前回のnote14の続きです。今回の内容は前半の電荷に関する部分がナイアの教科書(基礎編)
の10章、後半の閉じ込めについては教科書(発展編)
の19章に詳しい解説があります。ここで紹介するノートはメモ程度のものなので詳細を知りたい方は教科書を参考にして下さい。
ゲージ理論の電荷演算子
ただし、Fμν=−itaFaμν であり、SU(3) の生成子 ta は Tr(tatb)=12 を満たす。この作用の変分は
δS=12∫Tr[FμνDμ(δAν)]4d4x=2∮Tr(FμνδAν)dΣμ+(運動方程式)
となる。無限小ゲージ変換では δAμ=Dμθ とおける。ただし、θ は無限小のゲージパラメータ。式(2)より空間表面上での変分は
δθS=2∫tr(F0iDiθ)d3x
となる。このゲージ変換のもとで状態 |Ψ⟩ は
|Ψ⟩θ=ei2∫tr(F0iDiθ)d3x|Ψ⟩
と変換する。ただし、
F0iDiθ=Di(F0iθ)−θDiF0i , F0i=Ei
である。物理的な状態はガウス則 (D⋅E=0) を満たすので
trθ(D⋅E)|Ψ⟩=0
よって、物理状態は
|Ψ⟩θ=e−i2∮|→x|→∞trθEidsi|Ψ⟩
と変換する。表面積分は無限遠での2次元球面上で評価される。無限小ゲージ変換 δAμ=Dμθ はネーター対称性として作用するので対応する電荷演算子 Qa は
|Ψ⟩θ=eiQaθa|Ψ⟩
と定義できる。よって、Ei=−itaEai, θ=taθa とすると
Qa=i∮|→x|→∞Eaidsi
を得る。ガウス則が自動的に満たされると考えると(4)から直接
Q(θ)=2∫tr(EiDiθ)d3x
ともおける。これは2次元面ではなく3次元空間全体での積分として評価される。
4次元時空の表面上で一定となる θ(x)≠0 のもとで状態はグローバルな SU(3)C 群の表現として変換する。そのような状態は摂動計算で用いられるグルーオンの近似的な漸近状態に対応する。このグローバルな SU(3)C 群は電荷(7)の代数
[Q(θ),Q(θ′)]=Q([θ,θ′])
として記述できる。
閉じ込め
全ての物理状態は電荷演算子の代数(8)の表現の一重項で与えられる。これは SU(2) 格子ゲージ理論で示されているがそれ以外の理論ではまだ不明である。閉じ込めを議論するオーダーパラメータとしてよく用いられるのはウィルソン・ループ演算子
W(C)=trPexp[i∮CAaμtadxμ]
である。W(C) の平均値は
⟨W(C)⟩=∫W(C)e−S[A]dμ(A,C)∫e−S[A]dμ(A,C)
で与えられる。K を正の定数、A(C) を経路 C で囲まれた表面積として、充分大きな C に対して ⟨W(C)⟩∼exp[−KA(C)] となる場合、理論に「閉じ込め」があるという。アーベル型ゲージ理論の場合は
W(C)=trexp[i∫AμJμd4x]Jμ=dxμdτδ(4)(x−x(τ))⟨W(C)⟩≃exp[−12∫JμDμνJν]
となるので、⟨W(C)⟩∼exp[−KA(C)] となる場合は古典的な点粒子の相互作用は V(R)∼R の形のポテンシャルを持つ。ただし、R は点粒子間距離を表す。
(ウィルソン・ループの面積則についてはCheng and Liの332ページを参考にしました。)
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