゴールドストン粒子の動力学は群論の性質だけから導出できる。以下の節では、自発的対称性の破れの例を用いてゴールドストンの定理がどのように適用されるかを考える。

複素スカラー場

　まず、前回に引き続きハミルトニアン

\[    \H \, = \, \int d^3 x    \left[    | \dot{\phi} |^2 + |\nabla \phi |^2 + \la    \left(    |\phi |^2  - \frac{|\si |}{2 \la}    \right)^2    - \frac{|\si |^2}{4 \la}    \right]    ~~~~~ ( \si< 0 < \la )    \tag{14.14} \]

を持つ複素スカラー場 $\phi$ を取り上げる。$\phi$ の励起は

\[    \phi \, = \, \sqrt{\frac{|\si |}{2 \la}} \, e^{i \al}  + \, \eta ~    \tag{14.23} \]

と表せる。ただし、$\eta$ は $\bra \Om | \eta | \Om \ket = 0$ に従う複素スカラー場である。別のパラメータ表示を使うと $\phi$ は

\[    \phi (x) \, = \, e^{i \chi (x)} \left(    \sqrt{\frac{|\si |}{2 \la}} e^{i \al} + \rho (x)    \right)    \tag{14.24} \]

とも書ける。ただし、$\chi$ と $\rho$ は実スカラー場である。$\chi$ と $\rho$ の1次のオーダーで $\phi$ は

\[    \phi \, \approx \, \phi_0 + i \chi \phi_0 + \rho + \cdots    \tag{14.25} \]

と表せる。ただし、$\phi_0 = \sqrt{\frac{|\si |}{2 \la}} e^{i \al}$ である。条件式 $\bra \Om | \eta | \Om \ket = 0$ は1次のオーダーで $\bra \Om | \chi | \Om \ket = \bra \Om | \rho | \Om \ket = 0$ と置き換えられる。パラメータ表示(14.24)から $\dot{\phi}$ と $\nabla \phi$ は

\[\begin{eqnarray}    \dot{\phi} &=& e^{i \chi} \left[    \dot{\rho} + i \dot{\chi} ( \phi_0 + \rho )    \right]   \tag{14.26}\\    \nabla \phi &=& e^{i \chi} \left[    \nabla \rho + i \nabla \chi ( \phi_0 + \rho )    \right]     \tag{14.27} \end{eqnarray}\]

と計算できる。これより、ハミルトニアン(14.14)は

\[\begin{eqnarray}    \H &=& \int d^3 x \Biggl[    \dot{\rho}^2 + \dot{\chi}^2 | \phi_0 +\rho |^2    + (\nabla \rho )^2 + (\nabla \chi )^2 | \phi_0 +\rho |^2    \nonumber \\    &&    \hspace{4.5cm}    + \,  \la \left(  | \phi_0 + \rho |^2 - \frac{|\si |}{2\la}  \right)^2    - \frac{|\si |^2}{4 \la}    \Biggr]    \nonumber \\    &=&    \int d^3 x \Biggl[    \dot{\rho}^2 + ( \nabla \rho )^2 + m^2 \rho^2  + | \phi_0 |^2 ( \dot{\chi}^2 + (\nabla \chi )^2 )        + \O( \rho^3 )   -\la |\phi_0 |^4    \Biggr]    \tag{14.28} \end{eqnarray}\]

と書ける。ただし、$| \phi_0 + \rho |^2 = (\phi_0 + \rho )(\phi_0^* + \rho )$, $m^2 = \la (\phi_0 + \phi_0^* )^2 = 4 \la ( {\rm Re} \, \phi_0 )^2$ である。$\rho$ について3次以上の項 $\O (\rho^3 )$ を摂動的に扱うと $\rho$ は質量 $m > 0$ の粒子を表し、$\chi$ は質量ゼロの粒子を表すことが分かる。分散関係はそれぞれ $\om_p = \sqrt{p^2 + m^2}$, $\om_p = \sqrt{p^2}$ で与えられる。

　ハミルトニアン(14.28)のポテンシャル項は $\O(\rho^3 )$ と定数で与えられ、$\chi$ に依らない。これは、励起モードが $\rho$ ではなく $\chi$ で与えられることを意味する。よって、$U(1)$ 対称性 $\phi \rightarrow e^{i \th} \phi$ の自発的な破れの自然な帰着として質量ゼロ粒子が現れることが分かる。この励起モードは南部-ゴールドストン・モードと呼ばれる。また、ハミルトニアン(14.28)から $\chi$ の適当な規格化は $\chi \rightarrow | \phi_0 |^{-1} \chi$ で与えられることが分かる。ただし、$|\phi_0 | = \sqrt{\frac{| \si | }{2\la}} $ である。

O(N) 対称性の自発的破れ

　つぎに自発的対称性の破れのもう１つの例を考える。ハミルトニアン

\[    \H \, = \,    \int d^3 x \left[    \hf \dot{\phi}_i \dot{\phi}_i + \hf (\nabla \phi_i  )(\nabla \phi_i  )    + \la (\phi_i \phi_i )^2 + \frac{\si}{2} (\phi_i \phi_i )    \right]    \tag{14.29}\]

$( i = 1,2, \cdots , N )$ をもつ $N$ 次元の実ベクトル場 $\phi = ( \phi_1 , \phi_2 , \cdots , \phi_N )^T$ の理論を考える。明らかにハミルトニアンは変換

\[    \phi_i ~ \longrightarrow ~ R_{ij} \phi_j    \tag{14.30} \]

のもとで不変である。ただし、$ R_{ij}$ は直交関係

\[    R_{ij} R_{ik } \, = \, \del_{jk}    \tag{14.31} \]

を満たす。つまり、行列表現で $( R^{T} R )_{jk} = \del_{jk} = {\bf 1}$ と書ける。ただし、${\bf 1}$ は $N \times N$ 恒等行列である。つまり、$R$ は $O(N)$ 群の要素である。

　前回の例と同様にハミルトニアンが下限をもつためには $\la > 0$ が必要となる。よって、$\si$ の符号により次のように場合分けができる。

1. $\si > 0$ の場合、基底状態は $\phi_i = 0$ で与えられる。このとき期待値は $\bra \Om | \phi_i | \Om \ket = 0$ であり、自発的対称性の破れは起きない。
2. $\si < 0$ の場合、$\H$ のポテンシャル項は $\la \left( \phi_i \phi_i - \frac{|\si |}{4 \la} \right)^2 - \frac{|\si |^2}{16 \la}$ と表せる。よって、古典的な基底状態は $\phi_i \phi_i = \phi_1^2 + \phi_2^2 + \cdots + \phi_N^2 = \frac{| \si |}{4 \la}$ で与えられる。

後者の場合、基底状態の期待値として例えば

\[     \phi^{(0)} \, \equiv \,    \bra \Om | \phi | \Om \ket \, = \,    \left( 0,  \cdots , 0, \sqrt{\frac{|\si |}{4 \la}} \right)^T        \tag{14.32} \]

を選べる。ベクトル成分で表すと、$\phi^{(0)}_{1} =\phi^{(0)}_{2} =  \cdots = \phi^{(0)}_{N-1} = 0$, $\phi^{(0)}_{N} = \sqrt{\frac{|\si |}{4 \la}}$ と書ける。$\phi^{(0)}$ は対称性群 $O(N)$ の部分群 $O(N-1)$ の変換のもとで不変であることに注意する。このような部分群 $H \subset G$ を $\phi^{(0)}$ の等方部分群 (isotropy group) あるいは小群 (little group) と呼ぶ。いまの場合、$H = O(N-1)$, $G =O(N)$ である。$\phi^{(0)}$ の不変性は

\[    R_{ij} (h ) \phi^{(0)}_{j}    \, = \, \phi^{(0)}_{i}    \tag{14.33} \]

と表せる。ただし、$h \in H$ である。$O(N-1)$ 群による $\phi_i$ の変換は

\[    \phi_i ~ \longrightarrow ~ R_{ij} (h) \phi_j \, = \, h^{-1} \phi_i \, h     \tag{14.34} \]

で与えられる。よって、$h^{-1} \phi_i \, h$ の基底状態での期待値は

\[\begin{eqnarray}    \bra \Om | h^{-1} \phi_i  h | \Om \ket    &=&    R_{ij} (h ) \bra \Om | \phi_j | \Om \ket    \nonumber \\    &=&    R_{ij} (h ) \phi^{(0)}_{j}    \, = \, \phi^{(0)}_{i}    \, = \,    \bra \Om | \phi_i  | \Om \ket    \tag{14.35} \end{eqnarray}\]

と計算できる。これより直ちに関係式

\[    h | \Om \ket \, = \, | \Om \ket   \tag{14.36} \]

が得られる。よって、部分群 H の対称性は自発的に破れない。

　自発的対称性の破れは部分群 $H$ に属さない $G$ の要素による変換で与えられる。$O(N)$ 群の生成子（あるいは $O(N)$ 代数の要素）を $T^A$ で表す。ただし、$A = 1,2, \cdots, \frac{1}{2}N(N-1)$ である。物理状態の直交変換は群の要素 $R = \exp ( i T^A \th^A )$ の作用で実現される。生成子 $T^A$ は $t^a \in \underline{H}$ と $S^{\al} \in \underline{G} - \underline{H}$ に分解できる。ただし、$\underline{G}$, $\underline{H}$ はそれぞれ $O(N)$ 代数と $O(N-1)$ 代数を表す。

\[    T^A \, = \, \left\{    \begin{array}{l}      t^a \, \in \underline{H} ~~~~~~~~~~~~ a = 1,2, \cdots, \frac{1}{2}(N-1)(N-2)  \\      S^{\al} \in \underline{G} - \underline{H} ~~~~~  \al = 1,2, \cdots, N-1    \end{array}    \right.    \tag{14.37} \]

$S^\al$ の独立な要素の数は ${\rm dim} G - {\rm dim} H$ で与えられる。期待値 $\phi^{(0)}_{i}$ の不変性 (14.33) は無限小近似で

\[    ( {\bf 1} + i t^a \th^a )_{ij} \, \phi^{(0)}_{j} \, =  \, \phi^{(0)}_{i}      \tag{14.38} \]

と表せる。よって、$\phi^{(0)}$ への $t^a$ と $S^\al$ の作用は

\[    t^a  \phi^{(0)} \, = \, 0 \, , ~~~    S^\al  \phi^{(0)} \, \ne \, 0    \tag{14.39} \]

で与えられる。

　ここで、簡単のためハミルトニアン(14.29)を

\[    \H \, = \,    \int d^3 x \left[    \hf \dot{\phi}_i \dot{\phi}_i + \hf (\nabla \phi_i )(\nabla \phi_i )    + V( \phi_i \phi_i )    \right]    \tag{14.40} \]

と書く。ただし、$V ( \phi_i \phi_i )$ はポテンシャル項

\[    V ( \phi_i \phi_i )    \, = \,    \la (\phi_i \phi_i )^2 + \frac{\si}{2} \phi_i \phi_i     ~~~~~~ ( \si < 0 < \la ) \tag{14.41} \]

である。ハミルトニアンの極小化は

\[    \frac{\d V}{\d \phi_i}  \, = \, 0   \tag{14.42} \]

で与えられる。古典的な基底状態 $\phi^{(0)}$ は上式の解である。ポテンシャル項の $O(N)$ 変換のもとでの不変性は

\[    \del V \, = \, \frac{\d V}{\d \phi_i} \del \phi_i \, = \, 0  \tag{14.43} \]

と表せる。ここで、$\del \phi_i$ は $O(N)$ 変換による $\phi_i$ の変分

\[    \phi_i ~ \longrightarrow ~ \phi_i^\prime \, = \, R_{ij} \phi_i    \, \approx \, (\del_{ij} + i \th^A T^{A}_{ij} ) \phi_j   \tag{14.44} \]

である。無限小近似で $\del \phi_i = i \th^A T^{A}_{ij} \phi_j$ となるので、関係式(14.43)は

\[    \frac{\d V}{\d \phi_i} \, T^{A}_{ij} \, \phi_j  \, = \, 0     \tag{14.45} \]

と書ける。$\phi_k$ について微分をとると、

\[    \frac{\d^2 V}{ \d \phi_i \d \phi_k } \, T^{A}_{ij} \, \phi_j    \, + \,    \frac{\d V}{\d \phi_i} T^{A}_{ik} \, = \, 0    \tag{14.46} \]

となる。上式の全ての $\phi_i$ を $\frac{\d V}{\d \phi_i} = 0$ の解、すなわち $\phi_i = \phi_{i}^{(0)}$ とおくと、

\[    \left(    \frac{\d^2 V}{ \d \phi_i \d \phi_k }    \right)_{\phi^{(0)}}    T^{A}_{ij} \phi^{(0)}_{j} \, = \, 0    \tag{14.47} \]

を得る。古典的な基底状態 $\phi^{(0)}$ からの励起モード $\eta_i$ の動力学は実ベクトル場

\[    \phi_i = \phi^{(0)}_{i} + \eta_i    \tag{14.48} \]

をハミルトニアン(14.40)に代入して解析できる。$\phi_{i}^{(0)}$ の周りでの $V$ のテイラー展開を用いると、ハミルトニアンは

\[\begin{eqnarray}    \H & = & \int d^3 x \left[    \frac{1}{2} \dot{\phi}^2 + \frac{1}{2} (\nabla \phi )^2 + V (\phi_i \phi_i )    \right]    \nonumber \\    &=&  \int d^3 x \Biggl[    \frac{1}{2} \dot{\eta}^2 + \frac{1}{2} (\nabla \eta )^2 + V (\phi^{(0)}_{i} \phi^{(0)}_{i} )    \nonumber \\    && ~~~~~~~~~    +  \left(    \frac{\d V }{\d \phi_i}    \right)_{\phi^{(0)}} \! \eta_i    + \frac{1}{2} \left( \frac{\d^2 V}{ \d \phi_i \d \phi_k } \right)_{\phi^{(0)}} \! \eta_i \eta_k    + \O (\eta^3 )  \Biggr]      \nonumber \\    &=&  \int d^3 x \left[    \frac{1}{2} \dot{\eta}^2 +  \frac{1}{2}(\nabla \eta )^2     + \frac{1}{2} \M_{ik} \, \eta_i \eta_k    + \O (\eta^3 ) + \mbox{(const)} \right]    \tag{14.49} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、$\M_{ik}$ は

\[    \M_{ik} = \left( \frac{\d^2 V}{ \d \phi_i \d \phi_k } \right)_{\phi^{(0)}}   \tag{14.50} \]

で定義される。式(14.49)から $\M_{ik}$ の固有値は $\eta$ モードの質量 (あるいはギャップ) を与えることが分かる。$\M_{ik}$ を用いると関係式(14.47)は

\[    \M_{ik} \, \xi^A_i \, = \, 0    \tag{14.51} \]

と書ける。ただし、$\xi^A_i $ は

\[    \xi^A_i \, = \, T^{A}_{ij} \, \phi^{(0)}_{j}   \tag{14.52} \]

で定義される。よって、(14.37)と(14.39)から $\xi^A_i$ は $\xi^a_i = 0$ と $\xi^\al_i \ne 0$ に分解できる。

\[    T^A \, = \, \left\{    \begin{array}{cl}    t^a : &    t^a \phi^{(0)} = 0 ~ \rightarrow ~ \xi^a_i = 0 \\    S^\al : &  S^\al \phi^{(0)} \ne 0 ~ \rightarrow ~ \xi^\al_i \ne 0 \\    \end{array}    \right.   \tag{14.53} \]

関係式(14.51)と合わせると、後者の場合は $\M_{ik} = 0$ を得る。すなわち、$\xi^\al_i \ne 0$ の場合に質量ゼロの $\eta$ モードが現れる。

　以上の結果は次のようにまとめられる。

自発的対称性の破れ ($S^\al \phi^{(0)} \ne 0$) に対応する生成子 $S^\al$ のそれぞれについて、ゼロ・モード（質量ゼロ、ギャップ・ゼロ）となる励起モード $\eta$ が存在する。

これは、一般的な対称性群 $G$ とその等方部分群 $H$ にも適用できるので、一般化されたゴールドストンの定理と解釈できる。

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GeoGebra - Wikipedia

こんなのがあるとは知りませんでした。だいぶ前からあったようです。関数グラフと言えば gnuplot だと思っていましたが、GeoGebra なら中学生でも使えるし解析関数の理解に役立つこと間違いなし。先生方も問題作成が楽になりますね。

手塚治虫展

8月最終日に子供と手塚治虫展に行ってきました。

14. 自発的対称性の破れ vol.1

物理系は一般にハミルトニアン $\H$ で定義される。このハミルトニアンが対称性群 $G$ の生成子 $Q^a$ $( a = 1, 2, \cdots , \dim G )$ と交換可能な場合、すなわち $[ Q^a , \H ]=0$ のとき、ハミルトニアン $\H$ は対称性 $G$ をもつと言う。ハミルトニアン $\H$ に $Q^a$ と交換可能でない項が含まれる場合、この対称性は完全ではない。1.4節で述べたように系の物理状態は対称群 $G$ の既約表現で分類される。(各既約表現に属す物理状態は互いに縮退している。)　基底状態が対称性変換のもとで不変でないときこの対称性は自発的に破れる。すなわち、自発的対称性の破れは基底状態 $| \Om \ket$ が条件式

\[    Q^a \, | \Om \ket \, \ne \,  | \Om \ket     \tag{14.1} \]

を満たす場合に起きる。

14.1 自発的対称性の破れの例

強磁性体のハイゼンベルク模型

　自発的対称性の破れの典型的な例として強磁性体のハイゼンベルク模型がある。このハミルトニアンは

\[    \H \, = \, - \sum_{i,j} J_{ij} \, \vec{S}_i \cdot \vec{S}_j    \tag{14.2} \]

で与えられる。ただし、$i,j$ は格子点、$J_{ij}$ は結合係数、$\vec{S}_i = S^a_i$ ($a=1,2,3$) は格子点 $i$ でのスピン・ベクトルを表す。格子点の添え字について縮約を取るので、ハミルトニアンは完全な回転対称性を持つ。全スピン角運動量はスピン・ベクトルの和で

\[    L^a \, = \, \sum_i S^a_i     \tag{14.3} \]

と表せ、これは交換関係

\[    \left[ L^a , S^b_i \right] \, = \, i \ep^{abc} S^c_i     \tag{14.4} \]

を満たす。よって、

\[    \left[ L^a , \H \right] \, = \, 0     \tag{14.5} \]

と求まり、物理系が回転対称性を確かに持つことが分かる。強磁性体の基底状態は一定方向の磁化を持つので、基底状態は回転のもとで不変でない。つまり、条件式(14.1)は

\[    L^a \, | \Om \ket \, \ne \, | \Om \ket    \tag{14.6} \]

として実現される。ただし、$| \Om \ket$ は強磁性体の基底状態を表す。

　ここで、自発的対称性の破れはないものとし、基底状態は回転変換のもとで不変であると仮定して、回転群 $O(3)$ のテンソル演算子 $A_M$ の基底状態における期待値 $\bra \Om | A_M | \Om \ket$ を考えよう。群の要素は $ g = \exp ( i L^a \th^a )$ と表せる。ただし、$L^a$  $(a = 1,2,3)$ は角運動量演算子、$\th^a$ は実数パラメータである。上の仮定は関係式 $e^{i L^a \th^a } | \Om \ket = | \Om \ket$ を意味する。よって、期待値 $\bra \Om | A_M | \Om \ket$ は

\[\begin{eqnarray}    \bra \Om | A_M | \Om \ket    &=&    \bra \Om | e^{- i L \cdot \th} A_M \, e^{i L \cdot \th} | \Om \ket    \nonumber \\    &=&    \D_{MN}  (\th ) \,  \bra \Om | A_N | \Om \ket    \tag{14.7} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、$\D_{MN}  (\th)$ は $O(3)$ 群のウィグナー $\D$ 関数を表す。

\[    e^{- i L \cdot \th} A_M  \, e^{i L \cdot \th}    \, = \,    \D_{MN} (\th ) \, A_N     \tag{14.8} \]

13章で見たようにテンソル $A_M$ がベクトルであれば $\D_{MN}  (\th )$ は $O(3)$ 群の随伴表現に対応する。任意のパラメータ $\th$ に対して $\D_{MN} (\th ) \ne \del_{MN}$ であるので、関係式(14.7)から $\bra \Om | A_M | \Om \ket = 0$ となる。つまり、$| \Om \ket$ が対称性変換のもとで不変であるとの仮定から関係式 $\bra \Om | A_M | \Om \ket = 0$ を導ける。よって、対偶をとると条件式

\[    \bra \Om | A_M | \Om \ket \ne 0 ~~ \longrightarrow ~~    e^{i L \cdot \th } | \Om \ket \ne | \Om \ket     \tag{14.9} \]

が成り立つことが分かる。すなわち、期待値 $\bra \Om | A_M | \Om \ket$ がゼロでない場合に自発的対称性の破れが起きる。強磁性体では、基底状態で非自明な磁化をもつので磁束密度 (あるいは磁気モーメントの総和) の期待値はゼロでない。このような期待値を正しく評価するには、ハミルトニアンの極小化から基底状態 $| \Om \ket$ を求める必要がある。

Mathematical Review 129: 重力子散乱振幅 Amplituhedron-like 構成の試み

久しぶりに重力散乱振幅についての論文のレビュー依頼が来ました。前回のレビューはこちら。あまり進展してないなぁとの印象。それより、数ある重力子の MHV (maximally-helicity-violating) 振幅のうち何故に Hodges の式を使うのか良く分かりませんでした。が、そんなこと突っ込んでも仕方ないので著者の意向をくみ取ってレビューしました。こちらの通り。内容には踏み込まず背景知識の整理が大半を占めるというヒストリカルなレビューになってしまいました。数学の方にも是非、散乱振幅研究の歴史的な側面を知ってもらえればと思います。Amplituhedron では重力子散乱は上手くいかないというのは知りませんでした。私としては Amplituhedron でなくツイスター空間上のホロノミー形式による散乱振幅の研究を進めなきゃなあ。なんて思いながら実際最近は何も出来ていないことに慚愧の念が堪えません。

13. ウィグナーの $\D$ 関数とその応用 vol.10

13.3.3 Case-Gasiorowicz-Weinberg-Witten の定理

ケイス-ガシオロウィッツ-ワインバーグ-ウィッテン (Case-Gasiorowicz-Weinberg-Witten) の定理（ワインバーグ-ウィッテンの定理と呼ばれることが多い）はつぎの２つの主張から成る。

1. スピンが $> \hf$ となる質量ゼロの荷電粒子は存在しない。
2. スピンが $> 1$ となる質量ゼロの粒子のうち保存エネルギー・運動量テンソルを持つものは存在しない。

この Case-Gasiorowicz-Weinberg-Witten (CGWW) の定理は元々1960年代にケイスとガシオロウィッツによって示され、1980年代にワインバーグとウィッテンによって改めて示された。以下では、この定理を行列要素の選択則として簡単に証明する。

質量ゼロ１粒子状態とその規格化

　質量ゼロの粒子の４元運動量を $p^\mu = ( \om , \vec{p} )$ をとする。ただし、$p^0  = \om$ は $\om = |\vec{p}|$ の値をとる。また、４元電流密度 (４元カレント) を $J^\mu  = ( J^0 , \vec{J})$ とおく。ただし、$J^\mu$ は電荷の保存則 $\d_\mu J^\mu = 0$ を満たす。以下では、１粒子状態 $| p \ket$ と $| p^\prime \ket$ で挟まれた $J^\mu$ の行列要素 $\bra p^\prime | J^\mu | p \ket$ に注目する。そこで、まずこれらの１粒子状態について考える。$p$-積分のローレンツ不変な積分測度は

\[    d \mu (p ) \, = \, \frac{d^3 p}{( 2 \pi )^3 } \frac{1}{2 \om}     \tag{13.180} \]

と表せるので、状態 $| p \ket$ の完全性は

\[     \int | p \ket  \frac{d^3 p}{(2 \pi )^3} \frac{1}{2 \om} \bra p | \, = \, 1    \tag{13.181} \]

と書ける。このとき、状態の正規直交性は条件式

\[    \bra p^\prime | p \ket \, = \, (2 \pi )^3 \, 2 \om \, \del^{(3)} ( \vec{p}^{\, \prime}  - \vec{p} )    \tag{13.182} \]

と表せる。粒子が空間体積 $V= L^3$ の立方体の中にあるとみなし、計算の最終段階で$V \rightarrow \infty$ の極限をとるものとする。このとき、 空間座標の周期的境界条件から $\vec{p}$ は

\[    \vec{p} = \frac{2\pi \vec{n}}{L}    \tag{13.183}\]

と表せる。ただし、$\vec{n} = ( n_1 , n_2 , n_3 )$ であり、各成分 $n_i$ $(i=1,2,3)$ は整数の値をとる。これらの成分を用いて $p$ と $p^\prime$ のクロネッカーのデルタは

\[    \del_{p, p^\prime } \, = \, \del_{n_1 , n_1^\prime } \del_{n_2 , n_2^\prime } \del_{n_3 , n_3^\prime }     \tag{13.184} \]

と定義できる。デルタ関数 $\del^{(3)}( \vec{p} - \vec{p}^{\, \prime} )$ を用いると（最終的に $V \rightarrow \infty$ の極限をとるとの理解のもと）$\del_{p, p^\prime }$ は

\[    \del_{p, p^\prime } \, = \,  \frac{(2 \pi)^3}{V} \del^{(3)}( \vec{p} - \vec{p}^{\, \prime} )    \tag{13.185} \]

と表せる。よって、直交性(13.182)より１粒子状態を

\[    | \widetilde{p} \ket  \, = \, \frac{| p \ket}{\sqrt{2\om V}}    \tag{13.186} \]

と規格化すると正規直交条件は $\bra \widetilde{p } | \widetilde{p}^{\prime } \ket  \, = \, \del_{p, p^\prime}$ と表せることが分かる。以下では簡単のため規格化された１粒子状態 $| \widetilde{p} \ket$ を $|p \ket$ と再定義する。すなわち、以下の議論では正規直交条件として

\[    \bra p  | p^{\prime } \ket  \, = \, \del_{p, p^\prime}    \tag{13.187} \]

を用いることにする。

行列要素の計算

　つぎに、正規直交条件(13.187)を用いて行列要素 $\bra p^\prime | J^\mu |  p \ket$ を計算する。$J^0$ は電荷密度を表すので粒子の電荷演算子は

\[    \widehat{Q} \, = \, \int d^3 x \, J^0      \tag{13.188} \]

で与えられる。１粒子状態 $| p \ket$ に作用する演算子 $\widehat{Q}$ の固有値が粒子の電荷 $Q$ である。

\[ \widehat{Q} \, | p \ket \, = \, Q \, | p \ket  \tag{13.189} \]

これより、$| p^\prime \ket \rightarrow | p \ket $ の極限における行列要素 $\bra p^\prime | \widehat{Q} | p \ket$ として電荷 $Q$ を定義できる。

\[ \lim_{p^\prime \rightarrow p} \bra p^\prime | \widehat{Q} | p \ket  \, = \,  \lim_{p^\prime \rightarrow p} \int \! d^3 x \, \bra p^\prime | J^0 | p \ket   \, = \,  V  \frac{Q}{V}  \, = \, Q \tag{13.190} \]

よって、$| p^\prime \ket \rightarrow | p \ket $ の極限で行列要素 $\bra p^\prime | J^0 | p \ket$ は

\[    \lim_{p^\prime \rightarrow p}    \bra p^\prime | J^0 | p \ket    \, = \, \frac{Q}{V}    \tag{13.191} \]

で与えられる。$V$ は空間体積なのでこれは確かに電荷密度を与えることが分かる。４元カレント $J^\mu$ はローレンツ共変であり $\d_\mu J^\mu = 0$ を満たすので、$J^\mu$ の行列要素は

\[ \lim_{p^\prime \rightarrow p} \bra p^\prime | J^\mu | p \ket  \, = \, Q \frac{p^\mu}{ \om V}  \tag{13.192} \]

と表せる。$p^\mu$ と $p^{\prime \mu}$ は質量ゼロ粒子の4元運動量なので、$p \cdot p = p^\prime \cdot p^\prime = 0$ であり、

\[    ( p + p^\prime )^2 \, = \, 2 p \cdot p^\prime \, = \,    2 \om \om^\prime (1 - \cos \th ) > 0    \tag{13.193} \]

を満たす。ただし、$\th$ は $\vec{p}$ と $\vec{p}^\prime$ の間の角度である。上式は $( p + p^\prime )^\mu $ が time-like ベクトルであること、つまり、計量 $(+---)$ のもとで時間成分が空間成分より優勢になることを意味する。よって、$\vec{p} + \vec{p}^\prime = 0$ となるフレームを選ぶことができる。(これは $\cos \th = -1$ に対応する。) すなわち、中心運動量フレーム

\[    p^{\mu} = ( \om ,  \vec{p} ) \, , ~~~    p^{\prime \, \mu} = ( \om , - \vec{p} )     \tag{13.194} \]

を採用できる。このとき、行列要素 $\bra p^\prime | J^\mu | p \ket $ は $\bra \! -  \vec{p} |  J^\mu  | \, \vec{p} \ket$ と表せる。

　ここで、$\vec{p}$ 方向の角運動量演算子を $L_{\hat{p}}$ とすると、定義から

\[    e^{ i L_{\hat{p}} \phi} | \, \vec{p} \ket     \, = \, e^{i s \phi} | \, \vec{p} \ket \, , ~~~    e^{ i L_{\hat{p}} \phi} | \!\! - \!  \vec{p} \ket     \, = \, e^{- i s \phi} | \!\! - \!  \vec{p} \ket    \tag{13.195} \]

と書ける。ただし、$s$ は質量ゼロ粒子のスピン (ヘリシティとも言う) であり、$\phi$ は $\vec{p}$ を軸にした回転量 (ゼロでない角度) を表す。上式から行列要素 $\bra \! -  \vec{p} |  J^\mu  | \, \vec{p} \ket$ は

\[\begin{eqnarray}    \bra  \! -  \vec{p} | \, J^\mu \, | \, \vec{p} \ket    & = &    \bra \! -  \vec{p} |    ~ e^{-i L_{\hat{p}} \phi } \,    e^{i L_{\hat{p}} \phi }    \, J^\mu    \, e^{-i L_{\hat{p}} \phi }    e^{i L_{\hat{p}} \phi }~    | \, \vec{p} \ket    \nonumber \\    &=&    e^{i 2 s \phi }   \, \bra \! -  \vec{p} | ~    e^{i L_{\hat{p}} \phi }    \, J^\mu    \, e^{-i L_{\hat{p}} \phi } ~    |  \, \vec{p}  \ket    \nonumber \\    &=&    e^{i 2 s \phi } \,  \D^{\mu \nu}  \! ( e^{i \phi} )  \,    \bra  \! -  \vec{p} | \, J^\nu \, | \, \vec{p}  \ket    \tag{13.196} \end{eqnarray}\]

と表せることが分かる。ただし、$\D$ 関数  $\D^{\mu \nu}  \! ( e^{i \phi} )$ は

\[ e^{i L_{\hat{p}} \phi }    \, J^\mu    \, e^{-i L_{\hat{p}} \phi }    \, = \,    \D^{\mu \nu}  \! ( e^{i \phi} )  \,    J^\nu   \tag{13.197} \]

と定義される。これは、13.2節で解説したように ウィグナーの $\D$ 関数が一般に

\[    U^{-1} (\th ) \, Q^{A} \, U  (\th )    \, = \,    \D^{(R)}_{AB} ( g ) \, Q^B    \tag{13.70} \]

と定義されることからも分かる。(13.197)の $\D^{\mu \nu}  \! ( e^{i \phi} )$ は回転群 $SO(3)$ のスピン１表現 $(l = 1)$ で与えられる。その具体的な形は13.2節の

\[    \D^{ab} ( g) \, = \, \exp \left[ i ( T^c )^{ab} \th^{c} \right]     \tag{13.63} \]

\[    \D^{m^\prime m} ( g ) \, = \,  \D_{m^\prime m}^{(l = 1)} ( g )      \tag{13.67} \]

の通りである。ただし、$g$ は $SO(3)$ 群の要素であり、$( T^c )^{ab} = - i \ep^{abc}$ は $SO(3)$ 群の構造定数を表す。添え字 $a$, $b$ は空間座標 $(1,2,3)$を表し、$m$, $m^\prime$ は球面基底

\[    x^{\pm } = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \mp x^1 - i x^2 ) \, , ~~ x^3     \tag{13.65} \]

の座標 $(\pm , 3 )$ を表す。いまの場合、$\vec{p}$ を $x^3$ 方向に指定できるので(13.197)の $\D^{\mu \nu}  \! ( e^{i \phi} )$ は

\[ \D^{ m m^\prime} \! ( e^{i \phi} ) \, = \, \exp \left[ \ep^{m m^\prime 3 } \phi \right] \tag{13.198} \]

と書ける。ただし、時間成分は空間回転に関与しないので添え字 $\mu$, $\nu$ を 球面基底座標 $m$, $m^\prime$ に置き換えた。$\ep^{+-3} = i$, $\ep^{-+3} = -i$, $\ep^{++3} = \ep^{--3} = 0$ に注意すると、$\D^{ m m^\prime} \! ( e^{i \phi} )$ の値は

\[ \D^{ m m^\prime} \! ( e^{i \phi} ) \, \in \, \{ e^{\pm i \phi} , \, 1  \} \tag{13.199} \]

に限られることが分かる。

　関係式(13.196)から $e^{i2 s \phi }  \, \D^{\mu \nu}  \! ( e^{i \phi} ) = 1$ となる場合がなければ、行列要素 $\bra \! -  \vec{p} | J^\mu | \, \vec{p} \ket$ はゼロとなる。一方、(13.192)から

\[ \lim_{| \! - \! \vec{p} \ket  \rightarrow | \, \vec{p} \ket } \int \! d^3 x \,  \bra \! -  \vec{p} | J^\mu | \, \vec{p} \ket  \, = \, Q  \, \hat{n}^\mu  \tag{13.200} \]

と表せる。ただし、$\hat{n}^\mu = ( 1, 0,0,1 )$ である。よって、荷電粒子 $( Q \ne 0 )$ に対して行列要素 $\bra  - \! \vec{p} | J^\mu | \, \vec{p} \ket $ は ($| \! - \! \vec{p} \ket  \rightarrow | \, \vec{p} \ket$ の極限で) ゼロとならない。したがって、質量ゼロの荷電粒子が存在するためには少なくともある$(\mu , \nu )$ の組み合わせに対して

\[    e^{2 i s \phi } \, \D^{\mu \nu}  \! ( e^{i \phi} ) \, = \, 1  \tag{13.201} \]

が成り立つ必要がある。(13.199)を用いるとこの条件式(13.201)はスピンが $2s \le 1$ の場合にのみ満たされることが分かる。よって、CGWW 定理の一つ目の主張が示された。

　CGWW 定理の２つ目の主張についても同様にエネルギー・運動量テンソル $T^{\mu \nu}$ の行列要素 $\bra p^\prime | T^{\mu \nu} | p \ket$ を用いて示すことができる。ただし、$T^{\mu \nu}$ はエネルギー保存則 $\d_\mu T^{\mu\nu} = 0$ を満たす。$T^{\mu \nu}$ はランク２の対称テンソルなので(13.197)に対応する $\D$ 関数は回転群 $SO(3)$ のスピン２表現 $(l = 2)$ で与えられる。13.2節の

\[    T^m \, = \, r^2 \, Y_2^m ( \vartheta , \varphi) \, \longrightarrow \,    T^{m^\prime  } \,= \, r^2 \, \D_{m^\prime m}^{(l = 2)} ( g ) \,  Y_2^m ( \vartheta , \varphi )    \tag{13.69} \]

で紹介したようにこの $\D$ 関数は $ \D_{ m m^\prime}^{(l=2)} ( g ) $ で表せる。ただし、$m$, $m^\prime$ は $(0, \pm 1 , \pm 2 )$ の値をとる。よって、行列要素 $\bra \! - \! \vec{p} | T^{\mu \nu} | \, \vec{p} \ket$ の計算に現れる $\D$ 関数は $\D_{ m m^\prime}^{(l=2)} ( e^{i \phi} )$ で与えられる。スピン１表現の場合と同様に、これは

\[ \D_{ m m^\prime}^{(l=2)} ( e^{i \phi} ) \, \in \, \{ e^{\pm i 2 \phi} , \,  e^{\pm i \phi} , \, 1  \} \tag{13.202} \]

と計算できる。ただし、$m, m^\prime = (0, \pm 1 , \pm 2 )$ である。したがって、条件式(13.201)を適用すると、保存エネルギー・運動量テンソルをもつ質量ゼロの粒子はスピン $s$ が $s \le 1$ の場合にのみ存在することが分かる。これより、CGWW 定理の２つ目の主張が示された。

　以上の証明では行列要素を評価するに当たりウィグナーの $\D$ 関数を利用した。この手法は13.2節で紹介したウィグナー-エッカルトの定理の導出と類似している。（例えば、13.2節の(13.70)を参照のこと。）この意味で CGWW 定理の証明はウィグナー-エッカルト型の応用例の1つであると見做せる。