古典的な作用は
\[ S = \int \qu F_{\mu\nu} F_{\mu\nu} \tag{1}\]
で与えられる。前回のノートnote12の式(8)から、
\[ S_q = \int \left[ \qu F^2 + \frac{1}{2 \al} f^2 - \bar{c} \left( \frac{\del f }{\del \La} \right) c \right] \tag{2} \]
を使って摂動論を定義できる。今の場合はゲージ群が$SU(3)$なので8個のゲージパラメータがあり、ゲージ固定に必要な$f$の数も８となる。例えば、$f^a ( A) = \d \cdot A^a$ $(a = 1,2, \cdots, 8)$ とおける。（一般にゲージ群を$G$とすると$a = 1,2, \cdots , {\rm dim} G$となる。）
\[ \begin{eqnarray} \frac{\del f^a}{\del \La^b } &=& \frac{\del}{\del \La^b} (\d_\mu A_\mu^a ) = \frac{\del}{\del \La^b} (\d_\mu D_\mu \La^a ) \\ &=& \frac{\del}{\del \La^b} \d_\mu \left(\d_\mu \La^a + g f^{apq} A_\mu^p \La^q \right) \\ &=& \d_\mu \left( \d_\mu \del^{ab} - g f^{abc} A_\mu^c \right) \del ( x- y) \end{eqnarray} \tag{3} \]
よって、式(2)のゴースト項は
\[ - \int \bar{c}^a \d_\mu \left( \d_\mu \del^{ab} - g f^{abc} A_\mu^c \right) c d^4 x = \int \d_\mu \bar{c}^a \left( \d_\mu c^a -g f^{abc}A_\mu^c c^b \right) d^4 x \]
となる。また、
\[ F_{\mu\nu}^{a} = \d_\mu A_\nu^a - \d_\nu A_\mu^a + g f^{abc}A_\mu^b A_\nu^c \]
なので
\[ \qu F_{\mu\nu}^{a} F_{\mu\nu}^{a} = \hf \left[ \d_\mu A_\nu^a \d_\nu A_\mu^a - (\d \cdot A )^2 \right] + g f^{abc}A_\mu^b A_\nu^c (\d_\mu A_\nu^a ) + \qu g^2 f^{abc}f^{apq}A_\mu^b A_\nu^c A_\mu^p A_\nu^q \]
以上より、$\al = 1$とすると式(2)は
\[\begin{eqnarray} S_q &=& \int \Big[ \hf A_\mu^a (- \d^2 ) A_\mu^a + \bar{c}^a ( -\d^2 ) c^a + g f^{abc} A_\mu^b A_\nu^c \d_\mu A_\nu^a \\ && ~~~~~~~~~~~~~~~~ + \qu g^2 f^{abc}f^{apq}A_\mu^b A_\nu^c A_\mu^p A_\nu^q - g f^{abc} \d_\mu \bar{c}^a A_\mu^c c^b \Big] \tag{4} \end{eqnarray} \]
となる。これより理論に出てくるファインマン図は
\[ \L = \bar{q} ( \ga \cdot D + m ) q = \bar{q} ( \ga \cdot \d + m ) q - ig \bar{q} \ga \cdot A q \tag{5} \]
から得られる。
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