前回の準備を踏まえて今回は軽クォークで構成される8重項バリオンの質量公式がウィグナー-エッカルトの定理を適用して導出できることを見ていく。
8重項バリオンの質量公式
相互作用のエネルギー・レベルの階層性
\[ \mbox{$\rm{I}.$ 強い相互作用} ~ \gg ~ \underbrace{\mbox{$\rm{I}\hspace{-1pt}\rm{I}.$ 質量効果} ~ \gg ~ \mbox{$\rm{I}\hspace{-1pt}\rm{I}\hspace{-1pt}\rm{I}.$ $\, W_\pm , Z, A$} との相互作用}_{ \mbox{電弱相互作用} } \tag{13.117} \]
において、エネルギー・レベルⅡにおける軽クォークの質量効果を考える。5.4節で議論したように、クォークの質量行列は
\[ \bra q | m | q \ket \, = \, \diag (m_u , m_d , m_s ) \, \approx \, \diag ( m_u , m_u , m_u + \Delta ) \tag{13.119} \]
と表せる。ただし、$|q \ket = (u , d , s )^{T}$ であり、関係式 $m_u \approx m_d \ll m_s$, $\Delta = m_s - m_u$ を用いた。一般に、エネルギー・レベルⅡにおいて8重項メソンあるいは8重項バリオンの質量演算子 $M$ は
\[ M \, = \, M_0 {\bf 1} + M^a \tag{13.120} \]
と表せる。ただし、$M^a$ $(a = 1,2, \cdots, 8)$ は $SU(3)$ 代数の生成子として変換する。1.5節で紹介したゲルマン行列
\[\begin{eqnarray} && \la^1 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)~~~ \la^2 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)~~~ \la^3 = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \nonumber \\ && \la^4 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)~~~ \la^5 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \\ \end{array} \right)~~~ \la^6 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right) \nonumber \\ && \la^7 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \\ \end{array} \right)~~~ \la^8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} \tag{1.49} \]
を用いると、$c {\bf 1} - \sqrt{3} c \, \la^8 = \diag (0,0,3c)$ とおける。ただし、$c$ は定数であり ${\bf 1}$ は $3 \times 3$ の恒等行列を表す。これより、質量演算子 $M$ において $M^a$ の添え字 $a$ は $a = 8$ と特定できることが分かる。
つぎに、ウィグナー-エッカルト型の応用例として8重項バリオンの質量行列を考える。5.4節で示したように、8重項バリオンの行列表示は
\[ {\bf B} = \left( \begin{array}{ccc} \frac{\Si^0}{\sqrt{2}} + \frac{\La}{\sqrt{6}} & \Si^{+} & p \\ \Si^{-} & - \frac{\Si^0}{\sqrt{2}} + \frac{\La}{\sqrt{6}} & n \\ \Xi^{-} & \Xi^{0} & - \sqrt{\frac{2}{3}} \La \end{array} \right) = \sum_{a = 1}^{8} \psi^{a} \frac{\la^a}{\sqrt{2}} \tag{13.121} \]
で与えられる。ただし、$\psi^a$ は8重項バリオン場の演算子を表す。$SU(3)$ の随伴表現 $\Psi_i^j$ あるいは $(ij)$ と場の演算子 $\phi^a$ との対応関係は下表のようになる。
\begin{array}{|c|cc|} \hline 8重項バリオン (b) & \psi^a & SU(3) \, 随伴表現~ {\bf 8} \\ \hline \Si^+ & \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi^1 + i \psi^2 ) & (12) \\ p & \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi^4 + i \psi^5 ) & (13) \\ \Si^- & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^1 - i \psi^2 ) & (21) \\ n & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^6 + i \psi^7 ) & (23) \\ \Xi^- & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^4 - i \psi^5 ) & (31) \\ \Xi^0 & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^6 - i \psi^7 ) & (32) \\ \Si^0 & \psi^3 & \frac{1}{\sqrt{2}}(11) -\frac{1}{\sqrt{2}}(22) \\ \La & \psi^8 & \frac{1}{\sqrt{6}}(11) + \frac{1}{\sqrt{6}}(22) - \frac{2}{\sqrt{6}}(33) \\ \hline \end{array}
質量演算子(13.120)より、8重項バリオンの質量行列は
\[ \M_{bc} \, \equiv \, \bra {\bf 8}, b | M | {\bf 8}, c \ket \, = \, M_0 \, \del_{bc} \, + \bra {\bf 8}, b | M^8 | {\bf 8}, c \ket \tag{13.122} \]
と定義できる。ただし、$b, \, c$ は上表の8重項バリオンをラベルする添え字である。13.2節
で求めたウィグナー-エッカルトの定理
\[\begin{eqnarray} && \bra R^\prime , \al | Q^A | R , m \ket \nonumber \\ &=& \sum_{\bt , n} \sum_{\widetilde{R}, \la, \si} {C^{R^{\prime\prime} R \widetilde{R}}_{A m \si}}^* C^{R^{\prime\prime}R \widetilde{R}}_{Bn \la} \frac{ \del_{\al \si} \del_{\bt \la} \del^{R^\prime \widetilde{R}} }{ ( {\rm dim} R^\prime ) ( \mbox{$G$ の体積}) } \bra R^\prime , \bt | Q^B | R , n \ket \nonumber \\ &=& {C^{R^{\prime\prime} R R^{\prime}}_{A m \al}}^* \left[ \sum_{\bt , n} \frac{C^{R^{\prime\prime}R R^{\prime}}_{Bn \bt} \, \bra R^\prime , \bt | Q^B | R , n \ket } { ( {\rm dim} R^\prime ) ( \mbox{$G$ の体積}) } \right] \nonumber \\ & \equiv & {C^{R^{\prime\prime} R R^{\prime}}_{A m \al}}^* \, \bra R^\prime || Q^{R^{\prime\prime}} || R \ket \tag{13.77} \end{eqnarray}\]
を適用すると $SU(3)$ 対称性を破る行列要素は
\[ \bra {\bf 8}, b | M^8 | {\bf 8}, c \ket \, = \, {C_{8cb}^{\bf 888}}^* \, \bra {\bf 8} || M^{\bf 8} || {\bf 8} \ket \tag{13.123} \]
と表せる。ただし、${C_{8cb}^{\bf 888}}^*$ と $\bra {\bf 8} || M^{\bf 8} || {\bf 8} \ket$ はそれぞれクレブシュ-ゴルダン係数と還元行列要素である。随伴表現 ${\bf 8}$ は ${\bf 8}^* = {\bf 8}$ を満たすことに注意しよう。13.1節の(13.29)-(13.35)で示したように、このクレブシュ-ゴルダン係数は展開式
\[\begin{eqnarray} | {\bf 8}, ij \ket \otimes | {\bf 8} , kl \ket &=& C_{(ij)(kl)(mnrs)}^{{\bf 88} \, {\bf 27}} | {\bf 27} , mnrs \ket \oplus C_{(ij)(kl)(mrs)}^{{\bf 88} \, {\bf 10}} | {\bf 10} , mrs \ket \nonumber \\ && \oplus \, C_{(ij)(kl)(mrs)}^{{\bf 88} \, {\bf 10}^* } | {\bf 10}^* , mrs \ket \oplus C_{(ij)(kl)(mn)}^{{\bf 888} } | {\bf 8} , mn \ket \nonumber \\ && \oplus \, C_{(kl)(ij)(mn)}^{{\bf 888} } | {\bf 8} , mn \ket \oplus C_{(kl)(ij)(mm)}^{{\bf 881} } | {\bf 1} , mm \ket \tag{13.124} \end{eqnarray}\]
から求まる。ただし、添え字はテンソル解析による $SU(3)$ 表現を表す。随伴表現 ${\bf 8}$ への分解に関わるクレブシュ-ゴルダン係数には $C_{(ij)(kl)(mn)}^{{\bf 888} }$ と $C_{(kl)(ij)(mn)}^{{\bf 888} }$ の２つのタイプがあることに注意する。13.1節で計算したように、これらは
\[\begin{eqnarray} C_{(ij)(kl)(mn)}^{{\bf 888}} &=& \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} \ep^{jlm} \ep_{ikn} + \frac{1}{3} \del_i^l \del_k^m \del_n^j \right) \tag{13.125} \\ C_{(kl)(ij)(mn)}^{{\bf 888} } &=& \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} \ep^{ljm} \ep_{kin} + \frac{1}{3} \del_k^j \del_i^m \del_n^l \right) \tag{13.126} \end{eqnarray}\]
で与えられる。これらの係数は実数であるので ${C_{8cb}^{\bf 888}}^* =C_{8cb}^{{\bf 888}} $ であり、8重項バリオン $b$ の質量は
\[\begin{eqnarray} M_b & = & {\cal M}_{bb} \, = \, M_0 \, + \, \Delta M_b \tag{13.127} \\ \Delta M_b &=& C_{\La bb}^{{\bf 888}} \, \al \, + \, C_{b \La b}^{{\bf 888}} \, \bt \tag{13.128} \end{eqnarray}\]
とパラメータ表示できる。ただし、$\al$, $\bt$ は対応するクレブシュ-ゴルダン係数の還元行列要素に比例するパラメータである。上表の対応関係から
\[\begin{eqnarray} C_{\La bb}^{{\bf 888}} &=& \frac{1}{\sqrt{6}}C_{(11) bb}^{{\bf 888}} + \frac{1}{\sqrt{6}}C_{(22) bb}^{{\bf 888}} - \frac{2}{\sqrt{6}}C_{(33) bb}^{{\bf 888}} \tag{13.129} \\ C_{b\La b}^{{\bf 888}} &=& \frac{1}{\sqrt{6}}C_{b(11) b}^{{\bf 888}} + \frac{1}{\sqrt{6}}C_{ b(22)b}^{{\bf 888}} - \frac{2}{\sqrt{6}}C_{b(33) b}^{{\bf 888}} \tag{13.130} \end{eqnarray}\]
と計算できる。よって、8重項バリオンそれぞれの質量差 $\Delta M_b$ は
\[\begin{eqnarray} \Delta M_p \, = \, \Delta M_n &=& - \frac{1}{24 \sqrt{6}} (7 \al + \bt ) \tag{13.131} \\ \Delta M_{\Xi^-} \, = \, \Delta M_{\Xi^0} &=& - \frac{1}{24 \sqrt{6}} ( \al + 7 \bt ) \tag{13.132} \\ \Delta M_{\Si^\pm } \, = \, \Delta M_{\Si^0} &=& \frac{1}{3 \sqrt{6}} ( \al + \bt ) \tag{13.133} \\ \Delta M_{\La } &=& - \frac{1}{3 \sqrt{6}} ( \al + \bt ) \tag{13.134} \end{eqnarray}\]
と求まる。これらより、8重項バリオンの質量公式
\[ 2 \left( M_p + M_{\Xi^0} \right) \, = \, 3 M_\La + M_{\Si^0} \tag{13.135} \]
を簡単に導ける。これは5.4節で導出した質量公式(5.47)と同じである。
\[ \Delta M_b \, = \, C_{(33) bb}^{{\bf 888}} \, \al^\prime \, + \, C_{b (33) b}^{{\bf 888}} \, \bt^\prime \tag{13.136} \]
とパラメータ表示することもできる。このパラメータ表示を用いると、上と同様に、
\[\begin{eqnarray} \Delta M_p \, = \, \Delta M_n &=& \frac{1}{12} \al^\prime \tag{13.137} \\ \Delta M_{\Xi^-} \, = \, \Delta M_{\Xi^0} &=& \frac{1}{12} \bt^\prime \tag{13.138} \\ \Delta M_{\Si^\pm } \, = \, \Delta M_{\Si^0} &=& - \frac{1}{8} ( \al^\prime + \bt^\prime ) \tag{13.139} \\ \Delta M_{\La } &=& \frac{7}{72} ( \al^\prime + \bt^\prime ) \tag{13.140} \end{eqnarray}\]
を得る。これらの関係式から8重項バリオンの質量公式(13.135)が導けることも簡単に確認できる。
以上の手法は形式的かつ単純である。つまり、一旦(13.125), (13.126)の形のクレブシュ-ゴルダン係数が分かってしまえば、計算手順は冗長になるかもしれないが、原理的には、$\Delta M_b$ を導出できる。しかし、$\Delta M_b$ を計算するだけなら、より簡単な方法が存在する。クレブシュ-ゴルダン係数は定数なので、これらは群の変換のもとで不変である。よって、クレブシュ-ゴルダン係数は $SU(3)$ 群のカシミール不変量でパラメータ表示できる。12.3節の(12.75)で示したように $SU(3)$ 群のカシミール不変量はカシミール演算子
\[\begin{eqnarray} \Tr (\la^a \la^b \la^c ) & = & \frac{1}{2} \, \Tr \left( \la^a \left[ \la^b , \la^c \right] \right) \, + \, \frac{1}{2} \, \Tr \left( \la^a \left\{ \la^b , \la^c \right\} \right) \nonumber \\ & = & i 2 f^{abc} \, + \, 2 d^{abc} \tag{13.141} \end{eqnarray}\]
から得られる。ここで、$f^{abc}$, $d^{abc}$ はそれぞれ $SU(3)$ の（反対称的な）構造定数と対称シンボルであり、$SU(3)$ 群のカシミール不変量に相当する。これらの定数のうちゼロでない成分は以下の表で与えられる。
\begin{array}{|ccc|ccccc|} \hline ijk & f_{ijk} &~& ijk & d_{ijk} &~& ijk & d_{ijk} \\ \hline 123 & 1 &~& 118 & \frac{1}{\sqrt{3}} &~& 355 & \frac{1}{2} \\ 147 & \frac{1}{2} &~& 146 & \frac{1}{2} &~& 366 & - \frac{1}{2} \\ 156 & - \frac{1}{2} &~& 157 & \frac{1}{2} &~& 377 & - \frac{1}{2} \\ 246 & \frac{1}{2} &~& 228 & \frac{1}{\sqrt{3}} &~& 448 & - \frac{1}{2\sqrt{3}} \\ 257 & \frac{1}{2} &~& 247 & - \frac{1}{2} &~& 558 & - \frac{1}{2\sqrt{3}} \\ 345 & \frac{1}{2} &~& 256 & \frac{1}{2} &~& 668 & - \frac{1}{2\sqrt{3}} \\ 367 & - \frac{1}{2} &~& 338 & \frac{1}{\sqrt{3}} &~& 778 & - \frac{1}{2\sqrt{3}} \\ 458 & \frac{\sqrt{3}}{2} &~& 344 & \frac{1}{2} &~& 888 & - \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 678 & \frac{\sqrt{3}}{2} &~& & &~& & \\ \hline \end{array}
構造定数と対称シンボルを用いると、8重項バリオンのの質量行列(13.122)は
\[ \M_{bc} \, = \, M_0 \, \del_{bc} \, + \, i A \, f_{bc}^{~~8} \, + \, B \, d_{bc}^{~~8} \tag{13.142} \]
と表せる。ただし、$b$, $c$ は8重項バリオン場 $\psi^a$ の添え字 $a$ と同様に複素数の値をとる。また、$A$, $B$ は定数である。これより、8重項バリオンのそれぞれの質量は
\[\begin{eqnarray} M_b & = & {\cal M}_{\bar{b}b} \, = \, M_0 \, + \, \Delta M_b \tag{13.143} \\ \Delta M_b &=& i A \, f_{\bar{b}b 8} \, + \, B \, d_{\bar{b}b 8} \tag{13.144} \end{eqnarray}\]
と表示できる。$f_{ijk}$ と $d_{ijk}$ の値から、質量差 $\Delta M_b$ はそれぞれ
\[\begin{eqnarray} \Delta M_p \, = \, \Delta M_n &=& - \frac{\sqrt{3}}{2} A - \frac{1}{2 \sqrt{3}} B \tag{13.145} \\ \Delta M_{\Xi^-} \, = \, \Delta M_{\Xi^0} &=& \frac{\sqrt{3}}{2} A - \frac{1}{2 \sqrt{3}} B \tag{13.146} \\ \Delta M_{\Si^\pm } \, = \, \Delta M_{\Si^0} &=& \frac{1}{ \sqrt{3}} B \tag{13.147} \\ \Delta M_{\La } &=& - \frac{1}{ \sqrt{3}} B \tag{13.148} \end{eqnarray}\]
と計算できる。これらの関係式からも8重項バリオンの質量公式(13.135)を導出できることが分かる。
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