14. 自発的対称性の破れ vol.8

　前回に引き続き自発的対称性の破れ $G \rightarrow H$ が誘引されるパターンを群論の表現の視点から考える。最後の例として、自発的対称性の破れ

\[    SU(3) \, \longrightarrow \, SU(2) \times U(1) \, \simeq \, U(2)    \tag{14.133} \]

を考えよう。ゲルマン行列

\[\begin{eqnarray}    &&    \la^1 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 1 & 0 \\        1 & 0 & 0 \\        0 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^2 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & -i & 0 \\        i & 0 & 0 \\        0 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^3 =    \left(      \begin{array}{ccc}        1 & 0 & 0 \\        0 & -1 & 0 \\        0 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)    \nonumber \\    &&    \la^4 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & 1 \\        0 & 0 & 0 \\        1 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^5 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & -i \\        0 & 0 & 0 \\        i & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^6 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & 0 \\        0 & 0 & 1 \\        0 & 1 & 0 \\      \end{array}    \right)    \nonumber \\    &&    \la^7 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & 0 \\        0 & 0 & -i \\        0 & i & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^8 = \frac{1}{\sqrt{3}}    \left(      \begin{array}{ccc}        1 & 0 & 0 \\        0 & 1 & 0 \\        0 & 0 & -2 \\      \end{array}    \right)    \tag{14.134} \end{eqnarray} \]

を用いると、$SU(3)$ 生成子の $SU(2)$ 部分と $U(1)$ 部分はそれぞれ $(\la^1 , \la^2 , \la^3 )$ と $\la^8$ で指定される。前回の分解式(14.130)と同様に、$SU(3)$ 群の ${\bf 3}$ 表現は次のように部分群 $SU(2) \times U(1)$ の表現に分解できる。

\[    \begin{array}{ccc}    {\bf 3} &=& ({\bf 2} , \frac{1}{2\sqrt{3}} ) ~ \oplus ~    ({\bf 1}, - \frac{1}{\sqrt{3}} )  \\    \mbox{$\small{SU(3)}$} && \mbox{$\small{SU(2) \times U(1)}$} \\    \end{array}    \tag{14.135} \]

ただし、$U(1)$ 群の表現は $\frac{\la^8}{2}$ の値でラベルされる。この値は素粒子論でハイパーチャージ (hypercharge) として知られる量である。この右辺はどちらも $H = SU(2) \times U(1)$ の一重項ではない。よって、分解式(14.135)は自発的対称性の破れ(14.133)には適用できない。この自発的対称性の破れを引き起こすには $SU(2) \times U(1)$ の一重項を含むように $SU(3)$ 群の表現を分解する必要がある。いま、13.1節の式(13.16)で示したように、$SU(3)$ 群の ${\bf 3} \otimes {\bf 3}^*$ 表現は

\[    \begin{array}{ccc}    {\bf 3} \, \otimes \, {\bf 3}^* &=& {\bf 1} \, \oplus \, {\bf 8}  \\    \mbox{$\small{SU(3)}$} && \mbox{$\small{SU(3)}$} \\    \end{array}    \tag{14.136} \]

と分解できる。右辺の ${\bf 1}$ は $SU(2) \times U(1)$ ではなく $SU(3)$ の一重項であるので、この関係式を自発的対称性の破れ(14.133)に直接適用することはできない。しかし、テンソル解析を用いると $SU(3)$ 群の随伴表現 ${\bf 8}$ は

\[    T^i_j \, \longrightarrow \, T^\al_\bt + T^\al_3 + T^3_\al + T^3_3    \tag{14.137} \]

と分解できる。ただし、添え字は $i,j = 1,2,3$ と $\al, \bt = 1,2$ で指定される。$SU(2)$ 群の表現を用いると、この分解式は

\[    \begin{array}{ccc}    {\bf 8} & =& {\bf 3} \, \oplus \, {\bf 2}^*    \, \oplus \, {\bf 2} \, \oplus \, {\bf 1}  \\    \mbox{$\small{SU(3)}$} && \mbox{$\small{SU(2)}$} \\    \end{array}    \tag{14.138} \]

と表せる。ハイパーチャージ因子を含めるとこの分解式は

\[    \begin{array}{ccc}    {\bf 8} & = & ({\bf 3} , 0) \, \oplus \,    ( {\bf 2}^* , - \frac{3}{2 \sqrt{3}} )    \, \oplus \, ( {\bf 2},  \frac{3}{2 \sqrt{3}} ) \, \oplus \, ( {\bf 1}, 0 )  \\    \mbox{$\small{SU(3)}$} && \mbox{$\small{SU(2) \times U(1)}$} \\    \end{array}    \tag{14.139} \]

と拡張できる。ただし、$( {\bf 1}, 0 )$ は $SU(2) \times U(1)$ の一重項を表す。これは、随伴表現を用いると自発的対称性の破れ(14.133)を実現できることを意味する。よって、南部-ゴールドストン粒子は $SU(3)$ 群の随伴表現に属すベクトル場 $\phi^a$ ($a=1,2, \cdots , 8$) で記述される。13.3.2小節の8重項バリオンの表

\begin{array}{|c|cc|}        \hline        8重項バリオン (b) &  \psi^a & SU(3) \, 随伴表現~  {\bf 8}  \\ \hline       \Si^+ &  \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi^1 + i \psi^2 ) & (12) \\       p &  \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi^4 + i \psi^5 ) & (13) \\        \Si^- & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^1 - i \psi^2 ) & (21) \\        n & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^6 + i \psi^7 ) & (23) \\     \Xi^- & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^4 - i \psi^5 ) & (31) \\   \Xi^0 & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^6 - i \psi^7 ) & (32) \\   \Si^0 & \psi^3 & \frac{1}{\sqrt{2}}(11) -\frac{1}{\sqrt{2}}(22) \\        \La & \psi^8 & \frac{1}{\sqrt{6}}(11) + \frac{1}{\sqrt{6}}(22) -  \frac{2}{\sqrt{6}}(33) \\ \hline    \end{array}

で明示したように、場の演算子$\phi^a$ は随伴表現  $\phi_i^j$ $( i,j = 1,2,3 )$ でラベルされる。また、この共役表現は ${\phi^\dag}_i^j = \phi_{j}^{i*}$ と書ける。この意味で $\phi^a$ は $3 \times 3$ ユニタリー行列で表せる。

　いま、基底状態の期待値 $\phi_0$ の等方部分群は $SU(2) \times U(1)$ である。つまり、$\phi_0$ は(14.139)の一重項 $( {\bf 1}, 0 )$ に対応する。行列表現でこの $\phi_0$ は

\[    \phi_0 \, = \,    \left(      \begin{array}{ccc}        0  & 0 & z_{13} \\        0 & 0 & z_{23}    \\        0 & 0  & 1 \\      \end{array}    \right)    \tag{14.140} \]

と選べる。これは前回の例における式(14.131)の類似形である。$\phi_0$ の２乗は

\[    \phi_0^2 \, = \, \phi_0^\dag \phi_0 \, = \,    \left(      \begin{array}{ccc}        0   & 0 & 0 \\        0 & 0 & 0    \\        0 & 0  & v^2 \\      \end{array}    \right) , ~~~~~ v^2 = | z_{13} |^2 + | z_{23} |^2 + 1    \tag{14.141} \]

と表せる。期待値 $\phi_0$ は基本的に列ベクトル $( \phi_0 )_i^3$ $( i = 1,2,3 )$ で与えられる。これは $SU(3)$ 群の ${\bf 3}$ 表現として変換するので南部-ゴールドストン粒子 $\phi$ は ${\bf 3}$ 表現で考えられる。具体的に、$\phi$ は

\[    ( \phi )_i^3 \, = \, g_{ij} ( \phi_0 )_j^3 \, = \, \left( e^{i \frac{\la^a}{2} \th^a } \right)_{ij} ( \phi_0 )_j^3    \tag{14.142} \]

と表せる。ただし、$\th^a$ $(a = 1,2, \cdots, 8 )$ は実数パラメータである。この変換により $\phi_0 = ( \phi_0 )_i^3$ の成分は混合され、$\phi = (\phi )_i^3 = ( z_1 , z_2 , z_3 )^T$ の成分の斉次性が保証される。$g^\dag g = {\bf 1}$ よりこれらの成分は条件式

\[    | z_1 |^2 + | z_2 |^2 + |z_3 |^2 \, = \, v^2     \tag{14.143} \]

を満たす。$\phi = (\phi )_i^3$ を用いると自発的対称性の破れ(14.133)を誘引するポテンシャル項は $V = \la ( \phi^\dag \phi - v^2 )^2 = \la ( z_i^* z_i - v^2 )^2$ ($i=1,2,3$) と表せる。条件式(14.143)は $U(1)$ 変換 $z_i \rightarrow e^{i\th} z_i$ のもとでも不変である。よって、$\phi$ は幾何学的に $S^5 / S^1 = {\bf CP}^2$ で与えられることが分かる。${\bf CP}^2$ は複素射影平面とも呼ばれる。$\phi$ はコセット空間 $G/H = \frac{SU(3)}{ SU(2) \times U(1)}$ の座標に対応しているので、この結果はより直接的に関係式

\[    \frac{SU(3)}{SU(2) \times U(1)} \, \simeq \,    \frac{SU(3)}{SU(2)} \biggl/ U(1) \, \simeq \, S^5 / S^1 \, = \, {\bf CP}^2     \tag{14.144} \]

から理解することもできる。

複素射影空間

　ここで、簡単に複素射影空間について解説する。射影空間を視覚化するためにまず実射影空間を考える。すなわち、${\bf R}^3$ 上の直線を同一視する。これより、２次元の実射影空間 ${\bf RP}^2$ は ${\bf R}^3$ 上の全ての直線の集合と見做せる。ステレオ射影を用いると２次元平面は２次元球面 $S^2$ で表せる。よって、${\bf RP}^2$ は $S^2$ から対蹠点を除いた空間に相当する。言い換えると、${\bf RP}^2$ は空間ベクトル $x^a$ $(a= 1,2,3 )$ のスケール同値性

\[    x^a  \sim  \al x^a    ~~ (\al \in {\bf R}, \, \al \ne 0 )    \tag{14.145} \]

で定義できる。ただし、$\al$ はゼロでない実数を表す。この同値関係(14.145)の複素数バージョンは

\[    z^a  \sim  \la z^a ~~ (\la \in {\bf C}, \, \la \ne 0)    \tag{14.146} \]

と書ける。ただし、$\la$ はゼロでない複素数である。規格化を例えば

\[   ( z^{a} )^*  z^a \, = \, 1   ~~~~(a = 1,2,3)   \tag{14.147} \]

と取れば $|\la |^2 = \la^* \la$ の値を１に固定できる。すなわち、複素座標 $z^a$ とその複素共役は５次元球面 $S^5$ を定義する。複素座標 $z^a$ はさらに位相因子の自由度 $z^a \rightarrow e^{i \th} z^a$ を持つので、複素射影空間 ${\bf CP}^2$ はコセット空間 $S^5 / S^1$ で定義されることが分かる。

　射影空間の概念は数学で重要である。特に、ユークリッド幾何学は射影幾何学の部分集合と考えられる。一般の複素射影空間 ${\bf CP}^{n-1}$ は同値関係 $z^a \sim \la z^a$ と規格化 $ ( z^{a} )^* z^a  = 1$ を満たす $n$ 個のゼロでない複素変数 $z^a$ ($ a = 1,2, \cdots , n$) で定義される。式(14.144)と同様に、${\bf CP}^{n-1}$ $(n \ge 2)$ もコセット空間を用いて

\[  {\bf CP}^{n-1} \, = \, S^{2n-1} / S^1 \, \simeq \, \frac{SU(n)}{U(n-1)}    \tag{14.148} \]

と表せる。$n=2$ の簡単な場合、複素射影空間はリーマン球面 ${\bf CP}^1 = SU(2) / U(1 ) = S^2$ となる。11.4節で議論したようにリーマン球面 $( z , \bz )$ は $SL ( 2 , {\bf C} )$ 代数あるいは２次元の広域共形代数で記述される６つの解析対称性をもつ。この対称性は解析関数の研究で重要となる。例えば、よく知られているようにガウスの超幾何関数は $SL(2 ,{\bf C} )$ 対称性をもつ。

14. 自発的対称性の破れ vol.7

14.5 シグマ模型と $G/H$ 標的空間

リーマン多様体 $\M$ 上の点粒子の軌跡を $x^\mu (t)$ とする。つまり、写像 $x^\mu (t): {\bf R} \rightarrow \M$ を考える。測地線方程式方程式は作用

\[    \S \, = \, \hf \int dt \, g_{\mu\nu} \frac{\d x^\mu}{\d t} \frac{\d x^\nu}{\d t}    \tag{14.124} \]

の極値を取ることで求まる。ただし、$g_{\mu\nu}$ は $\M$ の計量を表す。つぎに、4次元時空からコセット空間への写像

\[    \phi^a (x) \, : \, {\bf R}^4 \, \longrightarrow \, G/H     \tag{14.125} \]

を考えよう。このとき、測地線の作用(14.124)に対応する作用は

\[    \S \, = \, \frac{1}{2} \int d^4 x \,    G_{ab} \, \d_\mu \phi^a \d_\mu \phi^b    \tag{14.126} \]

と書ける。ただし、$G_{ab} $ は $G/H$ 空間の計量を表す。この作用の被積分関数は前節で求めた南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー有効ラグランジアン(14.102)に比例する。

シグマ模型

　上の議論を一般化すると、作用(14.126)は

\[    \S \, = \, \frac{1}{2} \int d^4 x \,  G_{ab} \, \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b    \,  \sqrt{- \det g} \, g^{\mu \nu} \tag{14.127} \]

と表せる。ただし、$\phi^a (x)$ は計量 $g^{\mu \nu}$ のリーマン多様体 $\N$ から計量 $G^{ab}$ の別のリーマン多様体への写像

\[    \phi^a (x) \, : \, \N \, \longrightarrow \, \M     \tag{14.128} \]

を与える。作用(14.127)は $\M$ 上のシグマ模型を定義する。作用(14.127)の極小化から求まるシグマ模型の古典解は調和写像 (harmonic maps) と呼ばれる。また、$\N$, $\M$ はそれぞれシグマ模型の基底空間、標的空間と呼ばれる。以上より、自発的対称性の破れ G → H  により生じる南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー有効作用は G/H を標的空間とするシグマ模型で与えられることが分かる。

G/H 標的空間と G → H のパターン

　ここで、あるリー群 $G$ で表せる連続的な対称性がその部分群 $H$ に自発的に破れるとき、この自発的な破れ $G \rightarrow H$ がどのように誘引されるかを考えよう。$G$ の既約表現に属すベクトル場 $\phi$ に対して、その基底状態での期待値 $\phi_0 = \bra \Om | \phi | \Om \ket $ がゼロでないとき対称性 $G$ は自発的に破れる。この期待値の等方部分群（小群）が $G$ の部分群 $H$ に当たる。つまり、$\phi_0$ は $h$ 変換  $( h \in H )$ のもとで不変であり、一重項を成す。よって、群論的には自発的な破れのパターン $G \rightarrow H$ は $G$ の分解が部分群 $H$ の一重項を含むような $G$ の表現から $H$ の表現への還元、あるいは  $H$ 表現の $G$ 表現への埋め込みで与えられる。

　一例として、$G/H = SU(2)/U(1)$ を考えよう。このとき、$h$ 変換は $\phi$ への $\si_3$ 作用に対応する。ただし、$\si_i$ $( i=1,2,3 )$ は $2 \times 2$ パウリ行列を表す。${\bf 2}$ 表現（あるいはスピン $\frac{1}{2}$ 表現）では

\[  h \, = \, \left(     \begin{array}{cc}   e^{i \th} & 0 \\    0 & e^{-i\th} \\  \end{array}  \right)    \tag{14.129} \]

となるので $h $ 作用のもとで一重項は $\th =0$ でない限り存在しない。しかし、${\bf 3}$ 表現（あるいはスピン 1 表現）では $\si_3$ 作用のもとで $\phi$ は ${\bf 3} \rightarrow {\bf 2} \oplus {\bf 1}$ と分解できる。よって、基底状態の期待値 $\phi_0 = ( \phi_0^1 , \phi_0^2 , \phi_0^3 )^T $ を $\phi_0^1 = \phi_0^2 = 0$, $\phi_0^3 = v \ne 0$ と選べる。このとき、自発的破れ $SU(2) \rightarrow U(1)$ を引き起こすポテンシャル項は $V = \la (\phi^a \phi^a - v^2 )^2$ $( a = 1,2,3) $ で与えられる。ただし、$\la > 0$ である。このポテンシャルは $O(N)$ 理論のハミルトニアン

\[    \H \, = \,    \int d^3 x \left[    \hf \dot{\phi}_i \dot{\phi}_i + \hf (\nabla \phi_i  )(\nabla \phi_i  )    + \la (\phi_i \phi_i )^2 + \frac{\si}{2} (\phi_i \phi_i )    \right]    \tag{14.29}\]

で $N=3$ とおいたものに対応する。この理論は回転対称性を持つので南部-ゴールドストン粒子 $\phi^a$ は直交群 $O(3)$ の生成子 $R_{ab}$ を用いて $\phi^a = R_{ab} \phi_0^b$ と表せる。明らかに、$\phi^a$ は条件式 $\phi^T \phi = \phi^a \phi^a  = v^2$ を満たす。期待値 $\phi_0$ の等方部分群は $O(2) \subset O(3)$ である。以上より、自発的対称性の破れに関連するコセット空間 $SU(2)/U(1)$ は幾何学的に2次元球面 $S^2 = O(3)/O(2) $ と等しいことが分かる。

秋晴れの高川山からリニア見学センター

秋晴れに誘われて道の駅つるまで。高川山に登ってきました。思いがけずリニア見学センターが麓にあったので寄ってきました。山梨県立の施設で、以前子供といった科学館と同様に展示が充実していて入館料もお得。おススメです。リニア開通すると品川から甲府まで25分！大阪まではなんと67分！ 名古屋・大阪間はまだ時間かかりそうですが、品川・名古屋は生きているうちに実現してくれるかな。

ミューオン照射で放射性廃棄物・核デブリの無害化へ ⁉

ミュー粒子（ミューオン）と言えば大学３年生の時の物理実験で宇宙線のミューオンを電子観測してその平均寿命 $2.2 \times 10^{-6} $ 秒を計算したなあ。あのとき、ミューオンってなに？っていう状態から実験を始めたので印象に残っています。後に標準模型を勉強してようやくミューオンが第二世代の荷電レプトンであることが分かりました。電子の約 207 倍の質量をもつ。ちなみに第三世代の荷電レプトンはタウ粒子、電子の約 3500 倍の質量をもつ。ミューオン照射と言えばピラミッドや古墳の内部構造、あるいは火山の地下構造をレントゲンと同じ手法で解析できるので近年、考古学や地質学へ応用されていますが、まさか、放射性廃棄物に照射して無害化できるとは知りませんでした。最終的に無害なマグネシウムと鉛になるそうです。実験で確認されており後は実用化するだけとのこと。何百年もかかると言われている懸案の放射性廃棄物の処理が、一気に解決できるとなると夢のような技術です。この技術を発見・開発された奈良林先生の一般向けの解説動画があるので興味ある方はご覧ください。

14. 自発的対称性の破れ vol.6

　前回に引き続き、南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー有効ラグランジアンについて考える。この有効ラグランジアンに関する定理を以下に再掲する。

連続的な対称性 $G$ が部分群 $H \subset G$ に自発的に破れる場合（$H$ は基底状態の期待値 $\bra \Om | \phi | \Om \ket$ の小群に当たる）、次の２つが成り立つ。

１．${\rm dim} G - {\rm dim} H$ 個の質量ゼロの粒子（あるいは質量ギャップがゼロの励起）が存在する。これらは南部-ゴールドストン粒子（あるいは南部-ゴールドストン・モード）と呼ばれる。

２．南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー動力学は有効ハミルトニアン

 \[     \H_{\rm eff} \,  = \,  \frac{f^2}{2}  \int d^3 x  \left( G_{\imath \jmath} (\th ) \dot{\th}^\imath \dot{\th}^\jmath    + G_{\imath \jmath} (\th ) \nabla \th^\imath \nabla \th^\jmath  \right)   \tag{14.101}  \]

で与えられる。ただし、$ G_{\imath \jmath} ( \th ) d \th^\imath d \th^\jmath$ はコセット空間 $G/H$ の計量を表す。$\H_{\rm eff}$ に対応する有効ラグランジアンは\[\begin{eqnarray}      \L_{\rm eff} & = &    \frac{f^2}{2}  \left( G_{\imath \jmath} (\th ) \dot{\th}^\imath \dot{\th}^\jmath    - G_{\imath \jmath} (\th ) \nabla \th^\imath \nabla \th^\jmath  \right) \nonumber \\    &=&    \frac{f^2}{2}  \, G_{\imath \jmath} (\th ) \, \d_\mu \th^\imath \d_\mu \th^\jmath  \tag{14.102} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、係数 $f$ は古典的な基底状態の解、つまり元々のハミルトニアンの極小化から求まる。

　有効ラグランジアンの例として前回は強磁性体のハイゼンベルク模型を考えた。今回はハドロン・スペクトルの章で言及したカイラル対称性の自発的破れについて考える。このトピックについては以前のQCDノート (note 11,  note 17) でも取り上げた。より詳しくはこれらのノートも参考にされたい。

例２: QCDのカイラル対称性の自発的破れと擬スカラーメソン

　これまで、自発的に破れる対称性として元々のハミルトニアンあるいはラグランジアンにおいて完全に保たれる対称性を考えてきた。しかし、物理モデルでは対称性が完全ではないものの、対象となるエネルギーレベルでは十分良い近似とみなせる場合がある。例えば、5.1節で議論したように、量子色力学 (QCD) の軽クォーク部分のラグランジアン

\[ \L (Q) = \overline{Q} \,  i \ga \cdot ( \d - i g A ) \, Q + \overline{Q} \left( \begin{array}{c c c} m_u & 0 & 0  \\ 0 & m_d & 0  \\ 0 & 0 & m_s \\ \end{array} \right) Q \tag{5.1} \]

はフレーバー・カイラル対称性 $U(3)_L \times U(3)_R$ をもつ。このカイラル対称性は質量項により自明に破れるので完全ではない。ここで、軽クォークの質量はパイオン質量 $m_\pi \approx 140$ MeV 以下であり、およそ 1 GeV のQCDスケールでは無視できる。言い換えると、クォーク質量と電弱相互作用が無視できるエネルギーレベルにおいてラグランジアン(5.1)はカイラル対称性をもつ。QCDスケールにおいてカイラル対称性は強い相互作用の効果により自発的に破れる。5.1節で見たように、軽クォークのカイラル変換は

\[    Q_L ' = U_L \, Q_L \, , ~~~~~~    Q_R ' = U_R \, Q_R    \tag{14.106} \]

と表せる。ただし、$Q_L = {\half} (1 + \gamma_5 ) Q$, $Q_R = {\half}(1 - \gamma_5 ) Q$ である。また、軽クォーク演算子 $Q$, $\overline{Q}$ は

\[ Q = \left( \begin{array}{c} u \\ d \\ s \\ \end{array} \right)  , ~~~~~ \overline{Q} = \left( \, \bar{u} ~~ \bar{d} ~~ \bar{s} \, \right) \tag{5.2} \]

と定義されることを思い出そう。$U_{L}$, $U_{R}$ はそれぞれ$U(3)_{L}$, $U(3)_{R}$ 群の $3 \times 3$ 行列要素でありカイラル成分 $Q_L$, $Q_R$ は独立に変換する。自発的対称性の破れの秩序変数（ハイゼンベルク模型の磁化に対応するもの）は複合演算子 $\overline{Q} Q$ の基底状態における期待値

\[    \bra \Om | \overline{Q} Q | \Om \ket \, = \,     \bra \Om | ( \bar{u} u + \bar{d} d + \bar{s} s )  | \Om \ket     \tag{14.107} \]

で与えられる。この秩序変数はクォーク凝縮と呼ばれる。このクォーク凝縮がゼロでないこと、すなわち、$\bra \Om | \overline{Q} Q | \Om \ket \ne 0$ となることは実験的な事実である。（この現象は強い相互作用の閉じ込め効果から生じると考察できるが、理論的にはまだ証明されていない。）よって、14.1節の定義からQCDエネルギー・スケールにおいてカイラル対称性は自発的に破れることが分かる。

　カイラル演算子 $Q_L$, $Q_R$ を用いると複合演算子 $\overline{Q} Q$ は

\[    \overline{Q} Q \, = \,  \overline{Q}_L Q_R \, + \, \overline{Q}_R Q_L     \tag{14.108} \]

と表せる。カイラル変換のもとでこれは

\[    \overline{Q} '   Q '  \, = \, \overline{Q}_L U_L^\dag U_R  Q_R  \, + \, \overline{Q}_R U_R^\dag U_L Q_L     \tag{14.109} \]

と変換する。ただし、式(14.106)および $\overline{Q}_L ' = \overline{Q}_L U_L^\dag$, $\overline{Q}_R ' = \overline{Q}_R U_R^\dag$ を用いた。明らかに、クォーク凝縮(14.107)はカイラル対称性の $U_L = U_R$ 部分群による変換のもとで不変である。つまり、基底状態の期待値(14.107)の等方部分群はこの $U_L = U_R$ 部分群で与えられる。ここで、$U_V = U_L = U_R $ を $U(3)_V$ 群の $3 \times 3$ 行列要素とする。この $U(3)_V$ は

\[ Q \rightarrow Q^{\prime} = U Q \, , ~~~ \overline{Q} \rightarrow \overline{Q}^{\prime} = \overline{Q} U^\dag  \tag{5.3} \]

のユニタリー行列 $U$ すなわち軽クォーク $( u, s, d )$ の間のフレーバー対称性に対応する。このフレーバー対称性は軽クォークの質量が同じである場合に保存する。$U(1)$ 部分を分離すると

\[    U(3)_V \, \sim \,  SU(3)_V \times U(1)_V    \tag{14.110} \]

と書ける。ただし、$SU(3)_V$ はゲルマンとネーマンにより独立に提唱されたクォーク模型の $SU(3)$ 群を表す。定義より、$U(1)_V$ 電荷は $Q_L$, $Q_R$ 共に同一であり、$Q$ の電荷に対応する。クォークの電荷は $\theta_V / 3$ で表せる分数で与えられることに注意しよう。この $U(1)_V$ 群はバリオン数を与える。同様に、カイラル対称性の $U(1)$ 部分を分離すると

\[\begin{eqnarray}     U_{L} (3) \times  U_{R} (3) & \sim & SU(3)_L \times SU(3)_R \times U(1)_L \times U(1)_R     \nonumber \\     & \sim & SU(3)_L \times SU(3)_R \times U(1)_V \times U(1)_A    \tag{14.111} \end{eqnarray}\]

となる。ここで、$U(1)_V$, $U(1)_A$ は $U(1)_L$, $U(1)_R$ の線形結合として求まるが、その組み合わせは $U(1)_A$ 電荷が $Q_L$ と $Q_R$ に対してそれぞれ反対の符号を持つように選ばれる。すなわち、$U(1)_A$ パリティのもとで奇であり対称性は軸性ベクトル型である。一方、$U(1)_V$ はパリティのもとで偶であり対称性はベクトル型である。$U(1)_L$, $U(1)_R$ ではなく $U(1)_V$, $U(1)_A$ を用いる理由の１つは、QCDを含むベクトル型のゲージ理論においてベクトル型の対称性は自発的に破れないというヴァッファとウィッテンによる定理の存在である。これより、カイラル対称性の自発的破れは $SU(3)_V \times U(1)_V$ よりも小さな部分群に破れることはない。また、$U(1)_A$ 対称性はグルーオン場の量子アノマリーによって自明的に破れる。よって、フレーバー・カイラル対称性の自発的な破れに関わるコセット空間は

\[    \frac{SU (3)_{L} \times  SU (3)_{R} \times U(1)_V }{SU (3)_{V} \times U(1)_V} \sim  SU(3)     \tag{14.112} \]

と表せる。

　$U(1)_V$ 部分を省略するとフレーバー・カイラル対称性の自発的な破れは

\[    G = SU_{L} (3) \times  SU_{R} (3)    \, \longrightarrow \,    H= SU_{V} (3)  \tag{14.113} \]

と書ける。この場合、南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー有効ラグランジアン(14.102)は、$SU(3)$ 群のカルタン-キリング計量

\[    ds^2 \, = \, - 2 \, \Tr \left( U^\dag d U \,  U^\dag d U \right)    \tag{14.114} \]

を用いて表せる。ただし、$U = \exp ( i t^a \phi^a )$  $(a = 1,2, \cdots , 8 )$ は $SU(3)$ の行列要素である。生成子 $t^a$ はゲルマン行列 $\la^a$ を用いて $t^a = \frac{\la^a}{2}$ と表せる。元々のカイラル対称性は完全でないので、ここでの南部-ゴールドストン粒子は実際には（QCDエネルギー・スケールでは無視できる）質量を持つことに注意しよう。この意味で、これらのボース粒子は擬・南部-ゴールドストン粒子と呼ばれる。

　破れない対称性はパリティが奇なので、これらの擬・南部-ゴールドストン粒子は擬スカラー8重項メソン $\pi^{\pm}$, $\pi^0$, $K^0$, $\overline{K^0}$, $K^+$, $K^-$, $\eta$ を記述できる。これらの8重項メソンの質量は5.4節で紹介したように下表の通りである。

\[ \begin{array}{|c | c | c|  c|  c|  c |} \hline &\mbox{スピン-0}&\mbox{質量}& \mbox{スピン-1}& \mbox{質量} & \mbox{クォーク構成}\\ && \mbox{(MeV)} && \mbox{(MeV)} &\\ \hline \mbox{1重項}& \eta^\prime & 958& \omega &783&  (u {\bar u} + d {\bar d} + s {\bar s})/\sqrt{3} \\ \hline & \pi^0 & 135& \rho^0 &775& (u {\bar u} - d {\bar d} )/\sqrt{2} \\ & \pi^+ &140& \rho^+ &775& u {\bar d} \\ & \pi^- &140& \rho^- &775& d {\bar u} \\ \mbox{8重項} & K^+ &494& K^{*+} &892& u {\bar s} \\ & K^- &494& K^{*-} &892& s {\bar u} \\ & K^0 &498& K^{*0} &896& d {\bar s} \\ & {\bar K}^0 &498& {\bar K}^{*0} &896& s {\bar d} \\ & \eta &548& \varphi &1019& ( u {\bar u} + d {\bar d} - 2 \,s {\bar s})/\sqrt{6} \\ \hline \end{array} \]

パイ中間子の質量 (135-140 MeV) は約１GeV のQCDエネルギー・スケールに比べて十分小さいことが確認できる。その他の擬スカラー・メソンはストレンジ・クォーク $(m_s \gg m_u \approx m_d)$ を構成要素に持つのでより重い質量 (494-548 MeV) をもつ。最重量のメソン $\eta$ (548 MeV) は実際には $SU(3)$ 一重項の擬スカラー・メソンとの混合による寄与を含む。これは、擬・南部-ゴールドストン粒子 $\phi^8$ と $U(1)$ 部分の擬・南部-ゴールドストン粒子 $\phi^0$ との混合から生じる。もう一方の混合成分は $\eta^\prime$ (958 MeV) で与えられる。$\eta$ と $\eta^\prime$ の質量差は $U(1)_A$ 問題と呼ばれる。前述の通り、この問題はグルーオン場による量子アノマリーによって説明できるがここでは議論しない。（$U(1)_A$ 対称性は量子アノマリーにより離散的な部分群 ${\bf Z}_6$ に明示的に破れることが知られている。）有効ラグランジアン(14.102)を $SU(3)$ 計量(14.114)に適用すると、擬スカラー・8重項メソンの低エネルギー有効ラグランジアン

\[\begin{eqnarray}     \L_{\rm eff} & = & - f^{2} \, \Tr ( U^\dag \d_\mu U \, U^\dag \d_\mu U )    \, = \, f^{2} \, \Tr ( \d_\mu U^\dag \d_\mu U )    \nonumber \\    &=& \frac{f^2}{2} \, \d_\mu \phi^a  \, \d_\mu \phi^a \, + \, \O (\phi^3 ) \tag{14.115} \end{eqnarray}\]

を構成できる。ただし、$f$ は定数であり、高次の項 $\O ( \phi^3 )$ は南部-ゴールドストン粒子間の相互作用を表す。

トランプ大統領の国連演説を聞いてみる

 あまりニュースになっていないようですが、凄い発言のオンパレード。ここまでぶっちゃけてくれると清々しい。こんな政治家いままでにいた？！ 政策ではなく政局争いばかりしている日本の政治家に見習ってほしい。アメリカの大統領が方向性を示しているのだから日本としてはやり易いはず。今の自民党ではたとえ高市さんが総理になっても難しいか。

14. 自発的対称性の破れ vol.5

前回はコセット空間について解説した。今回は南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー有効理論のラグランジアンがコセット空間の計量テンソルを用いて表せることを示す。

南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー動力学に関する定理

　14.3節で議論した $O(N)$ スカラー理論の有効ハミルトニアンは

\[\begin{eqnarray}    \H_{\rm eff} &=&     - \frac{v^2}{2} \int d^3 x  \left(    R^{-1} \dot{R} R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R \, R^{-1} \nabla R \right)_{\! N \! N}     \nonumber \\    &=&    - \frac{v^2}{2} \int d^3 x   ~ \Tr \left[    \left(   R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R \, R^{-1} \nabla R   \right) W    \right]    \tag{14.68} \end{eqnarray}\]

で与えられた。 $\H_{\rm eff} = \int \ep (R ) d^3 x $ とおき、被積分関数（ハミルトニアン密度）を書き出すと

\[\begin{eqnarray}     \ep ( R ) & = & - \frac{v^2}{2} \Tr     \left(   R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R   \right) W    \nonumber \\    &=&    - \frac{v^2}{2} \left(    R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R \right)_{\! N \! N}     \tag{14.99} \end{eqnarray}\]

となる。ただし、$R$ は群 $G=O(N)$ の $N \times N$ 行列要素であり、$W$ は $N \times N$ 行列

\[  W \, = \,    \left(      \begin{array}{cccc}        0 & \cdots & 0 & 0 \\        \vdots & \ddots &   \vdots & \vdots \\        0 & \cdots & 0 & 0 \\        0 & \cdots & 0 & 1 \\      \end{array}    \right)   \tag{14.69} \]

で定義される。14.3節の(14.73)で示したように $\ep ( R )$ は条件式 $\ep ( R h ) = \ep ( R )$ を満たす。ただし、$h$ は小群（あるいは等方部分群）$H = O(N-1)$ の要素を表す。$\ep (R)$ の $W$ によりフレーム場１形式 $R^{-1} d R = i t^a E^a_i \th^i + i S^\al E^\al_\imath \th^\imath$ から $S^\al$ 部分が取り出される。ただし、添え字は $a, i = 1,2, \cdots, {\rm dim} H$ と $\al, \imath = 1,2, \cdots , {\rm dim}G - {\rm dim}H$ で指定される。これは $\ep (R )$ がコセット空間 $G/H = O(N)/O(N-1) = S^{N-1}$ 上の計量 $ds^2 = G_{\imath \jmath} ( \th ) d \th^\imath d \th^\jmath$ を用いて表せることを意味する。規格化 $\Tr ( S^\al S^\bt )  = \frac{1}{2}$ を用いると、$\ep (R )$ は

\[    \ep (R ) \, = \, \frac{v^2}{4} G_{\imath \jmath} \left( \dot{\th}^\imath \dot{\th}^\jmath + \nabla \th^\imath \nabla \th^\jmath \right)    \tag{14.100} \]

で与えられることが分かる。実際、より一般に、以下に示す南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー動力学に関する定理が存在する。

連続的な対称性 $G$ が部分群 $H \subset G$ に自発的に破れる場合（$H$ は基底状態の期待値 $\bra \Om | \phi | \Om \ket$ の小群に当たる）、次の２つが成り立つ。

１．${\rm dim} G - {\rm dim} H$ 個の質量ゼロの粒子（あるいは質量ギャップがゼロの励起）が存在する。これらは南部-ゴールドストン粒子（あるいは南部-ゴールドストン・モード）と呼ばれる。

２．南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー動力学は有効ハミルトニアン

 \[     \H_{\rm eff} \,  = \,  \frac{f^2}{2}  \int d^3 x  \left( G_{\imath \jmath} (\th ) \dot{\th}^\imath \dot{\th}^\jmath    + G_{\imath \jmath} (\th ) \nabla \th^\imath \nabla \th^\jmath  \right)   \tag{14.101}  \]

で与えられる。ただし、$ G_{\imath \jmath} ( \th ) d \th^\imath d \th^\jmath$ はコセット空間 $G/H$ の計量を表す。$\H_{\rm eff}$ に対応する有効ラグランジアンは\[\begin{eqnarray}      \L_{\rm eff} & = &    \frac{f^2}{2}  \left( G_{\imath \jmath} (\th ) \dot{\th}^\imath \dot{\th}^\jmath    - G_{\imath \jmath} (\th ) \nabla \th^\imath \nabla \th^\jmath  \right) \nonumber \\    &=&    \frac{f^2}{2}  \, G_{\imath \jmath} (\th ) \, \d_\mu \th^\imath \d_\mu \th^\jmath  \tag{14.102} \end{eqnarray}\]

と表せる。

ここで、係数 $f$ は古典的な基底状態の解、つまり元々のハミルトニアンの極小化から求まる。$O(N)$ 理論のハミルトニアン
\[ \H \, = \, \int d^3 x \left[ \hf \dot{\phi}_i \dot{\phi}_i + \hf (\nabla \phi_i )(\nabla \phi_i ) + \la (\phi_i \phi_i )^2 + \frac{\si}{2} (\phi_i \phi_i ) \right] ~~~~~ ( \si < 0 < \la ) \tag{14.29}\]
の場合、この係数は $f = \sqrt{\frac{|\si |}{8 \la}}$ で与えられる。

例１: ハイゼンベルク強磁性体とスピン波

　この章の最初で議論したように自発的対称性の破れの簡単な例は強磁性体のハイゼンベルク模型で与えられる。この模型では転移温度 $T_c$ が存在し、この温度より低温では回転対称性の自発的な破れ $O(3)  \rightarrow  O(2)$ が起こり、ゼロでない磁化が発生する。関連するコセット空間は $O(3)/O(2) = S^2$ であり、スピン波と呼ばれる２つの南部-ゴールドストン・モードが現れる。

14. 自発的対称性の破れ vol.4

 14.4 コセット空間と低エネルギー有効理論

コンパクト・リー群 $G$ とその部分群 $H \subset G$ を考える。12.2節で議論したように、$G$ は微分可能なリーマン多様体であると見做せる。群の要素 $g \in G$ は多様体の点座標に対応する。ここで、部分群の要素 $h \in H$ として、点 $g$ を $gh$ を同等とみなす。すなわち、多様体 $G$ 上に同値性 $g \sim gh$ を課す。これにより、コセット多様体と呼ばれるより小さな多様体 $G/H$ が導かれる。$G/H$ の次元は

\[ {\rm dim} \, G/H \, = \, {\rm dim} G - {\rm dim} H  \tag{14.75} \]

で与えられる。14.2節で出た生成子（リー代数の要素）についての記号

\[    T^A \, = \, \left\{    \begin{array}{l}      t^a \, \in \underline{H}  \\      S^{\al} \in \underline{G} - \underline{H}     \end{array}    \right.    \tag{14.37} \]

を用いると、$G$ と $H$ の要素は原点 $( \th^A = 0 )$ の近傍でそれぞれ $g \approx 1 + i T^A \th^A$, $h \approx 1 - i t^a \th^a$ と表せる。よって、要素 $gh$ は $gh \approx 1 + i T^A \th^A - i t^a  \th^a$ とパラメータ表示できる。これはコセット空間の次元が ${\rm dim} ( T^A - t^a )  = {\rm dim} S^\al$ であることを示しており、(14.75)に一致する。

　$G/H$ 空間の関数は $f(gh) = f(g)$ に従う。すなわち、$G/H$ 上の関数は $H$ 変換のもとで不変な $G$ 上の関数で与えられる。13.1節で解説したように、ピーター-ワイルの定理によると、コンパクト・リー群 $G$ 上の関数は完全系を成す。これは、$G/H$ 上の関数にも当てはまる。このようなコセット空間上の関数について詳しくは、数学の表現論の分野において Harish-Chandra, Gelfand, Vilenkin, Naimark らによって研究された。

G/H 空間の計量

　コンパクト・リー群 $G$ 上のカルタン-キリング計量については12.2節で定義した。ここではまずこの計量について復習してから $G/H$ 空間上の計量を考える。群 $G$ の要素 $g$ は

\[    g ( \th ) \, = \,  \exp ( i T^A \th^A )    \tag{14.76} \]

とパラメータ表示される。ただし、$T^A$ は $G$ の生成子であり、$\th^A$ $(A = 1, 2, \cdots , {\rm dim } G )$ は連続バラメータを表す。生成子は規格化条件

\[    \Tr ( T^A T^B ) \, = \, \frac{1}{2} \del^{AB}     \tag{14.77} \]

に従う。$G$ のフレーム場１形式は

\[    g^{-1} d g  \, = \,  iT^A E^A_I ( \th ) d \th^I    \tag{14.78} \]

で定義される。ただし、$E^A_I ( \th )$ $(A, I = 1, 2, \cdots , {\rm dim } G )$ は $G$ 上のフレーム場を表す。このフレーム場はパラメータ表示(14.76)から計算できる。例えば、12.2節では $SU(2)$ 群のフレーム場は２つの異なるパラーメータ表示を用いて

\[    E^m_l ( \th ) \, \simeq \, \del^m_l - \hf  \ep^{m}_{~ \, lk} \, \th^k     \tag{12.18} \]

\[  E^i_k (a, b) \, = \, 2 \left(   \del^i_k \, a + \frac{b^i b_k }{a} + \ep^{i}_{\, jk} \, b_k     \right) \tag{12.24} \]

と求まった。$G$ 上のカルタン-キリング計量 $ds^2$ は

\[    ds^2 \, = \, -2 \Tr ( g^{-1} d g \, g^{-1} d g ) \, = \, E^A_I E^A_J  \, d \th^I d \th^J     \, = \, G_{IJ} (\th )  d \th^I d \th^J     \tag{14.79} \]

と定義される。ただし、$E_A^I$ は $G$ 上のフレーム場であり、$G_{IJ} = E^A_I E^A_J$ は $G$ 上の計量テンソル である。

　$G$ がユニタリー群である場合 (あるいはより一般に複素構造を持つとき) 、フレーム場の積は $E^{* A}_{I} E^A_J = E^{\bar{A}}_{\bar{I}} E^A_J = G_{\bar{I} J}$ と表せる。このとき、対応する$G$ 上の計量は

\[    ds^2 \, = \, E^{\bar{A}}_{\bar{I}} E^A_J  \, d \th^{\bar{I}} d \th^J    \, = \, G_{\bar{I} J} (\th ) d \th^{\bar{I}} d \th^J    \tag{14.80} \]

と書ける。

　式(14.37)に従って、生成子 $T^A$ を $t^a \in \underline{H}$ と $S^\al \in \underline{G} - \underline{H}$ に分解すると $g^{-1} d g$ は

\[    g^{-1} d g \, = \,   i t^a E^a_i d \th^i + i S^\al E^\al_\imath  d \th^\imath    \tag{14.81} \]

と表せる。規格化 $\Tr (S^\al S^\bt ) = \frac{1}{2} \del^{\al\bt}$ を用いると、フレーム場の $S^\al$ 部分は

\[    E^\al_\imath  d \th^\imath \, = \, - i 2 \Tr ( S^\al g^{-1} d g ) \, \equiv \, E^\al_\imath (g ) d \th^\imath    \tag{14.82} \]

と分離できる。ただし、$E^\al_\imath (g )d \th^\imath $ は $E^\al_\imath  d \th^\imath$ が $g^{-1} d g$ の関数であることを示す。変換 $g \rightarrow gh$  $( h \in H )$ のもとでフレーム場１形式 $g^{-1} d g$ は

\[    g^{-1} d g  \, \rightarrow \,    h^{-1} g^{-1} d ( gh ) \, = \,   h^{-1} g^{-1} d g \, h \,  + \, h^{-1} d h     \tag{14.83} \]

と変化する。このとき、$E^\al_\imath (g ) d \th^\imath$ の変換は

\[\begin{eqnarray}        E^\al_\imath ( g ) d \th^\imath  \, \rightarrow  \, E^\al_\imath ( gh ) d \th^\imath  & = & - i2 \Tr ( S^\al h^{-1} g^{-1} d g \, h )    - i2 \Tr ( S^\al  h^{-1} d h )   \nonumber \\    &=&    -i2 \, \D^{\al\bt} (h) \, \Tr ( S^\bt g^{-1} d g )    \nonumber \\    &=&    \D^{\al\bt} (h) \, E^\bt_\imath (g) d \th^\imath \tag{14.84} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、関係式 $h^{-1} d h = i t^a E^a_i d \th^i$ と $\Tr ( S^\al t^a ) = 0$ を用いた。$\D^{\al \bt} (h)$ は $S^\al$ の随伴表現を表し、 

\[    h \, S^\al \, h^{-1} \, = \, \D^{\al\bt} (h) \, S^\bt   \tag{14.85} \]

で定義される。14.2節で考えたように $H$ を直交群と仮定すると、$\D^{\al \bt}(h)$ は直交性関係

\[ \D^{\al\bt} (h) \D^{\al \ga} ( h) \, = \, \D^{\bt\al} (h^T ) \D^{\al \ga} ( h)  \, = \,  \D^{\bt \ga} (h^T h ) \, = \, \del^{\bt \ga}      \tag{14.86}  \]

を満たす。ただし、$h^T = h^{-1}$ である。よって、$G/H$ 空間上の計量は 

\[\begin{eqnarray}    d s^2 &=&    E^\al_\imath (g ) E^\al_\jmath (g) \, d \th^\imath d \th^\jmath    \nonumber \\    &=&    E^\al_\imath (gh ) E^\al_\jmath (gh ) \,d \th^\imath d \th^\jmath    \tag{14.87} \end{eqnarray}\]

と定義できる。明らかにこれは $g \rightarrow g h$ 変換のもとで不変である。

　$H$ がユニタリー群の場合、$h^\dag = (h^{*})^{T} = h^{-1}$ であるので直交性関係(14.86)は

\[    \D^{* \al\bt} (h) \D^{\al \ga} ( h) \, = \,  \D^{\bt\al} (h^\dag ) \D^{\al \ga} ( h)     \, = \, \D^{\bt \ga} (h^\dag h ) \, = \, \del^{\bt \ga}    \tag{14.88}  \]

と書き換えられることに注意しよう。このとき、$G/H$ 上の計量は

\[ ds^2 \, = \,  E^{\bar{\al}}_{\bar{\imath}} E^\al_\jmath \, d \th^{\bar{\imath}} d \th^\jmath
  \, = \, G_{\bar{\imath} \jmath} ( \th ) \, d \th^{\bar{\imath}} d \th^\jmath \tag{14.89}  \]

と表せる。これは計量(14.80)のコセット空間版に対応する。

14. 自発的対称性の破れ vol.3

 14.3 南部-ゴールドストン粒子の動力学

この節では前回に引き続き $O(N)$ 対称性の自発的破れを例に南部-ゴールドストン粒子の動力学を考える。前回と同じくハミルトニアン

\[    \H \, = \, \int d^3 x \left[   \frac{1}{2} \dot{\phi}^2 + \frac{1}{2} (\nabla \phi )^2 + V (\phi_i \phi_i )    \right]   \tag{14.56}\]

を持つ実ベクトル場 $\phi_i$ $(i = 1,2, \cdots, N)$ の理論を採用する。ここで、ポテンシャル項は

\[    V ( \phi_i \phi_i )    \, = \,    \la (\phi_i \phi_i )^2 + \frac{\si}{2} \phi_i \phi_i    ~~~~~~ ( \si < 0 < \la ) \tag{14.41} \]

で定義される。ポテンシャルの極小は

\[    \phi_i \phi_i \, = \, v^2     \tag{14.57} \]

で与えられる。ただし、$v =  \sqrt{\frac{|\si |}{4 \la}}$ である。よって、古典的な基底状態の解の1つとして

\[    \phi^{(0)} \, = \, \left( 0,  \cdots , 0, v \right)^T     \tag{14.58} \]

を選択できる。ハミルトニアンは $O(N)$ 群の変換 $\phi_i \rightarrow R_{ij} \phi_j$ のもとで不変である。ただし、$R_{ij}$ は直交関係 $R_{ij} R_{ik} = \del_{jk}$ を満たす。$R_{ij}$ は $O(N)$ 群の $N \times N$ 行列要素を表す。$\phi^{(0)}$ の等方部分群あるいは小群は $O(N-1)$ で与えられる。$R_{ij} \phi^{(0)}_{j} = \phi^{(0)}_{i}$ を満たす全ての $R_{ij}$ の集合に注目すると、そのような $R_{ij}$ の自由度は ${\rm dim} \left[ O(N) \right] - {\rm dim} \left[ O(N-1) \right] = N-1$ である。前節で議論したように、各自由度について南部-ゴールドストン粒子（あるいは南部-ゴールドストン・モード）が存在する。

　前節では実ベクトル場 $\phi_i = \phi^{(0)}_{i} + \eta_i$ をハミルトニアン(14.56)に代入して、南部-ゴールドストン・モードの動力学を $O(N)$ 群の生成子を用いて議論した。しかし、今節では先ず $\phi^{(0)}$ のゼロでない成分のみの摂動を考える。

\[    \chi \, = \,   ( 0 , \cdots , 0 , v + \rho (x) )^T     \tag{14.59} \]

ただし、$\rho (x)$ は実スカラー場である。そして $\chi_i$ の $O(N)$ 変換を古典的な基底状態 $\phi^{(0)}$ の周りの揺らぎと見做す。つまり、

\[    \phi_i \,  = \, R_{ij} (x) \, \chi_j     \tag{14.60}  \]

とおく。ただし、$R_{ij} (x)$ は時空間座標に依存する $O(N)$ 群の要素である。$\chi$ の小群も $O(N-1)$ なので、$R_{ij} (x)$ のうち独立な場の数は $N-1$ である。$\rho ( x)$ も含めると(14.60)の揺らぎの場 $\phi_i$ $(i = 1,2, \cdots ,N)$ は確かに $N$ 個の実スカラー場で記述されることが分かる。このパラメータ表示を用いると $O(N)$ 群の生成子を持ち出さなくても $N-1$ 個の南部-ゴールドストン粒子を記述できることに注意しよう。

　つぎに、(14.60)の揺らぎの場 $\phi_i$ をハミルトニアン(14.56)に代入する。$\phi_i$ は列ベクトルであるので、その2乗は

\[    \phi_i \phi_i \, = \, ( R_{ij} \chi_j )^T \, R_{ik} \chi_k \, = \,     \chi_j^T ( R^T R )_{jk} \chi_k \, = \, ( v + \rho )^2    \tag{14.61}  \]

と計算できる。ただし、直交関係 $( R^T R )_{jk} = \del_{jk}$ と $\chi_i = \del_{iN} (v + \rho )$ を用いた。これはポテンシャル項 $V ( \phi_i \phi_i )$ が $R_{ij} (x)$ に依らないことを示す。$\dot{\phi} = \dot{R} \chi + R \dot{\chi}  =  R ( R^{-1} \dot{R} \chi + \dot{\chi} )$ の2乗は次のように計算できる。

\[\begin{eqnarray}    \dot{\phi}^2 &=&     ( R^{-1} \dot{R} \chi + \dot{\chi} )^T R^T R \, ( R^{-1} \dot{R} \chi + \dot{\chi} )    \nonumber \\    &=&    ( \chi^T ( R^{-1} \dot{R} )^T + \dot{\chi}^T ) ( R^{-1} \dot{R} \chi + \dot{\chi} )    \nonumber \\    &=&        \chi^{T} ( R^{-1} \dot{R} )^{T} R^{-1} \dot{R}  \chi  +  \chi^{T}  R^{-1} \dot{R}  \dot{\chi}    + \dot{\chi}^T  R^{-1} \dot{R}  \chi   +    \dot{\chi}^T \dot{\chi}    \nonumber \\    &=&    \chi^{T} ( R^{-1} \dot{R} )^{T} R^{-1} \dot{R}  \chi  + 2 \dot{\rho} (v+ \rho ) (R^{-1} \dot{R} )_{\! N \! N} + \dot{\rho}^2   \tag{14.62} \end{eqnarray}\]

ただし、$ R^T R  = {\bf 1}$ と $\dot{\chi}_i = \del_{i  N} \, \dot{\rho}$ を用いた。ここで、$R^{-1} \dot{R}$ の反対称性関係

\[    (R^{-1} \dot{R})^T \, = \, \dot{R}^T R^{-1 \, T}    \, = \, \dot{R}^{-1} R \, = \, - R^{-1} \dot{R}   \tag{14.63} \]

に注意する。これより明らかに $(R^{-1} \dot{R} )_{\! N \! N} = 0$ である。よって、$\dot{\phi}^2 $ は

\[    \dot{\phi}^2 \, = \, - \chi^{T} ( R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R} )  \chi  + \dot{\rho}^2   \tag{14.64} \]

と表せる。同様に、$ ( \nabla \phi )^2 $ は

\[    ( \nabla \phi )^2 \, = \, - \chi^{T} \left( R^{-1} \nabla R ~  R^{-1} \nabla R \right)  \chi  + ( \nabla \rho )^2   \tag{14.65} \]

と計算できる。したがって、(14.60)を(14.56)に代入するとハミルトニアンは

\[\begin{eqnarray}    \H    &=&     \int d^3 x    \left( \frac{1}{2}\dot{\rho}^2  + \frac{1}{2} ( \nabla \rho )^2  + V ( (v + \rho )^2 ) \right.    \nonumber \\    &&    ~~~   \left.  -  \frac{1}{2} \chi^T ( R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R} ) \chi    -  \frac{1}{2} \chi^T ( R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R ) \chi \right)    \tag{14.66} \end{eqnarray}\]

と表せる。ポテンシャル項 $V$ は実スカラー場 $\rho (x)$ の汎関数であり、一般にこれは $\rho (x)$ の質量項を与える。一方、$R (x)$ は質量項をもたず、$(N-1)$ 個の南部-ゴールドストン粒子を表す。これらの南部-ゴールドストン粒子の動力学はハミルトニアン(14.66)の $R$ 部分

\[\begin{eqnarray}     \H_{R}  &= & - \frac{1}{2} \int d^3 x    ~ \chi^T \left(    R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R \right) \chi    \nonumber \\    &=& - \frac{1}{2} \int d^3 x ~ ( v + \rho )^2 \left(    R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R ~ R^{-1} \nabla R \right)_{\! N \! N}  \tag{14.67}  \end{eqnarray}\]

で与えられる。ただし、$\chi$ の具体的なパラメータ表示(14.59)を用いた。$\rho$ の質量が無限小となる低エネルギー・スケールでは $\rho$ と $R$ の相互作用項を含む $\rho$ に依存する項は無視できる。よって、南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー有効理論はハミルトニアン

\[\begin{eqnarray}    \H_{\rm eff} &=&     - \frac{v^2}{2} \int d^3 x  \left(    R^{-1} \dot{R} R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R \, R^{-1} \nabla R \right)_{\! N \! N}     \nonumber \\    &=&    - \frac{v^2}{2} \int d^3 x   ~ \Tr \left[    \left(   R^{-1} \dot{R} \, R^{-1} \dot{R}  +  R^{-1} \nabla R \, R^{-1} \nabla R   \right) W    \right]    \tag{14.68} \end{eqnarray}\]

で記述される。ただし、$R$ は $O(N)$ 群の $N \times N$ 行列要素を表し、$W$ は $N \times N$ 行列

\[  W \, = \,    \left(      \begin{array}{cccc}        0 & \cdots & 0 & 0 \\        \vdots & \ddots &   \vdots & \vdots \\        0 & \cdots & 0 & 0 \\        0 & \cdots & 0 & 1 \\      \end{array}    \right)   \tag{14.69} \]

で与えられる。

　$\rho$ に関する項を無視するのは古典的には正しいが、量子論では一般的に正しくない。例えば、たとえ低エネルギー近似であっても質量を持つ $\rho$ 粒子による真空の揺らぎを無視できない。このような量子補正は基底状態の期待値 $v$ を再定義する（繰り込む）ことで対応できる。実際、南部-ゴールドストン粒子の動力学に関して次の定理が存在する。

式(14.68)のハミルトニアン $\H_{\rm eff}$ は、全ての量子論的な相互作用も含めた低エネルギー有効ハミルトニアンである。

（この定理の証明には量子論における相関関数の広域対称性を記述するウォード-高橋恒等式が用いられる。）

日航123便の話

 以前にこちらで触れましたが、物理学者による興味深い話があったので動画だけ紹介。（いつ消されるか分かりませんが。）

いままで見聞した中では一番説得力がありました。さすがに圧力隔壁の破損だけではないだろうし、自衛隊が証拠隠滅したとかもおかしいと思っていたのでなんとなくスッキリしました。真相は永遠に明かされないのでしょうか。