14. 自発的対称性の破れ vol.6

　前回に引き続き、南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー有効ラグランジアンについて考える。この有効ラグランジアンに関する定理を以下に再掲する。

連続的な対称性 $G$ が部分群 $H \subset G$ に自発的に破れる場合（$H$ は基底状態の期待値 $\bra \Om | \phi | \Om \ket$ の小群に当たる）、次の２つが成り立つ。

１．${\rm dim} G - {\rm dim} H$ 個の質量ゼロの粒子（あるいは質量ギャップがゼロの励起）が存在する。これらは南部-ゴールドストン粒子（あるいは南部-ゴールドストン・モード）と呼ばれる。

２．南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー動力学は有効ハミルトニアン

 \[     \H_{\rm eff} \,  = \,  \frac{f^2}{2}  \int d^3 x  \left( G_{\imath \jmath} (\th ) \dot{\th}^\imath \dot{\th}^\jmath    + G_{\imath \jmath} (\th ) \nabla \th^\imath \nabla \th^\jmath  \right)   \tag{14.101}  \]

で与えられる。ただし、$ G_{\imath \jmath} ( \th ) d \th^\imath d \th^\jmath$ はコセット空間 $G/H$ の計量を表す。$\H_{\rm eff}$ に対応する有効ラグランジアンは\[\begin{eqnarray}      \L_{\rm eff} & = &    \frac{f^2}{2}  \left( G_{\imath \jmath} (\th ) \dot{\th}^\imath \dot{\th}^\jmath    - G_{\imath \jmath} (\th ) \nabla \th^\imath \nabla \th^\jmath  \right) \nonumber \\    &=&    \frac{f^2}{2}  \, G_{\imath \jmath} (\th ) \, \d_\mu \th^\imath \d_\mu \th^\jmath  \tag{14.102} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、係数 $f$ は古典的な基底状態の解、つまり元々のハミルトニアンの極小化から求まる。

　有効ラグランジアンの例として前回は強磁性体のハイゼンベルク模型を考えた。今回はハドロン・スペクトルの章で言及したカイラル対称性の自発的破れについて考える。このトピックについては以前のQCDノート (note 11,  note 17) でも取り上げた。より詳しくはこれらのノートも参考にされたい。

例２: QCDのカイラル対称性の自発的破れと擬スカラーメソン

　これまで、自発的に破れる対称性として元々のハミルトニアンあるいはラグランジアンにおいて完全に保たれる対称性を考えてきた。しかし、物理モデルでは対称性が完全ではないものの、対象となるエネルギーレベルでは十分良い近似とみなせる場合がある。例えば、5.1節で議論したように、量子色力学 (QCD) の軽クォーク部分のラグランジアン

\[ \L (Q) = \overline{Q} \,  i \ga \cdot ( \d - i g A ) \, Q + \overline{Q} \left( \begin{array}{c c c} m_u & 0 & 0  \\ 0 & m_d & 0  \\ 0 & 0 & m_s \\ \end{array} \right) Q \tag{5.1} \]

はフレーバー・カイラル対称性 $U(3)_L \times U(3)_R$ をもつ。このカイラル対称性は質量項により自明に破れるので完全ではない。ここで、軽クォークの質量はパイオン質量 $m_\pi \approx 140$ MeV 以下であり、およそ 1 GeV のQCDスケールでは無視できる。言い換えると、クォーク質量と電弱相互作用が無視できるエネルギーレベルにおいてラグランジアン(5.1)はカイラル対称性をもつ。QCDスケールにおいてカイラル対称性は強い相互作用の効果により自発的に破れる。5.1節で見たように、軽クォークのカイラル変換は

\[    Q_L ' = U_L \, Q_L \, , ~~~~~~    Q_R ' = U_R \, Q_R    \tag{14.106} \]

と表せる。ただし、$Q_L = {\half} (1 + \gamma_5 ) Q$, $Q_R = {\half}(1 - \gamma_5 ) Q$ である。また、軽クォーク演算子 $Q$, $\overline{Q}$ は

\[ Q = \left( \begin{array}{c} u \\ d \\ s \\ \end{array} \right)  , ~~~~~ \overline{Q} = \left( \, \bar{u} ~~ \bar{d} ~~ \bar{s} \, \right) \tag{5.2} \]

と定義されることを思い出そう。$U_{L}$, $U_{R}$ はそれぞれ$U(3)_{L}$, $U(3)_{R}$ 群の $3 \times 3$ 行列要素でありカイラル成分 $Q_L$, $Q_R$ は独立に変換する。自発的対称性の破れの秩序変数（ハイゼンベルク模型の磁化に対応するもの）は複合演算子 $\overline{Q} Q$ の基底状態における期待値

\[    \bra \Om | \overline{Q} Q | \Om \ket \, = \,     \bra \Om | ( \bar{u} u + \bar{d} d + \bar{s} s )  | \Om \ket     \tag{14.107} \]

で与えられる。この秩序変数はクォーク凝縮と呼ばれる。このクォーク凝縮がゼロでないこと、すなわち、$\bra \Om | \overline{Q} Q | \Om \ket \ne 0$ となることは実験的な事実である。（この現象は強い相互作用の閉じ込め効果から生じると考察できるが、理論的にはまだ証明されていない。）よって、14.1節の定義からQCDエネルギー・スケールにおいてカイラル対称性は自発的に破れることが分かる。

　カイラル演算子 $Q_L$, $Q_R$ を用いると複合演算子 $\overline{Q} Q$ は

\[    \overline{Q} Q \, = \,  \overline{Q}_L Q_R \, + \, \overline{Q}_R Q_L     \tag{14.108} \]

と表せる。カイラル変換のもとでこれは

\[    \overline{Q} '   Q '  \, = \, \overline{Q}_L U_L^\dag U_R  Q_R  \, + \, \overline{Q}_R U_R^\dag U_L Q_L     \tag{14.109} \]

と変換する。ただし、式(14.106)および $\overline{Q}_L ' = \overline{Q}_L U_L^\dag$, $\overline{Q}_R ' = \overline{Q}_R U_R^\dag$ を用いた。明らかに、クォーク凝縮(14.107)はカイラル対称性の $U_L = U_R$ 部分群による変換のもとで不変である。つまり、基底状態の期待値(14.107)の等方部分群はこの $U_L = U_R$ 部分群で与えられる。ここで、$U_V = U_L = U_R $ を $U(3)_V$ 群の $3 \times 3$ 行列要素とする。この $U(3)_V$ は

\[ Q \rightarrow Q^{\prime} = U Q \, , ~~~ \overline{Q} \rightarrow \overline{Q}^{\prime} = \overline{Q} U^\dag  \tag{5.3} \]

のユニタリー行列 $U$ すなわち軽クォーク $( u, s, d )$ の間のフレーバー対称性に対応する。このフレーバー対称性は軽クォークの質量が同じである場合に保存する。$U(1)$ 部分を分離すると

\[    U(3)_V \, \sim \,  SU(3)_V \times U(1)_V    \tag{14.110} \]

と書ける。ただし、$SU(3)_V$ はゲルマンとネーマンにより独立に提唱されたクォーク模型の $SU(3)$ 群を表す。定義より、$U(1)_V$ 電荷は $Q_L$, $Q_R$ 共に同一であり、$Q$ の電荷に対応する。クォークの電荷は $\theta_V / 3$ で表せる分数で与えられることに注意しよう。この $U(1)_V$ 群はバリオン数を与える。同様に、カイラル対称性の $U(1)$ 部分を分離すると

\[\begin{eqnarray}     U_{L} (3) \times  U_{R} (3) & \sim & SU(3)_L \times SU(3)_R \times U(1)_L \times U(1)_R     \nonumber \\     & \sim & SU(3)_L \times SU(3)_R \times U(1)_V \times U(1)_A    \tag{14.111} \end{eqnarray}\]

となる。ここで、$U(1)_V$, $U(1)_A$ は $U(1)_L$, $U(1)_R$ の線形結合として求まるが、その組み合わせは $U(1)_A$ 電荷が $Q_L$ と $Q_R$ に対してそれぞれ反対の符号を持つように選ばれる。すなわち、$U(1)_A$ パリティのもとで奇であり対称性は軸性ベクトル型である。一方、$U(1)_V$ はパリティのもとで偶であり対称性はベクトル型である。$U(1)_L$, $U(1)_R$ ではなく $U(1)_V$, $U(1)_A$ を用いる理由の１つは、QCDを含むベクトル型のゲージ理論においてベクトル型の対称性は自発的に破れないというヴァッファとウィッテンによる定理の存在である。これより、カイラル対称性の自発的破れは $SU(3)_V \times U(1)_V$ よりも小さな部分群に破れることはない。また、$U(1)_A$ 対称性はグルーオン場の量子アノマリーによって自明的に破れる。よって、フレーバー・カイラル対称性の自発的な破れに関わるコセット空間は

\[    \frac{SU (3)_{L} \times  SU (3)_{R} \times U(1)_V }{SU (3)_{V} \times U(1)_V} \sim  SU(3)     \tag{14.112} \]

と表せる。

　$U(1)_V$ 部分を省略するとフレーバー・カイラル対称性の自発的な破れは

\[    G = SU_{L} (3) \times  SU_{R} (3)    \, \longrightarrow \,    H= SU_{V} (3)  \tag{14.113} \]

と書ける。この場合、南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー有効ラグランジアン(14.102)は、$SU(3)$ 群のカルタン-キリング計量

\[    ds^2 \, = \, - 2 \, \Tr \left( U^\dag d U \,  U^\dag d U \right)    \tag{14.114} \]

を用いて表せる。ただし、$U = \exp ( i t^a \phi^a )$  $(a = 1,2, \cdots , 8 )$ は $SU(3)$ の行列要素である。生成子 $t^a$ はゲルマン行列 $\la^a$ を用いて $t^a = \frac{\la^a}{2}$ と表せる。元々のカイラル対称性は完全でないので、ここでの南部-ゴールドストン粒子は実際には（QCDエネルギー・スケールでは無視できる）質量を持つことに注意しよう。この意味で、これらのボース粒子は擬・南部-ゴールドストン粒子と呼ばれる。

　破れない対称性はパリティが奇なので、これらの擬・南部-ゴールドストン粒子は擬スカラー8重項メソン $\pi^{\pm}$, $\pi^0$, $K^0$, $\overline{K^0}$, $K^+$, $K^-$, $\eta$ を記述できる。これらの8重項メソンの質量は5.4節で紹介したように下表の通りである。

\[ \begin{array}{|c | c | c|  c|  c|  c |} \hline &\mbox{スピン-0}&\mbox{質量}& \mbox{スピン-1}& \mbox{質量} & \mbox{クォーク構成}\\ && \mbox{(MeV)} && \mbox{(MeV)} &\\ \hline \mbox{1重項}& \eta^\prime & 958& \omega &783&  (u {\bar u} + d {\bar d} + s {\bar s})/\sqrt{3} \\ \hline & \pi^0 & 135& \rho^0 &775& (u {\bar u} - d {\bar d} )/\sqrt{2} \\ & \pi^+ &140& \rho^+ &775& u {\bar d} \\ & \pi^- &140& \rho^- &775& d {\bar u} \\ \mbox{8重項} & K^+ &494& K^{*+} &892& u {\bar s} \\ & K^- &494& K^{*-} &892& s {\bar u} \\ & K^0 &498& K^{*0} &896& d {\bar s} \\ & {\bar K}^0 &498& {\bar K}^{*0} &896& s {\bar d} \\ & \eta &548& \varphi &1019& ( u {\bar u} + d {\bar d} - 2 \,s {\bar s})/\sqrt{6} \\ \hline \end{array} \]

パイ中間子の質量 (135-140 MeV) は約１GeV のQCDエネルギー・スケールに比べて十分小さいことが確認できる。その他の擬スカラー・メソンはストレンジ・クォーク $(m_s \gg m_u \approx m_d)$ を構成要素に持つのでより重い質量 (494-548 MeV) をもつ。最重量のメソン $\eta$ (548 MeV) は実際には $SU(3)$ 一重項の擬スカラー・メソンとの混合による寄与を含む。これは、擬・南部-ゴールドストン粒子 $\phi^8$ と $U(1)$ 部分の擬・南部-ゴールドストン粒子 $\phi^0$ との混合から生じる。もう一方の混合成分は $\eta^\prime$ (958 MeV) で与えられる。$\eta$ と $\eta^\prime$ の質量差は $U(1)_A$ 問題と呼ばれる。前述の通り、この問題はグルーオン場による量子アノマリーによって説明できるがここでは議論しない。（$U(1)_A$ 対称性は量子アノマリーにより離散的な部分群 ${\bf Z}_6$ に明示的に破れることが知られている。）有効ラグランジアン(14.102)を $SU(3)$ 計量(14.114)に適用すると、擬スカラー・8重項メソンの低エネルギー有効ラグランジアン

\[\begin{eqnarray}     \L_{\rm eff} & = & - f^{2} \, \Tr ( U^\dag \d_\mu U \, U^\dag \d_\mu U )    \, = \, f^{2} \, \Tr ( \d_\mu U^\dag \d_\mu U )    \nonumber \\    &=& \frac{f^2}{2} \, \d_\mu \phi^a  \, \d_\mu \phi^a \, + \, \O (\phi^3 ) \tag{14.115} \end{eqnarray}\]

を構成できる。ただし、$f$ は定数であり、高次の項 $\O ( \phi^3 )$ は南部-ゴールドストン粒子間の相互作用を表す。

トランプ大統領の国連演説を聞いてみる

 あまりニュースになっていないようですが、凄い発言のオンパレード。ここまでぶっちゃけてくれると清々しい。こんな政治家いままでにいた？！ 政策ではなく政局争いばかりしている日本の政治家に見習ってほしい。アメリカの大統領が方向性を示しているのだから日本としてはやり易いはず。今の自民党ではたとえ高市さんが総理になっても難しいか。

14. 自発的対称性の破れ vol.5

前回はコセット空間について解説した。今回は南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー有効理論のラグランジアンがコセット空間の計量テンソルを用いて表せることを示す。

南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー動力学に関する定理

　14.3節で議論した $O(N)$ スカラー理論の有効ハミルトニアンは

\[\begin{eqnarray}    \H_{\rm eff} &=&     - \frac{v^2}{2} \int d^3 x  \left(    R^{-1} \dot{R} R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R \, R^{-1} \nabla R \right)_{\! N \! N}     \nonumber \\    &=&    - \frac{v^2}{2} \int d^3 x   ~ \Tr \left[    \left(   R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R \, R^{-1} \nabla R   \right) W    \right]    \tag{14.68} \end{eqnarray}\]

で与えられた。 $\H_{\rm eff} = \int \ep (R ) d^3 x $ とおき、被積分関数（ハミルトニアン密度）を書き出すと

\[\begin{eqnarray}     \ep ( R ) & = & - \frac{v^2}{2} \Tr     \left(   R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R   \right) W    \nonumber \\    &=&    - \frac{v^2}{2} \left(    R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R \right)_{\! N \! N}     \tag{14.99} \end{eqnarray}\]

となる。ただし、$R$ は群 $G=O(N)$ の $N \times N$ 行列要素であり、$W$ は $N \times N$ 行列

\[  W \, = \,    \left(      \begin{array}{cccc}        0 & \cdots & 0 & 0 \\        \vdots & \ddots &   \vdots & \vdots \\        0 & \cdots & 0 & 0 \\        0 & \cdots & 0 & 1 \\      \end{array}    \right)   \tag{14.69} \]

で定義される。14.3節の(14.73)で示したように $\ep ( R )$ は条件式 $\ep ( R h ) = \ep ( R )$ を満たす。ただし、$h$ は小群（あるいは等方部分群）$H = O(N-1)$ の要素を表す。$\ep (R)$ の $W$ によりフレーム場１形式 $R^{-1} d R = i t^a E^a_i \th^i + i S^\al E^\al_\imath \th^\imath$ から $S^\al$ 部分が取り出される。ただし、添え字は $a, i = 1,2, \cdots, {\rm dim} H$ と $\al, \imath = 1,2, \cdots , {\rm dim}G - {\rm dim}H$ で指定される。これは $\ep (R )$ がコセット空間 $G/H = O(N)/O(N-1) = S^{N-1}$ 上の計量 $ds^2 = G_{\imath \jmath} ( \th ) d \th^\imath d \th^\jmath$ を用いて表せることを意味する。規格化 $\Tr ( S^\al S^\bt )  = \frac{1}{2}$ を用いると、$\ep (R )$ は

\[    \ep (R ) \, = \, \frac{v^2}{4} G_{\imath \jmath} \left( \dot{\th}^\imath \dot{\th}^\jmath + \nabla \th^\imath \nabla \th^\jmath \right)    \tag{14.100} \]

で与えられることが分かる。実際、より一般に、以下に示す南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー動力学に関する定理が存在する。

連続的な対称性 $G$ が部分群 $H \subset G$ に自発的に破れる場合（$H$ は基底状態の期待値 $\bra \Om | \phi | \Om \ket$ の小群に当たる）、次の２つが成り立つ。

１．${\rm dim} G - {\rm dim} H$ 個の質量ゼロの粒子（あるいは質量ギャップがゼロの励起）が存在する。これらは南部-ゴールドストン粒子（あるいは南部-ゴールドストン・モード）と呼ばれる。

２．南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー動力学は有効ハミルトニアン

 \[     \H_{\rm eff} \,  = \,  \frac{f^2}{2}  \int d^3 x  \left( G_{\imath \jmath} (\th ) \dot{\th}^\imath \dot{\th}^\jmath    + G_{\imath \jmath} (\th ) \nabla \th^\imath \nabla \th^\jmath  \right)   \tag{14.101}  \]

で与えられる。ただし、$ G_{\imath \jmath} ( \th ) d \th^\imath d \th^\jmath$ はコセット空間 $G/H$ の計量を表す。$\H_{\rm eff}$ に対応する有効ラグランジアンは\[\begin{eqnarray}      \L_{\rm eff} & = &    \frac{f^2}{2}  \left( G_{\imath \jmath} (\th ) \dot{\th}^\imath \dot{\th}^\jmath    - G_{\imath \jmath} (\th ) \nabla \th^\imath \nabla \th^\jmath  \right) \nonumber \\    &=&    \frac{f^2}{2}  \, G_{\imath \jmath} (\th ) \, \d_\mu \th^\imath \d_\mu \th^\jmath  \tag{14.102} \end{eqnarray}\]

と表せる。

ここで、係数 $f$ は古典的な基底状態の解、つまり元々のハミルトニアンの極小化から求まる。$O(N)$ 理論のハミルトニアン
\[ \H \, = \, \int d^3 x \left[ \hf \dot{\phi}_i \dot{\phi}_i + \hf (\nabla \phi_i )(\nabla \phi_i ) + \la (\phi_i \phi_i )^2 + \frac{\si}{2} (\phi_i \phi_i ) \right] ~~~~~ ( \si < 0 < \la ) \tag{14.29}\]
の場合、この係数は $f = \sqrt{\frac{|\si |}{8 \la}}$ で与えられる。

例１: ハイゼンベルク強磁性体とスピン波

　この章の最初で議論したように自発的対称性の破れの簡単な例は強磁性体のハイゼンベルク模型で与えられる。この模型では転移温度 $T_c$ が存在し、この温度より低温では回転対称性の自発的な破れ $O(3)  \rightarrow  O(2)$ が起こり、ゼロでない磁化が発生する。関連するコセット空間は $O(3)/O(2) = S^2$ であり、スピン波と呼ばれる２つの南部-ゴールドストン・モードが現れる。

14. 自発的対称性の破れ vol.4

 14.4 コセット空間と低エネルギー有効理論

コンパクト・リー群 $G$ とその部分群 $H \subset G$ を考える。12.2節で議論したように、$G$ は微分可能なリーマン多様体であると見做せる。群の要素 $g \in G$ は多様体の点座標に対応する。ここで、部分群の要素 $h \in H$ として、点 $g$ を $gh$ を同等とみなす。すなわち、多様体 $G$ 上に同値性 $g \sim gh$ を課す。これにより、コセット多様体と呼ばれるより小さな多様体 $G/H$ が導かれる。$G/H$ の次元は

\[ {\rm dim} \, G/H \, = \, {\rm dim} G - {\rm dim} H  \tag{14.75} \]

で与えられる。14.2節で出た生成子（リー代数の要素）についての記号

\[    T^A \, = \, \left\{    \begin{array}{l}      t^a \, \in \underline{H}  \\      S^{\al} \in \underline{G} - \underline{H}     \end{array}    \right.    \tag{14.37} \]

を用いると、$G$ と $H$ の要素は原点 $( \th^A = 0 )$ の近傍でそれぞれ $g \approx 1 + i T^A \th^A$, $h \approx 1 - i t^a \th^a$ と表せる。よって、要素 $gh$ は $gh \approx 1 + i T^A \th^A - i t^a  \th^a$ とパラメータ表示できる。これはコセット空間の次元が ${\rm dim} ( T^A - t^a )  = {\rm dim} S^\al$ であることを示しており、(14.75)に一致する。

　$G/H$ 空間の関数は $f(gh) = f(g)$ に従う。すなわち、$G/H$ 上の関数は $H$ 変換のもとで不変な $G$ 上の関数で与えられる。13.1節で解説したように、ピーター-ワイルの定理によると、コンパクト・リー群 $G$ 上の関数は完全系を成す。これは、$G/H$ 上の関数にも当てはまる。このようなコセット空間上の関数について詳しくは、数学の表現論の分野において Harish-Chandra, Gelfand, Vilenkin, Naimark らによって研究された。

G/H 空間の計量

　コンパクト・リー群 $G$ 上のカルタン-キリング計量については12.2節で定義した。ここではまずこの計量について復習してから $G/H$ 空間上の計量を考える。群 $G$ の要素 $g$ は

\[    g ( \th ) \, = \,  \exp ( i T^A \th^A )    \tag{14.76} \]

とパラメータ表示される。ただし、$T^A$ は $G$ の生成子であり、$\th^A$ $(A = 1, 2, \cdots , {\rm dim } G )$ は連続バラメータを表す。生成子は規格化条件

\[    \Tr ( T^A T^B ) \, = \, \frac{1}{2} \del^{AB}     \tag{14.77} \]

に従う。$G$ のフレーム場１形式は

\[    g^{-1} d g  \, = \,  iT^A E^A_I ( \th ) d \th^I    \tag{14.78} \]

で定義される。ただし、$E^A_I ( \th )$ $(A, I = 1, 2, \cdots , {\rm dim } G )$ は $G$ 上のフレーム場を表す。このフレーム場はパラメータ表示(14.76)から計算できる。例えば、12.2節では $SU(2)$ 群のフレーム場は２つの異なるパラーメータ表示を用いて

\[    E^m_l ( \th ) \, \simeq \, \del^m_l - \hf  \ep^{m}_{~ \, lk} \, \th^k     \tag{12.18} \]

\[  E^i_k (a, b) \, = \, 2 \left(   \del^i_k \, a + \frac{b^i b_k }{a} + \ep^{i}_{\, jk} \, b_k     \right) \tag{12.24} \]

と求まった。$G$ 上のカルタン-キリング計量 $ds^2$ は

\[    ds^2 \, = \, -2 \Tr ( g^{-1} d g \, g^{-1} d g ) \, = \, E^A_I E^A_J  \, d \th^I d \th^J     \, = \, G_{IJ} (\th )  d \th^I d \th^J     \tag{14.79} \]

と定義される。ただし、$E_A^I$ は $G$ 上のフレーム場であり、$G_{IJ} = E^A_I E^A_J$ は $G$ 上の計量テンソル である。

　$G$ がユニタリー群である場合 (あるいはより一般に複素構造を持つとき) 、フレーム場の積は $E^{* A}_{I} E^A_J = E^{\bar{A}}_{\bar{I}} E^A_J = G_{\bar{I} J}$ と表せる。このとき、対応する$G$ 上の計量は

\[    ds^2 \, = \, E^{\bar{A}}_{\bar{I}} E^A_J  \, d \th^{\bar{I}} d \th^J    \, = \, G_{\bar{I} J} (\th ) d \th^{\bar{I}} d \th^J    \tag{14.80} \]

と書ける。

　式(14.37)に従って、生成子 $T^A$ を $t^a \in \underline{H}$ と $S^\al \in \underline{G} - \underline{H}$ に分解すると $g^{-1} d g$ は

\[    g^{-1} d g \, = \,   i t^a E^a_i d \th^i + i S^\al E^\al_\imath  d \th^\imath    \tag{14.81} \]

と表せる。規格化 $\Tr (S^\al S^\bt ) = \frac{1}{2} \del^{\al\bt}$ を用いると、フレーム場の $S^\al$ 部分は

\[    E^\al_\imath  d \th^\imath \, = \, - i 2 \Tr ( S^\al g^{-1} d g ) \, \equiv \, E^\al_\imath (g ) d \th^\imath    \tag{14.82} \]

と分離できる。ただし、$E^\al_\imath (g )d \th^\imath $ は $E^\al_\imath  d \th^\imath$ が $g^{-1} d g$ の関数であることを示す。変換 $g \rightarrow gh$  $( h \in H )$ のもとでフレーム場１形式 $g^{-1} d g$ は

\[    g^{-1} d g  \, \rightarrow \,    h^{-1} g^{-1} d ( gh ) \, = \,   h^{-1} g^{-1} d g \, h \,  + \, h^{-1} d h     \tag{14.83} \]

と変化する。このとき、$E^\al_\imath (g ) d \th^\imath$ の変換は

\[\begin{eqnarray}        E^\al_\imath ( g ) d \th^\imath  \, \rightarrow  \, E^\al_\imath ( gh ) d \th^\imath  & = & - i2 \Tr ( S^\al h^{-1} g^{-1} d g \, h )    - i2 \Tr ( S^\al  h^{-1} d h )   \nonumber \\    &=&    -i2 \, \D^{\al\bt} (h) \, \Tr ( S^\bt g^{-1} d g )    \nonumber \\    &=&    \D^{\al\bt} (h) \, E^\bt_\imath (g) d \th^\imath \tag{14.84} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、関係式 $h^{-1} d h = i t^a E^a_i d \th^i$ と $\Tr ( S^\al t^a ) = 0$ を用いた。$\D^{\al \bt} (h)$ は $S^\al$ の随伴表現を表し、 

\[    h \, S^\al \, h^{-1} \, = \, \D^{\al\bt} (h) \, S^\bt   \tag{14.85} \]

で定義される。14.2節で考えたように $H$ を直交群と仮定すると、$\D^{\al \bt}(h)$ は直交性関係

\[ \D^{\al\bt} (h) \D^{\al \ga} ( h) \, = \, \D^{\bt\al} (h^T ) \D^{\al \ga} ( h)  \, = \,  \D^{\bt \ga} (h^T h ) \, = \, \del^{\bt \ga}      \tag{14.86}  \]

を満たす。ただし、$h^T = h^{-1}$ である。よって、$G/H$ 空間上の計量は 

\[\begin{eqnarray}    d s^2 &=&    E^\al_\imath (g ) E^\al_\jmath (g) \, d \th^\imath d \th^\jmath    \nonumber \\    &=&    E^\al_\imath (gh ) E^\al_\jmath (gh ) \,d \th^\imath d \th^\jmath    \tag{14.87} \end{eqnarray}\]

と定義できる。明らかにこれは $g \rightarrow g h$ 変換のもとで不変である。

　$H$ がユニタリー群の場合、$h^\dag = (h^{*})^{T} = h^{-1}$ であるので直交性関係(14.86)は

\[    \D^{* \al\bt} (h) \D^{\al \ga} ( h) \, = \,  \D^{\bt\al} (h^\dag ) \D^{\al \ga} ( h)     \, = \, \D^{\bt \ga} (h^\dag h ) \, = \, \del^{\bt \ga}    \tag{14.88}  \]

と書き換えられることに注意しよう。このとき、$G/H$ 上の計量は

\[ ds^2 \, = \,  E^{\bar{\al}}_{\bar{\imath}} E^\al_\jmath \, d \th^{\bar{\imath}} d \th^\jmath
  \, = \, G_{\bar{\imath} \jmath} ( \th ) \, d \th^{\bar{\imath}} d \th^\jmath \tag{14.89}  \]

と表せる。これは計量(14.80)のコセット空間版に対応する。

14. 自発的対称性の破れ vol.3

 14.3 南部-ゴールドストン粒子の動力学

この節では前回に引き続き $O(N)$ 対称性の自発的破れを例に南部-ゴールドストン粒子の動力学を考える。前回と同じくハミルトニアン

\[    \H \, = \, \int d^3 x \left[   \frac{1}{2} \dot{\phi}^2 + \frac{1}{2} (\nabla \phi )^2 + V (\phi_i \phi_i )    \right]   \tag{14.56}\]

を持つ実ベクトル場 $\phi_i$ $(i = 1,2, \cdots, N)$ の理論を採用する。ここで、ポテンシャル項は

\[    V ( \phi_i \phi_i )    \, = \,    \la (\phi_i \phi_i )^2 + \frac{\si}{2} \phi_i \phi_i    ~~~~~~ ( \si < 0 < \la ) \tag{14.41} \]

で定義される。ポテンシャルの極小は

\[    \phi_i \phi_i \, = \, v^2     \tag{14.57} \]

で与えられる。ただし、$v =  \sqrt{\frac{|\si |}{4 \la}}$ である。よって、古典的な基底状態の解の1つとして

\[    \phi^{(0)} \, = \, \left( 0,  \cdots , 0, v \right)^T     \tag{14.58} \]

を選択できる。ハミルトニアンは $O(N)$ 群の変換 $\phi_i \rightarrow R_{ij} \phi_j$ のもとで不変である。ただし、$R_{ij}$ は直交関係 $R_{ij} R_{ik} = \del_{jk}$ を満たす。$R_{ij}$ は $O(N)$ 群の $N \times N$ 行列要素を表す。$\phi^{(0)}$ の等方部分群あるいは小群は $O(N-1)$ で与えられる。$R_{ij} \phi^{(0)}_{j} = \phi^{(0)}_{i}$ を満たす全ての $R_{ij}$ の集合に注目すると、そのような $R_{ij}$ の自由度は ${\rm dim} \left[ O(N) \right] - {\rm dim} \left[ O(N-1) \right] = N-1$ である。前節で議論したように、各自由度について南部-ゴールドストン粒子（あるいは南部-ゴールドストン・モード）が存在する。

　前節では実ベクトル場 $\phi_i = \phi^{(0)}_{i} + \eta_i$ をハミルトニアン(14.56)に代入して、南部-ゴールドストン・モードの動力学を $O(N)$ 群の生成子を用いて議論した。しかし、今節では先ず $\phi^{(0)}$ のゼロでない成分のみの摂動を考える。

\[    \chi \, = \,   ( 0 , \cdots , 0 , v + \rho (x) )^T     \tag{14.59} \]

ただし、$\rho (x)$ は実スカラー場である。そして $\chi_i$ の $O(N)$ 変換を古典的な基底状態 $\phi^{(0)}$ の周りの揺らぎと見做す。つまり、

\[    \phi_i \,  = \, R_{ij} (x) \, \chi_j     \tag{14.60}  \]

とおく。ただし、$R_{ij} (x)$ は時空間座標に依存する $O(N)$ 群の要素である。$\chi$ の小群も $O(N-1)$ なので、$R_{ij} (x)$ のうち独立な場の数は $N-1$ である。$\rho ( x)$ も含めると(14.60)の揺らぎの場 $\phi_i$ $(i = 1,2, \cdots ,N)$ は確かに $N$ 個の実スカラー場で記述されることが分かる。このパラメータ表示を用いると $O(N)$ 群の生成子を持ち出さなくても $N-1$ 個の南部-ゴールドストン粒子を記述できることに注意しよう。

　つぎに、(14.60)の揺らぎの場 $\phi_i$ をハミルトニアン(14.56)に代入する。$\phi_i$ は列ベクトルであるので、その2乗は

\[    \phi_i \phi_i \, = \, ( R_{ij} \chi_j )^T \, R_{ik} \chi_k \, = \,     \chi_j^T ( R^T R )_{jk} \chi_k \, = \, ( v + \rho )^2    \tag{14.61}  \]

と計算できる。ただし、直交関係 $( R^T R )_{jk} = \del_{jk}$ と $\chi_i = \del_{iN} (v + \rho )$ を用いた。これはポテンシャル項 $V ( \phi_i \phi_i )$ が $R_{ij} (x)$ に依らないことを示す。$\dot{\phi} = \dot{R} \chi + R \dot{\chi}  =  R ( R^{-1} \dot{R} \chi + \dot{\chi} )$ の2乗は次のように計算できる。

\[\begin{eqnarray}    \dot{\phi}^2 &=&     ( R^{-1} \dot{R} \chi + \dot{\chi} )^T R^T R \, ( R^{-1} \dot{R} \chi + \dot{\chi} )    \nonumber \\    &=&    ( \chi^T ( R^{-1} \dot{R} )^T + \dot{\chi}^T ) ( R^{-1} \dot{R} \chi + \dot{\chi} )    \nonumber \\    &=&        \chi^{T} ( R^{-1} \dot{R} )^{T} R^{-1} \dot{R}  \chi  +  \chi^{T}  R^{-1} \dot{R}  \dot{\chi}    + \dot{\chi}^T  R^{-1} \dot{R}  \chi   +    \dot{\chi}^T \dot{\chi}    \nonumber \\    &=&    \chi^{T} ( R^{-1} \dot{R} )^{T} R^{-1} \dot{R}  \chi  + 2 \dot{\rho} (v+ \rho ) (R^{-1} \dot{R} )_{\! N \! N} + \dot{\rho}^2   \tag{14.62} \end{eqnarray}\]

ただし、$ R^T R  = {\bf 1}$ と $\dot{\chi}_i = \del_{i  N} \, \dot{\rho}$ を用いた。ここで、$R^{-1} \dot{R}$ の反対称性関係

\[    (R^{-1} \dot{R})^T \, = \, \dot{R}^T R^{-1 \, T}    \, = \, \dot{R}^{-1} R \, = \, - R^{-1} \dot{R}   \tag{14.63} \]

に注意する。これより明らかに $(R^{-1} \dot{R} )_{\! N \! N} = 0$ である。よって、$\dot{\phi}^2 $ は

\[    \dot{\phi}^2 \, = \, - \chi^{T} ( R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R} )  \chi  + \dot{\rho}^2   \tag{14.64} \]

と表せる。同様に、$ ( \nabla \phi )^2 $ は

\[    ( \nabla \phi )^2 \, = \, - \chi^{T} \left( R^{-1} \nabla R ~  R^{-1} \nabla R \right)  \chi  + ( \nabla \rho )^2   \tag{14.65} \]

と計算できる。したがって、(14.60)を(14.56)に代入するとハミルトニアンは

\[\begin{eqnarray}    \H    &=&     \int d^3 x    \left( \frac{1}{2}\dot{\rho}^2  + \frac{1}{2} ( \nabla \rho )^2  + V ( (v + \rho )^2 ) \right.    \nonumber \\    &&    ~~~   \left.  -  \frac{1}{2} \chi^T ( R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R} ) \chi    -  \frac{1}{2} \chi^T ( R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R ) \chi \right)    \tag{14.66} \end{eqnarray}\]

と表せる。ポテンシャル項 $V$ は実スカラー場 $\rho (x)$ の汎関数であり、一般にこれは $\rho (x)$ の質量項を与える。一方、$R (x)$ は質量項をもたず、$(N-1)$ 個の南部-ゴールドストン粒子を表す。これらの南部-ゴールドストン粒子の動力学はハミルトニアン(14.66)の $R$ 部分

\[\begin{eqnarray}     \H_{R}  &= & - \frac{1}{2} \int d^3 x    ~ \chi^T \left(    R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R \right) \chi    \nonumber \\    &=& - \frac{1}{2} \int d^3 x ~ ( v + \rho )^2 \left(    R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R \right)_{\! N \! N}  \tag{14.67}  \end{eqnarray}\]

で与えられる。ただし、$\chi$ の具体的なパラメータ表示(14.59)を用いた。$\rho$ の質量が無限小となる低エネルギー・スケールでは $\rho$ と $R$ の相互作用項を含む $\rho$ に依存する項は無視できる。よって、南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー有効理論はハミルトニアン

\[\begin{eqnarray}    \H_{\rm eff} &=&     - \frac{v^2}{2} \int d^3 x  \left(    R^{-1} \dot{R} R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R \, R^{-1} \nabla R \right)_{\! N \! N}     \nonumber \\    &=&    - \frac{v^2}{2} \int d^3 x   ~ \Tr \left[    \left(   R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R \, R^{-1} \nabla R   \right) W    \right]    \tag{14.68} \end{eqnarray}\]

で記述される。ただし、$R$ は $O(N)$ 群の $N \times N$ 行列要素を表し、$W$ は $N \times N$ 行列

\[  W \, = \,    \left(      \begin{array}{cccc}        0 & \cdots & 0 & 0 \\        \vdots & \ddots &   \vdots & \vdots \\        0 & \cdots & 0 & 0 \\        0 & \cdots & 0 & 1 \\      \end{array}    \right)   \tag{14.69} \]

で与えられる。

　$\rho$ に関する項を無視するのは古典的には正しいが、量子論では一般的に正しくない。例えば、たとえ低エネルギー近似であっても質量を持つ $\rho$ 粒子による真空の揺らぎを無視できない。このような量子補正は基底状態の期待値 $v$ を再定義する（繰り込む）ことで対応できる。実際、南部-ゴールドストン粒子の動力学に関して次の定理が存在する。

式(14.68)のハミルトニアン $\H_{\rm eff}$ は、全ての量子論的な相互作用も含めた低エネルギー有効ハミルトニアンである。

（この定理の証明には量子論における相関関数の大域対称性を記述するウォード-高橋恒等式が用いられる。）

日航123便の話

 以前にこちらで触れましたが、物理学者による興味深い話があったので動画だけ紹介。（いつ消されるか分かりませんが。）

いままで見聞した中では一番説得力がありました。さすがに圧力隔壁の破損だけではないだろうし、自衛隊が証拠隠滅したとかもおかしいと思っていたのでなんとなくスッキリしました。真相は永遠に明かされないのでしょうか。

14. 自発的対称性の破れ vol.2

 14.2 ゴールドストンの定理

ゴールドストンの定理は以下の通り。

連続的な大域的対称性が自発的に破れると、運動量がゼロの極限 $( |\vec{p}| \rightarrow 0 )$ でエネルギーがゼロ $( \om_p \rightarrow 0 )$ となる状態が存在する。

相対論ではこの状態は質量ゼロの粒子に対応し、スピン-0 のスカラー粒子を記述する。この粒子は南部-ゴールドストン粒子と呼ばれる。ゴールドストンの定理は非相対論的な理論にも適用され、その場合、上記の状態は南部-ゴールドストン・モードと呼ばれる場の励起に対応する。南部-ゴールドストン粒子の動力学は群論の性質だけから導出できる。以下の節では、自発的対称性の破れの例を用いてゴールドストンの定理がどのように適用されるかを考える。

複素スカラー場

　まず、前回に引き続きハミルトニアン

\[    \H \, = \, \int d^3 x    \left[    | \dot{\phi} |^2 + |\nabla \phi |^2 + \la    \left(    |\phi |^2  - \frac{|\si |}{2 \la}    \right)^2    - \frac{|\si |^2}{4 \la}    \right]    ~~~~~ ( \si< 0 < \la )    \tag{14.14} \]

を持つ複素スカラー場 $\phi$ を取り上げる。$\phi$ の励起は

\[    \phi \, = \, \sqrt{\frac{|\si |}{2 \la}} \, e^{i \al}  + \, \eta ~    \tag{14.23} \]

と表せる。ただし、$\eta$ は $\bra \Om | \eta | \Om \ket = 0$ に従う複素スカラー場である。別のパラメータ表示を使うと $\phi$ は

\[    \phi (x) \, = \, e^{i \chi (x)} \left(    \sqrt{\frac{|\si |}{2 \la}} e^{i \al} + \rho (x)    \right)    \tag{14.24} \]

とも書ける。ただし、$\chi$ と $\rho$ は実スカラー場である。$\chi$ と $\rho$ の1次のオーダーで $\phi$ は

\[    \phi \, \approx \, \phi_0 + i \chi \phi_0 + \rho + \cdots    \tag{14.25} \]

と表せる。ただし、$\phi_0 = \sqrt{\frac{|\si |}{2 \la}} e^{i \al}$ である。条件式 $\bra \Om | \eta | \Om \ket = 0$ は1次のオーダーで $\bra \Om | \chi | \Om \ket = \bra \Om | \rho | \Om \ket = 0$ と置き換えられる。パラメータ表示(14.24)から $\dot{\phi}$ と $\nabla \phi$ は

\[\begin{eqnarray}    \dot{\phi} &=& e^{i \chi} \left[    \dot{\rho} + i \dot{\chi} ( \phi_0 + \rho )    \right]   \tag{14.26}\\    \nabla \phi &=& e^{i \chi} \left[    \nabla \rho + i \nabla \chi ( \phi_0 + \rho )    \right]     \tag{14.27} \end{eqnarray}\]

と計算できる。これより、ハミルトニアン(14.14)は

\[\begin{eqnarray}    \H &=& \int d^3 x \Biggl[    \dot{\rho}^2 + \dot{\chi}^2 | \phi_0 +\rho |^2    + (\nabla \rho )^2 + (\nabla \chi )^2 | \phi_0 +\rho |^2    \nonumber \\    &&    \hspace{4.5cm}    + \,  \la \left(  | \phi_0 + \rho |^2 - \frac{|\si |}{2\la}  \right)^2    - \frac{|\si |^2}{4 \la}    \Biggr]    \nonumber \\    &=&    \int d^3 x \Biggl[    \dot{\rho}^2 + ( \nabla \rho )^2 + m^2 \rho^2  + | \phi_0 |^2 ( \dot{\chi}^2 + (\nabla \chi )^2 )        + \O( \rho^3 )   -\la |\phi_0 |^4    \Biggr]    \tag{14.28} \end{eqnarray}\]

と書ける。ただし、$| \phi_0 + \rho |^2 = (\phi_0 + \rho )(\phi_0^* + \rho )$, $m^2 = \la (\phi_0 + \phi_0^* )^2 = 4 \la ( {\rm Re} \, \phi_0 )^2$ である。$\rho$ について3次以上の項 $\O (\rho^3 )$ を摂動的に扱うと $\rho$ は質量 $m > 0$ の粒子を表し、$\chi$ は質量ゼロの粒子を表すことが分かる。分散関係はそれぞれ $\om_p = \sqrt{p^2 + m^2}$, $\om_p = \sqrt{p^2}$ で与えられる。

　ハミルトニアン(14.28)のポテンシャル項は $\O(\rho^3 )$ と定数で与えられ、$\chi$ に依らない。これは、励起モードが $\rho$ ではなく $\chi$ で与えられることを意味する。よって、$U(1)$ 対称性 $\phi \rightarrow e^{i \th} \phi$ の自発的な破れの自然な帰着として質量ゼロ粒子が現れることが分かる。この励起モードは南部-ゴールドストン・モードと呼ばれる。また、ハミルトニアン(14.28)から $\chi$ の適当な規格化は $\chi \rightarrow | \phi_0 |^{-1} \chi$ で与えられることが分かる。ただし、$|\phi_0 | = \sqrt{\frac{| \si | }{2\la}} $ である。

O(N) 対称性の自発的破れ

　つぎに自発的対称性の破れのもう１つの例を考える。ハミルトニアン

\[    \H \, = \,    \int d^3 x \left[    \hf \dot{\phi}_i \dot{\phi}_i + \hf (\nabla \phi_i  )(\nabla \phi_i  )    + \la (\phi_i \phi_i )^2 + \frac{\si}{2} (\phi_i \phi_i )    \right]    \tag{14.29}\]

$( i = 1,2, \cdots , N )$ をもつ $N$ 次元の実ベクトル場 $\phi = ( \phi_1 , \phi_2 , \cdots , \phi_N )^T$ の理論を考える。明らかにハミルトニアンは変換

\[    \phi_i ~ \longrightarrow ~ R_{ij} \phi_j    \tag{14.30} \]

のもとで不変である。ただし、$ R_{ij}$ は直交関係

\[    R_{ij} R_{ik } \, = \, \del_{jk}    \tag{14.31} \]

を満たす。つまり、行列表現で $( R^{T} R )_{jk} = \del_{jk} = {\bf 1}$ と書ける。ただし、${\bf 1}$ は $N \times N$ 恒等行列である。つまり、$R$ は $O(N)$ 群の要素である。

　前回の例と同様にハミルトニアンが下限をもつためには $\la > 0$ が必要となる。よって、$\si$ の符号により次のように場合分けができる。

1. $\si > 0$ の場合、基底状態は $\phi_i = 0$ で与えられる。このとき期待値は $\bra \Om | \phi_i | \Om \ket = 0$ であり、自発的対称性の破れは起きない。
2. $\si < 0$ の場合、$\H$ のポテンシャル項は $\la \left( \phi_i \phi_i - \frac{|\si |}{4 \la} \right)^2 - \frac{|\si |^2}{16 \la}$ と表せる。よって、古典的な基底状態は $\phi_i \phi_i = \phi_1^2 + \phi_2^2 + \cdots + \phi_N^2 = \frac{| \si |}{4 \la}$ で与えられる。

後者の場合、基底状態の期待値として例えば

\[     \phi^{(0)} \, \equiv \,    \bra \Om | \phi | \Om \ket \, = \,    \left( 0,  \cdots , 0, \sqrt{\frac{|\si |}{4 \la}} \right)^T        \tag{14.32} \]

を選べる。ベクトル成分で表すと、$\phi^{(0)}_{1} =\phi^{(0)}_{2} =  \cdots = \phi^{(0)}_{N-1} = 0$, $\phi^{(0)}_{N} = \sqrt{\frac{|\si |}{4 \la}}$ と書ける。$\phi^{(0)}$ は対称性群 $O(N)$ の部分群 $O(N-1)$ の変換のもとで不変であることに注意する。このような部分群 $H \subset G$ を $\phi^{(0)}$ の等方部分群 (isotropy group) あるいは小群 (little group) と呼ぶ。いまの場合、$H = O(N-1)$, $G =O(N)$ である。$\phi^{(0)}$ の不変性は

\[    R_{ij} (h ) \phi^{(0)}_{j}    \, = \, \phi^{(0)}_{i}    \tag{14.33} \]

と表せる。ただし、$h \in H$ である。$O(N-1)$ 群による $\phi_i$ の変換は

\[    \phi_i ~ \longrightarrow ~ R_{ij} (h) \phi_j \, = \, h^{-1} \phi_i \, h     \tag{14.34} \]

で与えられる。よって、$h^{-1} \phi_i \, h$ の基底状態での期待値は

\[\begin{eqnarray}    \bra \Om | h^{-1} \phi_i  h | \Om \ket    &=&    R_{ij} (h ) \bra \Om | \phi_j | \Om \ket    \nonumber \\    &=&    R_{ij} (h ) \phi^{(0)}_{j}    \, = \, \phi^{(0)}_{i}    \, = \,    \bra \Om | \phi_i  | \Om \ket    \tag{14.35} \end{eqnarray}\]

と計算できる。これより直ちに関係式

\[    h | \Om \ket \, = \, | \Om \ket   \tag{14.36} \]

が得られる。よって、部分群 H の対称性は自発的に破れない。

　自発的対称性の破れは部分群 $H$ に属さない $G$ の要素による変換で与えられる。$O(N)$ 群の生成子（あるいは $O(N)$ 代数の要素）を $T^A$ で表す。ただし、$A = 1,2, \cdots, \frac{1}{2}N(N-1)$ である。物理状態の直交変換は群の要素 $R = \exp ( i T^A \th^A )$ の作用で実現される。生成子 $T^A$ は $t^a \in \underline{H}$ と $S^{\al} \in \underline{G} - \underline{H}$ に分解できる。ただし、$\underline{G}$, $\underline{H}$ はそれぞれ $O(N)$ 代数と $O(N-1)$ 代数を表す。

\[    T^A \, = \, \left\{    \begin{array}{l}      t^a \, \in \underline{H} ~~~~~~~~~~~~ a = 1,2, \cdots, \frac{1}{2}(N-1)(N-2)  \\      S^{\al} \in \underline{G} - \underline{H} ~~~~~  \al = 1,2, \cdots, N-1    \end{array}    \right.    \tag{14.37} \]

$S^\al$ の独立な要素の数は ${\rm dim} G - {\rm dim} H$ で与えられる。期待値 $\phi^{(0)}_{i}$ の不変性 (14.33) は無限小近似で

\[    ( {\bf 1} + i t^a \th^a )_{ij} \, \phi^{(0)}_{j} \, =  \, \phi^{(0)}_{i}      \tag{14.38} \]

と表せる。よって、$\phi^{(0)}$ への $t^a$ と $S^\al$ の作用は

\[    t^a  \phi^{(0)} \, = \, 0 \, , ~~~    S^\al  \phi^{(0)} \, \ne \, 0    \tag{14.39} \]

で与えられる。

　ここで、簡単のためハミルトニアン(14.29)を

\[    \H \, = \,    \int d^3 x \left[    \hf \dot{\phi}_i \dot{\phi}_i + \hf (\nabla \phi_i )(\nabla \phi_i )    + V( \phi_i \phi_i )    \right]    \tag{14.40} \]

と書く。ただし、$V ( \phi_i \phi_i )$ はポテンシャル項

\[    V ( \phi_i \phi_i )    \, = \,    \la (\phi_i \phi_i )^2 + \frac{\si}{2} \phi_i \phi_i     ~~~~~~ ( \si < 0 < \la ) \tag{14.41} \]

である。ハミルトニアンの極小化は

\[    \frac{\d V}{\d \phi_i}  \, = \, 0   \tag{14.42} \]

で与えられる。古典的な基底状態 $\phi^{(0)}$ は上式の解である。ポテンシャル項の $O(N)$ 変換のもとでの不変性は

\[    \del V \, = \, \frac{\d V}{\d \phi_i} \del \phi_i \, = \, 0  \tag{14.43} \]

と表せる。ここで、$\del \phi_i$ は $O(N)$ 変換による $\phi_i$ の変分

\[    \phi_i ~ \longrightarrow ~ \phi_i^\prime \, = \, R_{ij} \phi_i    \, \approx \, (\del_{ij} + i \th^A T^{A}_{ij} ) \phi_j   \tag{14.44} \]

である。無限小近似で $\del \phi_i = i \th^A T^{A}_{ij} \phi_j$ となるので、関係式(14.43)は

\[    \frac{\d V}{\d \phi_i} \, T^{A}_{ij} \, \phi_j  \, = \, 0     \tag{14.45} \]

と書ける。$\phi_k$ について微分をとると、

\[    \frac{\d^2 V}{ \d \phi_i \d \phi_k } \, T^{A}_{ij} \, \phi_j    \, + \,    \frac{\d V}{\d \phi_i} T^{A}_{ik} \, = \, 0    \tag{14.46} \]

となる。上式の全ての $\phi_i$ を $\frac{\d V}{\d \phi_i} = 0$ の解、すなわち $\phi_i = \phi_{i}^{(0)}$ とおくと、

\[    \left(    \frac{\d^2 V}{ \d \phi_i \d \phi_k }    \right)_{\phi^{(0)}}    T^{A}_{ij} \phi^{(0)}_{j} \, = \, 0    \tag{14.47} \]

を得る。古典的な基底状態 $\phi^{(0)}$ からの励起モード $\eta_i$ の動力学は実ベクトル場

\[    \phi_i = \phi^{(0)}_{i} + \eta_i    \tag{14.48} \]

をハミルトニアン(14.40)に代入して解析できる。$\phi_{i}^{(0)}$ の周りでの $V$ のテイラー展開を用いると、ハミルトニアンは

\[\begin{eqnarray}    \H & = & \int d^3 x \left[    \frac{1}{2} \dot{\phi}^2 + \frac{1}{2} (\nabla \phi )^2 + V (\phi_i \phi_i )    \right]    \nonumber \\    &=&  \int d^3 x \Biggl[    \frac{1}{2} \dot{\eta}^2 + \frac{1}{2} (\nabla \eta )^2 + V (\phi^{(0)}_{i} \phi^{(0)}_{i} )    \nonumber \\    && ~~~~~~~~~    +  \left(    \frac{\d V }{\d \phi_i}    \right)_{\phi^{(0)}} \! \eta_i    + \frac{1}{2} \left( \frac{\d^2 V}{ \d \phi_i \d \phi_k } \right)_{\phi^{(0)}} \! \eta_i \eta_k    + \O (\eta^3 )  \Biggr]      \nonumber \\    &=&  \int d^3 x \left[    \frac{1}{2} \dot{\eta}^2 +  \frac{1}{2}(\nabla \eta )^2     + \frac{1}{2} \M_{ik} \, \eta_i \eta_k    + \O (\eta^3 ) + \mbox{(const)} \right]    \tag{14.49} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、$\M_{ik}$ は

\[    \M_{ik} = \left( \frac{\d^2 V}{ \d \phi_i \d \phi_k } \right)_{\phi^{(0)}}   \tag{14.50} \]

で定義される。式(14.49)から $\M_{ik}$ の固有値は $\eta$ モードの質量 (あるいはギャップ) を与えることが分かる。$\M_{ik}$ を用いると関係式(14.47)は

\[    \M_{ik} \, \xi^A_i \, = \, 0    \tag{14.51} \]

と書ける。ただし、$\xi^A_i $ は

\[    \xi^A_i \, = \, T^{A}_{ij} \, \phi^{(0)}_{j}   \tag{14.52} \]

で定義される。よって、(14.37)と(14.39)から $\xi^A_i$ は $\xi^a_i = 0$ と $\xi^\al_i \ne 0$ に分解できる。

\[    T^A \, = \, \left\{    \begin{array}{cl}    t^a : &    t^a \phi^{(0)} = 0 ~ \rightarrow ~ \xi^a_i = 0 \\    S^\al : &  S^\al \phi^{(0)} \ne 0 ~ \rightarrow ~ \xi^\al_i \ne 0 \\    \end{array}    \right.   \tag{14.53} \]

関係式(14.51)と合わせると、後者の場合は $\M_{ik} = 0$ を得る。すなわち、$\xi^\al_i \ne 0$ の場合に質量ゼロの $\eta$ モードが現れる。

　以上の結果は次のようにまとめられる。

自発的対称性の破れ ($S^\al \phi^{(0)} \ne 0$) に対応する生成子 $S^\al$ のそれぞれについて、ゼロ・モード（質量ゼロ、ギャップ・ゼロ）となる励起モード $\eta$ が存在する。

これは、一般的な対称性群 $G$ とその等方部分群 $H$ にも適用できるので、一般化されたゴールドストンの定理と解釈できる。

関数のグラフ表示は GeoGebra が便利！

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GeoGebra

GeoGebra - Wikipedia

こんなのがあるとは知りませんでした。だいぶ前からあったようです。関数グラフと言えば gnuplot だと思っていましたが、GeoGebra なら中学生でも使えるし解析関数の理解に役立つこと間違いなし。先生方も問題作成が楽になりますね。

手塚治虫展

8月最終日に子供と手塚治虫展に行ってきました。

14. 自発的対称性の破れ vol.1

物理系は一般にハミルトニアン $\H$ で定義される。このハミルトニアンが対称性群 $G$ の生成子 $Q^a$ $( a = 1, 2, \cdots , \dim G )$ と交換可能な場合、すなわち $[ Q^a , \H ]=0$ のとき、ハミルトニアン $\H$ は対称性 $G$ をもつと言う。ハミルトニアン $\H$ に $Q^a$ と交換可能でない項が含まれる場合、この対称性は完全ではない。1.4節で述べたように系の物理状態は対称群 $G$ の既約表現で分類される。(各既約表現に属す物理状態は互いに縮退している。)　基底状態が対称性変換のもとで不変でないときこの対称性は自発的に破れる。すなわち、自発的対称性の破れは基底状態 $| \Om \ket$ が条件式

\[    Q^a \, | \Om \ket \, \ne \,  | \Om \ket     \tag{14.1} \]

を満たす場合に起きる。

14.1 自発的対称性の破れの例

強磁性体のハイゼンベルク模型

　自発的対称性の破れの典型的な例として強磁性体のハイゼンベルク模型がある。このハミルトニアンは

\[    \H \, = \, - \sum_{i,j} J_{ij} \, \vec{S}_i \cdot \vec{S}_j    \tag{14.2} \]

で与えられる。ただし、$i,j$ は格子点、$J_{ij}$ は結合係数、$\vec{S}_i = S^a_i$ ($a=1,2,3$) は格子点 $i$ でのスピン・ベクトルを表す。格子点の添え字について縮約を取るので、ハミルトニアンは完全な回転対称性を持つ。全スピン角運動量はスピン・ベクトルの和で

\[    L^a \, = \, \sum_i S^a_i     \tag{14.3} \]

と表せ、これは交換関係

\[    \left[ L^a , S^b_i \right] \, = \, i \ep^{abc} S^c_i     \tag{14.4} \]

を満たす。よって、

\[    \left[ L^a , \H \right] \, = \, 0     \tag{14.5} \]

と求まり、物理系が回転対称性を確かに持つことが分かる。強磁性体の基底状態は一定方向の磁化を持つので、基底状態は回転のもとで不変でない。つまり、条件式(14.1)は

\[    L^a \, | \Om \ket \, \ne \, | \Om \ket    \tag{14.6} \]

として実現される。ただし、$| \Om \ket$ は強磁性体の基底状態を表す。

　ここで、自発的対称性の破れはないものとし、基底状態は回転変換のもとで不変であると仮定して、回転群 $O(3)$ のテンソル演算子 $A_M$ の基底状態における期待値 $\bra \Om | A_M | \Om \ket$ を考えよう。群の要素は $ g = \exp ( i L^a \th^a )$ と表せる。ただし、$L^a$  $(a = 1,2,3)$ は角運動量演算子、$\th^a$ は実数パラメータである。上の仮定は関係式 $e^{i L^a \th^a } | \Om \ket = | \Om \ket$ を意味する。よって、期待値 $\bra \Om | A_M | \Om \ket$ は

\[\begin{eqnarray}    \bra \Om | A_M | \Om \ket    &=&    \bra \Om | e^{- i L \cdot \th} A_M \, e^{i L \cdot \th} | \Om \ket    \nonumber \\    &=&    \D_{MN}  (\th ) \,  \bra \Om | A_N | \Om \ket    \tag{14.7} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、$\D_{MN}  (\th)$ は $O(3)$ 群のウィグナー $\D$ 関数を表す。

\[    e^{- i L \cdot \th} A_M  \, e^{i L \cdot \th}    \, = \,    \D_{MN} (\th ) \, A_N     \tag{14.8} \]

13章で見たようにテンソル $A_M$ がベクトルであれば $\D_{MN}  (\th )$ は $O(3)$ 群の随伴表現に対応する。任意のパラメータ $\th$ に対して $\D_{MN} (\th ) \ne \del_{MN}$ であるので、関係式(14.7)から $\bra \Om | A_M | \Om \ket = 0$ となる。つまり、$| \Om \ket$ が対称性変換のもとで不変であるとの仮定から関係式 $\bra \Om | A_M | \Om \ket = 0$ を導ける。よって、対偶をとると条件式

\[    \bra \Om | A_M | \Om \ket \ne 0 ~~ \longrightarrow ~~    e^{i L \cdot \th } | \Om \ket \ne | \Om \ket     \tag{14.9} \]

が成り立つことが分かる。すなわち、期待値 $\bra \Om | A_M | \Om \ket$ がゼロでない場合に自発的対称性の破れが起きる。強磁性体では、基底状態で非自明な磁化をもつので磁束密度 (あるいは磁気モーメントの総和) の期待値はゼロでない。このような期待値を正しく評価するには、ハミルトニアンの極小化から基底状態 $| \Om \ket$ を求める必要がある。

Mathematical Review 129: 重力子散乱振幅 Amplituhedron-like 構成の試み

久しぶりに重力散乱振幅についての論文のレビュー依頼が来ました。前回のレビューはこちら。あまり進展してないなぁとの印象。それより、数ある重力子の MHV (maximally-helicity-violating) 振幅のうち何故に Hodges の式を使うのか良く分かりませんでした。が、そんなこと突っ込んでも仕方ないので著者の意向をくみ取ってレビューしました。こちらの通り。内容には踏み込まず背景知識の整理が大半を占めるというヒストリカルなレビューになってしまいました。数学の方にも是非、散乱振幅研究の歴史的な側面を知ってもらえればと思います。Amplituhedron では重力子散乱は上手くいかないというのは知りませんでした。私としては Amplituhedron でなくツイスター空間上のホロノミー形式による散乱振幅の研究を進めなきゃなあ。なんて思いながら実際最近は何も出来ていないことに慚愧の念が堪えません。

13. ウィグナーの $\D$ 関数とその応用 vol.10

13.3.3 Case-Gasiorowicz-Weinberg-Witten の定理

ケイス-ガシオロウィッツ-ワインバーグ-ウィッテン (Case-Gasiorowicz-Weinberg-Witten) の定理（ワインバーグ-ウィッテンの定理と呼ばれることが多い）はつぎの２つの主張から成る。

1. スピンが $> \hf$ となる質量ゼロの荷電粒子は存在しない。
2. スピンが $> 1$ となる質量ゼロの粒子のうち保存エネルギー・運動量テンソルを持つものは存在しない。

この Case-Gasiorowicz-Weinberg-Witten (CGWW) の定理は元々1960年代にケイスとガシオロウィッツによって示され、1980年代にワインバーグとウィッテンによって改めて示された。以下では、この定理を行列要素の選択則として簡単に証明する。

質量ゼロ１粒子状態とその規格化

　質量ゼロの粒子の４元運動量を $p^\mu = ( \om , \vec{p} )$ をとする。ただし、$p^0  = \om$ は $\om = |\vec{p}|$ の値をとる。また、４元電流密度 (４元カレント) を $J^\mu  = ( J^0 , \vec{J})$ とおく。ただし、$J^\mu$ は電荷の保存則 $\d_\mu J^\mu = 0$ を満たす。以下では、１粒子状態 $| p \ket$ と $| p^\prime \ket$ で挟まれた $J^\mu$ の行列要素 $\bra p^\prime | J^\mu | p \ket$ に注目する。そこで、まずこれらの１粒子状態について考える。$p$-積分のローレンツ不変な積分測度は

\[    d \mu (p ) \, = \, \frac{d^3 p}{( 2 \pi )^3 } \frac{1}{2 \om}     \tag{13.180} \]

と表せるので、状態 $| p \ket$ の完全性は

\[     \int | p \ket  \frac{d^3 p}{(2 \pi )^3} \frac{1}{2 \om} \bra p | \, = \, 1    \tag{13.181} \]

と書ける。このとき、状態の正規直交性は条件式

\[    \bra p^\prime | p \ket \, = \, (2 \pi )^3 \, 2 \om \, \del^{(3)} ( \vec{p}^{\, \prime}  - \vec{p} )    \tag{13.182} \]

と表せる。粒子が空間体積 $V= L^3$ の立方体の中にあるとみなし、計算の最終段階で$V \rightarrow \infty$ の極限をとるものとする。このとき、 空間座標の周期的境界条件から $\vec{p}$ は

\[    \vec{p} = \frac{2\pi \vec{n}}{L}    \tag{13.183}\]

と表せる。ただし、$\vec{n} = ( n_1 , n_2 , n_3 )$ であり、各成分 $n_i$ $(i=1,2,3)$ は整数の値をとる。これらの成分を用いて $p$ と $p^\prime$ のクロネッカーのデルタは

\[    \del_{p, p^\prime } \, = \, \del_{n_1 , n_1^\prime } \del_{n_2 , n_2^\prime } \del_{n_3 , n_3^\prime }     \tag{13.184} \]

と定義できる。デルタ関数 $\del^{(3)}( \vec{p} - \vec{p}^{\, \prime} )$ を用いると（最終的に $V \rightarrow \infty$ の極限をとるとの理解のもと）$\del_{p, p^\prime }$ は

\[    \del_{p, p^\prime } \, = \,  \frac{(2 \pi)^3}{V} \del^{(3)}( \vec{p} - \vec{p}^{\, \prime} )    \tag{13.185} \]

と表せる。よって、直交性(13.182)より１粒子状態を

\[    | \widetilde{p} \ket  \, = \, \frac{| p \ket}{\sqrt{2\om V}}    \tag{13.186} \]

と規格化すると正規直交条件は $\bra \widetilde{p } | \widetilde{p}^{\prime } \ket  \, = \, \del_{p, p^\prime}$ と表せることが分かる。以下では簡単のため規格化された１粒子状態 $| \widetilde{p} \ket$ を $|p \ket$ と再定義する。すなわち、以下の議論では正規直交条件として

\[    \bra p  | p^{\prime } \ket  \, = \, \del_{p, p^\prime}    \tag{13.187} \]

を用いることにする。

行列要素の計算

　つぎに、正規直交条件(13.187)を用いて行列要素 $\bra p^\prime | J^\mu |  p \ket$ を計算する。$J^0$ は電荷密度を表すので粒子の電荷演算子は

\[    \widehat{Q} \, = \, \int d^3 x \, J^0      \tag{13.188} \]

で与えられる。１粒子状態 $| p \ket$ に作用する演算子 $\widehat{Q}$ の固有値が粒子の電荷 $Q$ である。

\[ \widehat{Q} \, | p \ket \, = \, Q \, | p \ket  \tag{13.189} \]

これより、$| p^\prime \ket \rightarrow | p \ket $ の極限における行列要素 $\bra p^\prime | \widehat{Q} | p \ket$ として電荷 $Q$ を定義できる。

\[ \lim_{p^\prime \rightarrow p} \bra p^\prime | \widehat{Q} | p \ket  \, = \,  \lim_{p^\prime \rightarrow p} \int \! d^3 x \, \bra p^\prime | J^0 | p \ket   \, = \,  V  \frac{Q}{V}  \, = \, Q \tag{13.190} \]

よって、$| p^\prime \ket \rightarrow | p \ket $ の極限で行列要素 $\bra p^\prime | J^0 | p \ket$ は

\[    \lim_{p^\prime \rightarrow p}    \bra p^\prime | J^0 | p \ket    \, = \, \frac{Q}{V}    \tag{13.191} \]

で与えられる。$V$ は空間体積なのでこれは確かに電荷密度を与えることが分かる。４元カレント $J^\mu$ はローレンツ共変であり $\d_\mu J^\mu = 0$ を満たすので、$J^\mu$ の行列要素は

\[ \lim_{p^\prime \rightarrow p} \bra p^\prime | J^\mu | p \ket  \, = \, Q \frac{p^\mu}{ \om V}  \tag{13.192} \]

と表せる。$p^\mu$ と $p^{\prime \mu}$ は質量ゼロ粒子の4元運動量なので、$p \cdot p = p^\prime \cdot p^\prime = 0$ であり、

\[    ( p + p^\prime )^2 \, = \, 2 p \cdot p^\prime \, = \,    2 \om \om^\prime (1 - \cos \th ) > 0    \tag{13.193} \]

を満たす。ただし、$\th$ は $\vec{p}$ と $\vec{p}^\prime$ の間の角度である。上式は $( p + p^\prime )^\mu $ が time-like ベクトルであること、つまり、計量 $(+---)$ のもとで時間成分が空間成分より優勢になることを意味する。よって、$\vec{p} + \vec{p}^\prime = 0$ となるフレームを選ぶことができる。(これは $\cos \th = -1$ に対応する。) すなわち、中心運動量フレーム

\[    p^{\mu} = ( \om ,  \vec{p} ) \, , ~~~    p^{\prime \, \mu} = ( \om , - \vec{p} )     \tag{13.194} \]

を採用できる。このとき、行列要素 $\bra p^\prime | J^\mu | p \ket $ は $\bra \! -  \vec{p} |  J^\mu  | \, \vec{p} \ket$ と表せる。

　ここで、$\vec{p}$ 方向の角運動量演算子を $L_{\hat{p}}$ とすると、定義から

\[    e^{ i L_{\hat{p}} \phi} | \, \vec{p} \ket     \, = \, e^{i s \phi} | \, \vec{p} \ket \, , ~~~    e^{ i L_{\hat{p}} \phi} | \!\! - \!  \vec{p} \ket     \, = \, e^{- i s \phi} | \!\! - \!  \vec{p} \ket    \tag{13.195} \]

と書ける。ただし、$s$ は質量ゼロ粒子のスピン (ヘリシティとも言う) であり、$\phi$ は $\vec{p}$ を軸にした回転量 (ゼロでない角度) を表す。上式から行列要素 $\bra \! -  \vec{p} |  J^\mu  | \, \vec{p} \ket$ は

\[\begin{eqnarray}    \bra  \! -  \vec{p} | \, J^\mu \, | \, \vec{p} \ket    & = &    \bra \! -  \vec{p} |    ~ e^{-i L_{\hat{p}} \phi } \,    e^{i L_{\hat{p}} \phi }    \, J^\mu    \, e^{-i L_{\hat{p}} \phi }    e^{i L_{\hat{p}} \phi }~    | \, \vec{p} \ket    \nonumber \\    &=&    e^{i 2 s \phi }   \, \bra \! -  \vec{p} | ~    e^{i L_{\hat{p}} \phi }    \, J^\mu    \, e^{-i L_{\hat{p}} \phi } ~    |  \, \vec{p}  \ket    \nonumber \\    &=&    e^{i 2 s \phi } \,  \D^{\mu \nu}  \! ( e^{i \phi} )  \,    \bra  \! -  \vec{p} | \, J^\nu \, | \, \vec{p}  \ket    \tag{13.196} \end{eqnarray}\]

と表せることが分かる。ただし、$\D$ 関数  $\D^{\mu \nu}  \! ( e^{i \phi} )$ は

\[ e^{i L_{\hat{p}} \phi }    \, J^\mu    \, e^{-i L_{\hat{p}} \phi }    \, = \,    \D^{\mu \nu}  \! ( e^{i \phi} )  \,    J^\nu   \tag{13.197} \]

と定義される。これは、13.2節で解説したように ウィグナーの $\D$ 関数が一般に

\[    U^{-1} (\th ) \, Q^{A} \, U  (\th )    \, = \,    \D^{(R)}_{AB} ( g ) \, Q^B    \tag{13.70} \]

と定義されることからも分かる。(13.197)の $\D^{\mu \nu}  \! ( e^{i \phi} )$ は回転群 $SO(3)$ のスピン１表現 $(l = 1)$ で与えられる。その具体的な形は13.2節の

\[    \D^{ab} ( g) \, = \, \exp \left[ i ( T^c )^{ab} \th^{c} \right]     \tag{13.63} \]

\[    \D^{m^\prime m} ( g ) \, = \,  \D_{m^\prime m}^{(l = 1)} ( g )      \tag{13.67} \]

の通りである。ただし、$g$ は $SO(3)$ 群の要素であり、$( T^c )^{ab} = - i \ep^{abc}$ は $SO(3)$ 群の構造定数を表す。添え字 $a$, $b$ は空間座標 $(1,2,3)$を表し、$m$, $m^\prime$ は球面基底

\[    x^{\pm } = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \mp x^1 - i x^2 ) \, , ~~ x^3     \tag{13.65} \]

の座標 $(\pm , 3 )$ を表す。いまの場合、$\vec{p}$ を $x^3$ 方向に指定できるので(13.197)の $\D^{\mu \nu}  \! ( e^{i \phi} )$ は

\[ \D^{ m m^\prime} \! ( e^{i \phi} ) \, = \, \exp \left[ \ep^{m m^\prime 3 } \phi \right] \tag{13.198} \]

と書ける。ただし、時間成分は空間回転に関与しないので添え字 $\mu$, $\nu$ を 球面基底座標 $m$, $m^\prime$ に置き換えた。$\ep^{+-3} = i$, $\ep^{-+3} = -i$, $\ep^{++3} = \ep^{--3} = 0$ に注意すると、$\D^{ m m^\prime} \! ( e^{i \phi} )$ の値は

\[ \D^{ m m^\prime} \! ( e^{i \phi} ) \, \in \, \{ e^{\pm i \phi} , \, 1  \} \tag{13.199} \]

に限られることが分かる。

　関係式(13.196)から $e^{i2 s \phi }  \, \D^{\mu \nu}  \! ( e^{i \phi} ) = 1$ となる場合がなければ、行列要素 $\bra \! -  \vec{p} | J^\mu | \, \vec{p} \ket$ はゼロとなる。一方、(13.192)から

\[ \lim_{| \! - \! \vec{p} \ket  \rightarrow | \, \vec{p} \ket } \int \! d^3 x \,  \bra \! -  \vec{p} | J^\mu | \, \vec{p} \ket  \, = \, Q  \, \hat{n}^\mu  \tag{13.200} \]

と表せる。ただし、$\hat{n}^\mu = ( 1, 0,0,1 )$ である。よって、荷電粒子 $( Q \ne 0 )$ に対して行列要素 $\bra  - \! \vec{p} | J^\mu | \, \vec{p} \ket $ は ($| \! - \! \vec{p} \ket  \rightarrow | \, \vec{p} \ket$ の極限で) ゼロとならない。したがって、質量ゼロの荷電粒子が存在するためには少なくともある$(\mu , \nu )$ の組み合わせに対して

\[    e^{2 i s \phi } \, \D^{\mu \nu}  \! ( e^{i \phi} ) \, = \, 1  \tag{13.201} \]

が成り立つ必要がある。(13.199)を用いるとこの条件式(13.201)はスピンが $2s \le 1$ の場合にのみ満たされることが分かる。よって、CGWW 定理の一つ目の主張が示された。

　CGWW 定理の２つ目の主張についても同様にエネルギー・運動量テンソル $T^{\mu \nu}$ の行列要素 $\bra p^\prime | T^{\mu \nu} | p \ket$ を用いて示すことができる。ただし、$T^{\mu \nu}$ はエネルギー保存則 $\d_\mu T^{\mu\nu} = 0$ を満たす。$T^{\mu \nu}$ はランク２の対称テンソルなので(13.197)に対応する $\D$ 関数は回転群 $SO(3)$ のスピン２表現 $(l = 2)$ で与えられる。13.2節の

\[    T^m \, = \, r^2 \, Y_2^m ( \vartheta , \varphi) \, \longrightarrow \,    T^{m^\prime  } \,= \, r^2 \, \D_{m^\prime m}^{(l = 2)} ( g ) \,  Y_2^m ( \vartheta , \varphi )    \tag{13.69} \]

で紹介したようにこの $\D$ 関数は $ \D_{ m m^\prime}^{(l=2)} ( g ) $ で表せる。ただし、$m$, $m^\prime$ は $(0, \pm 1 , \pm 2 )$ の値をとる。よって、行列要素 $\bra \! - \! \vec{p} | T^{\mu \nu} | \, \vec{p} \ket$ の計算に現れる $\D$ 関数は $\D_{ m m^\prime}^{(l=2)} ( e^{i \phi} )$ で与えられる。スピン１表現の場合と同様に、これは

\[ \D_{ m m^\prime}^{(l=2)} ( e^{i \phi} ) \, \in \, \{ e^{\pm i 2 \phi} , \,  e^{\pm i \phi} , \, 1  \} \tag{13.202} \]

と計算できる。ただし、$m, m^\prime = (0, \pm 1 , \pm 2 )$ である。したがって、条件式(13.201)を適用すると、保存エネルギー・運動量テンソルをもつ質量ゼロの粒子はスピン $s$ が $s \le 1$ の場合にのみ存在することが分かる。これより、CGWW 定理の２つ目の主張が示された。

　以上の証明では行列要素を評価するに当たりウィグナーの $\D$ 関数を利用した。この手法は13.2節で紹介したウィグナー-エッカルトの定理の導出と類似している。（例えば、13.2節の(13.70)を参照のこと。）この意味で CGWW 定理の証明はウィグナー-エッカルト型の応用例の1つであると見做せる。

13. ウィグナーの $\D$ 関数とその応用 vol.9

8重項メソンと8重項バリオンの相互作用

ハドロン・スペクトルに関する最後のトピックとして、8重項メソンと8重項バリオンの相互作用を考える。ここでは、2-1散乱過程 $B + M \rightarrow {\bar B}$ に注目する。ただし、$B$, $M$ は8重項バリオンと8重項メソンをそれぞれ表す。

8重項バリオンの質量公式に関する議論で出てきた関係式

\[    \M_{bc} \, \equiv \,    \bra  {\bf 8}, b | M |  {\bf 8}, c \ket  \, = \,    M_0 \, \del_{bc} \, +    \bra  {\bf 8}, b | M^8 |  {\bf 8}, c \ket    \tag{13.122} \]

\[    \bra  {\bf 8}, b | M^8 |  {\bf 8}, c \ket \, = \,    {C_{8cb}^{\bf 888}}^* \, \bra {\bf 8} || M^{\bf 8} || {\bf 8} \ket    \tag{13.123} \]

\[    \M_{bc} \, = \, M_0 \, \del_{bc} \, + \, i A \, f_{bc}^{~~8} \, + \, B \, d_{bc}^{~~8}    \tag{13.142} \]

を用いると、散乱振幅 $\bra  B | M | B \ket$ は行列要素 $\bra {\bf 8}, b | M^a | {\bf 8}, c \ket$ で記述され、この行列要素は

\[\begin{eqnarray}    \bra {\bf 8}, b | M^a | {\bf 8}, c \ket    &=& C^{\bf 888}_{acb} \bra {\bf 8} || M^{\bf 8} || {\bf 8} \ket    \nonumber \\    & = & C^{\bf 888}_{acb} \, \al + C^{\bf 888}_{cab} \, \bt    \nonumber \\    &=& i \la_1 \, f_{abc} + \la_2 \, d_{abc}    \tag{13.169} \end{eqnarray}\]

とパラメータ表示できることが分かる。ただし、$a, b, c$ は8重項の添え字である。また、以前と同じく $( \al ,\bt )$ と $(\la_1 , \la_2 )$ は定数の組を表す。これより、相互作用のラグランジアンは

\[    \L_{\rm int} = i \la_1 \overline{B}^b \ga_5 B^c  M^a \, f_{abc} \, +    \la_2 \overline{B}^b \ga_5  B^c  M^a \, d_{abc}     \tag{13.170} \]

と書ける。ただし、$\gamma_5$ はディラックの $\gamma_5$ 行列である。5.4節の後半で議論したように $\gamma_5$ が必要となるのは、8重項メソンが擬スカラーであり、強い相互作用はパリティを保存するためである。5.4節ではフレーバー $SU(3)$ 対称性に基づいて8重項メソンと8重項バリオンの相互作用項を行列表示を用いて

\[    \L_{int} =  g_1 \Tr ( {\mathbf {\bar B}}\,\gamma_5\, {\mathbf B} \, {\mathbf M})    + g_2 \Tr ( {\mathbf {\bar B}}\,\gamma_5\,  {\mathbf M}\, {\mathbf B})  \tag{5.55} \]

と表した。($ {\mathbf {\bar B}}$, ${\mathbf M}$, ${\mathbf B}$ の具体的な行列表示は5.4節を参照にされたい。)

　$\overline{B}BM$ 相互作用は無数（原理的には $8^3 = 512$ 通り）存在するが、上記の相互作用(13.170)は2つのパラメータ $(\la_1 , \la_2 )$ とゼロとならない $f_{abc}$, $d_{abc}$ で表示できる。例えば、$(\bar{B}^b , B^c ) = ( \bar{p} , p )$ となる相互作用項のうちゼロとならないものは

\[\begin{eqnarray}    \L_{\bar{p} p \pi^0 } &=& - \frac{1}{2} ( \la_1  - \la_2 ) \bar{p} \ga_5 p \, \pi^0    \tag{13.171} \\    \L_{\bar{p} p \eta } &=& - \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \la_1  + \frac{1}{3} \la_2 \right) \bar{p} \ga_5 p \, \eta    \tag{13.172} \end{eqnarray}\]

で与えられる。ただし、ゼロとならない $f_{\bar{p} p a}$, $d_{\bar{p} p a}$ を求めるに際し下表を用いた。

\begin{array}{|ccc|ccccc|}        \hline        ijk &  f_{ijk} &~& ijk &  d_{ijk} &~& ijk &  d_{ijk} \\ \hline        123 & 1 &~& 118 & \frac{1}{\sqrt{3}} &~& 355 & \frac{1}{2} \\        147 & \frac{1}{2} &~& 146 & \frac{1}{2} &~& 366 & - \frac{1}{2} \\        156 & - \frac{1}{2} &~& 157 & \frac{1}{2} &~& 377 & - \frac{1}{2} \\        246 & \frac{1}{2} &~& 228 & \frac{1}{\sqrt{3}} &~& 448 & - \frac{1}{2\sqrt{3}} \\        257 & \frac{1}{2} &~& 247 & - \frac{1}{2} &~& 558 & - \frac{1}{2\sqrt{3}} \\        345 & \frac{1}{2} &~& 256 & \frac{1}{2} &~& 668 & - \frac{1}{2\sqrt{3}} \\        367 & - \frac{1}{2} &~& 338 & \frac{1}{\sqrt{3}} &~& 778 & - \frac{1}{2\sqrt{3}} \\        458 & \frac{\sqrt{3}}{2} &~& 344 & \frac{1}{2} &~& 888 & - \frac{1}{\sqrt{3}} \\        678 & \frac{\sqrt{3}}{2} &~&  &  &~& &  \\        \hline    \end{array}

\begin{array}{|ccc|cc|}        \hline        \overline{B}^a  & B^a & M^a & \psi^a & SU(3) \, 随伴表現~  {\bf 8}  \\ \hline       \overline{\Si^-} & \Si^+ & \pi^+ &  \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi^1 + i \psi^2 ) & (12) \\       \overline{\Xi^-} & p & K^+ &  \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi^4 + i \psi^5 ) & (13) \\        \overline{\Si^+} & \Si^- & \pi^- & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^1 - i \psi^2 ) & (21) \\        \overline{\Xi^0} & n & K^0 & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^6 + i \psi^7 ) & (23) \\     \bar{p} & \Xi^- & K^- & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^4 - i \psi^5 ) & (31) \\   \bar{n} & \Xi^0 & \overline{K}^0 & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^6 - i \psi^7 ) & (32) \\   \overline{\Si^0} & \Si^0 & \pi^0 & \psi^3 & \frac{1}{\sqrt{2}}(11) -\frac{1}{\sqrt{2}}(22) \\    \overline{\La} & \La & \eta & \psi^8 & \frac{1}{\sqrt{6}}(11) + \frac{1}{\sqrt{6}}(22) -  \frac{2}{\sqrt{6}}(33) \\ \hline    \end{array}

2025年夏 秋田遠征 & 野球部同期会

 

3月の高校野球部同期会で話題になった秋田遠征に行ってきました。秋田単身赴任中のメンバー（エース）との飲み会に遥々関東から5人集まりました。内１人（キャプテン）が午前中の秋田駒ヶ岳登山にも付き合ってくれました。

自分は前々日に車で北上、西吾妻山と鳥海山に登りました。どちらも良かったです。特に鳥海山には感動しました。噂に聞いていたけどまさかこれほどいいとは思いませんでした。翌日の駒ヶ岳は涼しかったので連日登山で熱中症気味の体にはありがたかったです。

遠征登山： 大山から荒島岳

梅雨前の晴れ間を利用して都内から伯耆大山までロングドライブ。静岡、土山、桂川、宝塚北、勝央、蒜山高原のサービスエリア利用。勝央、蒜山高原で仮眠を取りました。子供のころ神戸から松江まで親によく連れてかれましたが、あの頃は中国道から先は一般道というか山道で、道路沿いに「鳥取県」と縦に書かれたポールが並んでいたのが印象的でした。今は米子まで高速で行けるなんて、隔世の感です。小学校の時にキャンプをした蒜山高原も気になりましたが、今回の目的は大山登山。夏山開きの前日だったためか登山道もしっかり整備されていてとても登り易かったです。

Mathematical Review 124: トポロジカル欠陥がある場合の拡張された対称性について

ほぼ１年ぶりのレビュー。対象論文はこちら。投稿内容はこちら。だいぶ理解力が落ちて最近の話題にも付いていけなくなっているので時間をかけて理解に努めました。（ボケないうちにブラシュアップしなきゃなあ。）

　背景となる相空間が単連結でない場合（一般にトポロジカル欠陥がある場合）ハイゼンベルク代数のユニタリー表現を唯一に決めることができない。（ストーン-フォンノイマンの定理） 物性理論ではこれは分数量子ホール効果に現れる。つまり、2次元空間が単連結でない場合、波動関数（ラフリン波動関数）を一意に決めることができず、物理系はある有限群の対称性をもつ。高次元空間での分数量子ホール効果についての研究も数多くなされており、特に興味深い結果は最近 Agarwal-Karabali-Nair の論文で示された。この論文では、高次元の Chern-Simons 理論にアノマリー相殺の概念を適用することで高次元分数量子ホール効果の有効作用が構成された。

　このように、トポロジカル欠陥がある場合の物理現象を解析するにはトポロジカル・ゲージ理論を用いるのが場の理論としては自然なアプローチである。しかし、より直接的に上述の有限群の対称性を組み込んだ拡張された対称性を考えて、トポロジカル欠陥のある物理現象を理解しようとするアプローチが近年盛んに研究されている。この対称性はフロベニウス代数と呼ばれる代数によって記述される。４次元時空において物理的に重要となるカイラル対称性もフロベニウス代数を用いて拡張されることが知られており、例えば、こちらで示唆されているように、このようなアプローチからフェルミ粒子質量の起源が分かるのではないかと期待されている。トポロジカルな場の理論の知識がなくても（代数的な性質だけから）物理量を予測できるという興味深い手法であり、今後の発展に期待したい。

シジュウカラがいつの間にか巣立っていました

久しぶりにシジュウカラが来てくれました。去年は来なかったので2年振り。

先月、晴れた日の朝に様子を見てみるといつの間にか巣立っていました。シジュウカラと言えば、シジュウカラ語がだいぶ解明されているみたいです。

こちらでいろいろと新発見が紹介されていて勉強になりました！ 

巣箱の穴を補強しないと来年は来てくれないかもしれないので、秋になったらホームセンター行くか。直径27ミリの穴開けてもらえるかな～。

三浦半島 岩礁のみち 途中から

前回途中まで行った岩礁のみち。先日、母の日に、母と次女の親子3代でコンプリートしてきました。江奈湾の駐車場に止めて剣崎経由で松輪バス停まで。

雪山入門 蝶ヶ岳・常念岳

テニス仲間に誘われて4人で蝶ヶ岳ヒュッテに１泊して常念岳まで行ってきました。山小屋には以前に家族で尾瀬ケ原の東電小屋に泊まりましたが、山頂にある山小屋は初めて。山頂がゴールなんでありがたい！上高地を挟んで穂高連峰・槍ヶ岳が手の届くような所からの夕焼け・朝焼けを満喫できました。

13. ウィグナーの $\D$ 関数とその応用 vol.8

10重項バリオンの質量公式

　前回はウィグナー-エッカルトの定理の応用例の1つとして8重項バリオンの質量公式を導いた。今回は同様にして10重項バリオンの質量公式を導出する。まず、10重項バリオンは関係式

\[    {\bf 3} \otimes {\bf 3} \otimes {\bf 3} \, = \,    {\bf 1} \oplus {\bf 8} \oplus {\bf 8} \oplus {\bf 10}  \tag{13.118} \]

のうちの ${\bf 10}$ 表現に属する。$SU(3)$ 群の ${\bf 10}$ 表現 $\Psi_{ijk}$ あるいは $(ijk)$ と10重項バリオン場の演算子 $\psi_{ijk}$ を用いると、10重項バリオンは下表のようにラベルできる。

\begin{array}{|c|cc|}        \hline        10重項バリオン \, (b) & \psi_{ijk} &  SU(3) \, 群の\, {\bf 10} \, 表現  \\ \hline        \Delta^{++}  & \psi_{111} & (111) \\        \Delta^{+}  & \sqrt{3} \, \psi_{112} & (112) \\        \Delta^{0}  & \sqrt{3} \, \psi_{122} & (122) \\        \Delta^{-}  & \psi_{222} & (222) \\        \Si^{*+}  & \sqrt{3} \, \psi_{113} & (113) \\        \Si^{*0}  & \sqrt{6} \, \psi_{123} & (123) \\        \Si^{*-}  & \sqrt{3} \, \psi_{223} & (223) \\        \Xi^{*0}  & \sqrt{3} \, \psi_{133} & (133) \\        \Xi^{*-}  & \sqrt{3} \, \psi_{233} & (233) \\        \Omega^{-}  & \psi_{333} & (333) \\        \hline    \end{array}

　場の演算子 $\psi_{ijk}$ を具体的に書き下すと

\[    \psi_{ijk} = B_{(ijk)} = \frac{1}{6} ( B_{ijk} + B_{ikj} + B_{jik} + B_{jki} + B_{kij} + B_{kji} )     \tag{13.149} \]

と表せる。場の演算子の規格化は、例えば、

\[    \frac{1}{\sqrt{3}} (\psi_{112} + \psi_{121} + \psi_{211} ) \, = \, \sqrt{3} \, \psi_{112}    \tag{13.150} \]

で与えられる。ただし、$\psi_{ijk}$ の完全対称な添え字に条件 $i \le j \le k$ を課した。

　ここで、10重項バリオンの質量行列 $\M_{bc} \sim (\bar{B} B)_{bc}$ を考える。8重項バリオンの場合(3.120)と同様に、${\bf 8}$ 表現あるいは恒等表現 ${\bf 1}$ に属する因子に注目する。表現 ${\bf 10}$ とその共役表現 ${\bf 10}^*$ の合成は

\[    {\bf 10} \otimes {\bf 10}^*  \, = \, {\bf 64} \oplus {\bf 27} \oplus  {\bf 8} \oplus {\bf 1}     \tag{13.151} \]

と分解できるので、質量行列は

\[    \M_{bc} \, =  \, M_0 \, \del_{bc} \, + \, C_{bca}^{{\bf 10}^* {\bf 10} \, {\bf 8}} \, M^a    \tag{13.152} \]

とパラメータ表示できる。ただし、$M^a$ は ${\bf 8}$ 表現に属し、$C_{bca}^{{\bf 10}^* {\bf 10} \, {\bf 8}}$ は分解 ${\bf 10}^* \otimes {\bf 10} \rightarrow {\bf 8}$ に関わるクレブシュ-ゴルダン係数を表す。関係式 $C_{bca}^{{\bf 10}^* {\bf 10} \, {\bf 8}} \sim C_{cba}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^* {\bf 8}}$ から、10重項バリオンの質量は

\[\begin{eqnarray}    M_b & = & \M_{bb} \, = \, M_0  \, + \, \Delta M_b     \tag{13.153} \\    \Delta M_b &=& C_{bb8}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^* {\bf 8}} \, \al    \tag{13.154} \end{eqnarray}\]

とパラメータ表示できることが分かる。ここで、$\al$ はゼロでない定数であり、$SU(3)$ 対称性を破る質量項に対応する。

　つぎに、テンソル解析の手法でクレブシュ-ゴルダン係数 $C_{bb8}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^*  {\bf 8}}$ を計算する。テンソル $\Psi_{ijk} \Phi^{lmn} = V_{(ijk)}^{(lmn)}$ を用いると展開式(13.151)は

\[    V_{(ijk)}^{(lmn)} \, = \, T_{(ijk)}^{(lmn)}    + \frac{1}{3} \del_{(i}^{(l} T_{jk)}^{mn)} + \frac{1}{9} \del_{(i}^{(l} \del_{j}^{m} T_{k)}^{n)}    +  \frac{1}{27} \del_{(i}^{(l} \del_{j}^{m} \del_{k)}^{n)} {\bf 1}    \tag{13.155} \]

と表せる。ただし、$T_{(ijk)}^{(lmn)}$ は $V_{(ijk)}^{(lmn)}$ のうちトレース・ゼロの成分を表す。13.1節で求めた直積 ${\bf 8} \otimes {\bf 8}$ の展開式(13.25)との類似性に注意しよう。これより、$C_{(ijk)(lmn)(rs)}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^*  {\bf 8}}$ は

\[\begin{eqnarray}    C_{(ijk)(lmn)(rs)}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^* \, {\bf 8}} \! &=& \!    \frac{1}{9} \, \del_{(i}^{(l} \del_{j}^{m} \del_{k)}^{\check{r}} \del_{s}^{n )}    \nonumber \\    &=& \! \frac{1}{54} \left(    \del_{i}^{(l} \del_{j}^{m} \del_{s}^{n )} \del_{k}^{r} + \del_{i}^{(l} \del_{k}^{m} \del_{s}^{n )} \del_{j}^{r}    + \del_{j}^{(l} \del_{i}^{m} \del_{s}^{n )} \del_{k}^{r}    \right.    \nonumber \\    && ~~~~     \left.    \del_{j}^{(l} \del_{k}^{m} \del_{s}^{n )} \del_{i}^{r} + \del_{k}^{(l} \del_{i}^{m} \del_{s}^{n )} \del_{j}^{r}    + \del_{k}^{(l} \del_{j}^{m} \del_{s}^{n )} \del_{i}^{r}    \right)    \tag{13.156} \end{eqnarray}\]

で与えられることが分かる。ただし、$\check{r}$ は $r$ が添え字の対称性から除かれることを意味する。前回導出した8重項バリオンの添え字を用いると $C_{bb8}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^*  {\bf 8}}$ は

\[    C_{bb8}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^*  {\bf 8}} \, = \, C_{bb\La}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^*  {\bf 8}}    \ = \,  \frac{1}{\sqrt{6}} C_{bb(11)}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^*  {\bf 8}}    +\frac{1}{\sqrt{6}} C_{bb(22)}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^*  {\bf 8}}    - \frac{2}{\sqrt{6}} C_{bb(33)}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^*  {\bf 8}}    \tag{13.157} \]

と表せる。また、式(13.156)から関係式

\[\begin{eqnarray}    C_{(ijk)(ijk)(rr)}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^* \, {\bf 8}} \! &=& \!    \frac{1}{2 \cdot 3^4} \biggl[ \, {}^{k}_{r} + {}^{j}_{r} + {}^{i}_{r} + {}^{ik}_{jr} +  {}^{ij}_{kr} +  {}^{ij}_{rk}    \nonumber \\    && ~~~~ + 2 \left( {}^{kjr}_{jrk} + {}^{kir}_{irk} + {}^{ijr}_{jri}    + {}^{ijkr}_{jkri} + {}^{kijr}_{ijrk} + {}^{kijr}_{jkri} \right) \biggr]    \tag{13.158} \end{eqnarray}\]

が得られる。ただし、諸々の記号は ${}^{k}_{r} = {\del}^{k}_{r}$, ${}^{ik}_{jr} = {\del}^{i}_{j} \del^{k}_{r}$, ${}^{kjr}_{jrk} = {\del}^{k}_{j} {\del}^{j}_{r} {\del}^{r}_{k}$, ${}^{ijkr}_{jkri} = {\del}^{i}_{j} {\del}^{j}_{k}{\del}^{k}_{r}{\del}^{r}_{i}$ などで定義される。以上、10重項バリオンと ${\bf 10}$ 表現の対応表と(13.157), (13.158)から、(13.154)の $\Delta M_b$ は関係式

\[\begin{eqnarray}    \Delta M_{\Delta^{++}} \, = \, \Delta M_{\Delta^{+}} \, = \, \Delta M_{\Delta^{0}}    \, = \, \Delta M_{\Delta^{-}} &=& \frac{1}{9 \sqrt{6}} \al    \tag{13.159}\\    \Delta M_{\Si^{*+}} \, = \, \Delta M_{\Si^{*0}} \, = \,\Delta M_{\Si^{*-}}  &=& 0    \tag{13.160}\\    \Delta M_{\Xi^{*-}} \, = \, \Delta M_{\Xi^{*0}}   &=& -\frac{1}{9 \sqrt{6}} \al    \tag{13.161} \\    \Delta M_{\Om^{-}}   &=& -\frac{2}{9 \sqrt{6}} \al    \tag{13.162} \end{eqnarray}\]

で与えられる。10重項バリオンの質量(13.153)を用いると、これらは

\[    M_{\Om^{-}} - M_{\Xi^{*0}} \, = \, M_{\Xi^{*0}} - M_{\Si^{*0}} \, = \, M_{\Si^{*0}} - M_{\Delta^{0}}    \tag{13.163} \]

と表せる。これらの関係式は5.4節で導出した10重項バリオンの質量公式(5.49)と同じである。

13. ウィグナーの $\D$ 関数とその応用 vol.7

前回の準備を踏まえて今回は軽クォークで構成される8重項バリオンの質量公式がウィグナー-エッカルトの定理を適用して導出できることを見ていく。

8重項バリオンの質量公式

    相互作用のエネルギー・レベルの階層性

\[    \mbox{$\rm{I}.$ 強い相互作用} ~ \gg ~    \underbrace{\mbox{$\rm{I}\hspace{-1pt}\rm{I}.$ 質量効果} ~ \gg ~    \mbox{$\rm{I}\hspace{-1pt}\rm{I}\hspace{-1pt}\rm{I}.$ $\, W_\pm , Z, A$} との相互作用}_{ \mbox{電弱相互作用} }    \tag{13.117} \]

において、エネルギー・レベルⅡにおける軽クォークの質量効果を考える。5.4節で議論したように、クォークの質量行列は

\[    \bra q | m | q \ket \, = \, \diag (m_u , m_d , m_s ) \, \approx \, \diag ( m_u , m_u , m_u + \Delta )    \tag{13.119} \]

と表せる。ただし、$|q \ket = (u , d , s )^{T}$ であり、関係式 $m_u \approx m_d \ll m_s$, $\Delta = m_s - m_u$ を用いた。一般に、エネルギー・レベルⅡにおいて8重項メソンあるいは8重項バリオンの質量演算子 $M$ は

\[    M \, = \, M_0 {\bf 1} + M^a    \tag{13.120} \]

と表せる。ただし、$M^a$ $(a = 1,2, \cdots, 8)$ は  $SU(3)$ 代数の生成子として変換する。1.5節で紹介したゲルマン行列

\[\begin{eqnarray}    &&    \la^1 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 1 & 0 \\        1 & 0 & 0 \\        0 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^2 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & -i & 0 \\        i & 0 & 0 \\        0 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^3 =    \left(      \begin{array}{ccc}        1 & 0 & 0 \\        0 & -1 & 0 \\        0 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)    \nonumber \\    &&    \la^4 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & 1 \\        0 & 0 & 0 \\        1 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^5 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & -i \\        0 & 0 & 0 \\        i & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^6 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & 0 \\        0 & 0 & 1 \\        0 & 1 & 0 \\      \end{array}    \right)    \nonumber \\    &&    \la^7 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & 0 \\        0 & 0 & -i \\        0 & i & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^8 = \frac{1}{\sqrt{3}}    \left(      \begin{array}{ccc}        1 & 0 & 0 \\        0 & 1 & 0 \\        0 & 0 & -2 \\      \end{array}    \right)   \end{eqnarray} \tag{1.49} \]

を用いると、$c {\bf 1} - \sqrt{3} c \, \la^8 = \diag (0,0,3c)$ とおける。ただし、$c$ は定数であり ${\bf 1}$ は $3 \times 3$ の恒等行列を表す。これより、質量演算子 $M$ において $M^a$ の添え字 $a$ は $a = 8$ と特定できることが分かる。

　つぎに、ウィグナー-エッカルト型の応用例として8重項バリオンの質量行列を考える。5.4節で示したように、8重項バリオンの行列表示は

\[ {\bf B} = \left( \begin{array}{ccc} \frac{\Si^0}{\sqrt{2}} + \frac{\La}{\sqrt{6}} & \Si^{+} & p \\ \Si^{-} & - \frac{\Si^0}{\sqrt{2}} + \frac{\La}{\sqrt{6}} & n \\ \Xi^{-} & \Xi^{0} & - \sqrt{\frac{2}{3}} \La \end{array} \right) = \sum_{a = 1}^{8} \psi^{a} \frac{\la^a}{\sqrt{2}} \tag{13.121} \]

で与えられる。ただし、$\psi^a$ は8重項バリオン場の演算子を表す。$SU(3)$ の随伴表現 $\Psi_i^j$ あるいは $(ij)$ と場の演算子 $\phi^a$ との対応関係は下表のようになる。

\begin{array}{|c|cc|}        \hline        8重項バリオン (b) &  \psi^a & SU(3) \, 随伴表現~  {\bf 8}  \\ \hline       \Si^+ &  \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi^1 + i \psi^2 ) & (12) \\       p &  \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi^4 + i \psi^5 ) & (13) \\        \Si^- & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^1 - i \psi^2 ) & (21) \\        n & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^6 + i \psi^7 ) & (23) \\     \Xi^- & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^4 - i \psi^5 ) & (31) \\   \Xi^0 & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^6 - i \psi^7 ) & (32) \\   \Si^0 & \psi^3 & \frac{1}{\sqrt{2}}(11) -\frac{1}{\sqrt{2}}(22) \\        \La & \psi^8 & \frac{1}{\sqrt{6}}(11) + \frac{1}{\sqrt{6}}(22) -  \frac{2}{\sqrt{6}}(33) \\ \hline    \end{array}

　質量演算子(13.120)より、8重項バリオンの質量行列は

\[    \M_{bc} \, \equiv \,    \bra  {\bf 8}, b | M |  {\bf 8}, c \ket  \, = \,    M_0 \, \del_{bc} \, +    \bra  {\bf 8}, b | M^8 |  {\bf 8}, c \ket    \tag{13.122} \]

と定義できる。ただし、$b, \, c$ は上表の8重項バリオンをラベルする添え字である。13.2節

で求めたウィグナー-エッカルトの定理

\[\begin{eqnarray}    && \bra R^\prime , \al | Q^A | R , m \ket \nonumber \\    &=&    \sum_{\bt , n} \sum_{\widetilde{R}, \la, \si}    {C^{R^{\prime\prime} R \widetilde{R}}_{A m \si}}^*    C^{R^{\prime\prime}R \widetilde{R}}_{Bn \la}    \frac{ \del_{\al \si} \del_{\bt \la} \del^{R^\prime \widetilde{R}} }{ ( {\rm dim} R^\prime ) ( \mbox{$G$ の体積}) }    \bra R^\prime , \bt | Q^B | R , n \ket    \nonumber \\    &=&    {C^{R^{\prime\prime} R R^{\prime}}_{A m \al}}^*    \left[      \sum_{\bt , n} \frac{C^{R^{\prime\prime}R R^{\prime}}_{Bn \bt} \, \bra R^\prime , \bt | Q^B | R , n \ket }    {  ( {\rm dim} R^\prime ) ( \mbox{$G$ の体積}) }    \right]    \nonumber \\    & \equiv &    {C^{R^{\prime\prime} R R^{\prime}}_{A m \al}}^* \, \bra R^\prime || Q^{R^{\prime\prime}} || R \ket    \tag{13.77} \end{eqnarray}\]

を適用すると $SU(3)$ 対称性を破る行列要素は

\[    \bra  {\bf 8}, b | M^8 |  {\bf 8}, c \ket \, = \,    {C_{8cb}^{\bf 888}}^* \, \bra {\bf 8} || M^{\bf 8} || {\bf 8} \ket    \tag{13.123} \]

と表せる。ただし、${C_{8cb}^{\bf 888}}^*$ と $\bra {\bf 8} || M^{\bf 8} || {\bf 8} \ket$ はそれぞれクレブシュ-ゴルダン係数と還元行列要素である。随伴表現 ${\bf 8}$ は ${\bf 8}^*  = {\bf 8}$ を満たすことに注意しよう。13.1節の(13.29)-(13.35)で示したように、このクレブシュ-ゴルダン係数は展開式

\[\begin{eqnarray}    | {\bf 8}, ij \ket \otimes | {\bf 8} , kl \ket &=&    C_{(ij)(kl)(mnrs)}^{{\bf 88} \, {\bf 27}} | {\bf 27} , mnrs \ket \oplus    C_{(ij)(kl)(mrs)}^{{\bf 88} \, {\bf 10}} | {\bf 10} , mrs \ket    \nonumber \\    && \oplus \,    C_{(ij)(kl)(mrs)}^{{\bf 88} \, {\bf 10}^* } | {\bf 10}^* , mrs \ket  \oplus    C_{(ij)(kl)(mn)}^{{\bf 888} } | {\bf 8} , mn \ket    \nonumber \\    && \oplus \,    C_{(kl)(ij)(mn)}^{{\bf 888} } | {\bf 8} , mn \ket  \oplus    C_{(kl)(ij)(mm)}^{{\bf 881} } | {\bf 1} , mm \ket    \tag{13.124} \end{eqnarray}\]

から求まる。ただし、添え字はテンソル解析による $SU(3)$ 表現を表す。随伴表現 ${\bf 8}$ への分解に関わるクレブシュ-ゴルダン係数には $C_{(ij)(kl)(mn)}^{{\bf 888} }$ と $C_{(kl)(ij)(mn)}^{{\bf 888} }$ の２つのタイプがあることに注意する。13.1節で計算したように、これらは

\[\begin{eqnarray}    C_{(ij)(kl)(mn)}^{{\bf 888}} &=& \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} \ep^{jlm} \ep_{ikn} +    \frac{1}{3} \del_i^l \del_k^m \del_n^j  \right)    \tag{13.125} \\    C_{(kl)(ij)(mn)}^{{\bf 888} } &=& \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} \ep^{ljm} \ep_{kin} +    \frac{1}{3} \del_k^j \del_i^m \del_n^l  \right)     \tag{13.126} \end{eqnarray}\]

で与えられる。これらの係数は実数であるので  ${C_{8cb}^{\bf 888}}^* =C_{8cb}^{{\bf 888}} $ であり、8重項バリオン $b$ の質量は

\[\begin{eqnarray}    M_b & = & {\cal M}_{bb} \, = \, M_0  \, + \, \Delta M_b     \tag{13.127} \\    \Delta M_b &=& C_{\La bb}^{{\bf 888}} \, \al \, + \, C_{b \La b}^{{\bf 888}} \, \bt    \tag{13.128} \end{eqnarray}\]

とパラメータ表示できる。ただし、$\al$, $\bt$ は対応するクレブシュ-ゴルダン係数の還元行列要素に比例するパラメータである。上表の対応関係から

\[\begin{eqnarray}    C_{\La bb}^{{\bf 888}} &=& \frac{1}{\sqrt{6}}C_{(11) bb}^{{\bf 888}} +    \frac{1}{\sqrt{6}}C_{(22) bb}^{{\bf 888}} - \frac{2}{\sqrt{6}}C_{(33) bb}^{{\bf 888}}      \tag{13.129} \\    C_{b\La b}^{{\bf 888}} &=& \frac{1}{\sqrt{6}}C_{b(11) b}^{{\bf 888}} +    \frac{1}{\sqrt{6}}C_{ b(22)b}^{{\bf 888}} - \frac{2}{\sqrt{6}}C_{b(33) b}^{{\bf 888}}     \tag{13.130} \end{eqnarray}\]

と計算できる。よって、8重項バリオンそれぞれの質量差 $\Delta M_b$ は

\[\begin{eqnarray}    \Delta M_p \, = \, \Delta M_n &=& - \frac{1}{24 \sqrt{6}} (7 \al + \bt )    \tag{13.131} \\    \Delta M_{\Xi^-} \, = \, \Delta M_{\Xi^0} &=& - \frac{1}{24 \sqrt{6}} ( \al + 7 \bt )    \tag{13.132} \\    \Delta M_{\Si^\pm } \, = \, \Delta M_{\Si^0}  &=& \frac{1}{3 \sqrt{6}} ( \al +  \bt )    \tag{13.133} \\    \Delta M_{\La } &=& -  \frac{1}{3 \sqrt{6}} ( \al +  \bt )    \tag{13.134} \end{eqnarray}\]

と求まる。これらより、8重項バリオンの質量公式

\[    2 \left(  M_p +  M_{\Xi^0} \right) \, = \, 3  M_\La + M_{\Si^0}      \tag{13.135} \]

を簡単に導ける。これは5.4節で導出した質量公式(5.47)と同じである。

13. ウィグナーの $\D$ 関数とその応用 vol.6

13.3.2 ハドロン・スペクトル

ハドロン・スペクトルについては既に第5章で議論した。ここではウィグナー-エッカルトの定理の応用例の1つとしてハドロン・スペクトルを再考する。特に、軽クォークで構成される8重項バリオンと10重項バリオンに関する質量公式を $SU(3)$ 既約表現のクレブシュ-ゴルダン係数から直接導出できることを示す。

　ハドロンは強い相互作用で結合している粒子であり、これらはメソンとバリオンに分類される。ハドロンを支配する動力学は量子色力学 (QCD) であり、これは主に理論の摂動領域で計算可能である。低エネルギーのメソンとバリオンは３つの軽クォーク $(u, d, s)$ で構成される。ここでは群論を用いて低エネルギー・ハドロンの多重項、質量、相互作用について解析する。

　まず、相互作用の強度には次のような階層性があることに注目しよう。

\[    \mbox{$\rm{I}.$ 強い相互作用} ~ \gg ~    \underbrace{\mbox{$\rm{I}\hspace{-1pt}\rm{I}.$ 質量効果} ~ \gg ~    \mbox{$\rm{I}\hspace{-1pt}\rm{I}\hspace{-1pt}\rm{I}.$ $\, W_\pm , Z, A$} との相互作用}_{ \mbox{電弱相互作用} }    \tag{13.117} \]

ここで、$W_\pm , Z$ は弱い相互作用の $(W_\pm , Z)$-ボソン、$A$ は光子を表す。QCDの対称性は強度レベルⅠでは保存され、レベルⅡである程度破られ、レベルⅢではさらに破られる。レベルⅠでは強い力は３つ全ての軽クォーク $(u, d, s)$ に対して等しく働く。これは、$(u, d, s)$ の状態間にユニタリー変換 $(u^\prime ,d^\prime , s^\prime )^{T} = g (u, d, s)^{T}$ が存在することを意味する。ただし、$g$ は $U(3)$ 群の $3 \times 3$ 行列要素を表す。これらの行列要素は $g = e^{i \th} \tilde{g}$ とパラメータ表示できる。ここで、$\det \tilde{g} = 1$ であり、位相因子 $e^{i \th}$ は $U(3) = U(1) \times SU(3)$ の $U(1)$ 因子に対応する。よって、状態  $|q \ket = (u, d, s)^{T}$ は $SU(3)$ 群の ${\bf 3}$ 表現として変換する。（$SU(3)$ 群の既約表現については5.3節, 12.3節も参照されたい。）言い換えると、メソンとバリオンは SU(3) 群の既約表現である縮退多重項に分類される。この $SU(3)$ 群はフレーバー対称性と呼ばれる。エネルギー・レベルⅡでは、QCDの詳細が不明であっても、この理論のフレーバー対称性からハドロンのスペクトルを解析できる。

メソンとバリオンの多重項

　メソンはクォークと反クォークのペアで構成される。よって、13.1節で導いた関係式

\[ {\bf 3} \otimes {\bf 3}^*  \, =  \, {\bf 1} \oplus {\bf 8} \, , \tag{13.16} \]

から8重項メソンと1重項メソンが存在することが分かる。これらの多重項の典型的な例は5.4節で紹介した通り下表で与えられる。

スピン-0とスピン-1の最軽量メソンの一覧

\[ \begin{array}{|c | c | c|  c|  c|  c |} \hline &\mbox{スピン-0}&\mbox{質量}& \mbox{スピン-1}& \mbox{質量} & \mbox{クォーク構成}\\ && \mbox{(MeV)} && \mbox{(MeV)} &\\ \hline \mbox{1重項}& \eta^\prime & 958& \omega &783&  (u {\bar u} + d {\bar d} + s {\bar s})/\sqrt{3} \\ \hline & \pi^0 & 135& \rho^0 &775& (u {\bar u} - d {\bar d} )/\sqrt{2} \\ & \pi^+ &140& \rho^+ &775& u {\bar d} \\ & \pi^- &140& \rho^- &775& d {\bar u} \\ \mbox{8重項} & K^+ &494& K^{*+} &892& u {\bar s} \\ & K^- &494& K^{*-} &892& s {\bar u} \\ & K^0 &498& K^{*0} &896& d {\bar s} \\ & {\bar K}^0 &498& {\bar K}^{*0} &896& s {\bar d} \\ & \eta &548& \varphi &1019& ( u {\bar u} + d {\bar d} - 2 \,s {\bar s})/\sqrt{6} \\ \hline \end{array} \]

最近読んだ本：星新一著『明治・父・アメリカ』ほか

長女が入学早々大学から渡された本がこれ。

創立者・星一（はじめ）の半生記。手に取ってみると、稀代のストーリーテラーであり長男の星新一が著しているだけあって、興味深い内容ばかりで一気に読み進めました。出身地である福島勿来（なこそ）近くの明治維新前後の様子から始まり、当時の開放感や東京の描写は歴史的資料の価値あり。明治の初期に単身サンフランシスコに渡り、ユダヤ人家庭に住み込みで働きながらお金をため小学校で英語を学び、向上心を持ってニューヨークに渡り、行商・住み込みをしながらコロンビア大学で統計学の修士を取得されたという苦学しながらの立身出世物語にはただただ頭が下がり、背筋が伸びる思いでした。手帳など個人的な資料を基にしていることもあり、主人公の内面も丁寧に描写されているのでその気持ちがありありと想像でき、共感しながら読み進めました。私も時代も状況も全く違いますが、アメリカに一人で飛び込んでアリゾナ、ニューヨークに住んで苦学した経験があるので明治時代（いやエジソン・フォードの時代）の自由なアメリカの様子も知ることができ興味深かったです。星一は卒業後、なんとニューヨークで新聞社を立ち上げ、セントルイスの万博に参画したり、ヨーロッパを視察したりまさに外交官のような働きをします。実際、伊藤博文、後藤新平、野口英世など当時の偉人たちとの深い交流があったようです。

その後、帰国し製薬会社を興し、時流に乗って大成功。社員教育のための勉強会施設が今の星薬科大学の前身となったそうです。全く知りませんでした。さすがショートショートの第一人者だけあり、伝記物でありながら史実の羅列にならず、感情移入してしまうほどに引き込まれて読み終えました。

雪山入門 恵那山・安達太良山

前回に引き続き残雪期の雪山に挑戦してきました。久しぶりの百名山、恵那山。前日夜に出発して高速の駒ヶ岳SAで仮眠をとりました。

高校の野球部同期会

2月のOBOG会を切っ掛けに先日、同期の仲間とも久しぶりに再会しました。卒業以来のメンバーもいて本当に久しぶりでしたが、会ってすぐに高校時代にタイムスリップできるのは不思議でした。 

雪山入門 入笠山・日向山

これまで雪山はチェーンスパイクで登れる山・時期にしか行きませんでしたが、最近、テニスきっかけで知り合った登山仲間に刺激されて雪山に行ってみたくなりました。携帯するには重すぎたため使わずじまいだった12本爪のアイゼンを引っ張り出して、先日、雪山初心者におススメの入笠山に行ってきました。

長女の大学受験終了！

先月末には終わっていたのですが報告遅れました。私大の薬学部に行くことになりました。おつかれさまでした！

私は理系だったら国立目指すのが当然だと思っていましたが、女子高の先生からは受験科目が多いと負担になるので、減らしで私大目指した方が（経験上）安心とのご指導があり、本人の意向も尊重して私は見守るだけでした。ダメなら浪人すればいいなんて考えは今は古いみたいです（反省）。

三浦半島 岩礁のみち 途中まで

後期高齢者の母を連れ出して岩礁の道の途中まで散策。宮川港の駐車場から出発、剣崎小学校バス停まで。一か所、ヒヤッとする場所がありましたが、バリエーションに富んだトレッキング・ルートを楽しめました。マラソン大会のため交通規制があることを知らず帰りのバスが遅くなったので松輪の地魚レストランで遅めの昼食をとって帰宅。三崎口の大型スーパー・ベイシア三浦店に寄って三浦大根ほかお土産購入。次回は松輪から劒崎まで行って岩礁の道コンプリートを目指したい。潮見表で潮位を事前チェックしないと。

道志みちから大室山ピストン

野原吊橋から大室山まで。これまで3回トライして時間切れ、冬装備忘れなどで撤退していたので今回はチャンと準備してチャンと登頂しました！ 行きは黙々と登り通しでしたが、帰りは山頂で出会った牛久の藤田さんと会話しながら下山できたので楽しかったです。懸案だった大室山に登頂できたのでこれで一安心。いろいろ勉強させてもらいました。ルートなど詳しくはこちらから。

テニス：2024年度の活動報告

地元の市民大会の話ですが、団体戦は1部残留、個人戦はシニアで単複準優勝。シニアのカテゴリだけど漸くシングルスで結果が出ました。来年度は団体戦で勝てるよう頑張ります！

高校の野球部OBOG会に参加

昨年末に２年上の先輩から案内があり、先週、本当に久しぶりに同期の仲間と再会、懐かしい先輩方とも歓談できました！

これを機会にンッ十年振りに連絡が取れた同期のメンバーもいるので久しぶりに同期会しようということになりました。もうみんないい年なので少しは落ち着いてきたかな。

13. ウィグナーの $\D$ 関数とその応用 vol.5

前回に引き続き原子内電子の光吸収・発光過程の選択則について考える。選択則は放射過程の行列要素

\[    \bra \al | H_{int} | \bt \ket \, = \,   \frac{e}{m} \bra  \al | \vec{A} \cdot \vec{p} | \bt \ket   \, = \,  \frac{i \, e}{\hbar}   \bra  \al | \vec{A} \cdot ( H_0 \vec{x} - \vec{x} H_0 ) | \bt \ket    \tag{13.85} \]

にウィグナー-エッカルトの定理を適用して導出できる。前回はゼロ次近似から電気双極子遷移の選択則を求めたが、今回は1次近似から磁気双極子遷移と電気四重極子遷移の選択則を求める。

磁気双極子遷移と電気四重極子遷移の選択則

　　微小因子 $\vec{k} \cdot \vec{x}$ について1次までのオーダーで行列要素(13.85)を表すと

\[\begin{eqnarray}    \bra  \al | H_{int} | \bt \ket &=& \frac{e}{m} \bra  \al | \vec{A} \cdot \vec{p} | \bt \ket    \nonumber \\    & \approx &  e \bra \al | (1 + i \vec{k} \cdot \vec{x} )  A_\om  \, \vec{\hat{e}} \cdot \dot{\vec{x}} | \bt \ket    \nonumber \\    &=&    \bra  \al | H_{int}^{(0)} | \bt \ket \, + \, \bra  \al | H_{int}^{(1)} | \bt \ket    \tag{13.96} \end{eqnarray}\]

と書ける。ただし、$\bra  \al | H_{int}^{(0)} | \bt \ket $ は前回求めたゼロ次のオーダーの項

\[\begin{eqnarray}     \bra  \al | H_{int}^{(0)} | \bt \ket   &=& \frac{i \, e}{\hbar}\hat{e}^a \, A_\om ( E_\al - E_\bt ) \bra \al | x^a | \bt \ket    \nonumber \\    & = &  e \dot{\vec{A}} \cdot \bra \al |  \vec{x} | \bt \ket    \nonumber \\    & = & e \vec{E} \cdot \bra \al |  \vec{x} | \bt \ket    \tag{13.90} \end{eqnarray}\]

である。ただし、$\vec{E} = \frac{\d}{\d t} \vec{A} = \dot{\vec{A}}$ は外部電場を表す。ベクトル・ポテンシャル $ \vec{A}$ は

\[    \vec{A} \, = \, \vec{\hat{e}} \, A \, e^{-i ( \om t - \vec{k} \cdot \vec{x} ) }    \, = \, \vec{\hat{e}}\, A_\om \, e^{i \vec{k} \cdot \vec{x} }    \tag{13.86} \]

とパラメータ表示される。ただし、$A_\om = A  e^{-i  \om t}$ であり、角運動量 $\om$ はエネルギー保存則から

\[    \om \, = \, \frac{E_\al - E_\bt }{\hbar} \, = \, \om_\al - \om_\bt     \tag{13.87} \]

と決まる。ここでは、放射ゲージを

\[    \phi \, = \, 0 \, , ~~~~ \nabla \cdot \vec{A} \, = \, 0     \tag{13.81} \]

採用していることに注意しよう。1次のオーダーの行列要素は

\[\begin{eqnarray}    \bra  \al | H_{int}^{(1)} | \bt \ket  &=& i e k^a \hat{e}^b A_\om    \bra \al | x^a \dot{x}^b | \bt \ket    \nonumber \\    &=& i \frac{e}{m} k^a \hat{e}^b A_\om   \bra \al | x^a p^b | \bt \ket    \nonumber \\    &=& i \frac{e}{2m} k^a \hat{e}^b  A_\om   \bra \al | ( x^a p^b + p^b x^a )  | \bt \ket    \tag{13.97} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、$x^a p^b$ を反対称成分と対称成分に

\[\begin{eqnarray}    x^a p^b &=& \frac{1}{2} ( x^a p^b - p^b x^a ) + \frac{1}{2} ( x^a p^b + p^b x^a )    \nonumber \\    &=& \frac{i \hbar}{2} \del^{ab} + \frac{1}{2} ( x^a p^b + p^b x^a )    \tag{13.98} \end{eqnarray}\]

と分離して、関係式 $k^a \hat{e}^b \del^{ab} = 0$ を用いた。対称成分はハイゼンベルク方程式

\[    \frac{1}{m} \vec{p} \, = \,  \, \dot{\vec{x}} \, = \,  \frac{i}{\hbar} \, [ H_0 , \vec{x} ]    \tag{13.84} \]

を用いて

\[\begin{eqnarray}     x^a p^b + p^b x^a  &=& \frac{m}{2} ( x^a \dot{x}^b + \dot{x}^b x^a )  \nonumber \\    &=&     \frac{im}{2 \hbar} x^a ( H_0  x^b - x^b H_0 ) + \frac{m}{2} \dot{x}^b x^a     \nonumber \\    &=& \frac{im}{2 \hbar} (H_0 x^a x^b - x^a x^b H_0 ) - \frac{m}{2} ( \dot{x}^a x^b - \dot{x}^b x^a )      \tag{13.99} \end{eqnarray}\]

と計算できる。よって、1次のオーダーの行列要素(13.97)は

\[    \bra  \al | H_{int}^{(1)} | \bt \ket  =    - \frac{e}{2\hbar} k^a \hat{e}^b  A_\om  \bra \al | [H_0 ,  x^a x^b ]  | \bt \ket    - i \frac{e}{2m}  k^a \hat{e}^b  A_\om  \bra \al | ( p^a x^b - p^b x^a )  | \bt \ket    \tag{13.100} \]

と書ける。電気双極子近似(13.90)の場合と同様に、右辺の第1項は

\[\begin{eqnarray}    - \frac{e}{2\hbar} k^a \hat{e}^b  A_\om  \bra \al | [H_0 ,  x^a x^b ]  | \bt \ket    &=& - \frac{e}{2\hbar} k^a \hat{e}^b  A_\om ( E_\al - E_\bt )   \bra \al | x^a x^b   | \bt \ket    \nonumber \\    &=& - \frac{e}{2} k^a \dot{A}^b  \bra \al | x^a x^b   | \bt \ket    \nonumber \\    &=& i \frac{e}{2} \nabla^a E^b \bra \al | x^a x^b | \bt \ket    \nonumber \\    &=& i \frac{e}{2} \nabla^a E^b \bra \al | T^{ab} | \bt \ket    \tag{13.101} \end{eqnarray}\]

と変形できる。ただし、$T^{ab}$ は13.2節で定義した階数２の対称テンソル

\[    T^{ab} = x^a x^b - \frac{1}{3} \del^{ab} x^2     \tag{13.68} \]

である。外部電場に対して $\nabla^a E^b \del^{ab} = \nabla \cdot \vec{E} = 0$ が成り立つことに注意しよう。式(13.100)右辺の第2項は

\[\begin{eqnarray}    - i \frac{e}{2m}  k^a \hat{e}^b  A_\om  \bra \al | ( p^a x^b - p^b x^a )  | \bt \ket    &=&  - i \frac{e}{2m}  k^a \hat{e}^b  A_\om  \bra \al | \ep^{abc} \ep_{klc} p^k x^l   | \bt \ket    \nonumber \\    &=& i \frac{e}{2m} \ep^{abc} k^a \hat{e}^b  A_\om  \bra \al | L_c   | \bt \ket    \nonumber \\    &=& \frac{e}{2m} \ep^{abc} \nabla^a A^b  \bra \al | L_c   | \bt \ket    \nonumber \\    &=& \frac{e}{2m} \vec{B} \cdot  \bra \al | \vec{L}  | \bt \ket    \tag{13.102} \end{eqnarray}\]

と変形できる。ただし、関係式 $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$ と $\vec{L} = \vec{x} \times \vec{p}$ を用いた。

　以上、まとめると

\[    \bra  \al | H_{int}^{(1)} | \bt \ket  =    i \frac{e}{2} \nabla^a E^b \bra \al | T^{ab} | \bt \ket +    \frac{e}{2m} \vec{B} \cdot  \bra \al | \vec{L}  | \bt \ket     \tag{13.103} \]

と求まる。右辺の第１項、第２項はそれぞれ電気四重極子遷移、磁気双極子遷移を記述する。電気双極子遷移の場合と同様に、第２項の選択則はクレブシュ-ゴルダン係数 $C^{1 l l^{\prime *}}_{a m m^\prime}$ で決定される。ただし、磁気双極子遷移の場合は状態のパリティが保存される。つまり、$\Delta l = l^\prime - l$ に対して、$(-1)^{\Delta l }=1$ が課される。言い換えると、磁気双極子遷移の選択則は

\[\begin{eqnarray}    \Delta l & = & 0    \nonumber \\    \Delta j &=& 0 , \pm 1 ~~~~\mbox{ただし $(j, j^\prime ) \ne (0, 0)$}    \tag{13.104} \\    \Delta m &=& 0 , \pm 1    ~~~~\mbox{ただし $\Delta j = 0$ の場合は $(m, m^\prime ) \ne (0, 0)$}    \nonumber \end{eqnarray}\]

で与えられる。

　同様に、ウィグナー-エッカルトの定理を適用すると電気四重極子遷移の選択則はクレブシュ-ゴルダン係数

\[\begin{eqnarray}    C^{2 l l^{\prime *}}_{A m m^\prime}    & = & \bra 2 A \, l m | l^\prime m^\prime \ket    \nonumber \\    &=& (-1)^{l^\prime - l -2 } \bra l m \, 2 A | l^\prime m^\prime \ket    \nonumber \\    &=& \del_{m^\prime , m + A} \,(-1)^{l^\prime - l -2 } \bra l m \, 2 A | l^\prime m^\prime \ket    \tag{13.105} \end{eqnarray}\]

から導ける。ただし、$A = 0 , \pm 1 , \pm2$ である。上式より磁気量子数 $m$ に関する選択則は $\Delta m = 0, \pm 1, \pm 2$ であることが簡単に分かる。磁気双極子遷移の場合と同じく、始状態と終状態のパリティは同じである。よって、軌道角運動量量子数 $l$ に関する選択則は例外的な場合を除いて $\Delta l = 0, \pm 2$ と書ける。例外となる場合は下表で示すクレブシュ-ゴルダン係数 $\bra l m \, 2 A | l^\prime  m + A \ket$ の具体的な形から判別できる。

\begin{array}{|c|cc|}    \hline    l^\prime & A=2 & A=1 \\ \hline    l+2 & \sqrt{\frac{(l+m+1)(l+m+2)(l+m+3)(l+m+4)}{(2l+1)(2l+2)(2l+3)(2l+4)}} & \sqrt{\frac{(l+m+1)(l+m+2)(l+m+3)(l-m+1)}{(l+1)(l+2)(2l+1)(2l+3)}} \\    l+1 & - \sqrt{\frac{(l+m+1)(l+m+2)(l+m+3)(l-m)}{l(l+1)(2l+1)(2l+4)}} & - (l-2m) \sqrt{\frac{(l+m+1)(l+m+2)}{l(l+1)(2l+1)(2l+4)}} \\    l & \sqrt{\frac{3(l+m+1)(l+m+2)(l-m-1)(l-m)}{2l(l+1)(2l-1)(2l+3)}} & - (2m+1) \sqrt{\frac{3(l+m+1)(l-m)}{2l(l+1)(2l-1)(2l+3)}} \\    l-1 & - \sqrt{\frac{(l+m+1)(l-m-2)(l-m-1)(l-m)}{(l-1)l(2l+1)(2l+2)}} & (l+2m+1) \sqrt{\frac{(l-m-1)(l-m)}{(l-1)l(2l+1)(2l+2)}}  \\    l-2 & \sqrt{\frac{(l-m-3)(l-m-2)(l-m-1)(l-m)}{(2l-2)(2l-1)2l(2l+1)}} & - \sqrt{\frac{(l+m)(l-m-2)(l-m-1)(l-m)}{(l-1)l(2l-1)(2l+1)}} \\  \hline \end{array}

\begin{array}{|c|c|}    \hline   l^\prime & A=0 \\ \hline    l+2  & \sqrt{\frac{3(l+m+1)(l+m+2)(l-m+1)(l-m+2)}{(l+1)(2l+1)(2l+3)(2l+4)}} \\    l+1 &  m \sqrt{\frac{3(l+m+1)(l-m+1)}{l(l+1)(l+2)(2l+1)}} \\    l  &  \frac{3m^2 - l(l+1)}{\sqrt{l(l+1)(2l-1)(2l+3)}} \\    l-1 &  - m \sqrt{\frac{3(l+m)(l-m)}{(l-1)l(l+1)(2l+1)}} \\    l-2  & \sqrt{\frac{3(l+m-1)(l+m)(l-m-1)(l-m)}{l(2l-2)(2l-1)(2l+1)}} \\  \hline \end{array}

\begin{array}{|c|cc|}    \hline    l^\prime & A=-1 & A=-2  \\ \hline    l+2 & \sqrt{\frac{(l-m+1)(l-m+2)(l-m+3)(l+m+1)}{(l+1)(l+2)(2l+1)(2l+3)}} & \sqrt{\frac{(l-m+1)(l-m+2)(l-m+3)(l-m+4)}{(2l+1)(2l+2)(2l+3)(2l+4)}} \\    l+1 & (l+2m) \sqrt{\frac{(l-m+1)(l-m+2)}{l(l+1)(2l+1)(2l+4)}} & \sqrt{\frac{(l-m+1)(l-m+2)(l-m+3)(l+m)}{l(l+1)(2l+1)(2l+4)}} \\    l & (2m -1) \sqrt{\frac{3(l-m+1)(l+m)}{2l(l+1)(2l-1)(2l+3)}} &  \sqrt{\frac{3(l-m+1)(l-m+2)(l+m-1)(l+m)}{2l(l+1)(2l-1)(2l+3)}}  \\    l-1 & -(l-2m+1) \sqrt{\frac{(l+m-1)(l+m)}{(l-1)l(2l+1)(2l+2)}}  & \sqrt{\frac{(l-m+1)(l+m-2)(l+m-1)(l+m)}{(l-1)l(2l+1)(2l+2)}} \\    l-2 & - \sqrt{\frac{(l-m)(l+m-2)(l+m-1)(l+m)}{(l-1)l(2l-1)(2l+1)}} & \sqrt{\frac{(l+m-3)(l+m-2)(l+m-1)(l+m)}{(2l-2)(2l-1)2l(2l+1)}} \\  \hline \end{array}

これらの値はクレブシュ-ゴルダン係数の一般形 (Racah 公式) 

\[\begin{eqnarray}    &&    \bra j_1 m_1 \, j_2 m_2 | J M \ket    \nonumber \\    &=& \del_{M, m_1 + m_2}  \sqrt{\frac{(2J+1)\, (J+j_1 - j_2 )! \, (J - j_1 + j_2 )! \,( j_1 + j_2 -J )! }{(j_1 + j_2 + J + 1 )!}}    \nonumber \\    && \times \sqrt{(J+M)! \, (J-M)! \,(j_1 + m_1 )! \, ( j_1 - m_1 )! \, (j_2 + m_2 )! \, ( j_2 - m_2 )!}    \nonumber \\    && \times \sum_k \left( \frac{(-1)^{k} }{k! \,(j_1 + j_2 -J - k )! \,(j_1 - m_1 - k )! \,( j_2 + m_2 - k )! } \right.    \nonumber \\    && \hspace{4cm} \times \left. \frac{1}{ ( J- j_2 + m_1 + k )! \,( J- j_1 - m_2 + k )! } \right)    \tag{13.106}\end{eqnarray}\]

から求めた。ただし、整数 $k$ の和は階乗をとる数がすべて非負である $k$ だけに限られる。この公式は $M \ge 0$ かつ $j_1 \ge j_2$ の場合に適用されるが、それ以外の場合は関係式

\[\begin{eqnarray}    \bra j_1  - \! m_1 \, j_2  - \! m_2 | J \, - \!M \ket &=& (-1)^{J-j_1 -j_2 } \bra j_1 m_1 \, j_2 m_2 | J M \ket      \tag{13.107} \\    \bra j_2  m_2  \, j_1  m_1 | J \, M \ket &=& (-1)^{J-j_1 -j_2 } \bra j_1 m_1 \, j_2 m_2 | J M \ket     \tag{13.108} \end{eqnarray}\]

から求まる。