前回のエントリー「青空と夕焼けに想う(1)ナイアのエッセイから」の続きです。第2章に入る前に簡単に復習しよう。光の散乱過程は一般に電磁相互作用 ∫d4xJμAμ で与えられる。ただし、Aμ, Jμ はそれぞれ光子の4元ポテンシャルと4元カレントを表す。電気的に中性な大気中の原子や分子との散乱の場合、カレントの保存則から4元カレントは反対称テンソル Mαμ (α=1,2,3;μ=0,1,2,3) をもちいて
Jμ=∂αMαμ
となる。ここで、Fμν=∂μAν−∂νAμ, Fi0=Ei, Fij=ϵijkBk であり、Ei, Bk はそれぞれ電場、磁場を表す。可視光に対応するエネルギー範囲の光子と原子との散乱では、電気双極子の項だけを残すのが適当であり、一次近似でこの散乱振幅は
Jμ=∂αMαμ
と書ける。(式番号は第1章のものを踏襲します。)反対称テンソル Mαμ の成分は M0i=pi, Mij=ϵijkmk であり、ここで pi, mk (i,j,k=1,2,3) はそれぞれ電気双極子モーメント、磁気双極子モーメントの演算子を表す。この場合、電磁相互作用は
∫d4xJμAμ=−12∫d4xFμνMμν=−∫d4x(→p⋅→E+→m⋅→B)となる。ここで、Fμν=∂μAν−∂νAμ, Fi0=Ei, Fij=ϵijkBk であり、Ei, Bk はそれぞれ電場、磁場を表す。可視光に対応するエネルギー範囲の光子と原子との散乱では、電気双極子の項だけを残すのが適当であり、一次近似でこの散乱振幅は
A=−∫d4xd4y⟨f|Tpi(x)pj(y)|i⟩ωω′ϵie−ikx√2ωVϵ′jeik′y√2ω′V
となる。ここで、→k, ϵi はの入射光子の運動量と偏光ベクトルであり、→k′, ϵ′i は散乱光子のそれである。ω=ωk=k0, ω′=ω′k=k′0 は入射・散乱光子の角振動数(光子エネルギー)を示す。また、|i⟩ は媒体の始状態、|f⟩ は終状態を示す。
第1章ではこれらの準備から物理的な条件を考慮して、1原子による光子の散乱の断面積が
dσatomdΩ≈ω432π2Pir(k)Pjs(k′)∑α,γcα(M†αγ)rs(Mγα)ij
で表せることをが示された。ただし、
Pij(k)=δij−kikjω2
であり、その他の記号など導出の詳細については前回のエントリーを参照してください。原子がランダムに分布する大気中での散乱では、全体の微分散乱断面積は
dσ=S(→k−→k′) dσatom
となり、構造因子は
S(→k−→k′)=∫d3xd3y ei(→k−→k′)⋅(→x−→y)Tr[ρN(x)N(y)]
で与えられる。N(x) は媒体の密度関数であり、ρ は媒体の密度行列である。N(x) が一定の場合、構造因子はS(→k−→k′)∼δ(3)(→k−→k′) となり散乱は起こらず、光子は媒体を通り抜けるだけになる。散乱が起きるのは密度に揺らぎがある場合であり、媒体中の占有数が少ない高温極限では、密度の相関関数は
dσ=⟨N⟩Vdσatom
と表せる。ただし、⟨N⟩ は媒体中にある原子の平均密度である。以上、ここまで復習。第2章の日本語訳は以下の通りです。
となる。ここで、→k, ϵi はの入射光子の運動量と偏光ベクトルであり、→k′, ϵ′i は散乱光子のそれである。ω=ωk=k0, ω′=ω′k=k′0 は入射・散乱光子の角振動数(光子エネルギー)を示す。また、|i⟩ は媒体の始状態、|f⟩ は終状態を示す。
第1章ではこれらの準備から物理的な条件を考慮して、1原子による光子の散乱の断面積が
dσatomdΩ≈ω432π2Pir(k)Pjs(k′)∑α,γcα(M†αγ)rs(Mγα)ij
で表せることをが示された。ただし、
Pij(k)=δij−kikjω2
であり、その他の記号など導出の詳細については前回のエントリーを参照してください。原子がランダムに分布する大気中での散乱では、全体の微分散乱断面積は
dσ=S(→k−→k′) dσatom
となり、構造因子は
S(→k−→k′)=∫d3xd3y ei(→k−→k′)⋅(→x−→y)Tr[ρN(x)N(y)]
で与えられる。N(x) は媒体の密度関数であり、ρ は媒体の密度行列である。N(x) が一定の場合、構造因子はS(→k−→k′)∼δ(3)(→k−→k′) となり散乱は起こらず、光子は媒体を通り抜けるだけになる。散乱が起きるのは密度に揺らぎがある場合であり、媒体中の占有数が少ない高温極限では、密度の相関関数は
Tr[ρN(x)N(y)]=⟨N(x)N(y)⟩≈⟨N⟩δ(3)(→x−→y)
と近似できる。体積Vに分布する原子と光子の微分散乱断面積はdσ=⟨N⟩Vdσatom
と表せる。ただし、⟨N⟩ は媒体中にある原子の平均密度である。以上、ここまで復習。第2章の日本語訳は以下の通りです。
2 有効作用と不変性
低エネルギー弾性散乱の場合、電磁場についての有効作用をもちいることができる。相互作用項が式(4)で与えられるとき、有効作用は
Seff=−14∫d4xFμνFμν−14∫d4xd4yFμν(x)Fαβ(y)⟨Mμν(x)Mαβ(y)⟩
で与えられる。第2項にFが複数現れるのはゲージ不変性とカレント保存則に関係している。実際、式(3)を導くのにカレント保存則を用いたの思い出そう。均一な媒体では相関関数 ⟨Mμν(x)Mαβ(y)⟩ の一般的な性質を次のように決めることができる。等方向性と一様性を仮定すると、この相関関数のフーリエ変換はフーリエ変数 kμ と媒体の4元速度 uμ でのみ表すことができる。したがって、これらの4元ベクトルと計量テンソル ημν を用いて相関関数を分解することができる。波長の長い光子の場合、kμ に比例する項は副次的 (subdominant) になる。よって、主要項は η と uμ で構成される。その場合、Mμν の反対称を満たすようなテンソル構造は2つしかないので、相関関数は
⟨Mμν(x)Mαβ(y)⟩=∫d4k(2π)4e−ik(x−y)[12f(k2,k⋅u)(ημαηνβ−ημβηνα) +12h(k2,k⋅u)(ημαuνuβ−ημβuνuα−ηναuμuβ+ηνβuμuα)]
と書ける。ここで、f と h は引数が示す通り不変量 k2 と k⋅u の関数である。媒体の静止系では u0=1, →u=0 となるので有効作用(26)は
Seff=12∫d4xd4y Ei(x)[δ(4)(x−y)+f(x−y)+h(x−y)]Ei(y) −12∫d4xd4y Bi(x)[δ(4)(x−y)+f(x−y)]Bi(y)
と書ける。ただし、f(x−y), h(x−y) はそれぞれ f(k2,k⋅u), h(k2,k⋅u) のフーリエ変換である。これより、誘電率ϵ(k)と透磁率μ(k)を
ϵ(k)=1+f(k2,k⋅u)+h(k2,k⋅u)μ−1(k)=1+f(k2,k⋅u)
と特定できる。
これらの結果を使って散乱過程の計算ができる。一例として、小さな誘電体球と光子の散乱を考えよう。12E(1−ϵ)E を相互作用の項として扱えばよい。このとき散乱振幅は次のように簡単な形になる。
A=i∫d4˜k(2π)4[ϵ(˜k)−1]e−i˜k(x−y)ωω′→ϵ⋅→ϵ′−ikx+ik′y√2ωV2ω′V=i[ϵ(˜k)−1]ωω′→ϵ⋅→ϵ′2πδ(ω−ω′)√2ωV2ω′V∫sphered3xei(→k−→k′)⋅→x
Seff=−14∫d4xFμνFμν−14∫d4xd4yFμν(x)Fαβ(y)⟨Mμν(x)Mαβ(y)⟩
で与えられる。第2項にFが複数現れるのはゲージ不変性とカレント保存則に関係している。実際、式(3)を導くのにカレント保存則を用いたの思い出そう。均一な媒体では相関関数 ⟨Mμν(x)Mαβ(y)⟩ の一般的な性質を次のように決めることができる。等方向性と一様性を仮定すると、この相関関数のフーリエ変換はフーリエ変数 kμ と媒体の4元速度 uμ でのみ表すことができる。したがって、これらの4元ベクトルと計量テンソル ημν を用いて相関関数を分解することができる。波長の長い光子の場合、kμ に比例する項は副次的 (subdominant) になる。よって、主要項は η と uμ で構成される。その場合、Mμν の反対称を満たすようなテンソル構造は2つしかないので、相関関数は
⟨Mμν(x)Mαβ(y)⟩=∫d4k(2π)4e−ik(x−y)[12f(k2,k⋅u)(ημαηνβ−ημβηνα) +12h(k2,k⋅u)(ημαuνuβ−ημβuνuα−ηναuμuβ+ηνβuμuα)]
と書ける。ここで、f と h は引数が示す通り不変量 k2 と k⋅u の関数である。媒体の静止系では u0=1, →u=0 となるので有効作用(26)は
Seff=12∫d4xd4y Ei(x)[δ(4)(x−y)+f(x−y)+h(x−y)]Ei(y) −12∫d4xd4y Bi(x)[δ(4)(x−y)+f(x−y)]Bi(y)
と書ける。ただし、f(x−y), h(x−y) はそれぞれ f(k2,k⋅u), h(k2,k⋅u) のフーリエ変換である。これより、誘電率ϵ(k)と透磁率μ(k)を
ϵ(k)=1+f(k2,k⋅u)+h(k2,k⋅u)μ−1(k)=1+f(k2,k⋅u)
と特定できる。
これらの結果を使って散乱過程の計算ができる。一例として、小さな誘電体球と光子の散乱を考えよう。12E(1−ϵ)E を相互作用の項として扱えばよい。このとき散乱振幅は次のように簡単な形になる。
A=i∫d4˜k(2π)4[ϵ(˜k)−1]e−i˜k(x−y)ωω′→ϵ⋅→ϵ′−ikx+ik′y√2ωV2ω′V=i[ϵ(˜k)−1]ωω′→ϵ⋅→ϵ′2πδ(ω−ω′)√2ωV2ω′V∫sphered3xei(→k−→k′)⋅→x
運動量変位を →q=→k−→k′ とおくと、半径R の球体積分は直接評価できる。
∫sphered3xei→q⋅→x=4πq3(sinqR−qRcosqR)≡F1(→q)→4πR33 (q→0)
散乱振幅Aを2乗するといつも通りに微分散乱断面積を求められる。非偏光の入射光子の場合、
dσ1=|ϵ(k)−1|232π2ω4|F1(→q)|2(1+cos2θ)dΩ
となる。ここで、θ は →k⋅→k′=ω2cosθ で定義される散乱角である。(F1, σ1 の添え字1は散乱体が1つであることを示す。)式(32)は誘電球との散乱を表す標準的なレイリー散乱の式である。(ϵ−1)の因子は誘電体球のもつ偏光性に関係している。より稠密な媒体では、クラウジウス・モソッティの関係 (Clausius-Mossotti relation) あるいは ローレンツ・ローレンツの式 (Lorentz-Lorenz equation) に従い、この(ϵ−1)-因子は 3(ϵ−1)/(ϵ+2) に置き換えられる。以上の解析から ω-依存性がユニバーサル(普遍的)であることが分かる。突きつめていけば、これは低エネルギーにおいて有効作用が F で表されるという事実に由来する。
導出の前半部 (式(28), (29)にあたる) ではローレンツ不変性を用いたが、これはそれほど重要ではない。というのも、散乱振幅を求めるにあたり、相互作用の項 (ϵ−1)E2 を要請しただけあるからだ。重要な点は、ここではベクトル・ポテンシャル Ai ではなく、Ei が使われていることであり、これはゲージ不変性のためである。電場 Ei(x) の演算子を波動関数に置き換える際、Ei∼ωAi となるので散乱振幅 A に ω2 の因子が現れ、微分断面積 dσ=|A|2 に ω4 が出てくる。
次に、複数の散乱体があるとして、それらの一つ一つが小さな誘電球体と近似できるとする。→anをn番目の球体の座標とすると、式(31)に対応する空間積分は
F(→q)=∫d3xei→q⋅→x=∑nei→q⋅→an∫sphered3ξ ei→q⋅→ξ=∫d3xei→q⋅→xN(x)F1(→q)
となる。ただし、1章でみたようにN(x)=∑nδ(3)(→x−→an) は散乱体の密度関数で ∑nei→q⋅→an=∫d3xei→q⋅→xN(x) を満たす。これより微分断面積は
dσ=dσ1∫d3xd3y ei(→k−→k′)⋅(→x−→y)⟨N(x)N(y)⟩
となり、これは以前の計算結果、式(15)と同じである。
∫sphered3xei→q⋅→x=4πq3(sinqR−qRcosqR)≡F1(→q)→4πR33 (q→0)
散乱振幅Aを2乗するといつも通りに微分散乱断面積を求められる。非偏光の入射光子の場合、
dσ1=|ϵ(k)−1|232π2ω4|F1(→q)|2(1+cos2θ)dΩ
となる。ここで、θ は →k⋅→k′=ω2cosθ で定義される散乱角である。(F1, σ1 の添え字1は散乱体が1つであることを示す。)式(32)は誘電球との散乱を表す標準的なレイリー散乱の式である。(ϵ−1)の因子は誘電体球のもつ偏光性に関係している。より稠密な媒体では、クラウジウス・モソッティの関係 (Clausius-Mossotti relation) あるいは ローレンツ・ローレンツの式 (Lorentz-Lorenz equation) に従い、この(ϵ−1)-因子は 3(ϵ−1)/(ϵ+2) に置き換えられる。以上の解析から ω-依存性がユニバーサル(普遍的)であることが分かる。突きつめていけば、これは低エネルギーにおいて有効作用が F で表されるという事実に由来する。
導出の前半部 (式(28), (29)にあたる) ではローレンツ不変性を用いたが、これはそれほど重要ではない。というのも、散乱振幅を求めるにあたり、相互作用の項 (ϵ−1)E2 を要請しただけあるからだ。重要な点は、ここではベクトル・ポテンシャル Ai ではなく、Ei が使われていることであり、これはゲージ不変性のためである。電場 Ei(x) の演算子を波動関数に置き換える際、Ei∼ωAi となるので散乱振幅 A に ω2 の因子が現れ、微分断面積 dσ=|A|2 に ω4 が出てくる。
次に、複数の散乱体があるとして、それらの一つ一つが小さな誘電球体と近似できるとする。→anをn番目の球体の座標とすると、式(31)に対応する空間積分は
F(→q)=∫d3xei→q⋅→x=∑nei→q⋅→an∫sphered3ξ ei→q⋅→ξ=∫d3xei→q⋅→xN(x)F1(→q)
となる。ただし、1章でみたようにN(x)=∑nδ(3)(→x−→an) は散乱体の密度関数で ∑nei→q⋅→an=∫d3xei→q⋅→xN(x) を満たす。これより微分断面積は
dσ=dσ1∫d3xd3y ei(→k−→k′)⋅(→x−→y)⟨N(x)N(y)⟩
となり、これは以前の計算結果、式(15)と同じである。
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