前回のノートでは１世代モデルのラグランジアンを導いた。
\[ \L = \L_{gauge+Higgs} + \L_{fermion} \tag{1}\]
\[\begin{eqnarray} \L_{fermion} &=& \bar{\nu}_L \ga_\mu \d_\mu \nu_L + \bar{e} \ga_\mu ( \d_\mu + i e A_\mu ) e + \bar{u} \ga_\mu \left( \d_\mu - i \frac{2}{3}e A_\mu \right) u + \bar{d} \ga_\mu \left( \d_\mu + i \frac{1}{3}e A_\mu \right) d \\ && - i \frac{g}{\sqrt{2}} \left[ \left(\bar{\nu}_L \ga_\mu e_L + \bar{u}_L \ga_\mu d_L \right) W_\mu^+ + \left( \bar{e}_L \ga_\mu \nu_L + \bar{d}_L \ga_\mu u_L \right) W_\mu^- \right] \\&& - i \frac{g}{\cos \th_W} Z_\mu \left[ \hf \left(\bar{\nu}_L \ga_\mu \nu_L - \bar{e}_L \ga_\mu e_L + \bar{u}_L \ga_\mu u_L - \bar{d}_L \ga_\mu d_L \right) \right. \\&& ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \left. - \sin^2 \th_W \left( \bar{e} \ga_\mu e +\frac{2}{3} \bar{u} \ga_\mu u - \frac{1}{3} \bar{d} \ga_\mu d \right) \right] \\ && - \left( m_e \bar{e} e + m_u \bar{u} u + m_d \bar{d} d \right) - \frac{1}{v} \left( m_e \bar{e} e \et + m_u \bar{u} u \et + m_d \bar{d} d \et \right) \end{eqnarray} \tag{2}\]
\[\begin{eqnarray} \L_{gauge+Higgs} &=& \qu f_{\mu\nu}^{2} ( A ) + \qu f_{\mu\nu}^{2} ( Z) + \hf \left| D_\mu W_\nu^- - D_\nu W_\mu^- \right|^2 \\ && + i \left( e f_{\mu\nu} ( A ) + g \cos \th_W f_{\mu\nu} ( Z ) \right) W_\mu^+ W_\nu^- -\frac{g^2}{4} \left( W_\mu^+ W_\nu^- - W_\nu^+ W_\mu^- \right)^2 \\&& + M_W^2 W_\mu^+ W_\mu^- + \hf M_Z^2 Z_\mu Z_\mu + \hf ( \d_\mu \et )^2 \\ && + 2 \frac{M_W^2}{v} W_\mu^+ W_\mu^- \et + \frac{M_W^2}{v^2} W_\mu^+ W_\mu^- \et^2 + \frac{M_Z^2}{v} Z_\mu^2 \et + \frac{M_Z^2}{2 v^2} Z_\mu^2 \et^2 \\ && + \hf m_H^2 \et^2 + \frac{m_H^2}{2 v} \et^3 + \frac{m_H^2}{8 v^2} \et^4 \end{eqnarray} \tag{3}\]
ただし、
\[ f_{\mu\nu} ( A ) = \d_\mu A_\nu - \d_\nu A_\mu \]
\[ f_{\mu\nu} ( Z ) = \d_\mu Z_\nu - \d_\nu Z_\mu \]
低エネルギー近似ではこのラグランジアンからカレント・カレンを相互作用を再現することができる。$W^-$粒子の運動量を$q_\mu$とすると
\[ W_\mu \sim e^{i qx} W_\mu (q) ~ , ~~~~~ \left( \d_\mu W_\nu^- - \d_\nu W_\mu^- \right)^2 \sim q^2 \]
なので、$q^2 \ll M_W^2$のとき運動項は無視できる。
\[ - \L = M_W^2 W_\mu^+ W_\mu^- - i \frac{g}{\sqrt{2}} \left( W_\mu^+ J_\mu^- + W_\mu^- J_\mu^+ \right) + \cdots \tag{4} \]
ただし、
\[ J_\mu^+ = \bar{e}_L \ga_\mu \nu_L + \bar{d}_L \ga_\mu u_L + \cdots \]
\[ J_\mu^- = \bar{\nu}_L \ga_\mu e_L + \bar{u}_L \ga_\mu d_L + \cdots \tag{5} \]
省略された項はヒッグス場に関わる項を表す。ここで、$W$ボソンはヘリシティが左巻き状態のクォークとレプトンにしか結合しないことに注意しよう。$W$ボソン場の運動方程式は
\[ M_W^2 W_\mu^+ - \frac{ig}{\sqrt{2}} J_\mu^+ = 0 ~, ~~~~~ M_W^2 W_\mu^- - \frac{ig}{\sqrt{2}} J_\mu^- = 0 \]
これを解いて再度(4)に代入すると
\[ \begin{eqnarray} - \L_{l-W} &=& \frac{g^2}{2 M_W^2} J_\mu^+ J_\mu^- \\ &=& \frac{g^2}{8M_W^2} \left[ \bar{e} \ga_\mu ( 1 - \ga_5 ) \nu + \bar{d} \ga_\mu ( 1 - \ga_5 ) u \right] \left[ \bar{\nu} \ga_\mu ( 1 - \ga_5 ) e + \bar{u} \ga_\mu ( 1 - \ga_5 ) d \right] \tag{6}\end{eqnarray}\]
ここで、$\bar{e}_L \ga_\mu \nu_L = \hf \bar{e} \ga_\mu (1 - \ga_5 ) \nu$などを使った。$\bar{e} \ga_\mu \ga_5 \nu$は擬ベクトル(axial-vector)なので、この相互作用はV-A型カレント・カレント相互作用と呼ばれる。
$M_W = \frac{gv }{2}$より
\[ \frac{g^2}{8M_W^2} = \frac{1}{2 v^2} = \frac{G_F}{\sqrt{2}} \]
ラグランジアン$\L_{l-W}$は媒介ベクトルボソンの低エネルギー現象論を与える。
\[ G_F \simeq \frac{10^{-5}}{m_p^2} \]
が知られているので真空期待値のパラメータ$v$は
\[ v \simeq 250 ~ GeV \]
と求まる。
\[ - \L = \hf M_Z^2 Z_\mu Z_\mu - \frac{i g}{\cos \th_W } Z_\mu J_{\mu}^{(0)} + \cdots \tag{7} \]
ここで中性カレント$J_{\mu}^{(0)}$は
\[\begin{eqnarray} J_{\mu}^{(0)} &= & J_{\mu}^{3} - \sin^2 \th_W J_{\mu}^{em}\\ J_{\mu}^{3} &= & \hf \left(\bar{\nu}_L \ga_\mu \nu_L - \bar{e}_L \ga_\mu e_L + \bar{u}_L \ga_\mu u_L - \bar{d}_L \ga_\mu d_L \right) \\ J_{\mu}^{em} &= & \bar{e} \ga_\mu e +\frac{2}{3} \bar{u} \ga_\mu u - \frac{1}{3} \bar{d} \ga_\mu d \tag{8}\end{eqnarray}\]
で定義される。ラグランジアン(6)から$Z_\mu$の運動方程式は
\[ M_Z^2 Z_\mu - \frac{ig}{\cos \th_W} J_{\mu}^{(0)} = 0 \]
となる。この解をラグランジアン(6)に代入すると
\[ - \L_{l-Z} = \frac{g^2}{2 M_Z^2 \cos^2 \th} J_{\mu}^{(0)} J_{\mu}^{(0)} = \frac{g^2}{2 M_W^2 } J_{\mu}^{(0)} J_{\mu}^{(0)} \tag{9} \]
相互作用に$\sin \th_W$が入るので、中性カレントが現れる散乱過程、例えば、$\nu_e e \rightarrow \nu_e e$弾性散乱の過程を研究することでこの値を測ることが出来る。実験より
\[ \sin^2 \th_W \simeq 0.22 ~, ~~~~~ \sin \th_W \simeq 0.47 \]
が得られる。よって、
\[ g = \frac{e}{\sin \th_W } \simeq 0.64 \]
ただし、ここでは$\hbar = c = 1$の自然単位系を用いているので$e^2 = \frac{4 \pi}{137} \simeq 0.09$となる。
\[ M_{W^\pm} = \frac{gv}{2} \simeq 80 ~ GeV ~ , ~~~~~~ M_{Z^0} = \frac{M_{W^\pm}}{\cos \th_W } \simeq 91 ~ GeV \tag{10} \]
放射補正を加えるとこれらの公式は少し修正され、ニュートリノ中性カレント過程から、次のような理論値が得られている。
\[ \begin{eqnarray} \sin^2 \th_W &=& 0.215 \pm 0.10 \pm 0.004 \\ M_W &=& 83.0 \pm 2.4 ~ GeV \\ M_Z &=& 93.8 \pm 2.0 ~ GeV \end{eqnarray} \]
比較対象となる実験値 (CERN UA1 group) は
\[ \begin{eqnarray} M_W &=& {83.1}^{+1.3}_{-0.8} \pm 3 ~ GeV \\ M_Z &=& 93.0 \pm 1.6 \pm 3 ~ GeV \end{eqnarray} \]
中性カレント
中性カレントは一般にフェルミ場を用いて
\[ J_\mu^0 = \sum_{f} \left[ g_L^f \bar{f}_L \ga_\mu f_L + g_R^f \bar{f}_R \ga_\mu f_R \right] \tag{11}\]
と書き下すことができる。ここで、$f$は任意のフェルミ粒子を表す。式(7)の中性カレント$J_{\mu}^{(0)}$の場合、係数$g_L^f$, $g_R^f$は
\[ \begin{eqnarray} g_L^\nu &=& \hf \\ g_R^\nu &=& 0 \\ g_L^e &=& - \hf - \sin^2 \th_W \\ g_R^e &=& - \sin^2 \th_W \\ g_L^u &=& \hf - \frac{2}{3} \sin^2 \th_W \\ g_R^u &=& - \frac{2}{3} \sin^2 \th_W \\ g_L^d &=& - \hf + \frac{1}{3} \sin^2 \th_W \\ g_R^u &=& \frac{1}{3} \sin^2 \th_W \end{eqnarray} \]
で与えられる。
フェルミ粒子が１世代だけのモデルであっても、電弱標準理論では７つのフリーパラメータ $(e, \sin \th_W , M_W , m_H , m_e , m_u , m_d )$が含まれる。あるいは、対称性が破れる前の元々のラグランジアンで考えると、これら７つのフリーパラメータは、２つのゲージ結合定数$(g, g^\prime )$、スカラー場の２つの自己結合定数$(\la , v)$と３つの湯川結合定数$(f^{(e)}, f^{(u)}, f^{(d)} )$に対応する。
この意味で電弱相互作用の統一は完全ではない。つまり、これら２つのクラスの相互作用を記述するには（その内部対称性から）２つのゲージ結合定数$g$, $g^\prime$をフリーパラメータとして導入する必要がある。
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