\[\begin{eqnarray} S_q &=& \int \Big[ \hf A_\mu^a (- \d^2 ) A_\mu^a + \bar{c}^a ( -\d^2 ) c^a + g f^{abc} A_\mu^b A_\nu^c \d_\mu A_\nu^a \\ && ~~~~~~~~~~~~~~~~~ + \qu g^2 f^{abc}f^{apq}A_\mu^b A_\nu^c A_\mu^p A_\nu^q - g f^{abc} \d_\mu \bar{c}^a A_\mu^c c^b \Big] d^4 x \tag{1} \end{eqnarray} \]
で与えられる。またフェルミ粒子との相互作用はnote13の式(5)より
\[ S_{int} = \int \bar{q} ( \ga \cdot D + m ) q = \int \Big[ \bar{q} ( \ga \cdot \d + m ) q - ig \bar{q} \ga \cdot A q \Big] \tag{2} \]
と表せる。これよりグルーオン伝播関数の$g^2$オーダーでの補正は下記の(1), (2), (3), (4)のファインマン図で与えられることが分かる。
ただし、(1),(2)はグルーオンのループ補正、(3)はゴースト場のループ補正、(4)はフェルミ粒子によるループ補正を表す。ここでは、例として(4)の１ループ量子補正の計算を行う。
\[ e^{- S_{int} } = 1 - S_{int} + \frac{(-ig)^2}{2!} \bra \bar{q} {A \!\!\! /} \cdot t q ~\bar{q} {A \!\!\! /} \cdot t q \ket + \cdots \]
なので、グルーオン伝播関数の$g^2$オーダーの項は
\[ \begin{eqnarray} I_{1loop} &=& \frac{(-ig)^2}{2!} \int A_\mu^a (x) \bra \bar{q} (x) t^a \ga_\mu q(x) \, \bar{q} (y) t^a \ga_\nu q(y) \ket A_\nu^b (y) d^4 x d^4 y \\ &=& \frac{g^2}{2} \int A_\mu^a (x) t_{ij}^{a} t_{kl}^{b} \tr \ga_\mu \bra q^j (x) \bar{q}^k (y) \ket \ga_\nu \bra q^l (y) \bar{q}^i (x) \ket A_\nu^b (y) d^4 x d^4 y \\ &=& \frac{g^2}{2} \int A_\mu^a (x) A_\nu^b (y) \tr (t^a t^b ) ~ \tr \int \ga_\mu \frac{e^{p (x- y) }}{i {p \!\!\! / } + m} \frac{d^4 p}{(2 \pi)^4 } \int \ga_\nu \frac{e^{q (y- x) }}{i {q \!\!\! / } + m} \frac{d^4 q}{(2 \pi)^4 } ~ d^4 x d^4 y \end{eqnarray} \]
ここで、
\[ A_\mu^a (x) = \int \frac{d^4 }{(2 \pi)^4} A_\mu^a (k ) e^{ikx} \]
などの運動量表示$A_\mu^a (k)$を用いると
\[ \begin{eqnarray} I_{1loop} &=& \frac{g^2}{2} \int \tr (t^a t^b ) A_\mu^a (k) A_\nu^b (k') \del ( p-q + k) \del (q-p + k') \\ && ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \tr \left( \ga_\mu \frac{1}{i {p \!\!\! / } + m} \ga_\nu \frac{1}{i {q \!\!\! / } + m} \right) \frac{d^4 p}{(2 \pi)^4 }\frac{d^4 q}{(2 \pi)^4 } \, d^4 k d^4 k' \\&=& \frac{g^2}{2} \int \tr (t^a t^b ) A_\mu^a (k) A_\nu^b (-k) \, \tr \left( \ga_\mu \frac{1}{i {p \!\!\! / } + m} \ga_\nu \frac{1}{i ({p \!\!\! / } + {k \!\!\! / }) + m} \right) \frac{d^4 k}{(2 \pi)^4 }\frac{d^4 p}{(2 \pi)^4 } \tag{3}\end{eqnarray} \]
ここで一時的にフェルミ粒子の質量を無視すると
\[ \begin{eqnarray} \tr \left( \ga_\mu \frac{-i{p \!\!\! / }}{p^2} \ga_\nu \frac{-i ({p \!\!\! / } + {k \!\!\! / }) }{(p+k)^2} \right) &=& - \frac{\tr \big[ \ga_\mu {p \!\!\! / } \ga_\nu ({p \!\!\! / } + {k \!\!\! / }) \big]}{p^2 (p+k)^2 } \\ &=& - \frac{4 \big[ p_\mu ( p+k )_\nu + p_\nu (p+k)_\mu - \del_{\mu\nu} p \cdot (p + k) \big] }{p^2 (p+k)^2 } \end{eqnarray} \]
なので
\[ I_{1loop} = -2 g^2 \int \frac{d^4 k}{(2 \pi)^4 } \tr (t^a t^b ) A_\mu^a (k) A_\nu^b (-k) ~ I_{\mu\nu} (k) \tag{4}\]
となる。ただし、
\[ \begin{eqnarray} I_{\mu\nu} (k) &=& \int \frac{d^4 p}{(2 \pi)^4 } \frac{ \big[ p_\mu ( p+k )_\nu + p_\nu (p+k)_\mu - \del_{\mu\nu} p \cdot (p + k) \big] }{p^2 (p+k)^2 } \\&=& \int \frac{d^4 p}{(2 \pi)^4 } \int_0^1 dz \frac{ \big[ p_\mu ( p+k )_\nu + p_\nu (p+k)_\mu - \del_{\mu\nu} p \cdot (p + k) \big] }{\big[ p^2 (1-z) + (p+k)^2 z \big]^2} \\&=& \int \frac{d^4 p}{(2 \pi)^4 } \int_0^1 dz \frac{ \big[ p_\mu ( p+k )_\nu + p_\nu (p+k)_\mu - \del_{\mu\nu} p \cdot (p + k) \big] }{\big[ (p+kz)^2+ k^2 z (1- z) \big]^2} \end{eqnarray} \]
ここで、ファインマン積分公式
\[ \frac{1}{AB} = \int_0^1 dz \frac{1}{\big[ A (1-z) + B z \big]^2} \]
を用いた。$p \rightarrow p - kz$と変数変換すると
\[ I_{\mu\nu} (k) = \int_0^1 dz \int \frac{d^4 p}{(2 \pi)^4 } \frac{ 2 p_\mu p_\nu - p^2 \del_{\mu\nu} + z(z-1) \left( 2 k_\mu k_\nu - k^2 \del_{\mu\nu} \right)}{\big[ p^2+ k^2 z (1- z) \big]^2} \tag{5} \]
となる。分子の計算で$p$の次数が奇数の場合は$p$についての対称積分のため消去されることに注意。つぎに、$d$次元ユークリッド空間での積分
\[ \begin{eqnarray} \int \frac{d^d p}{(2 \pi )^d} \frac{1}{( p^2 + m^2 )^n} &=& \frac{1}{(4 \pi)^{d/2}}\frac{\Ga (n-\frac{d}{2})}{\Ga (n)} \left( \frac{1}{m^2} \right)^{n - \frac{d}{2}} \\ \int \frac{d^d p}{(2 \pi )^d} \frac{p^2}{( p^2 + m^2 )^n} &=& \frac{1}{(4 \pi)^{d/2}} \frac{d}{2} \frac{\Ga (n-\frac{d}{2} -1)}{\Ga (n)} \left( \frac{1}{m^2} \right)^{n - \frac{d}{2}-1} \end{eqnarray} \tag{6}\]
を使って式(5)を変形する。
ループ運動量$p_\mu$が特定な成分を持つと仮定すると$p_\mu p_\nu = \frac{1}{d} p^2 \del_{\mu \nu}$とおけるので
\[ \begin{eqnarray} \int \frac{d^d p}{(2 \pi )^d} \frac{2 p_\mu p_\nu - p^2 \del_{\mu \nu}}{\big[ (p+kz)^2+ k^2 z (1- z) \big]^2} &=& \big( 2\frac{1}{d} - 1 \big) \del_{\mu\nu} \frac{1}{(4 \pi)^{d/2}} \frac{d}{2} \frac{\Ga (1-\frac{d}{2})}{\Ga (2)} \left( \frac{1}{k^2 z(1-z)} \right)^{1 - \frac{d}{2}} \\ &=& \del_{\mu\nu} \frac{1}{(4 \pi)^{d/2}} \frac{\Ga (1-\frac{d}{2})}{\big( k^2 z(1-z) \big)^{1 - \frac{d}{2}}} \end{eqnarray} \]
となる。ただし、$\Ga (z+1 ) = z \Ga (z)$を用いた。式(5)の分子に$p$が現れない項も同様に変形すると
\[ \begin{eqnarray} I_{\mu\nu} (k) &=& \int_0^1 dz \frac{1}{(4 \pi)^{d/2}} \frac{\Ga (2 -\frac{d}{2})}{\big( k^2 z(1-z) \big)^{2 - \frac{d}{2}}}z(z-1) (2 k_\mu k_\nu - 2 k^2 \del_{\mu \nu} ) \\ &=& \frac{2}{(4 \pi)^{d/2}} \int_0^1 dz \frac{\Ga (2 -\frac{d}{2})}{\big( k^2 z(1-z) \big)^{2 - \frac{d}{2}}}z(1-z) ( k^2 \del_{\mu \nu} - k_\mu k_\nu ) \tag{7} \end{eqnarray} \]
と計算できる。ただし、$\Ga (2 -\frac{d}{2}) = (1 -\frac{d}{2}) \Ga (1 -\frac{d}{2})$を用いた。
ここで、
\[ \ep = 4 - d \simeq 0 \]
とすると
\[ \begin{eqnarray} \Ga (2 -\frac{d}{2}) &=& \Ga ( \frac{\ep}{2} ) = \frac{2}{\ep} - \ga_E + {\cal O} (\ep ) \\ \left( \frac{1}{m^2} \right)^{2 - \frac{d}{2}} &=& e^{- \frac{\ep}{2} \log m^2 } = 1 - \frac{\ep}{2} \log m^2 + {\cal O} (\ep^2 ) \end{eqnarray} \]
ただし、$\ga_E \approx 0.5772$ はオイラー・マスケローニ定数。式(7)に代入すると
\[ \begin{eqnarray} I_{\mu\nu} (k) & \simeq & \frac{1}{8 \pi^2} \int_0^1 dz ~ z(1-z) \left( \frac{2}{\ep} - \ga_E + {\cal O} (\ep ) \right) \left( 1 - \frac{\ep}{2} \log k^2 z (1-z) + {\cal O} (\ep^2 ) \right) ( k^2 \del_{\mu \nu} - k_\mu k_\nu ) \\ & \simeq & \frac{1}{8 \pi^2}\frac{1}{6} ( k^2 \del_{\mu \nu} - k_\mu k_\nu ) \left[\frac{2}{\ep} - \ga_E -\log k^2 - 6 \int_0^1 dz \, z(1-z) \log z (1-z) \right] \end{eqnarray} \]
したがって、式(4)から
\[ \begin{eqnarray} I_{1loop} &=& \int \frac{d^4 k}{(2 \pi )^4} \hf A_\mu^a (k) \big( k^2 \del_{\mu\nu} -k_\mu k_\nu \big) I(k^2 ) A_\nu^b (-k) \tag{8} \\ I (k^2 ) &=& - \frac{g^2}{12 \pi^2} \tr (t^a t^b ) \left[ \frac{2}{\ep} - \ga_E -\log k^2 - 6 \int_0^1 dz \, z(1-z) \log z (1-z) \right] \\ &=& - \frac{\al_s }{3 \pi} T(R) \del^{ab} \left[ \frac{2}{\ep} - \ga_E -\log k^2 - 6 \int_0^1 dz \, z(1-z) \log z (1-z) \right] \tag{9} \end{eqnarray}\]
となる。ただし、$\al_s = \frac{g^2}{4 \pi}$, $\tr (t^a t^b )= T(R) \del^{ab}$である。式(8)を古典的なグルーオン伝播関数の導出
\[ e^{-S_{int}} \simeq 1 - \hf \int \frac{d^4 k}{(2 \pi )^4} A_\mu^a (k) \big( k^2 \del_{\mu\nu} -k_\mu k_\nu \big) A_\nu^b (-k) \]
と比較すると1ループ補正の効果はゲージ群の生成子の因子を別にすると
\[ \big( k^2 \del_{\mu\nu} -k_\mu k_\nu \big) \longrightarrow \big( k^2 \del_{\mu\nu} -k_\mu k_\nu \big) \big[ 1 - I(k^2 ) \big] \tag{10}\]
で与えられることが分かる。
ここで
\[ I_0 = - \frac{\al_s }{3 \pi} T(R) \left[ \frac{2}{\ep} - \ga_E - 6 \int_0^1 dz \, z(1-z) \log z (1-z) \right] \]
とする。$g^2$は$(4- \ep)$-次元で定義されているので、4次元の結合定数を$g_4$とすると実際には
\[ g^2 = (g_4^2 ) ( \mu^2 )^{2 - \frac{d}{2}} \]
とおける。式(8), (9)よりこれは$k^2 \rightarrow k^2 / \mu^2$を意味する。以上の結果をまとめると(10)の変換は
\[ \begin{eqnarray} \big( k^2 \del_{\mu\nu} -k_\mu k_\nu \big) &\longrightarrow & \big( k^2 \del_{\mu\nu} -k_\mu k_\nu \big) \left[ 1 - I_0 - \frac{\al_s}{3\pi }T(R) \ln \left( \frac{k^2}{\mu^2} \right) \right] \\ &=& \big( k^2 \del_{\mu\nu} -k_\mu k_\nu \big) ( 1 - I_0 ) \left[ 1 - \frac{\al_s}{3\pi }T(R) \ln \left( \frac{k^2}{\mu^2} \right) + {\cal O} ( \al_s^2 ) \right] \end{eqnarray} \]
となる。ここで更に$(1 - I_0)$を$A$の繰り込み因子として吸収する。つまり、$A = A_R / \sqrt{1 -I_0}$とすると
\[ \big( k^2 \del_{\mu\nu} -k_\mu k_\nu \big) \longrightarrow \big( k^2 \del_{\mu\nu} -k_\mu k_\nu \big) \left[ 1 - \frac{\al_s}{3\pi }T(R) \ln \left( \frac{k^2}{\mu^2} \right) \right] \]
を得る。よって、運動量空間でグルーオン伝播関数は１ループ補正を含めて
\[ D (k^2 ) = \frac{1}{k^2 \left[ 1 - \frac{\al_s}{3\pi }T(R) \ln \left( \frac{k^2}{\mu^2} \right) \right] } \tag{11} \]
と表せる。
ツリーレベルでのグルーオン伝播関数のファインマン図
より、1ループ補正の効果は「走る」結合定数を次のように再定義することで吸収できる。
\[ \al_s (k^2 ) = \frac{\al_s (\mu^2 ) }{ 1 - \frac{\al_s (\mu^2 )}{3\pi }T(R) \ln \left( \frac{k^2}{\mu^2} \right) } \tag{12} \]
これまでの計算は冒頭で言及したようにフェルミ粒子のループ補正であった。グルーオンとゴースト場の１ループ補正も含めると式(12)は
\[\al_s (k^2 ) = \frac{\al_s (\mu^2 ) }{ 1 + \frac{\al_s (\mu^2 )}{4\pi } \left[ \frac{11}{3} C_2 (G) - \frac{4}{3} N_f T(R) \right] \ln \left( \frac{k^2}{\mu^2} \right) } \tag{13} \]
となる（ことが知られている）。ただし、$N_f$はフェルミ粒子のフレーバー数、$C_2 (G)$はゲージ群の随伴表現に対する２次のカシミール演算子を表す。$G = SU(N)$の場合、構造定数$f_{abc}$を用いて、
\[ f_{abc} f_{bcd} = C_2 (G)\del_{ab} = N \del_{ab} \]
となる。QCDのゲージ群は$SU(3)$なので
\[ C_2 (G) = 3 ~, ~~~ T(R) = \hf \]
これを式(13)に代入すると、$N_f < \frac{33}{2}$のとき$k^2 \rightarrow \infty$の極限で$\al_s (k^2) \rightarrow 0$となることが分かる。つまり、QCDは高エネルギーでは自由理論になる傾向があり、漸近的自由性と呼ばれる。（これが基本的にGross-Wilczek, Politzerによる結果であり、2004年ノーベル物理学賞の受賞理由である。）一方、グルーオンの自己相互作用がないQED（量子電磁気学）では$k^2 \rightarrow \infty$の極限で$\al_s (k^2) \rightarrow \infty$となる。
式(13)は次のように変形できる。
\[\al_s (k^2 ) = \frac{12 \pi }{\frac{ 12 \pi}{\al_s (\mu^2 )} + \left[ 11 C_2 (G) - 4 N_f T(R) \right] \left( \ln \frac{k^2} - \ln {\mu^2} \right) } \tag{14} \]
ここで
\[ \frac{ 12 \pi}{\al_s (\mu^2 )} - \left[ 11 C_2 (G) - 4 N_f T(R) \right] \ln {\mu^2} = - \left[ 11 C_2 (G) - 4 N_f T(R) \right] \ln \La^2 \]
と定義すると式(14)は
\[\al_s (k^2 ) = \frac{12 \pi }{ \left[ 11 C_2 (G) - 4 N_f T(R) \right] \ln \left( \frac{k^2}{\La_{QCD}^{2} } \right) } \tag{15} \]
となる。結合定数$\al_s$は$\La_{QCD}$によって決まる。よって、次元のない定数$\al_s$が理論のエネルギースケールを設定する（次元を持つ）パラメータ$\La_{QCD}$と交換されることが分かる。これを次元の転化(dimensional transmutation)と呼ぶ。$\La_{QCD}$の値は$QCD$だけから決まるのではなく、電弱相互作用などのエネルギースケールを破る相互作用にも依存する。
最後に、低エネルギー極限$k^2 \rightarrow 0$では$\al_s (k^2 )$は増大する。この時、理論は強結合状態となり１ループの計算は信頼できないものとなる。一般にこのような漸近状態のスペクトルを理論的に理解するのはとても困難である。
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