3.2 整数量子ホール効果
この節ではすべての状態が電子で充填されているランダウ準位を考える。ゼーマン分裂など、電子のスピンの効果は無視する。(強磁場のもとではすべての電子はスピン偏極状態にあるのでスピン自由度の動力学は「凍結」する。よって、ここでの議論ではスピン自由度による効果は無視できる。)前節で述べたように量子ホール効果はホール伝導率σij (i,j=1,2) の量子化によって実現される。ここで、ホール伝導率は
⟨Ji⟩=σijEj
で定義される。ただし、⟨Ji⟩は電流Jiの期待値であり、その値は多数の電子で充填されているランダウ準位を用いて計算される。この節の主な目的は前節最後に紹介したランダウ準位の準古典的な分析を用いて期待値⟨Ji⟩を計算し、ホール伝導率σijが量子化されているか調べることである。
前節の式(3.24)より、単位面積当たりの縮退状態の全電荷量、すなわち電荷密度はe2B2πで与えれられることが分かる。いまν個のランダウ準位 (νは自然数) が電子で充填されているとすると、状態の総電荷密度は
⟨J0⟩=⟨ψ(0)|J0|ψ(0)⟩=νe2B2π
となる。ただし、ψ(0)は充填されたランダウ準位の波動関数である。ここではνを自然数としているが、一般にνは充填率 (filling fraction) と呼ばれる。(より一般に、νが必ずしも整数でない場合にも式(3.26)に類似した公式が成り立つことが知られている。次章で扱う分数量子ホール効果はその一例である。)
ここで磁場の微小変化Ai→Ai+δAiによる摂動を考えよう。電磁相互作用項はAiJi→AiJi+δAiJiとなるので電子のハミルトニアンの摂動H→H+Hintは
Hint=∫d2yδAi(y)Ji(y)
で与えられる。標準的なレイリー-シュレーディンガー (Rayleigh-Schrödinger) 摂動論に従うと、波動関数の摂動はδAiについて1次の近似で
|ψ(0)⟩⟶|ψ(0)⟩+1E(0)−HHint|ψ(0)⟩+⋯
と表せる。ただし、E(0)は|ψ(0)⟩のエネルギー固有値であり、H|ψ(0)⟩=E(0)|ψ(0)⟩を満たす。この摂動状態で電荷密度(3.26)を評価すると
(⟨ψ(0)|+∫⟨ψ(0)|δAiJi1E(0)−H+⋯)J0(|ψ(0)⟩+1E(0)−H∫δAiJi|ψ(0)⟩+⋯)=⟨J0⟩+∫d2yδAi(y)⟨ψ(0)|(Ji(y)1E(0)−HJ0(x)+J0(x)1E(0)−HJi(y))|ψ(0)⟩+⋯
となる。ただし、1行目では積分変数d2yを省略した。よって、δ⟨J0(x)⟩はδAiについて1次の摂動で
δ⟨J0(x)⟩=∫d2y δAi(y)Fi(x,y)Fi(x,y)=⟨ψ(0)|(Ji(y)1E(0)−HJ0(x)+J0(x)1E(0)−HJi(y))|ψ(0)⟩
と表せる。同様に、A0→A0+δA0の摂動を考えると
Hint=∫d2yJ0(y)δA0(y)δ⟨Ji(x)⟩=∫d2yδA0(y)⟨ψ(0)|(J0(y)1E(0)−HJi(x)+Ji(x)1E(0)−HJ0(y))|ψ(0)⟩=∫d2yδA0(y)Fi(y,x)
を得る。ただし、δ⟨Ji(x)⟩はδA0について1次の摂動で近似した。ここで、式(3.26)を書き換えると
⟨J0(x)⟩=νe22π(∂1A2−∂2A1)
となる。これより
δ⟨J0(x)⟩=νe22π(∂1δA2−∂2δA1)=νe22π∫d2y[∂∂x1δ(2)(x−y)δA2(y)−∂∂x2δ(2)(x−y)δA1(y)]
と表せる。よって、式(3.30)と式(3.35)を比較するとFi(x,y)は
Fi(x,y)=−νe22πϵij∂∂xjδ(2)(x−y)
と同定できる。これを式(3.33)に代入するとδ⟨Ji(x)⟩は
δ⟨Ji(x)⟩=∫d2yδA0(y)(−νe22π)ϵij∂∂yjδ(2)(y−x)=νe22πϵij∂∂xjδA0(x)
と表せる。ただし、最後の等式で部分積分を用いた。したがって、⟨Ji(x)⟩は
⟨Ji(x)⟩=νe22πϵij∂A0∂xj=−νe22πϵijEj
と書ける。ただし、∂A0∂xj=−Ejを用いた。これは静電ポテンシャルϕ=A0の関係式→E=−∇ϕに他ならない。式(3.38)はホール伝導率σijの定義式⟨Ji⟩=σijEjと同じ形をしている。よって、以上よりホール伝導率が量子化されていることが導かれた。
σij=νe22πϵij
伝導率はe2/2πの単位で離散的な値をとり、量子化は充填率νで与えられる。
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