前回の続きから。1世代モデルのラグランジアンは
\[ \begin{eqnarray} \L &=& \L_0 + \L_g + \L_q + \L_\Phi + \L_{yuk} \\ &=& -\qu ( F_{\mu\nu}^{a} )^2 -\qu ( G_{\mu\nu} )^2 - \bar{q}_L \ga_\mu \left( \d_\mu - ig b_\mu^a t^a - i \frac{g^\prime}{6} C_\mu \right) q_L \\ && - \bar{u}_R \ga_\mu \left( \d_\mu - i \frac{2}{3}g^\prime C_\mu \right) u_R - \bar{d}_R \ga_\mu \left( \d_\mu + i \frac{1}{3}g^\prime C_\mu \right) d_R \\ && - \bar{l}_L \ga_\mu \left( \d_\mu - ig b_\mu^a t^a + i \hf g^\prime C_\mu \right) l_L - \bar{e}_R \ga_\mu \left( \d_\mu + ig^\prime C_\mu \right) e_R \\ && - ( D_\mu \Phi )^\dagger (D_\mu \Phi ) - \la \left( \Phi^\dagger \Phi - \frac{v^2}{2} \right)^2 \\ && + \left[ f_{(e)} \bar{l}_L \Phi e_R + f_{(u)} \bar{q}_L \widetilde{\Phi} u_R + f_{(d)} \bar{q}_L \Phi d_R + h.c. \right] \end{eqnarray} \tag{1} \]
となることを見てきたが、このモデルの真空（基底）状態のエネルギーを極小化することを考えたい。$\la > 0$, $v^2 > 0$ のとき、真空状態は期待値$\bra \Phi^\dagger \Phi \ket = \frac{v^2}{2}$となり、対称性の破れを意味する。つまり、
\[ \bra \Phi \ket = \bra 0 | \Phi | 0 \ket = \binom{0}{v/\sqrt{2} } \]
が要請される。では、残りの対称性はどうなるだろうか？
$U(1)_Y$: $\Phi^\prime = e^{i \al} \Phi $, $\Phi = \binom{\phi^+}{\phi_0}$より$\phi_0^\prime = e^{i \al} \phi_0$ なので $U(1)_Y$は破れる。
$SU(2)_L$: $\Phi^\prime = g \Phi$なので、３成分はすべて破れる。
$U(1)_{em}$: $Q= \left( I_3 + \frac{Y}{2} \right)$, $\phi_0^\prime = e^{-i \frac{\al}{2} + i \hf \al} \phi_0 = \phi_0$なので$U(1)_{em}$は保存される。これが前回note03で$Y(\Phi ) = +1$とした理由である。
真空からの場の揺らぎを考えよう。これらは摂動論の枠内における粒子に対応する。ヒッグス・スカラー場を次のようにパラメータ表示する。
\[ \Phi (x) = U^{-1} (\zeta ) \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{v + \et (x) }{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \]
\[ U (\zeta ) = \exp \left[ i \frac{\zeta^a (x) t^a }{v} \right] \]
元々の複素スカラー場$\phi^+ (x)$と$\phi_0 (x)$が４つの実スカラー場$\zeta_i (x)$と$\eta (x)$でパラメータ表示されている($i = 1,2,3$)。これらの揺らぎ場の真空期待値(VEV)はゼロとなる。
\[ \bra \zeta_i \ket = \bra \eta \ket = 0 ~~ \longrightarrow ~~ \bra \Phi \ket = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{v }{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \]
これらを式(1)に代入する。$\bra b_\mu \ket = \bra C_\mu \ket = 0$であり、フェルミ粒子にも同様の関係が成り立つので、これらの揺らぎ場は場そのものと同様に扱える。
\[ \L_\Phi = - \left[ D_\mu \left( U^{-1} (\zeta ) \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{v + \et }{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \right) \right]^\dagger \left[ D_\mu \left( U^{-1} (\zeta ) \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{v + \et }{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \right) \right] - \la \left[ \begin{pmatrix} 0 & \frac{v + \et }{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{v + \et }{\sqrt{2}} \end{pmatrix} -\frac{v^2}{2} \right]^2 \]
ここで、ゲージ場とフェルミ場を次のように再定義する。
\[ \begin{eqnarray} U \d_\mu U^{-1} - ig U b_\mu^a t^a U^{-1} &=& - i g b_{\mu}^{\prime a} t^a \\ - i g^\prime C_\mu &=& -i g^\prime C_{\mu}^{\prime} \\ U l_L &=& l_L^\prime \\ U q_L &=& q_L^\prime \\ e_R &=& e_R^\prime \\ u_R &=& u_R^\prime \\ d_R &=& d_R^\prime \end{eqnarray} \]
プライムのついた新しい場は元の場とゲージ変換によって関係づけられており、新しい変数を使うことはあるゲージ固定を行うことと等価である。ここで選択されるゲージは「ユニタリーゲージ」と呼ばれる。このユニタリーゲージを使うとラグランジアン(1)は次のように変形できる。
\[ \begin{eqnarray} \L &=& -\qu ( F_{\mu\nu}^{a} )^2 -\qu ( G_{\mu\nu} )^2 - \bar{q}_L \ga \cdot \left( \d - ig b \cdot t - i \frac{g^\prime}{6} C \right) q_L \\ && - \bar{u}_R \ga \cdot \left( \d - i \frac{2}{3}g^\prime C \right) u_R - \bar{d}_R \ga \cdot \left( \d + i \frac{1}{3} g^\prime C \right) d_R \\ && - \bar{l}_L \ga \cdot \left( \d - i g b \cdot t + i \hf g^\prime C \right) l_L - \bar{e}_R \ga \cdot \left( \d + ig^\prime C \right) e_R \\ && - \left[ D_\mu \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{v + \et }{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \right]^\dagger \left[ D_\mu \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{v + \et }{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \right] - \la \left( \frac{(v + \et )^2 }{2} - \frac{v^2}{2} \right)^2 \\ && + \left[ f_{(e)} \bar{l}_L \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{v + \et }{\sqrt{2}} \end{pmatrix} e_R + f_{(u)} \bar{q}_L \begin{pmatrix} \frac{v + \et }{\sqrt{2}} \\ 0\end{pmatrix} u_R + f_{(d)} \bar{q}_L \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{v + \et }{\sqrt{2}} \end{pmatrix} d_R + h.c. \right] \end{eqnarray} \tag{2} \]
ヒッグス・ラグランジアンの変形
\[ - ig b_\mu^a t^a - i \frac{g^\prime}{2} C_\mu = \begin{pmatrix} -ig \frac{b_\mu^3}{2} - i \frac{g^\prime}{2} C_\mu & - ig \frac{b_\mu^1 - i b_\mu^2 }{2} \\ - ig \frac{b_\mu^1 + i b_\mu^2 }{2} & ig \frac{b_\mu^3}{2} - i \frac{g^\prime}{2} C_\mu \end{pmatrix} \]
なので
\[ \frac{b_\mu^1 \pm i b_\mu^2 }{2} = W_{\mu}^{\mp} \]
と定義すると
\[ D_\mu \Phi = \left( \d_\mu - ig b_\mu^a t^a - i \frac{g^\prime}{2} C_\mu \right) \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{v + \et }{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -i \frac{g}{\sqrt{2}}W_\mu^+ \frac{v + \et}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \d_\mu \et + \frac{i}{2} ( g b_\mu^3 - g^\prime C_\mu ) \frac{v + \et}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \]
\[ \begin{eqnarray} ( D_\mu \Phi )^\dagger ( D_\mu \Phi ) &=& \frac{g^2}{4} W_\mu^+ W_\mu^- (v + \et )^2 + \hf ( \d_\mu \et )^2 + \frac{( g b_\mu^3 - g^\prime C_\mu )^2 }{4} \frac{(v + \et )^2}{2} \\ &=& \frac{g^2 v^2}{4} W_\mu^+ W_\mu^- + \frac{g^2 v}{2} W_\mu^+ W_\mu^- \et + \frac{g^2 }{4} W_\mu^+ W_\mu^- \et^2 + \hf ( \d_\mu \et )^2 \\ && + \frac{v^2}{8} \begin{pmatrix} b_\mu^3 & C_\mu \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g^2 & -g g^\prime \\ -g g^\prime & g^{\prime 2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_\mu^3 \\ C_\mu \end{pmatrix} + \frac{v}{4} ( g b_\mu^3 - g^\prime C_\mu )^2 \et \\ && + \frac{1}{8} ( g b_\mu^3 - g^\prime C_\mu )^2 \et^2 \tag{3}\end{eqnarray} \]
質量行列を対角化
\[\begin{eqnarray} \hf M_Z^2 Z_\mu Z_\mu &=& \frac{v^2}{8} \begin{pmatrix} b_\mu^3 & C_\mu \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g^2 & -g g^\prime \\ -g g^\prime & g^{\prime 2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_\mu^3 \\ C_\mu \end{pmatrix} \\ &=& \hf \begin{pmatrix} Z_\mu & A_\mu \end{pmatrix} \begin{pmatrix} M_Z^2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Z_\mu^3 \\ A_\mu \end{pmatrix} \end{eqnarray} \]
ここで質量行列の対角化には次の直交変換を用いた。
\[\begin{eqnarray} Z_\mu &=& \cos \th_W b_\mu^3 - \sin \th_W C_\mu = \frac{g b_\mu^3 - g^\prime C_\mu}{\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}} \\ A_\mu &=& \sin \th_W b_\mu^3 + \cos \th_W C_\mu = \frac{g^\prime b_\mu^3 + g C_\mu}{\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}} \tag{4} \end{eqnarray}\]
\[ \tan \th_W = \frac{g^\prime}{g} ~~~~~ \mbox{$\th_W$: Weinberg angle} \]
\[ M_Z^2 = \frac{v^2}{4} ( g^2 + g^{\prime 2} ) ~~ \longrightarrow ~~ M_{Z^0} = \frac{v}{2} \sqrt{g^2 + g^{\prime 2}} \]
式(3)の第１項は荷電ベクトルボソン$W^\pm$の質量項になる。
\[ \frac{g^2 v^2}{4} W_\mu^+ W_\mu^- = M_{W^\pm} W_\mu^+ W_\mu^- ~ , ~~~~~~ W_\mu^+ W_\mu^- = \hf (b_\mu^1 )^2 + \hf (b_\mu^2 )^2 \]
\[ ~~ \longrightarrow ~~~ M_{W^\pm} = \frac{gv }{2} \]
よって、式(3)は次のように表せる。
\[ \begin{eqnarray} ( D_\mu \Phi )^\dagger ( D_\mu \Phi ) &=& M_W^2 W_\mu^+ W_\mu^- + \hf M_Z^2 Z_\mu Z_\mu + \hf ( \d_\mu \et )^2 \\ && + 2 \frac{M_W^2}{v} W_\mu^+ W_\mu^- \et + \frac{M_W^2}{v^2} W_\mu^+ W_\mu^- \et^2 \\ && + \frac{M_Z^2}{v} Z_\mu Z_\mu \et + \frac{M_Z^2}{2 v^2} Z_\mu Z_\mu \et^2 \tag{5}\end{eqnarray} \]
さらに式(2)の項を考えていく。
\[\begin{eqnarray} \frac{\la}{4} \left[ (v + \et )^2 - v^2 \right]^2 &=& \frac{\la}{4} ( 2 v \et + \et^2 )^2 = \la v^2 \et^2 + \la v \et^3 + \frac{\la}{4} \et^4 \\ &=& \hf m_H^2 \et^2 + \frac{m_H^2}{2 v} \et^3 + \frac{m_H^2}{8 v^2} \et^4 \tag{6}\end{eqnarray}\]
ただし、\( m_H = \sqrt{2 \la v^2 } \)とした。また、
\[ \begin{eqnarray} f_{(e)} \bar{l}_L \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{v + \et }{\sqrt{2}} \end{pmatrix} e_R + h.c. &=& f_{(e)} \bar{e}_L \frac{v + \et }{\sqrt{2}} e_R + h.c. \\ &=& \frac{f_{(e)} v}{\sqrt{2}} \bar{e} e + \frac{f_{(e)} }{\sqrt{2}} \bar{e} e \et \end{eqnarray} \]
となる。ここで、$\bar{e}_L e_R + h.c. = \bar{e} e$, $e = e_L + e_R$を用いた。同様に、
\[ \begin{eqnarray} f_{(u)} \bar{q}_L \begin{pmatrix} \frac{v + \et }{\sqrt{2}} \\ 0\end{pmatrix} u_R + h.c. &=& \frac{f_{(u)} v}{\sqrt{2}} \bar{u} u + \frac{f_{(u)} }{\sqrt{2}} \bar{u} u \et \\ f_{(d)} \bar{q}_L \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{v + \et }{\sqrt{2}} \end{pmatrix} d_R + h.c. &=& \frac{f_{(d)} v}{\sqrt{2}} \bar{d} d + \frac{f_{(d)} }{\sqrt{2}} \bar{d} d \et \end{eqnarray} \]
以上から、次のような質量スペクトルが得られる。
\[ \begin{eqnarray} && M_W = \frac{gv}{2}~, ~~ M_Z = \frac{v}{2} \sqrt{g^2 + g^{\prime 2}} = \frac{gv}{2}\frac{\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}}{g} = \frac{M_W}{\cos \th_W} \\ && m_H = \sqrt{2 \la} v ~,~~ m_e = \frac{f_{(e)}}{\sqrt{2}} v ~,~~ m_u = \frac{f_{(u)}}{\sqrt{2}} v ~,~~ m_d = \frac{f_{(d)}}{\sqrt{2}} v \tag{7}\end{eqnarray} \]
\[ F_{\mu\nu}^{a} (b) = \d_\mu b_\nu^a -\d_\nu b_\mu^a + g \ep^{abc}b_\mu^b b_\nu^c \]
\[ G_{\mu\nu} (C) = \d_\mu C_\nu -\d_\nu C_\mu \]
\[ W_\mu^\mp = \frac{b_\mu^1 \pm i b_\mu^2 }{ \sqrt{2}}\]
を使うと
\[\begin{eqnarray} F_{\mu\nu}^{1} + i F_{\mu\nu}^{2} &=& \d_\mu ( b_\nu^1 + i b_\nu^2 ) - \d_\nu ( b_\mu^1 + i b_\mu^2 ) + g (b_\mu^2 b_\nu^3 - b_\mu^3 b_\nu^2 ) + ig ( b_\mu^3 b_\nu^1 - b_\mu^1 b_\nu^3 ) \\ &=& \sqrt{2}\left( D_\mu W_\nu^- - D_\nu W_\mu^- \right) \end{eqnarray} \]
ここで、\( D_\mu W_\nu^- = ( \d_\mu + i g b_\mu^3 ) W_\nu^- \)
\[\begin{eqnarray} F_{\mu\nu}^{3} &=& \d_\mu b_\nu^3 - \d_\nu b_\mu^3 + g (b_\mu^1 b_\nu^2 - b_\mu^2 b_\nu^2 ) \\ &=& \d_\mu b_\nu^3 - \d_\nu b_\mu^3- ig \left( W_\mu^+ W_\nu^- - W_\nu^+ W_\mu^- \right) \end{eqnarray} \]
ただし、\( W_\mu^+ W_\nu^- = \hf ( b_\mu^1 - i b_\mu^2 ) ( b_\nu^1 + i b_\nu^2 ) \) よって、
\[\begin{eqnarray} F_{\mu\nu}^{a}F_{\mu\nu}^{a} &=& 2 \left| D_\mu W_\nu^- - D_\nu W_\mu^- \right|^2 + ( \d_\mu b_\nu^3 - \d_\nu b_\mu^3 )^2 \\ &=& -2i g \underbrace{\left( \d_\mu b_\nu^3 - \d_\nu b_\mu^3 \right) \left( W_\mu^+ W_\nu^- - W_\nu^+ W_\mu^- \right)}_{2 \left( \d_\mu b_\nu^3 - \d_\nu b_\mu^3 \right) W_\mu^+ W_\nu^- } - g^2 \left( W_\mu^+ W_\nu^- - W_\nu^+ W_\mu^- \right)^2 \end{eqnarray} \]
式(4)から
\[ b_\mu^3 = \cos \th_W \, Z_\mu + \sin \th_W \, A_\mu \]
\[ C_\mu = \cos \th_W \, A_\mu - \sin \th_W \, Z_\mu \tag{8}\]
なので、
\[ D_\mu W_\nu^- = \left( \d_\mu + i g \sin \th_W \, A_\mu + ig \cos \th_W \, Z_\mu \right) W_\nu^- \]
電磁相互作用の係数を電荷$e$と同一視できる。したがって、$g \sin \th_W = e$ とみなすと、$W_\nu^-$ は光子に対して$-1$の素電荷をもつ。
\[ D_\mu W_\nu^- = \left( \d_\mu + i e \, A_\mu + ie \cot \th_W \, Z_\mu \right) W_\nu^- \]
ここでの混合は直交変換\( \binom{Z_\mu}{A_\mu} = R(\th_W ) \binom{b_\mu^3}{C_\mu} \)なので
\[ ( \d_\mu b_\nu^3 - \d_\nu b_\mu^3 )^2 + ( \d_\mu C_\nu - \d_\nu C_\mu )^2 = ( \d_\mu A_\nu - \d_\nu A_\mu )^2 + ( \d_\mu Z_\nu - \d_\nu Z_\mu )^2 \]
従って、ゲージ場の運動項はつぎのように変形できる。
\[\begin{eqnarray} \L_{gauge} &=& -\qu (F_{\mu\nu}^{a})^2 - \qu G_{\mu\nu}^{2} \\ &=& -\qu \left[ ( \d_\mu A_\nu - \d_\nu A_\mu )^2 + ( \d_\mu Z_\nu - \d_\nu Z_\mu )^2 \right] - \hf \left| D_\mu W_\nu^- - D_\nu W_\mu^- \right|^2 \\ && - ie \left( \d_\mu A_\nu - \d_\nu A_\mu \right) W_\mu^+ W_\nu^- - ig \cos \th_W \left( \d_\mu Z_\nu - \d_\nu Z_\mu \right) W_\mu^+ W_\nu^- \\ && + \frac{g^2}{4} \left( W_\mu^+ W_\nu^- - W_\nu^+ W_\mu^- \right)^2 \tag{9}\end{eqnarray} \]
フェルミ・ゲージ相互作用項の変形
\[\begin{eqnarray} D_\mu l_L &=& \left( \d_\mu -ig b_\mu^a t^a + i \frac{g^\prime}{2} C_\mu \right) l_L \\ &=& \d_\mu l_L - i \begin{pmatrix} \frac{g b_\mu^3 - g^\prime C_\mu}{2} &\frac{g}{2} (b_\mu^1 - i b_\mu^2 ) \\ \frac{g}{2} (b_\mu^1 + i b_\mu^2 ) & - \frac{( g b_\mu^3 + g^\prime C_\mu )}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \nu_L \\ e_L \end{pmatrix} \end{eqnarray} \]
式(8)より
\[ g b_\mu^3 - g^\prime C_\mu = \sqrt{g^2 + g^{\prime 2}} Z_\mu \]
\[ g b_\mu^3 + g^\prime C_\mu = \frac{g^2 - g^{\prime 2}}{\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}} Z_\mu + 2e A_\mu \]
なので
\[ D_\mu l_L = \begin{pmatrix} \d_\mu \nu_L - i \hf \sqrt{g^2 + g^{\prime 2}} Z_\mu \nu_L - i \frac{g}{\sqrt{2}} W_\mu^+ e_L \\ \d_\mu e_L - i \frac{g}{\sqrt{2}} W_\mu^- \nu_L + i \frac{g^2 - g^{\prime 2}}{2 \sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}} Z_\mu e_L + i e A_\mu e_L \end{pmatrix} \]
\[\begin{eqnarray} \bar{l}_L {\displaystyle {D \!\!\!\! /}} ~ l_L &=& \begin{pmatrix} \bar{\nu}_L & \bar{e}_L \end{pmatrix} \ga_\mu D_\mu l_L \\ &=& \bar{\nu}_L \ga_\mu \d_\mu \nu_L + \bar{e}_L \ga_\mu \d_\mu e_L - i \frac{g}{\sqrt{2}} \left( \bar{\nu}_L \ga_\mu W_\mu^+ e_L + \bar{e}_L \ga_\mu W_\mu^- \nu_L \right) \\ && + ie \bar{e}_L \ga_\mu A_\mu e_L -i \frac{\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}}{2} \bar{\nu}_L \ga_\mu Z_\mu \nu_L + i \frac{g^2 - g^{\prime 2}}{2 \sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}} \bar{e}_L \ga_\mu Z_\mu e_L \end{eqnarray} \]
\[\begin{eqnarray} \bar{e}_R {\displaystyle {D \!\!\!\! /}} ~ e_R &=& \bar{e}_R \ga \cdot ( \d + i g^\prime C ) e_R \\ &=& \bar{e}_R \ga_\mu \d_\mu e_R +i e \bar{e}_R \ga_\mu A_\mu e_R - i \frac{ g^{\prime 2}}{ \sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}} \bar{e}_R \ga_\mu \d_\mu Z_\mu e_R \end{eqnarray} \]
２つの項を合わせると
\[\begin{eqnarray} - \L_l &=& \bar{l}_L {\displaystyle {D \!\!\!\! /}} ~ l_L + \bar{e}_R {\displaystyle {D \!\!\!\! /}} ~ e_R \\ &=& \bar{\nu}_L \ga \cdot \d \nu_L + \bar{e} \ga \cdot \d e + i e \bar{e} \ga \cdot A e - i \frac{g}{\sqrt{2}} \left( \bar{\nu}_L \ga \cdot W^+ e_L + \bar{e}_L \ga \cdot W^- \nu_L \right) \\ && -i \frac{\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}}{2} Z_\mu \left[ \bar{\nu}_L \ga_\mu \nu_L - \frac{g^2 - g^{\prime 2}}{g^2 + g^{\prime 2}} \bar{e}_L \ga_\mu e_L + \frac{g^{\prime 2}}{g^2 + g^{\prime 2}} \bar{e}_R \ga_\mu e_R \right] \\ &=& \bar{\nu}_L \ga \cdot \d \nu_L + \bar{e} \ga \cdot ( \d + i e A ) e - i \frac{g}{\sqrt{2}} \left( \bar{\nu}_L \ga \cdot W^+ e_L + \bar{e}_L \ga \cdot W^- \nu_L \right) \\ && -i \frac{g}{\cos \th_W} Z_\mu \left[ \frac{\bar{\nu}_L \ga_\mu \nu_L}{2} - \frac{\bar{e}_L \ga_\mu e_L}{2} + \sin^2 \th_W \bar{e} \ga_\mu e \right] \tag{10}\end{eqnarray} \]
最後の項はレプトン・セクターにおける中性カレントとの相互作用項であることに注意。
\[ \left. J^{(0)}_{\mu}\right|_{lepton} = \hf \left( \bar{\nu}_L \ga_\mu \nu_L - \bar{e}_L \ga_\mu e_L \right) + \sin^2 \th_W \bar{e} \ga_\mu e = \left[ J_\mu^3 - \sin^2 \th_W J_{\mu}^{em} \right]_{lepton} \]
つぎにラグランジアン(2)のクォーク項について見ていこう。
\[ D_\mu q_L = \d_\mu q_L -i \begin{pmatrix} \frac{g b_\mu^3 }{2} + \frac{ g^\prime C_\mu}{6} & \frac{g}{\sqrt{2}} W_\mu^+ \\ \frac{g}{\sqrt{2}} W_\mu^- & - \frac{g b_\mu^3}{2} + \frac{g^\prime C_\mu}{6} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_L \\ d_L\end{pmatrix} \]
式(8)の変換より
\[ \frac{g b_\mu^3 }{2} + \frac{ g^\prime C_\mu}{6} = \frac{2}{3} e A_\mu + \frac{g^2 / 2 - g^{\prime 2} / 6}{\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}} Z_\mu \]
\[ - \frac{g b_\mu^3}{2} + \frac{g^\prime C_\mu}{6} = - \frac{1}{3} e A_\mu - \frac{g^2 / 2 + g^{\prime 2} / 6}{\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}} Z_\mu \]
\[ D_\mu q_L = \begin{pmatrix} \d_\mu u_L -i \frac{2}{3} e A_\mu u_L -i \frac{g^2 / 2 - g^{\prime 2} / 6}{\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}} Z_\mu u_L -i \frac{g}{\sqrt{2}} W_\mu^+ d_L \\ \d_\mu d_L - i \frac{g}{\sqrt{2}} W_\mu^- u_L + i \frac{1}{3} e A_\mu d_L + i \frac{g^2 / 2 + g^{\prime 2} / 6}{\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}} Z_\mu d_L \end{pmatrix} \]
\[\begin{eqnarray} \bar{q}_L \ga_\mu D_\mu q_L &=& \bar{u}_L \ga_\mu \d_\mu u_L + \bar{d}_L \ga_\mu \d_\mu d_L - i \frac{2}{3} e \bar{u}_L \ga_\mu A_\mu u_L +i \frac{1}{3} e \bar{d}_L \ga_\mu A_\mu d_L \\ && -i \frac{g}{\sqrt{2}} \left( \bar{u}_L \ga_\mu W_\mu^+ d_L + \bar{d}_L \ga_\mu W_\mu^- u_L \right) \\&& -i \frac{1}{\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}} Z_\mu \left[ \frac{g^2 - g^{\prime 2} /3}{2} \bar{u}_L \ga_\mu u_L - \frac{g^2 + g^{\prime 2} /3}{2} \bar{d}_L \ga_\mu d_L \right] \end{eqnarray} \]
\[ \bar{u}_R \ga_\mu \left( \d_\mu - i \frac{2}{3}g^\prime C_\mu \right) u_R = \bar{u}_R \ga_\mu \left( \d_\mu - i \frac{2}{3}e A_\mu \right) u_R + i \frac{2}{3} \frac{g^{\prime 2}}{\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}} Z_\mu \bar{u}_R \ga_\mu u_R \]
\[ \bar{d}_R \ga_\mu \left( \d_\mu + i \frac{1}{3}g^\prime C_\mu \right) d_R = \bar{d}_R \ga_\mu \left( \d_\mu + i \frac{1}{3}e A_\mu \right) d_R - i \frac{1}{3} \frac{g^{\prime 2}}{\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}} Z_\mu \bar{d}_R \ga_\mu d_R \]
レプトン・セクターの場合と同様にこれらの和が$- \L_{q}$となる。
\[ - \L_{q} = \bar{q}_L \ga_\mu D_\mu q_L + \bar{u}_R \ga_\mu \left( \d_\mu - i \frac{2}{3}g^\prime C_\mu \right) u_R + \bar{d}_R \ga_\mu \left( \d_\mu + i \frac{1}{3}g^\prime C_\mu \right) d_R \]
$- \L_{q}$の最後の項から中性カレントとクォークの相互作用項は次のようにまとめられる。
\[\begin{eqnarray} -\L_{int} &=& \frac{- i}{\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}} Z_\mu \left[ \frac{g^2 - g^{\prime 2}/3 }{2} \bar{u}_L \ga_\mu u_L - \frac{g^2 + g^{\prime 2}/3}{2} \bar{d}_L \ga_\mu d_L - \frac{2}{3} g^{\prime 2} \bar{u}_R \ga_\mu u_R + \frac{1}{3} g^{\prime 2} \bar{d}_R \ga_\mu d_R \right] \\ &=& \frac{- i}{\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}} Z_\mu \left[ \frac{g^2 + g^{\prime 2}}{2} \bar{u}_L \ga_\mu u_L - \frac{g^2 + g^{\prime 2}}{2} \bar{d}_L \ga_\mu d_L - \frac{2}{3} g^{\prime 2} \bar{u} \ga_\mu u + \frac{1}{3} g^{\prime 2} \bar{d} \ga_\mu d \right] \\ &=& \frac{- i g}{\cos \th_W} Z_\mu \left[ \hf \left( \bar{u}_L \ga_\mu u_L - \bar{d}_L \ga_\mu d_L \right) - \sin^2 \th_W \left( \frac{2}{3} \bar{u} \ga_\mu u - \frac{1}{3} \bar{d} \ga_\mu d \right) \right] \\ &=& \frac{- i g}{\cos \th_W} Z_\mu \left[ J_\mu^3 - \sin^2 \th_W J_{\mu}^{em} \right]_{quark} \end{eqnarray} \]
よって、
\[\begin{eqnarray} - \L_{q} &=& \bar{u} \ga_\mu \left( \d_\mu - i \frac{2}{3}e A_\mu \right) u + \bar{d} \ga_\mu \left( \d_\mu + i \frac{1}{3}e A_\mu \right) d \\ && - i \frac{g}{\sqrt{2}} \left( \bar{u}_L \ga_\mu d_L W_\mu^+ + \bar{d}_L \ga_\mu u_L W_\mu^- \right) \\&& - i \frac{g}{\cos \th_W} Z_\mu \left[ \hf \left( \bar{u}_L \ga_\mu u_L - \bar{d}_L \ga_\mu d_L \right) - \sin^2 \th_W \left( \frac{2}{3} \bar{u} \ga_\mu u - \frac{1}{3} \bar{d} \ga_\mu d \right) \right] \end{eqnarray} \tag{11}\]
まとめ：ユニタリーゲージでの電弱１世代モデルのラグランジアン
\[ \L = \L_{gauge+Higgs} + \L_{fermion} \tag{12}\]
$\L_{fermion}$は式(10), (11)の$\L_l$と$L_q$にフェルミ粒子の質量項を追加して
\[\begin{eqnarray} \L_{fermion} &=& \bar{\nu}_L \ga_\mu \d_\mu \nu_L + \bar{e} \ga_\mu ( \d_\mu + i e A_\mu ) e + \bar{u} \ga_\mu \left( \d_\mu - i \frac{2}{3}e A_\mu \right) u + \bar{d} \ga_\mu \left( \d_\mu + i \frac{1}{3}e A_\mu \right) d \\ && - i \frac{g}{\sqrt{2}} \left[ \left(\bar{\nu}_L \ga_\mu e_L + \bar{u}_L \ga_\mu d_L \right) W_\mu^+ + \left( \bar{e}_L \ga_\mu \nu_L + \bar{d}_L \ga_\mu u_L \right) W_\mu^- \right] \\&& - i \frac{g}{\cos \th_W} Z_\mu \left[ \hf \left(\bar{\nu}_L \ga_\mu \nu_L - \bar{e}_L \ga_\mu e_L + \bar{u}_L \ga_\mu u_L - \bar{d}_L \ga_\mu d_L \right) \right. \\&& ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \left. - \sin^2 \th_W \left( \bar{e} \ga_\mu e +\frac{2}{3} \bar{u} \ga_\mu u - \frac{1}{3} \bar{d} \ga_\mu d \right) \right] \\ && - \left( m_e \bar{e} e + m_u \bar{u} u + m_d \bar{d} d \right) - \frac{1}{v} \left( m_e \bar{e} e \et + m_u \bar{u} u \et + m_d \bar{d} d \et \right) \end{eqnarray} \tag{13}\]
となる。ただし、質量$m_e$, $m_u$, $m_d$は式(7)で定義されている。$\L_{gauge+Higgs}$は前半で導いたヒッグス場のラグランジアン(5), (6)とゲージ場のラグランジアン(9)をまとめて
\[\begin{eqnarray} \L_{gauge+Higgs} &=& \qu f_{\mu\nu}^{2} ( A ) + \qu f_{\mu\nu}^{2} ( Z) + \hf \left| D_\mu W_\nu^- - D_\nu W_\mu^- \right|^2 \\ && + i \left( e f_{\mu\nu} ( A ) + g \cos \th_W f_{\mu\nu} ( Z ) \right) W_\mu^+ W_\nu^- -\frac{g^2}{4} \left( W_\mu^+ W_\nu^- - W_\nu^+ W_\mu^- \right)^2 \\&& + M_W^2 W_\mu^+ W_\mu^- + \hf M_Z^2 Z_\mu Z_\mu + \hf ( \d_\mu \et )^2 \\ && + 2 \frac{M_W^2}{v} W_\mu^+ W_\mu^- \et + \frac{M_W^2}{v^2} W_\mu^+ W_\mu^- \et^2 + \frac{M_Z^2}{v} Z_\mu^2 \et + \frac{M_Z^2}{2 v^2} Z_\mu^2 \et^2 \\ && + \hf m_H^2 \et^2 + \frac{m_H^2}{2 v} \et^3 + \frac{m_H^2}{8 v^2} \et^4 \end{eqnarray} \tag{14}\]
となる。ただし、
\[ f_{\mu\nu} ( A ) = \d_\mu A_\nu - \d_\nu A_\mu \]
\[ f_{\mu\nu} ( Z ) = \d_\mu Z_\nu - \d_\nu Z_\mu \]
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