ワインバーグ・サラム理論 note10: ヒッグス粒子

2021-08-16

ワインバーグ・サラム理論 note10: ヒッグス粒子

2012年7月に質量 $m_\et = 125$ GeV をもつヒッグス粒子が観測されました。今回のノート（というよりむしろメモ）はその10年ほど前に書かれたものなので内容的には古いですが、ヒッグス粒子は質量の起源を説明するものであり、その理解は標準模型を超える枠組みを考えるうえでも重要です。

note04の結果からヒッグス粒子に関するラグランジアンは

$\L_H = ( D \Phi )^\dagger (D \Phi ) - \la \left( \Phi^\dagger \Phi - \frac{v^2}{2} \right)^2 ~, ~~~~~ \Phi = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{v+\et}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \tag{1}$

となる。粒子の質量は真空期待値

$v$ を用いて

$\begin{eqnarray} && M_W = \frac{gv}{2}~, ~~ M_Z = \frac{v}{2} \sqrt{g^2 + g^{\prime 2}} = \frac{gv}{2}\frac{\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}}{g} = \frac{M_W}{\cos \th_W} \\ && m_H = \sqrt{2 \la} v ~,~~ m_e = \frac{f_{(e)}}{\sqrt{2}} v ~,~~ m_u = \frac{f_{(u)}}{\sqrt{2}} v ~,~~ m_d = \frac{f_{(d)}}{\sqrt{2}} v \tag{2}\end{eqnarray}$

と表せる。

中性ヒッグススカラー粒子

$\et = H$ についてはまだ分からないことが多い。ここでは、ヒッグス質量についてその上限下限について簡単に議論する。まず、下限についてはポテンシャル

$V( \Phi^\dagger \Phi ) = - \la ( \Phi^\dagger \Phi )^2 + \la v^2 ( \Phi^\dagger \Phi ) + \cdots + (\mbox{量子補正項})$

に対する1ループ補正の考察から得られる。もし

$m_\et$ が極端に小さく、量子補正が対称性を保つ真空に優位に働くなら対称性の破れは起きないと予想される。したがって、真空でのヒッグス場のポテンシャルは体操性の破れを引き起こすポテンシャルのエネルギーレベルよりも大きくなる必要がある。1ループ量子補正後のポテンシャル

$V( \Phi^\dagger \Phi)$ に

$\Phi = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{v+\et}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$ を代入し

$\et$ で展開したものを

$V = V^{(0)} + V^{(1)} \et + \hf V^{(2)} \et^2 + \cdots$

と表す。

$V^{(0)}(v)$ がヒッグスポテンシャル（シャンパンボトルの底）の形をしていることから対称性の破れを引き起こす条件は

$V^{(0)}_{v \ne 0} < V^{(0)}_{v = 0}$

で与えられる。この条件と

$V^{(2)} = m_{\et}^2$ から

$m_\et$ の下限が

$m_\et \ge 7.9~ GeV$

となることが知られている。ただし、この制限はヒッグス粒子が１つの場合に適用され、複数のヒッグス２重項がある理論では一般にこのような下限は存在しない。

次にヒッグス粒子質量の上限について考える。もし

$\la$ が充分に大きければ摂動論を適用することが出来ない。もし摂動論が正しいと仮定するなら

$\la \le 1$ の要請から

$m_\et = \sqrt{2\la} v \le 350~ GeV$ となる。繰り込み群を用いるとモデルの安定性についてより洗練された解析を行うことが出来る。この場合、

$m_\et \le 130 ~GeV$ の上限が知られている。

ヒッグス粒子の生成と検出

note04よりヒッグス粒子とフェルミオン、ゲージボソンとの相互作用は

$\L_{\et -int} = - \frac{m_q}{v} \bar{q} q \et + 2 \frac{M_W^2}{v} W_\mu^+ W_\mu^- \et + \frac{M_W^2}{v^2} W_\mu^+ W_\mu^- \et^2 + \frac{M_Z^2}{v} Z_\mu^2 \et + \frac{M_Z^2}{2 v^2} Z_\mu^2 \et^2$

で与えられる。よって、フェルミ粒子との結合の強さはフェルミ粒子の質量に比例する。同様にゲージボソンとの結合の強さもある程度大きいことがわかる。

興味深い

$\et$ 生成過程として以下のものがある。