3.3 整数量子ホール効果のラフリン波動関数
前節ではハミルトニアンの調和振動子ポテンシャルの効果を無視した。この節では調和振動子ポテンシャルを回復させて、最低ランダウ準位 (LLL) の波動関数
\Psi_{LLL}の具体的な形を求める。さらに、
\Psi_{LLL}を用いて整数量子ホール効果の多電子波動関数を求めることを目指す。
3.1節で導いた量子ホール効果の1粒子ハミルトニアンは
\begin{eqnarray} H &=& \frac{1}{2m} ( \Pi_{1}^{2} + \Pi_{2}^{2} ) + \frac{m \om^2}{2} ( x_{1}^{2} + x_{2}^{2} ) \nonumber \\ &=& \underbrace{\frac{eB}{m} \left( \A^\dag \A + \hf \right)}_{\equiv H_0} + \frac{m \om^2}{2} ( x_{1}^{2} + x_{2}^{2} ) \tag{3.11} \end{eqnarray}
であった。ただし、\A, \A^\dagは演算子
\A = \frac{\Pi_1 + i \Pi_2}{\sqrt{2eB}} \, , ~~ \A^\dag = \frac{\Pi_1 - i \Pi_2}{\sqrt{2eB}} \tag{3.8}
で与えられる。ここでは、まずハミルトニアン(3.11)を複素変数
z = \sqrt{\frac{eB}{2}} ( x_1 + i x_2) \, , ~~ \bz = \sqrt{\frac{eB}{2}} ( x_1 - i x_2) \tag{3.40}
で書き換えることを考える。演算子\Aは
\begin{eqnarray} \A &=& \frac{ \Pi_1 + i \Pi_2 }{ \sqrt{2eB}} = \frac{ \left( p_1 + \frac{eB}{2} x_2 \right) +i \left( p_2 - \frac{eB}{2} x_1 \right)}{\sqrt{2eB}} \nonumber \\ &=& \frac{-i}{\sqrt{2eB}} \left( \frac{\d}{\d x_1} + i \frac{\d}{\d x_2} \right) - \frac{i}{2}\sqrt{\frac{eB}{2}} ( x_1 + ix_2 ) \nonumber \\ &=& -i \left( \frac{\d}{\d \bz} + \frac{z}{2} \right) \tag{3.41} \end{eqnarray}
と表せる。ただし、関係式
\left( \frac{\d}{\d x_1} + i \frac{\d}{\d x_2} \right) \bz = \left( \frac{\d}{\d x_1} + i \frac{\d}{\d x_2} \right) (x_1 - i x_2 ) \sqrt{\frac{eB}{2}} = \sqrt{2eB} \tag{3.42}
から微分\frac{\d}{\d \bz}を定義した。同様に、共役演算子\A^\dagは
\A^\dag = -i \left( \frac{\d}{\d z} - \frac{\bz}{2} \right) \tag{3.43}
と表せる。
つぎに、調和振動子ポテンシャルの効果を解析するために4つの新しい演算子を定義する。
\begin{eqnarray} C &=& \A - \frac{i \al}{2} z = -i \left( \frac{\d}{\d \bz} + \frac{1+\al}{2} z \right) \tag{3.44}\\ C^\dag &=& \A^\dag + \frac{i \al}{2} \bz = -i \left( \frac{\d}{\d z} - \frac{1+\al}{2} \bz \right) \tag{3.45}\\ T &=& \A + i z + \frac{i \al}{2} z = -i \left( \frac{\d}{\d \bz} - \frac{1+\al}{2} z \right) \tag{3.46}\\ T^\dag &=& \A^\dag - i \bz - \frac{i \al}{2} \bz = -i \left( \frac{\d}{\d z} + \frac{1+\al}{2} \bz \right) \tag{3.47} \end{eqnarray}
ただし、
\alは定数である。演算子
T,
T^\dagは
3.1節で導入した磁気並進演算子と類似していることに注意しよう。演算子
C,
C^\dagでハミルトニアンを表すと
\begin{eqnarray} H &=& 2 \om_L \left[ \left( C^\dag - \frac{i \al}{2} \bz \right) \left( C + \frac{i \al}{2} z \right)+ \frac{1}{2} \right] + \frac{\om^2}{2 \om_L} \bz z \nonumber \\ &=& 2 \om_L \left[ C^\dag C - i \frac{\al \bz}{2} C + i \frac{\al}{2} C^\dag z + \frac{\al^2}{4} \bz z + \frac{1}{2} \right] + \frac{\om^2}{2 \om_L} \bz z \tag{3.48} \end{eqnarray}
となる。ただし、\om_Lはラーモア振動数\om_L = \frac{eB}{2 m}である。式(3.45)と式(3.47)から、i C^\dag zの因子は次のように変形できる。
\begin{eqnarray} i C^\dag z &=& \left( \frac{\d}{\d z } - \frac{\bz}{2} - \frac{\al}{2} \bz \right) z \nonumber \\ &=& 1+ z \frac{\d}{\d z} - \frac{ 1+ \al}{2} \bz z \nonumber \\ &=& 1+ z \left( \frac{\d}{\d z} + \frac{ 1+ \al}{2} \bz - (1+ \al ) \bz \right) \nonumber \\ &=& 1 + i z T^\dag - (1 + \al ) \bz z \tag{3.49} \end{eqnarray}
よって、ハミルトニアン(3.48)は
H = 2 \om_L \left[\left( C^\dag C - \frac{i \al \bz}{2} C \right) + \frac{\al}{2} ( 1 + i z T^\dag - (1+ \al ) \bz z )+ \frac{\al^2}{4} \bz z + \frac{1}{2} \right] + \frac{\om^2}{2 \om_L} \bz z \tag{3.50}
と書ける。上式で\bz zに比例する項がゼロとなる条件は
\begin{eqnarray} && - \om_L \al ( 1+ \al ) + \frac{\al^2}{2} \om_L + \frac{\om^2}{2 \om_L} = 0 \nonumber \\ && ~~ \Longrightarrow ~~ \al = \frac{- \om_L \pm \sqrt{\om_{L}^{2} + \om^2 }}{\om_L} \tag{3.51} \end{eqnarray}
である。調和振動子ポテンシャルがない極限\om \rightarrow 0で\al \rightarrow 0と要請できるので、\alの値は一意に決められる。
\al = \frac{ - \om_L + \sqrt{\om_{L}^{2} + \om^2 }}{\om_L} \tag{3.52}
この場合、ハミルトニアン(3.50)は
H = 2 \om_L \left( C^\dag C - \frac{i \al \bz}{2} C \right) + (1+ \al ) \om_L + \al \om_L z \left( \frac{\d}{\d z} + \frac{1+ \al }{2} \bz \right) \tag{3.53}
となる。最後の項は磁化並進タイプの演算子T^\dagで表せる。上式より最低ランダウ準位の状態| LLL \ketを
C | LLL \ket = 0 \tag{3.54}
で定義できる。よって、最低ランダウ準位の波動関数\Psi_{LLL}は
\left( \frac{\d}{\d \bz} + \frac{1 + \al}{2} z \right) \Psi_{LLL} = 0 \tag{3.55}
を満たす。これより、\Psi_{LLL}は
\Psi_{LLL} = \exp \left( - \frac{1+\al}{2} \bz z \right) f(z) \tag{3.56}
と解ける。ここで、f(z)は任意の正則関数である。上式より関係式
\left( \frac{\d}{\d z } + \frac{1+\al}{2} \bz \right) \Psi_{LLL} = \exp \left( - \frac{1+\al}{2} \bz z \right) \frac{ \d f (z)}{\d z} \tag{3.57}
が得られる。よって、シュレーディンガー方程式H \Psi_{LLL} = E \Psi_{LLL}は
H \Psi_{LLL} = e^{- \frac{1+\al}{2}\bz z} \left[ (1+ \al ) \om_L + \al \om_L z \frac{\d}{\d z} \right] f(z) = e^{- \frac{1+\al}{2}\bz z} E f(z) \tag{3.58}
と表せる。これより、f(z)の方程式
(1 + \al ) \om_L f (z) + \al \om_L z \frac{\d}{\d z} f (z) = E f (z) \tag{3.59}
が得られる。この方程式はつぎの解をもつ。
f(z) = z^k , \hskip .3in E = E_{k} = ( 1+ \al ) \om_L + k \al \om_{L} ~~ (k = 0,1,2, \cdots ) \tag{3.60}
パラメータ\alは
\al = \frac{ - \om_L + \sqrt{\om_{L}^{2} + \om^2 }}{\om_L} \tag{3.52}
で与えられるので、エネルギー固有値E_kは\omの大小によって次のようの振る舞う。
\begin{eqnarray} E_{k} \rightarrow \om_L &~~~~& ( \om \rightarrow 0 ) \nonumber \\ E_{k} \approx ( k + 1 ) \om &~~~~& (\om \ge \om_L ) \nonumber \end{eqnarray}
振動子ポテンシャル\omが無視できるほど小さいとき、すべての固有状態は縮退状態となる。一方、\omがラーモア振動数\om_Lに比べて十分大きいとき、固有状態は2次元調和振動子の固有状態に近似できる。よって、この解は整合性をもつ。振動子のポテンシャルによって期待通り縮退状態の固有エネルギーが持ち上げられた。これは電子が伝導体内に閉じ込められている描像と合っている。ここで重要なのは、波動関数がベキ因子を除いてzの正則関数f(z)で表せることである。以下では、このことを用いて多電子の波動関数を構成する。