10重項バリオンの質量公式
前回はウィグナー-エッカルトの定理の応用例の1つとして8重項バリオンの質量公式を導いた。今回は同様にして10重項バリオンの質量公式を導出する。まず、10重項バリオンは関係式
\[ {\bf 3} \otimes {\bf 3} \otimes {\bf 3} \, = \, {\bf 1} \oplus {\bf 8} \oplus {\bf 8} \oplus {\bf 10} \tag{13.118} \]
のうちの ${\bf 10}$ 表現に属する。$SU(3)$ 群の ${\bf 10}$ 表現 $\Psi_{ijk}$ あるいは $(ijk)$ と10重項バリオン場の演算子 $\psi_{ijk}$ を用いると、10重項バリオンは下表のようにラベルできる。
\begin{array}{|c|cc|} \hline 10重項バリオン \, (b) & \psi_{ijk} & SU(3) \, 群の\, {\bf 10} \, 表現 \\ \hline \Delta^{++} & \psi_{111} & (111) \\ \Delta^{+} & \sqrt{3} \, \psi_{112} & (112) \\ \Delta^{0} & \sqrt{3} \, \psi_{122} & (122) \\ \Delta^{-} & \psi_{222} & (222) \\ \Si^{*+} & \sqrt{3} \, \psi_{113} & (113) \\ \Si^{*0} & \sqrt{6} \, \psi_{123} & (123) \\ \Si^{*-} & \sqrt{3} \, \psi_{223} & (223) \\ \Xi^{*0} & \sqrt{3} \, \psi_{133} & (133) \\ \Xi^{*-} & \sqrt{3} \, \psi_{233} & (233) \\ \Omega^{-} & \psi_{333} & (333) \\ \hline \end{array}
場の演算子 $\psi_{ijk}$ を具体的に書き下すと
\[ \psi_{ijk} = B_{(ijk)} = \frac{1}{6} ( B_{ijk} + B_{ikj} + B_{jik} + B_{jki} + B_{kij} + B_{kji} ) \tag{13.149} \]
と表せる。場の演算子の規格化は、例えば、
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} (\psi_{112} + \psi_{121} + \psi_{211} ) \, = \, \sqrt{3} \, \psi_{112} \tag{13.150} \]
で与えられる。ただし、$\psi_{ijk}$ の完全対称な添え字に条件 $i \le j \le k$ を課した。
ここで、10重項バリオンの質量行列 $\M_{bc} \sim (\bar{B} B)_{bc}$ を考える。8重項バリオンの場合(3.120)と同様に、${\bf 8}$ 表現あるいは恒等表現 ${\bf 1}$ に属する因子に注目する。表現 ${\bf 10}$ とその共役表現 ${\bf 10}^*$ の合成は
\[ {\bf 10} \otimes {\bf 10}^* \, = \, {\bf 64} \oplus {\bf 27} \oplus {\bf 8} \oplus {\bf 1} \tag{13.151} \]
と分解できるので、質量行列は
\[ \M_{bc} \, = \, M_0 \, \del_{bc} \, + \, C_{bca}^{{\bf 10}^* {\bf 10} \, {\bf 8}} \, M^a \tag{13.152} \]
とパラメータ表示できる。ただし、$M^a$ は ${\bf 8}$ 表現に属し、$C_{bca}^{{\bf 10}^* {\bf 10} \, {\bf 8}}$ は分解 ${\bf 10}^* \otimes {\bf 10} \rightarrow {\bf 8}$ に関わるクレブシュ-ゴルダン係数を表す。関係式 $C_{bca}^{{\bf 10}^* {\bf 10} \, {\bf 8}} \sim C_{cba}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^* {\bf 8}}$ から、10重項バリオンの質量は
\[\begin{eqnarray} M_b & = & \M_{bb} \, = \, M_0 \, + \, \Delta M_b \tag{13.153} \\ \Delta M_b &=& C_{bb8}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^* {\bf 8}} \, \al \tag{13.154} \end{eqnarray}\]
とパラメータ表示できることが分かる。ここで、$\al$ はゼロでない定数であり、$SU(3)$ 対称性を破る質量項に対応する。
つぎに、テンソル解析の手法でクレブシュ-ゴルダン係数 $C_{bb8}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^* {\bf 8}}$ を計算する。テンソル $\Psi_{ijk} \Phi^{lmn} = V_{(ijk)}^{(lmn)}$ を用いると展開式(13.151)は
\[ V_{(ijk)}^{(lmn)} \, = \, T_{(ijk)}^{(lmn)} + \frac{1}{3} \del_{(i}^{(l} T_{jk)}^{mn)} + \frac{1}{9} \del_{(i}^{(l} \del_{j}^{m} T_{k)}^{n)} + \frac{1}{27} \del_{(i}^{(l} \del_{j}^{m} \del_{k)}^{n)} {\bf 1} \tag{13.155} \]
と表せる。ただし、$T_{(ijk)}^{(lmn)}$ は $V_{(ijk)}^{(lmn)}$ のうちトレース・ゼロの成分を表す。13.1節で求めた直積 ${\bf 8} \otimes {\bf 8}$ の展開式(13.25)との類似性に注意しよう。これより、$C_{(ijk)(lmn)(rs)}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^* {\bf 8}}$ は
\[\begin{eqnarray} C_{(ijk)(lmn)(rs)}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^* \, {\bf 8}} \! &=& \! \frac{1}{9} \, \del_{(i}^{(l} \del_{j}^{m} \del_{k)}^{\check{r}} \del_{s}^{n )} \nonumber \\ &=& \! \frac{1}{54} \left( \del_{i}^{(l} \del_{j}^{m} \del_{s}^{n )} \del_{k}^{r} + \del_{i}^{(l} \del_{k}^{m} \del_{s}^{n )} \del_{j}^{r} + \del_{j}^{(l} \del_{i}^{m} \del_{s}^{n )} \del_{k}^{r} \right. \nonumber \\ && ~~~~ \left. \del_{j}^{(l} \del_{k}^{m} \del_{s}^{n )} \del_{i}^{r} + \del_{k}^{(l} \del_{i}^{m} \del_{s}^{n )} \del_{j}^{r} + \del_{k}^{(l} \del_{j}^{m} \del_{s}^{n )} \del_{i}^{r} \right) \tag{13.156} \end{eqnarray}\]
で与えられることが分かる。ただし、$\check{r}$ は $r$ が添え字の対称性から除かれることを意味する。前回導出した8重項バリオンの添え字を用いると $C_{bb8}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^* {\bf 8}}$ は
\[ C_{bb8}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^* {\bf 8}} \, = \, C_{bb\La}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^* {\bf 8}} \ = \, \frac{1}{\sqrt{6}} C_{bb(11)}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^* {\bf 8}} +\frac{1}{\sqrt{6}} C_{bb(22)}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^* {\bf 8}} - \frac{2}{\sqrt{6}} C_{bb(33)}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^* {\bf 8}} \tag{13.157} \]
と表せる。また、式(13.156)から関係式
\[\begin{eqnarray} C_{(ijk)(ijk)(rr)}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^* \, {\bf 8}} \! &=& \! \frac{1}{2 \cdot 3^4} \biggl[ \, {}^{k}_{r} + {}^{j}_{r} + {}^{i}_{r} + {}^{ik}_{jr} + {}^{ij}_{kr} + {}^{ij}_{rk} \nonumber \\ && ~~~~ + 2 \left( {}^{kjr}_{jrk} + {}^{kir}_{irk} + {}^{ijr}_{jri} + {}^{ijkr}_{jkri} + {}^{kijr}_{ijrk} + {}^{kijr}_{jkri} \right) \biggr] \tag{13.158} \end{eqnarray}\]
が得られる。ただし、諸々の記号は ${}^{k}_{r} = {\del}^{k}_{r}$, ${}^{ik}_{jr} = {\del}^{i}_{j} \del^{k}_{r}$, ${}^{kjr}_{jrk} = {\del}^{k}_{j} {\del}^{j}_{r} {\del}^{r}_{k}$, ${}^{ijkr}_{jkri} = {\del}^{i}_{j} {\del}^{j}_{k}{\del}^{k}_{r}{\del}^{r}_{i}$ などで定義される。以上、10重項バリオンと ${\bf 10}$ 表現の対応表と(13.157), (13.158)から、(13.154)の $\Delta M_b$ は関係式
\[\begin{eqnarray} \Delta M_{\Delta^{++}} \, = \, \Delta M_{\Delta^{+}} \, = \, \Delta M_{\Delta^{0}} \, = \, \Delta M_{\Delta^{-}} &=& \frac{1}{9 \sqrt{6}} \al \tag{13.159}\\ \Delta M_{\Si^{*+}} \, = \, \Delta M_{\Si^{*0}} \, = \,\Delta M_{\Si^{*-}} &=& 0 \tag{13.160}\\ \Delta M_{\Xi^{*-}} \, = \, \Delta M_{\Xi^{*0}} &=& -\frac{1}{9 \sqrt{6}} \al \tag{13.161} \\ \Delta M_{\Om^{-}} &=& -\frac{2}{9 \sqrt{6}} \al \tag{13.162} \end{eqnarray}\]
で与えられる。10重項バリオンの質量(13.153)を用いると、これらは
\[ M_{\Om^{-}} - M_{\Xi^{*0}} \, = \, M_{\Xi^{*0}} - M_{\Si^{*0}} \, = \, M_{\Si^{*0}} - M_{\Delta^{0}} \tag{13.163} \]
と表せる。これらの関係式は5.4節で導出した10重項バリオンの質量公式(5.49)と同じである。
\[ \Delta M_b \, = \, C_{bb (33)}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^* {\bf 8}} \, \al^\prime \tag{13.164} \]
とパラメータ表示することもできる。ただし、$\al^\prime$ は $\al$ とは異なるパラメータである。この場合も同様に以下の関係式を導ける。
\[\begin{eqnarray} \Delta M_{\Delta^{++}} \, = \, \Delta M_{\Delta^{+}} \, = \, \Delta M_{\Delta^{0}} \, = \, \Delta M_{\Delta^{-}} &=& 0 \tag{13.165}\\ \Delta M_{\Si^{*+}} \, = \, \Delta M_{\Si^{*0}} \, = \,\Delta M_{\Si^{*-}} &=& \frac{1}{27} \al^\prime \tag{13.166}\\ \Delta M_{\Xi^{*-}} \, = \, \Delta M_{\Xi^{*0}} &=& \frac{2}{27} \al^\prime \tag{13.167} \\ \Delta M_{\Om^{-}} &=& \frac{3}{27} \al^\prime \tag{13.168} \end{eqnarray}\]
これらの関係式が(13.163)と同じ質量公式を導くことは簡単に確認できる。
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