2024年9月 焼岳

久しぶりの上高地。マイカーでアクセスできる新中の湯登山口から焼岳までピストン。登山口にはトイレがないため道の駅「風穴の里」を利用しました。火山ということで念のためヘルメット持参。山頂付近では硫黄臭のする噴煙が絶え間なく湧いていました。山頂ではガスの切れ間から何度か絶景を望むことができました。

カローラフィールダーのヘッドライト塗装

ヘッドライトの黄ばみが気になってきたのでDIYでキレイにしてみました。

１．中性洗剤で洗う

２．マスキング

３．耐水ペーパー800番で研磨

４．再度中性洗剤で洗ってから乾かす

５．前面のマスキング

６．ウレタンクリアで4から5度塗装

最後のところ本来は３度塗装で良かったみたいなのですが、せっかくのスプレー缶が余ってしまったので余計に塗装してしまいました。4度目でまた曇ってしまった（ゆず肌？）のでもう一度厚塗りして終わりにしました。

施工前

2024年9月 火打山

 

今回は火打山。妙高高原ICで降りて笹ヶ峰登山口からアクセス。妙高に来たのは高校の林間学校ぶり。1990年の夏だからもう34年前！ 評判の中華で腹ごしらえして登山口へ。

2024年8月 苗場山

小赤沢の登山口は都内からだとアクセスが大変！前日の昼に出発、暗くなってから知らない山道行くのが怖かったので夕暮れ前に登山口の駐車場到着して車中泊。といっても、座席を寝かして横になるだけですが。夜間ずっと雨だったので不安でしたが、明け方には止んでくれました。4時前に目が覚めたのでヘッドライトを点けて荷物確認してから4時半に出発。以前、武尊山や地蔵岳に登ったときのことを思い出しました。

11. 共形対称性 vol.5

前回に引き続いてビラソロ代数

\[    \left[ L_m , L_n \right] \, = \, ( m - n ) L_{m+n} +    \frac{c}{12} ( m^3 - m ) \del_{m+n, 0}    \tag{11.76} \]

について議論する。

ビラソロ代数のユニタリー既約表現

　11.3節で言及したように、2次元の臨界指数 $\al$ は

\[    \bra \phi (z ) \phi (w ) \ket  \, = \, \frac{1}{(z - w )^\al}    \tag{11.77} \]

と表せる。ただし、$z , w \in {\bf C}$ である。これは演算子 $L_0 = - z \frac{\d}{\d z} $ の固有値が臨界指数 $\al$ を与えることを意味する。実際、

\[    L_0 \frac{1}{z^\al} = \al z \frac{1}{z^{\al + 1 }} = \al \frac{1}{z^\al}     \tag{11.78} \]

と計算できる。$L_0$ の固有値は共形ウェイト（あるいは共形次元）と呼ばれる。前節で紹介したように2次元の臨界現象はビラソロ代数の表現で分類できる。よって、2次元上で可能な全ての臨界指数は共形ウェイトで与えられることが分かる。以下では、ビラソロ代数のユニタリー既約表現を考えることでそのような共形ウェイトが決定されることを見ていく。

　まず、$SL( 2 , {\bf C} )$部分代数あるいは2次元の広域共形代数を考える。ビラソロ代数(11.76)において、$m = 0 , \pm 1$ とすると

\[    \left[ L_{1} , L_{-1} \right] = 2 L_0 \, , ~~~    \left[ L_{0} , L_{1} \right] = - L_{1} \, , ~~~    \left[ L_{0} , L_{-1} \right] =  L_{-1}    \tag{11.79} \]

を得る。これは閉じた代数であるが、$|m|$ が大きい場合、代数は閉じない。例えば、$m = 0, \pm 1, \pm 2$ のとき、次のような交換関係が現れる。

\[    \left[ L_{2} , L_{-2} \right] = 4 L_0 + \frac{c}{2} \, , ~~    \left[ L_{0} , L_{2} \right] = -2 L_{2} \, , ~~    \left[ L_{1} , L_{2} \right] =  - L_{3} \, , ~ \cdots    \tag{11.80} \]

よって、$|m|$ が大きい場合、閉じた部分代数は存在せず、ビラソロ代数(11.76)全体を含める必要がある。(11.76)に $m = 0$ を代入すると

\[    \left[ L_0 , L_n \right] \, = \, - n L_n     \tag{11.81} \]

を得る。ここで、ある状態 $| \psi \ket$ が共形ウェイト $h_0$ を持つとすると、上の交換関係から関係式 $L_0 ( L_n | \psi \ket ) = ( h_0 - n ) L_n | \psi \ket $ が求まる。これは、演算子 $L_n$  $(n \ge 0 )$ の作用によって $L_0$ の固有値が $n$ だけ減少することを意味する。言い換えると、$L_n$ は下降演算子として振る舞う。よって、角運動量代数との類推から、ビラソロ代数の表現を最高ウェイト状態 $|h \ket$ によって構成することができる。ただし、$|h \ket$ は条件式

\[    L_0 | h \ket = h | h \ket \, , ~~~~    L_n | h \ket = 0  ~~ ( n \ge 1 )    \tag{11.82} \]

をみたす。規格化条件は $\bra h | h \ket = 1$ とする。$|h \ket$ 以外の全ての状態は $L_{-m}$ $( m  \ge 1)$ を $| h \ket$ に施すことによって求まる。具体的に書き出すと次のようになる。

\[    \begin{array}{l|l|l}    N & p(N) & \mbox{共形ウェイト}(h+N)\mbox{のディセンダント状態} \\ \hline    1 & 1 & L_{-1}|h \ket \, , \\    2 & 2 & L_{-2}|h \ket \, , ~ L^{2}_{-1}|h \ket  \\    3 & 3 & L_{-3}|h \ket \, , ~ L_{-1} L_{-2}|h \ket \, , ~ L^{3}_{-1}|h \ket  \\    4 & 5 & L_{-4}|h \ket \, , ~ L_{-1} L_{-3}  |h \ket \, , ~ L_{-2}^{2} |h \ket \, , ~  L_{-1}^{2} L_{-2} |h \ket \, , ~      L^{4}_{-1}|h \ket  \\    5 & 7 & L_{-5}|h \ket \, , ~ L_{-1} L_{-4} |h \ket \, , ~ L_{-2} L_{-3}  |h \ket \, , ~  L_{-1}^{2} L_{-3} |h \ket \, , \\    &&   L_{-1} L_{-2}^{2}  |h \ket \, , ~  L_{-1}^{3} L_{-2}|h \ket \, , ~ L^{5}_{-1}|h \ket  \\    6 & 11 & L_{-6}|h \ket \, , ~ L_{-1} L_{-5} |h \ket \, , ~  L_{-2} L_{-4}|h \ket \, , ~ L_{-1}^{2}  L_{-4}|h \ket \, , \\    &&    L_{-3}^{2} |h \ket \, , ~ L_{-2} L_{-1} L_{-3} |h \ket \, , ~ L_{-1}^{3}  L_{-3} |h \ket \, ,   \\    &&    L^{3}_{-2}|h \ket \, ~ L_{-1}^{2} L_{-2}^{2} |h \ket \, , ~  L_{-1}^{4} L_{-2}|h \ket \, , ~ L^{6}_{-1}|h \ket  \\    7 & 15 & \cdots    \\    \vdots & \vdots & \ddots    \\    \end{array}    \tag{11.83} \]

これらの状態はディセンダント状態と呼ばれる。一般にディセンダント状態は

\[    L_{-n_1} L_{-n_2} \cdots L_{-n_r} | h \ket    \, , ~~~  (1 \le n_1 \le n_2 \le \cdots \le n_r)     \tag{11.84} \]

と表せる。ただし、

\[    \sum_{i=1}^{r} n_i = N     \tag{11.85} \]

である。最高ウェイト状態 $| h \ket $ を含むディセンダント状態(11.83)で張られる無限次元のベクトル空間はビラソロ代数の無限次元の表現を与える。表現論の用語でより正確に表すとこれらの状態はバーマ加群と呼ばれる加群（モジュール）を成す。自然数 $N$ はバーマ加群をなすディセンダント状態のレベル数と呼ばれる。

　構成によりレベル $N$ ディセンダント状態の縮退度は分割数 $p (N)$ で与えられる。これは $N$ を自然数の和として表せる場合の数である。ただし、$N = 0$ の場合は $p (0 ) = 1$ と定義される。分割数 $p (N)$ の母関数は

\[    \sum_{N = 0}^{ \infty} p (N ) x^N = \prod_{r = 1}^{\infty} \frac{1}{ 1 - x^r}     \tag{11.86} \]

で与えられる。

ユニタリー性、既約性、特異ベクトル

ビラソロ代数のユニタリー性は任意の物理状態の内積が正であることで保証される。状態 $L_{-m} | h \ket$ と $L_{-n} | h \ket$ $( m,n > 0 )$ の内積は

\[\begin{eqnarray}    \bra h | L_{m} L_{-n} | h \ket    &=& \bra h |\left( [ L_{m} , L_{-n} ] + L_{-n} L_{m} \right) | h \ket    \nonumber \\    &=& \bra h | \left( (m+ n) L_{m-n} + \frac{c}{12}m(m^2 - 1 ) \del_{m,n} \right) | h \ket    \nonumber \\    &=&    \left( (m+n) h + \frac{c}{12} m (m^2 - 1 ) \right) \del_{m,n}      \tag{11.87} \end{eqnarray}\]

と計算できる。ただし、随伴関係 $L^{\dagger}_{-n} = L_n$ と規格化 $\bra h | h \ket = 1$ を用いた。非自明となる最もシンプルな場合は $m = n = 1$ で与えられ、このとき上式は

\[    \bra h | L_{1} L_{-1} | h \ket = 2 h     \tag{11.88} \]

となる。よって、ユニタリー条件から $h > 0$ が分かる。また、(11.87)からレベル $n$ ディセンダント状態 $L_{-n} | h \ket$ $(n > 1 )$ の内積は

\[    \bra h | L_{n} L_{-n} | h \ket =    2 n h + \frac{c}{12} n (n^2 - 1 )     \tag{11.89} \]

で与えられる。レベル数 $n$ が充分に大きいとき、この内積が正となるには $c \ge 0$ が必要である。これらの簡単な場合から、ビラソロ代数のユニタリー性を課すと $h$ と $c$ が非負となることが分かる。つまり、

\[    h > 0 \, , ~~ c \ge 0     \tag{11.90} \]

であることが要請される。

　関係式(11.87)はレベル $m$ 状態 $L_{-m} | h \ket$ とレベル $n$ 状態 $L_{-n} | h \ket$ が $m=n$ でない限り互いに直交することを意味する。この関係はレベル $m, n$ の他のディセンダント状態にも当てはまる。よって、ビラソロ代数のユニタリー性はレベル $N$ の部分ベクトル空間を用いて考えることができる。ただし、この部分ベクトル空間の次元は $p(N)$ となる。(11.83)のリストよりレベル $N$ 部分空間の基底は

\[     L^{N}_{-1}|h \ket\, , ~ L_{-1}^{N-2} L_{-2} |h \ket \, , \cdots \, , ~ L_{-1} L_{-N+1} |h \ket \, ,  ~ L_{-N}|h \ket     \tag{11.91} \]

で与えられることが分かる。レベル $N$ 部分空間において内積が正であるかどうかは以下のグラム行列 $M^{(N)}$ を用いて判定できる。

\[     \left(      \begin{array}{cccc}        \bra h | L_{1}^{N} L_{-1}^{N} | h \ket & \bra h | L_{1}^{N} L_{-1}^{N-2} L_{-2} |h \ket  & \cdots         &  \bra h | L_{1}^{N} L_{-N}|h \ket \\        \bra h | L_{2} L_{1}^{N-2} L_{-1}^{N} | h \ket & \bra h | L_{2} L_{1}^{N-2} L_{-1}^{N-2} L_{-2}  |h \ket  & \cdots        &  \bra h | L_{2} L_{1}^{N-2} L_{-N} |h \ket \\        \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\        \bra h | L_{N} L_{-1}^{N} | h \ket & \bra h | L_{N} L_{-1}^{N-2} L_{-2}|h \ket  & \cdots        &  \bra h | L_{N} L_{-N} |h \ket \\      \end{array}    \right)     \tag{11.92} \]

グラム行列 $M^{(N)}$ はエルミート行列なのでユニタリー行列を用いて実数の固有値をもつ成分で対角化できる。よって、バーマ加群のユニタリー性を得るには任意の $N > 0$ について全ての固有値が正であることを要請すればよい。言い換えると、グラム行列が正定値であればビラソロ代数の表現はユニタリーである。

　グラム行列 $M^{(N)}$ の固有値の1つがゼロのとき、$\det M^{(N)} = 0$ となる。これは、レベル $N$ の部分ベクトル空間が線形従属であることを意味し、レベル $N$ ディセンダント状態の線形結合として次の関係式を満たすある特定のベクトル $| \chi \ket$ を構成できることを示す。

\[    L_0 | \chi \ket = (h + N ) | \chi \ket \, , ~~~~ L_{n} | \chi \ket = 0 ~~~ ( n > 0 )    \tag{11.93} \]

このベクトルはレベル $N$ の特異ベクトルあるいはヌル・ベクトルと呼ばれる。このとき、つまり特異ベクトルが含まれる場合、ビラソロ代数の表現は可約となる。特異ベクトルと任意のディセンダント状態(11.84)の内積はゼロとなる。

\[    \bra \chi | L_{-n_1} L_{-n_2} \cdots L_{-n_r} | h \ket     = \bra h | L_{n_r} L_{n_{r-1}} \cdots L_{n_1} | \chi \ket = 0     \tag{11.94} \]

また、その構成から特異ベクトルのノルムはゼロとなる。

\[    \bra \chi | \chi \ket = 0     \tag{11.95} \]

よって、元々のバーマ加群で

\[    | \chi \ket = 0     \tag{11.96} \]

とおくことにより、特異ベクトルと特異ベクトルから生成されるディセンダント状態を取り除くことができる。これにより、可約なバーマ加群は既約表現を持つことになる。このような既約表現はビラソロ代数の縮退表現と呼ばれる。

11. 共形対称性 vol.4

11.4　2次元共形変換とビラソロ代数

2次元平面では計量テンソルを $g_{\mu\nu} = \del_{\mu\nu}$ $(\mu, \nu = 1,2)$ とおける。この時、共形キリング方程式

\[    \nabla_\mu \xi_\nu + \nabla_\nu \xi_\mu    \, = \, \la g_{\mu\nu}    \tag{11.2} \]

は次式で与えられる。

\[    \d_\mu \xi_\nu + \d_\nu \xi_\mu \, = \, \la \del_{\mu\nu}    \tag{11.55} \]

計量 $g_{\mu\nu} = \del_{\mu\nu}$ で縮約を取ると $ 2 \d_\mu \xi_\nu = 2 \la$ を得る。よって、共形キリング方程式は

\[    \d_\mu \xi_\nu + \d_\nu \xi_\mu - (\d \cdot \xi ) \del_{\mu\nu}    \, = \, 0  \tag{11.56} \]

と書ける。添え字を明示するとこれは３つの式で表せる。

\[\begin{eqnarray}   2 \d_1 \xi_1 - ( \d_1 \xi_1 + \d_2 \xi_2 ) &=& 0     \nonumber \\    2 \d_2 \xi_2 - ( \d_1 \xi_1 + \d_2 \xi_2 ) &=& 0     \nonumber \\    \d_1 \xi_2  + \d_2 \xi_1  &=& 0     \nonumber \end{eqnarray}\]

つまり、

\[\begin{eqnarray}    \d_1 \xi_1 - \d_2 \xi_2 &=& 0  \nonumber \\    \d_1 \xi_2 + \d_2 \xi_1 &=& 0 \nonumber \end{eqnarray} \tag{11.57}\]

と求まる。これらは正則関数のコーシー・リーマン方程式に他ならない。そこで、4.2節にならって、次のような複素変数表示を導入する。

\[\begin{eqnarray}    && \xi_1 + i \xi_2 = f  \,  , ~~~ \xi_1 - i \xi_2 = \bar{f}  \, ,    \nonumber \\    && x_1 + i x_2 = z \, , ~~~ x_1 - i x_2 = \bar{z}     \nonumber \\    && \d_\bz = \frac{\d_1 + i \d_2}{2} \, , ~~~ \d_z = \frac{\d_1 - i \d_2}{2}   \tag{11.58}　 \end{eqnarray}\]

計量は $ds^2 = \del_{\mu\nu} d x^\mu d x^\nu = d z d \bz$ とおけるので、複素座標においてゼロにならない計量テンソルとその逆テンソルは

\[    g_{z \bz} = g_{ \bz z} = \frac{1}{2} \, , ~~~    g^{z \bz} = g^{ \bz z} = 2     \tag{11.59} \]

で与えられる。よって、(11.57)は

\[    \d_\bz f \, =  \, \frac{1}{2}( \d_1 + i \d_2 ) ( \xi_1 + i \xi_2 ) \, = \, 0     \tag{11.60} \]

と表せる。この一般解は $f = f (z)$ となることが確かに分かる。つまり、$f$ は $z$ の解析関数である。従って、2次元共形変換は、3次元以上の共形キリング方程式の一般解(11.6)が拡張され、任意の正則関数で定義される。演算子代数の視点から見ると2次元の共形代数 $SO(1,3)$ は無限次元のリー代数に拡張される。この代数はビラソロ代数と呼ばれる。以下では、ビラソロ代数を導入しそのユニタリー表現を考えるので議論は専ら代数的になる。なお、次章では一般のリー代数について幾何学的な考察を行う。

　特異点を $z=0, \infty$ にとり、$f(z)$ のローラン展開を書き出すと

\[    f (z) \, = \, - \sum_{n = - \infty}^{\infty}   \ep_n \, z^{n+1}    \tag{11.61} \]

となる。ただし、$\ep_n$ は展開係数である。もし $f(z)$ が特異点を持たなければ解は $f = \mbox{(定数)}$ で与えられることに注意しよう。複素パラメータ表示(11.58)から共形変換 $x_i \rightarrow x_i + \xi_i$ は

\[    z \, \rightarrow \, z + f (z)     \tag{11.62} \]

で実現されることが分かる。パラメータ $\ep_n$ に対応する共形変換の生成子は

\[    l_n \, = \, - z^{n+1} \d_z     \tag{11.63} \]

で与えられる。この生成子は交換関係

\[   \left[ l_m , l_n \right] \, = \, ( m - n ) l_{m+n}    \tag{11.64} \]

を満たす。これはヴィット代数と呼ばれる。部分代数 $l_n$ $(n = -1 , 0, 1)$ とその反正則部分 $\bar{l}_n$ は $SL(2, {\bf C} )$ 代数を成す。これは2次元の広域共形代数に対応している。定義(11.62)より2次元共形変換は次の演算子で生成されることが分かる。

\[\begin{eqnarray}    \O &=& \ep_{-1} \left( - \frac{\d}{\d z} \right) + \ep_{0} \, z \left( - \frac{\d}{\d z} \right)    + \ep_{1} \, z^2 \left( - \frac{\d}{\d z} \right) \nonumber \\    &=& \bar{\ep}_{-1} \left( - \frac{\d}{\d \bz} \right) + \bar{\ep}_{0} \, \bz \left( - \frac{\d}{\d \bz} \right)    + \bar{\ep}_{1} \, \bz^2 \left( - \frac{\d}{\d \bz} \right)    \nonumber \\    &=& a P_z + \bar{a} P_\bz + c M + d D + b K_z + \bar{b} K_\bz    \tag{11.65} \end{eqnarray}\]

ただし、共形変換の生成子は

\[    \begin{array}{ll}    P_z = - \d_z = l_{-1} \, , ~  P_\bz = - \d_\bz = \bar{l}_{-1}  & \mbox{: 並進変換}    \\    M = - z \d_z + \bz \d_\bz = ( l_0 - \bar{l}_{0} ) & \mbox{: 回転変換}    \\    D = -  z \d_z - \bz \d_\bz  =  ( l_0 + \bar{l}_{0} ) & \mbox{: スケール変換}    \\    K_z = - z^2 \d_z  = l_1 \, , ~ K_\bz = - \bz^2 \d_\bz = \bar{l}_1 &    \mbox{: 特殊共形変換}  \end{array} \tag{11.66} \] 

と定義される。(11.65)のパラメータは $\ep_n$ $(n = -1 , 0, 1)$ を用いて

\[    a = \ep_{-1} \, , ~~ \bar{a} = \bar{\ep}_{-1} \, , ~~  b = \ep_1 \, , ~~ \bar{b}= \bar{\ep}_{1} \, ,    ~~ c = \frac{1}{2}( \ep_0 - \bar{\ep}_{0} ) \, , ~~ d = \frac{1}{2} ( \ep_0 + \bar{\ep}_{0} )      \tag{11.67}\]

と同定される。(11.65),(11.66)は前節で求めた一般次元の結果

\[\begin{eqnarray}    \O &=& a^\mu \left( - i \frac{\d}{\d x^\mu} \right)    + \om^{\mu\nu} x_\nu \left( - i \frac{\d}{\d x^\mu} \right)    \nonumber \\    &&     + \,\ep \, x^\mu \left( - i \frac{\d}{\d x^\mu} \right)    + \, b_\al \left( x^2 \eta^{\mu \al} - 2 x^\mu x^\al \right)  \left( - i \frac{\d}{\d x^\mu} \right)    \nonumber \\    & \equiv & a^\mu P_\mu    - \frac{\om^{\mu\nu}}{2} M_{\mu\nu} + \ep \, D - b^\mu K_\mu     \tag{11.42} \end{eqnarray}\]

\[    \begin{array}{ll}    P_\mu = - i \d_\mu   & \mbox{: 並進変換}    \\    M_{\mu \nu} = x_\mu P_\nu - x_\nu P_\mu  & \mbox{: 回転変換}    \\    D = - i x^\mu \d_\mu & \mbox{: スケール変換}    \\    K_\mu = - i ( 2 x_\mu x^\nu \d_\nu - x^2 \d_\mu ) &    \mbox{: 特殊共形変換}    \end{array}     \tag{11.43} \]

の2次元版である。

2024年夏 金時山

母をゴルフ場に送迎する間を利用して金時山へ。御殿場からアクセスも良くトンネルで乙女峠を越えるとすぐに金時神社の登山口に。8時過ぎでしたが神社の無料パーキングは既に満車。近くの有料駐車場を利用しました。

都知事選 2024

わけわからん立候補者が乱立している都知事選、都民として看過できない事態です。とはいえ、一都民としてできるのはまともな候補者に投票することだけなので、今回もフラットな視点で候補者を選ぶことにしました。4年前の前回、こちらで報告したように小野さん、山本さん、小池さんで迷った挙句、結局、無電柱化を唯一公約に掲げていた小池さんに入れました。しかし、未だ公約は実現されず地元の道路もずっと工事中のままです。公約を守らず、守る気もなく、守れなかった理由の説明もない人を再選するのはさすがにバカなので今回はほかの人に入れる予定です。前回出てた小野さんはどうなったのかと調べてみるとなんと日本維新の会から比例で衆議院議員になっていました。山本さんは2022年に参院選で再選されたみたいです。

　今回の候補者でまず目を引いたのがドクター中松候補。以前から挑戦されていて私も毎回投票していましたが、今回はさすがにご高齢なので難しいのではないかと。ただ、そのご健在ぶりには感服するばかりです。つぎに気になったのがエンジニアの安野さん。起業家、AIエンジニア、SF作家という経歴の人が政治にチャレンジしてくれるというのはありがたい。ぜひ応援したいのですが、いきなり東京のトップになって大丈夫なのか少し不安があります。むしろ、トップのブレインとして才能を活かせるのではないか？その点、安芸高田市長だった石丸さんは首長の経験もあり、政策も明確なので安心です。バンカーとして約束された地位を投げ打って政治の世界に挑戦された意志の強さに世襲議員に代表される旧来の政治家にはない可能性を感じます。石丸さんと安野さんが組んで都政を改革してくれれば若い世代もより政治に関心を持ちわけわからん立候補者の数も減るのではと期待します。

新訳で読む「赤毛のアン」

次女(10歳)がネットで「赤毛のアン」のアニメを見始めたので、一緒に見ることにしました。構成、キャラクターデザイン、背景、音楽、演出など全ての要素が素晴らしく、引き込まれて原作を読むことにしました。

「赤毛のアン」のアニメと言えば、小学5年生頃、登校すると友達の何人かが「マシューが死んだ～」と大騒ぎになっていたので「なにそれ～」と聞いたのが印象に残っていますが、子供が同じ歳になってようやくその感慨が分かりました。以前、NHKの「100分de名著」で茂木健一郎さんが取り上げていたのを興味深く観ましたが、その時は、女の子の作品だからなぁと、原作を手にすることはありませんでした。

その印象は今でも変わりませんが、二人の娘を持つ父親として読んでみるとその内容の深さに新鮮な驚きがあり、楽しく読めました。アニメとの相乗効果で理解が深まりました。折角なので、英語の勉強もしてみようということでこちら

を購入。舞台となったプリンス・エドワード島の様子がカラー写真でふんだんに紹介されておりとても参考になりました。イギリス古来のケルト系文化に由来する自然崇拝とスコットランド国教会を中心としたコミュニティの温かさに何故か懐かしさを感じました。そして主人公の素直な感情表現には、ツッコミどころはあるものの共感せずにはいられない筆力にさすが名著と呼ばれるだけあるなあ、むしろ何故いままで敬遠したのかと反省し、最近時間を持て余している感のある母に一冊送ることにしました。

11. 共形対称性 vol.3

 11.3 共形代数と臨界現象の普遍性

この節ではまず共形アイソメトリーの代数、つまり共形代数を導出する。この代数は10.2節で導いたアイソメトリーに対するポアンカレ代数の自然な拡張と見做せる。ポアンカレ代数

\[\begin{eqnarray}    \left[ P_\mu , P_\nu \right] &=& 0     \nonumber \\    \left[ M_{\mu \nu} , P_{\al} \right] &=&    i \left( \eta_{\mu\al} P_{\nu} - \eta_{\nu\al} P_{\mu} \right)     \tag{10.29}\\    \left[ M_{\mu \nu} , M_{\al\bt} \right] &=&    i ( \eta_{\mu\al} M_{\nu\bt} - \eta_{\nu\al} M_{\mu\bt}    - \eta_{\mu\bt} M_{\nu\al} + \eta_{\nu\bt} M_{\mu\al} )     \nonumber \end{eqnarray}\]

との類推から、共形対称性の代数は11.1節で導いた共形変換

\[    \xi_\mu  \, = \,    \left\{    \begin{array}{ll}    a_\mu + \om_{\mu \al} \, x^\al    & \mbox{: ポアンカレ変換} \\   \ep \, x_\mu    & \mbox{: スケール変換} \\    b^\al ( x^2 \eta_{\mu \al} - 2 x_\mu x_\al )    & \mbox{: 特殊共形変換}    \end{array}    \right.    \tag{11.6} \]

の生成子を用いて構成できる。一般に、場の演算子の変換の生成子 ${\cal O}$ は

\[\begin{eqnarray}    \phi (x)  ~ \longrightarrow ~ \phi (x + \xi ) & = & \phi (x) +    \xi^\mu \frac{\d \phi}{\d x^\mu}    \nonumber \\    & \equiv &  \phi (x) + i \O \cdot \phi    \tag{10.27} \end{eqnarray}\]

で定義された。よって、共形変換の生成子は演算子

\[\begin{eqnarray}    \O &=& a^\mu \left( - i \frac{\d}{\d x^\mu} \right)    + \om^{\mu\nu} x_\nu \left( - i \frac{\d}{\d x^\mu} \right)    \nonumber \\    &&     + \,\ep \, x^\mu \left( - i \frac{\d}{\d x^\mu} \right)    + \, b_\al \left( x^2 \eta^{\mu \al} - 2 x^\mu x^\al \right)  \left( - i \frac{\d}{\d x^\mu} \right)    \nonumber \\    & \equiv & a^\mu P_\mu    - \frac{\om^{\mu\nu}}{2} M_{\mu\nu} + \ep \, D - b^\mu K_\mu     \tag{11.42} \end{eqnarray}\]

から読み取れる。これより、共形変換の生成子は

\[    \begin{array}{ll}    P_\mu = - i \d_\mu   & \mbox{: 並進変換}    \\    M_{\mu \nu} = x_\mu P_\nu - x_\nu P_\mu  & \mbox{: 回転変換}    \\    D = - i x^\mu \d_\mu & \mbox{: スケール変換}    \\    K_\mu = - i ( 2 x_\mu x^\nu \d_\nu - x^2 \d_\mu ) &    \mbox{: 特殊共形変換}    \end{array}     \tag{11.43} \]

で与えられることが分かる。したがって、共形代数はポアンカレ代数(10.29)と以下の交換関係の組み合わせで構成される。

\[\begin{eqnarray}    \left[ D , P_\mu \right] &=& i P_\mu \, , ~~~~ \left[ D , M_{\mu\nu} \right] \, = \, 0     \nonumber \\    \left[ D , K_\mu \right] &=& - i K_\mu \, , ~~~~ \left[ K_{\mu} , K_{\nu} \right] \, = \, 0     \nonumber \\    \left[ K_\mu , P_\nu \right] &=& i2 ( \eta_{\mu\nu} D + M_{\mu\nu} )     \nonumber \\    \left[ M_{\mu\nu} , K_\al \right] &=& i ( \eta_{\mu \al} K_\nu - \eta_{\nu \al} K_\mu )     \tag{11.44} \end{eqnarray}\]

共形代数は任意の次元 $d$ で成り立つ。$d$ 次元の共形代数は $(d+2)$ 次元ローレンツ代数、あるいは $SO(1, d+1)$ 代数と見做せる。これは次のように理解できる。

　まず、$A, B$ を複合添え字として $A, B = 0, 1,2, \cdots, d-1 , d ,d+1$ とおく。一方、$d$ 次元の添え字はこれまで同様、$\mu ,\nu = 0, 1, 2 ,\cdots d-1$ とする。生成子の集合 $( P_\mu , M_{\mu \nu} , D , K_\mu )$ を表す複合生成子 $J_{AB}$ を

\[\begin{eqnarray}    J_{AB} &=& - J_{BA}  \tag{11.45} \\    J_{\mu \nu} &=& M_{\mu \nu}  \tag{11.46} \\    J_{\mu  d} &=& \frac{ P_\mu + K_\mu}{2}  \tag{11.47} \\    J_{\mu \, d+1} &=& \frac{P_\mu - K_\mu }{2}   \tag{11.48} \\    J_{d \, d+1} &=& D \tag{11.49} \end{eqnarray}\]

と定義する。このとき、共形代数(10.29), (11.44)を用いると複合生成子は交換関係

\[    [ J_{AB} , J_{CD} ] =    i \left( \eta_{AC} J_{BD} - \eta_{BC} J_{AD} - \eta_{AD} J_{BC} + \eta_{BD} J_{AC} \right)    \tag{11.50} \]

を満たすことが確認できる。ただし、ミンコフスキー符号は $\eta_{AB} = (+ -- \cdots - )$ とした。これらの交換関係は $SO(1, d+ 1) $ 代数を成す。言い換えると、$J_{AB}$ は $SO(1, d+1)$ 対称性変換の生成子である。よって、d 次元共形代数は SO(1, d+1) 代数で与えられることが分かる。

　$SO(1, d+ 1) $ 代数の生成子の数は $\frac{1}{2} (d+2)(d+1)$ である。一方、$d$ 次元の共形代数には並進変換が $d$ 個、回転変換が $\frac{1}{2} d(d-1)$ 個、スケール変換が１つ、特殊共形変換が $d$ 個ある。よって、生成子の数の合計は確かに

\[    d + \frac{d(d-1)}{2} + 1 + d = \frac{(d+2)(d+1)}{2}     \tag{11.51} \]

となる。

臨界点と共形対称性

　統計力学において臨界点での2次相転移は長距離の相関関係で特徴付けられる。質量ゼロ・スカラー粒子の $d$ 次元自由理論を考える。この理論の2点相関関数は長距離極限 $| x - y | \rightarrow \infty$ で

\[    \bra \phi (x) \phi (y) \ket \, \sim \, \frac{1}{|x-y|^{d-2+\eta} }    \tag{11.52} \]

と表せる。ここで、$\eta$ は臨界指数と呼ばれる。この長距離相関は物質の局所的な構造とは無関係であり、大域的な幾何学に関係する。平坦なミンコフスキー空間において質量ゼロの点粒子の（大域的な）対称性は共形アイソメトリーで与えられる。よって、2次転移（あるいは臨界点）の物理は共形不変な理論で記述されると考えられる。

　臨界指数 $\eta$ は普遍的な量である。すなわち、その値は物質の詳細に依らない。これは臨界現象の普遍性（ユニバーサリティ）として知られている。別の臨界指数として $\nu$ があり、これは関係式

\[\begin{eqnarray}    \bra \phi (x) \phi (y) \ket & \sim & e^{ - \frac{|x-y|}{\xi}  }    \tag{11.53} \\    \xi & \sim & ( T - T_c )^{-\nu}    \tag{11.54} \end{eqnarray}\]

で定義される。ただし、$T_c$ は臨界温度であり、$\xi$ は相関長 (correlation length) と呼ばれる。臨界現象はこれらの臨界指数で特徴付けられる。上の考察から、これらの指数の理論的な基礎づけは共形アイソメトリーよって与えられると推測できる。言い換えると、臨界点のタイプは共形変換（と何かしら追加の演算）の表現によって分類されると考えられる。