15. ソリトン vol.4

前回に引き続き(3+1)次元ソリトンの巻き数

\[    Q [g]  \, = \,    \frac{1}{24 \pi^2} \, \int d^3 x \, \ep_{ijk} \Tr ( g^{-1} \d_i g \, g^{-1} \d_j g \, g^{-1} \d_k g \, )     \tag{15.55} \]

について考える。

巻き数の一般共変性

　座標変換のもとでの巻き数 $Q[g]$ の変化を考える。座標変換 $x^l \rightarrow x^{\prime i}$ を

\[    M^l_i \, = \, \frac{\d x^l}{\d x^{\prime i}}    \tag{15.59} \]

で特定する。このとき、微分 $\d_l = \frac{\d}{\d x^l}$ は

\[    \frac{\d}{\d x^l} \, \rightarrow \, \frac{\d}{\d x^{\prime i}}     \, = \,  M^l_i \frac{\d}{\d x^{l}}    \tag{15.60} \]

と変換する。また、$d x^{\prime i} =  ( M^{-1} )^{i}_{l} d x^l$ なので、積分測度は

\[    d^3 x  \, \rightarrow \, d^3 x^{\prime} \, = \, ( \det M^{-1} ) d^3 x     \tag{15.61} \]

と変換する。ただし、$\det M^{-1}$ は座標変換のヤコビアンを表す。これより、$Q[g]$ の変化は

\[\begin{eqnarray}    Q [ g ]  & = &    \frac{1}{24 \pi^2}  \int d^3 x  \, \ep^{ijk} \Tr ( g^{-1} \d_i g \, g^{-1} \d_j g \, g^{-1} \d_k g  )    \nonumber \\    & \rightarrow &    \frac{1}{24 \pi^2}  \int ( \det M^{-1} ) d^3 x \,  \ep^{ijk} M^l_i M^m_j M^n_k \,    \Tr (  g^{-1} \d_l g \, g^{-1} \d_m g \, g^{-1} \d_n g   )    \nonumber \\    & = & Q [ g ]    \tag{15.62} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、関係式 $\ep^{ijk} M^l_i M^m_j M^n_k = \det M \, \ep^{lmn}$, $\det M  \det M^{-1} = \det M M^{-1} = 1$ を用いた。したがって、$Q[g]$ は座標変換のもとで不変である。言い換えると、$Q[ g]$ は一般共変性あるいは微分同相写像 (diffeomorphism) である。また、$Q[g]$ は(3+1)次元空間の計量に依らないことにも注意しよう。よって、$Q[g]$ の値は一般に曲がった空間にも適用される。

静的なソリトン解とスキルミオン

　巻き数 $Q$ のソリトンの静的な解を議論するには、サイン-ゴルドン模型の場合と同様にハミルトニアンを定義する必要がある。静的なハミルトニアンとしてまず単純に空間微分 $\d_i$ について２次の形となる

\[\begin{eqnarray}  \H [ g ] & = &   - \al^2 \int  d^3 x \, \Tr ( g^{-1} \d_i g \,  g^{-1} \d_i g )    \nonumber \\    &=& \al^2 \int d^3 x \, \Tr ( \d_i g^\dag \, \d_i g )    \tag{15.63} \end{eqnarray}\]

を考えよう。ただし、$\al^2 $ は正の係数である。ある特定の関数 $g = \widetilde{g}$ に対してハミルトニアンをゼロでない値 $\H [ \widetilde{g} ] \ne 0$ に取れる。このときスケール変換

\[    x^i \, \rightarrow  \,  x^{\prime i} =  R \, x^i    \tag{15.64} \]

を考える。ただし、$R$ はゼロでない実数である。座標変換(15.59)を用いると、これは $M_l^i = \frac{1}{R} \del_l^i$ に対応するので $d^3 x^\prime = R^3 d^3 x$, $\frac{\d}{\d x^{\prime i}} = \frac{1}{R} \frac{\d}{\d x^i}$ となる。よって、スケール変換のもとでゼロでないハミルトニアン $\H [ \widetilde{g} ]$ は

\[\begin{eqnarray}    \H [ \widetilde{g} ]  & = &     \al^2  \int d^3 x \, \Tr    \left( \frac{\d}{\d x^i} \widetilde{g}^{\dag} \, \frac{\d}{\d x^i} \widetilde{g}  \right)    \nonumber \\    & \rightarrow &   \al^2 \int  R^3 d^3 x \, \Tr    \frac{1}{R^2} \left( \frac{\d}{\d x^i} \widetilde{g}^{\dag} \, \frac{\d}{\d x^i} \widetilde{g}   \right)    \, = \,   R \, \H [\widetilde{g} ]     \tag{15.65} \end{eqnarray}\]

と変化する。スケール変換(15.64)のもとでハミルトニアンは $R$ に比例する。これはハミルトニアンに極小値が存在しないことを意味する。よって、ハミルトニアン(15.63)から有限エネルギーをもつ解を求められない。式(15.65)を導くにあたり次元の数が重要であることに注意しよう。式(15.62)で示したように、巻き数 $Q[g]$ は被積分関数に３つの空間微分を含むので $Q[g]$ はスケール変換のもとで不変である。これはまた $Q[g]$ が共形不変量であることも意味する。

　物理モデルを構築するにはハミルトニアン(15.63)が極小値を持つように修正する必要がある。そのような修正は４次の項を追加してハミルトニアンを

\[   \H [ g ] \, = \,   \al^2 \int d^3 x \, \Tr ( \d_i g^\dag \, \d_i g )  \, + \,    \bt^2 \int d^3 x \, \Tr ( \d_i g^\dag \, \d_i g  )^2    \tag{15.66} \]

と書き換えると実現できる。ただし、$\bt^2$ は別の正の係数を表す。スケール変換(15.64)のもとで４次の追加項は $\frac{1}{R}$ に比例する。よって、上のハミルトニアンは $\H \sim \al^2 R + \frac{\bt^2}{R}$ と評価できる。したがって、ハミルトニアン(15.66)は極小値をもち、有限エネルギーの静的なソリトン解を与える。

15. ソリトン vol.3

前回は(3+1)次元ソリトンのトポロジカル不変量が保存電荷

\[  Q [g] \, = \, \int d^3 x \, J_0   \, = \,   C \, \int d^3 x \, \ep_{ijk} \, \Tr ( I_i I_j I_k )  \tag{15.29} \]

で与えられることを見た。以下では、$Q=1$ のソリトン解から規格化定数 $C$ を 決定する。

規格化

　トポロジカル不変量は写像

\[    g(x) \, : \, \mathbb{R}^3 \, \longrightarrow \, S^3    \tag{15.24} \]

の巻き数に対応する。前回議論したように、群の要素をステレオ射影表示すると $Q[g ] = 1$ ソリトンが得られる。そのような要素は

\[    g_1 (x) \, = \, a (x) {\bf 1} + i b_{i} (x) \si_i ~~~( i = 1,2,3 )    \tag{15.37} \]

で与えられる。ただし、

\[    a (x) = \frac{1 - r^2}{1+ r^2} \, , ~~~    b_{i} (x)  = \frac{2 x_i}{1+ r^2}    \tag{15.38} \]

$( r^2  = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 )$ である。以下では、巻き数(15.29)の規格化定数 $C$ を定義式 $Q[g_1 ] = 1$ から求める。

　まず、$I_i =  g_{1}^{-1} \d_i g_{1}$ は

\[    I_i = g_{1}^{-1} \d_i g_{1} \, = \, (  a  {\bf 1}  -  i b_\al  \si_\al  )  \d_i (  a  {\bf 1}  + i b_\bt   \si_\bt  )     \tag{15.39} \]

と計算できる。$a$, $b_\bt$ の微分は

\[\begin{eqnarray}    \frac{\d}{\d x_i } a &=& - \frac{4 x_i}{(1+r^2)^2} \, = \, - \frac{2b_i}{1+r^2}  \tag{15.40} \\    \frac{\d}{\d x_i } b_\bt &=& \frac{2}{1+r^2} \left( \del_{i \bt} - \frac{2 x_i x_\bt }{1+ r^2} \right)    \, = \, \frac{2}{1+r^2} \del_{i \bt} - b_i b_\bt   \tag{15.41} \end{eqnarray}\]

と表せる。よって、

\[\begin{eqnarray}    I_i &=& (  a  {\bf 1}  -  i b_\al   \si_\al ) \left(  - \frac{2 b_i}{1+r^2} {\bf 1} +    \frac{i 2}{1+r^2} \si_{i} - i b_i b_\bt \si_\bt \right) \nonumber \\    &=& \frac{ 2 b_i }{ 1+ r^2 } \left( -a + 1 -  \frac{1+ r^2}{2 } b_\al b_\al  \right) {\bf 1} \nonumber \\    && ~~ \hspace{2cm} + \,  i \si_\al \frac{2}{1+r^2}    \left( a \del_{\al i} - \frac{1+r^2}{2} a b_i b_\al + b_i b_\al + \ep_{i \al \bt } b_\bt \right)\nonumber \\    &=&i \si_\al \frac{2}{1+r^2} \left( a \del_{\al i} + x_i b_\al  + \ep_{i \al \bt } b_\bt \right) \nonumber \\    & \equiv & i \si_\al  A_{\al i}   \tag{15.42} \end{eqnarray}\]

と計算できる。ただし、関係式 $\si_\al \si_\bt = \del_{\al \bt } {\bf 1} + i \ep_{\al \bt \ga} \si_\ga$ を用いた。これより、トレース $\Tr ( I_i I_j I_k )$ は

\[    \Tr ( I_i I_j I_k ) \, = \,  - i \Tr ( \si_\al \si_\bt \si_\ga ) A_{\al i} A_{\bt j} A_{\ga k}    \, = \, 2  \ep_{\al \bt \ga}  A_{\al i} A_{\bt j} A_{\ga k}    \tag{15.43} \]

と表せる。ただし、$ \Tr ( \si_\al \si_\bt \si_\ga ) = i 2\ep_{\al \bt \ga} $ を用いた。よって、因子 $\ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k )$ は

\[\begin{eqnarray}    \ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k )  \!   &=& \! 2 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3    \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} \, ( a \del_{\al i} + x_i b_\al  + \ep_{i \al l } b_l )    \nonumber \\    && ~\hspace{2cm} \times   ( a \del_{\bt j} + x_j b_\bt  + \ep_{j \bt m } b_m )  ( a \del_{\ga k} + x_k b_\ga  + \ep_{k \ga n } b_n )    \tag{15.44} \end{eqnarray}\]

と書ける。この内ゼロでない項は

\[\begin{eqnarray}    \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a^3 \del_{\al i } \del_{\bt j} \del_{\ga k } & = & \ep_{ijk} \ep_{ijk} a^3 \, = \, 6 a^3    \tag{15.45} \\    \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a^2 x_k b_\ga  \del_{\al i } \del_{\bt j} & = &  \ep_{ijk} \ep_{ij\ga} a^2 x_k b_\ga    \nonumber \\    &=& 2 \del_{k \ga} a^2 x_k b_\ga \, = \, 2 a^2 \vec{x} \cdot \vec{b}    \tag{15.46} \\    \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a  b_m b_n \del_{\al i } \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} & = &    \ep_{ijk} \ep_{i \bt\ga}  \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} a  b_m b_n    \nonumber \\    & = & - \ep_{j \bt m} \ep_{\bt j n} a b_m b_n   \, = \, 2 a \vec{b} \cdot \vec{b}    \tag{15.47} \\    \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} x_i b_\al  b_m b_n \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} & = &    \ep_{ijk} \ep_{j \bt m} \ep_{\al \bt\ga}  \ep_{k \ga n} x_i b_\al b_m b_n    \nonumber \\    & = &  \ep_{\al \bt \ga} \ep_{\bt \ga n} x_i b_\al  b_i b_n \, = \, 2 \vec{x} \cdot \vec{b} \, \vec{b} \cdot \vec{b}    \tag{15.48} \end{eqnarray}\]

などから得られるので、まとめると

\[\begin{eqnarray}    && \ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k ) \nonumber \\    &=& 2  \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3    \left( 6 a^3 +  2 a^2 \vec{x} \cdot \vec{b} \times 3 +  2 a \vec{b} \cdot \vec{b} \times 3    + 2 \vec{x} \cdot \vec{b} \, \vec{b} \cdot \vec{b} \times 3 \right)    \nonumber \\    &=& 12  \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3  \left[ a^2 \left( a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } \right)    + \left(\frac{2}{1+r^2 }  \right)^2 r^2 \left( a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } \right) \right]    \nonumber \\    &=& 12 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3    \tag{15.49} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、関係式

\[\begin{eqnarray}    a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } &=& 1     \tag{15.50} \\    a^2 + \left(\frac{2}{1+r^2 }  \right)^2 r^2 &=& \left(\frac{1}{1+r^2 }  \right)^2 \left[ (1 - r^2)^2 + 4 r^2 \right] \, = \, 1    \tag{15.51} \end{eqnarray}\]

を用いた。式(15.29)と式(15.49)から $Q[g_1 ]$ は

\[\begin{eqnarray}    Q [ g_1 ] &=&  C \, \int d^3 x \, \ep_{ijk} \, \Tr ( I_i I_j I_k ) \, = \,  C \, \int d^3 x  12 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3    \nonumber \\    &=& C \cdot 12 \cdot 8  \, \int \frac{ 4 \pi r^2}{ (1+ r^2 )^2 } dr \, = \, C \cdot 24 \pi^2    \tag{15.52} \end{eqnarray}\]

と求まる。ただし、積分測度を $d^3 x = 4 \pi r^2 dr$ と変換し

\[    \int_0^\infty  \frac{r^2}{(1+ r^2 )^3 } dr \, = \, \frac{\pi}{16}  \tag{15.53} \]

を用いた。したがって、定義式 $Q [ g_1 ] = 1$ より規格化定数は

\[    C \, = \, \frac{1}{24 \pi^2}     \tag{15.54} \]

とおける。

15. ソリトン vol.2

15.2   (3+1)次元のソリトン

この節では空間３次元のソリトンを考える。$\mathbb{R}^3$ 上の座標を $x_i$ ($i=1,2,3$) とする。３次元球面 $S^3$ のステレオ射影により $S^3$ は $x_i$ を用いて、

\[    y_i \, = \, \frac{2 x_i}{1 + r^2} \, , ~~~~~    y_4 \, = \, \frac{1- r^2}{1+ r^2}       \tag{15.21} \]

とパラメータ表示できる。ただし、$r^2  = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$ である。これは $\mathbb{R}^3$ 上の配位と $S^3$ の配位を同一視できることを意味する。パラメータ表示(15.21)は12.2節で見た２次元球面のステレオ射影

\[    x_1 = \frac{z + \bz }{1 + z\bz} \, , ~~~    x_2 = i \frac{z - \bz }{1 + z\bz} \, , ~~~    x_3 = \frac{1 - z \bz }{1 + z\bz}    \tag{12.49} \]

の３次元版になっている。

　また、$S^3 \simeq SU(2)$ から、$SU(2)$ 群の要素で $S^3$ の座標を表せる。群の要素 $g \in SU(2)$ は $g^\dag g = 1$, $\det g = 1$ を満たす。12.2節の(12.20)で示したように、$g$ は $2 \times 2$ パウリ行列 $\si_i$ を用いて

\[    g (x) \, = \, a (x)  +  i b_i (x) \, \si_i    \tag{15.22} \]

とパラメータ表示できる。ただし、$a$, $b_i$ ($i=1,2,3$) は $\vec{x}$ の関数であり、

\[    a^2 + b_i^2 \, = \, 1     \tag{15.23} \]

を満たす。これは $g(x)$ が写像

\[    g(x) \, : \, \mathbb{R}^3 \, \longrightarrow \, S^3    \tag{15.24} \]

を与えることを意味する。よって、$g(x)$ は前節における

\[    u( x) \, : \, \mathbb{R} \, \longrightarrow \, S^1     \tag{15.13} \]

の3次元空間への拡張と考えられる。写像(15.24)の巻き数を $Q [g]$ とする。ステレオ射影表示(15.21)は$\mathbb{R}^3$ と $S^3$ の配位を一対一に対応させるので、(15.22)で $a = y_4$, $b_i = y_i$ と同定すると定義より $Q = 1$ となる。今節ではこの $Q=1$ ソリトン解について詳しくみていく。

保存カレントとトポロジカル不変量

　前節の場合、相対論的な２元電流密度は $u (x) = \exp ( i \phi )$ を用いて

\[    J_\mu \, = \, \frac{1}{2 \pi} \ep_{\mu\nu} \, \d_\nu \phi    \, = \, - \frac{i}{2 \pi} \ep_{\mu\nu} \, u^\dagger \d_\nu u    \tag{15.14} \]

と表せた。同様に、(3+1)次元における相対論的な４元電流密度（４元カレント）は

\[   J_\mu \, = \, C \, \ep_{\mu\nu\al\bt} \, \Tr \left(  g^{-1} \d_\nu g ~ g^{-1} \d_\al g ~ g^{-1} \d_\bt g   \right)  \tag{15.25} \]

の形に表せると推測できる。ただし、$C$ は規格化定数である。（$g$ は非アーベル型群の要素であり行列で表される基底を持つためトレースが必要になる。）以下では、運動方程式を用いずに $J_\mu$ が保存するかどうかを見てみる。関係式

\[    \d_\mu ( g^{-1} \d_\nu g )    \, = \,    - g^{-1} \d_\mu g ~ g^{-1} \d_\nu g \, + \,    g^{-1} \d_\mu \d_\nu g    \tag{15.26} \]

と添え字 $(\mu , \nu , \al , \bt )$ の反交換関係から $\d_\mu J_\mu$ は

\[    \d_\mu J_\mu \, = \,    - \, C \, \ep_{\mu\nu\al\bt} \, \Tr \left(    I_\mu I_\nu I_\al I_\bt +    I_\nu I_\mu I_\al I_\bt +    I_\nu I_\al I_\mu I_\bt    \right)    \tag{15.27} \]

と計算できる。ただし、$I_\mu$ は $I_\mu = g^{-1} \d_\mu g$ で定義される。右辺の第一項は

\[\begin{eqnarray}    \ep_{\mu\nu\al\bt} \, \Tr ( I_\mu I_\nu I_\al I_\bt )    & = &    \ep_{\mu\nu\al\bt} \, \Tr ( I_\bt I_\mu I_\nu I_\al )    \, = \,    - \ep_{\bt \mu\nu\al} \, \Tr ( I_\bt I_\mu I_\nu I_\al )    \nonumber \\    & = &    - \ep_{\mu\nu\al\bt} \,  \Tr ( I_\mu I_\nu I_\al I_\bt )    \, = \, 0     \tag{15.28} \end{eqnarray}\]

と計算できる。同様に、他の項もゼロになることが分かる。したがって、(15.25)の４元カレント $J_\mu$ は $\d_\mu J_\mu = 0$ を満たし、確かに保存する。

ソリトン数１のスキルミオン解を ChatGPT に聞いたら答えが怪しかったので自力で計算してみた件

ここで、スキルミオンは $(3+1)$ 次元のソリトン解を指す。前回、サイン-ゴルドン方程式で扱った $(1+1)$ 次元のソリトン解を３次元空間に拡張したものに当たる。このソリトン数（巻き数）は

\[    Q [g]  \, = \,    \frac{1}{24 \pi^2} \, \int d^3 x \, \ep_{ijk} \Tr ( g^{-1} \d_i g \, g^{-1} \d_j g \, g^{-1} \d_k g \, )     \tag{1} \]

で与えられる。ただし、$g$ は $SU(2)$ 群の要素であり、$g^\dag g = 1$, $\det g = 1$ を満たす。パウリ行列を用いると $g$ は

\[    g (x) \, = \, a (x)  {\bf 1} +  i b_i (x) \, \si_i    \tag{2} \]

とパラメータ表示できる。ここで、$a$, $b_i$ $( i=1,2,3 )$ は $\vec{x}$ の関数であり条件式

\[    a^2 + b_i^2 \, = \, 1   \tag{3} \]

を満たす。これより、$g(x)$ は写像

\[    g(x) \, : \,  \mathbb{R}^3 \, \longrightarrow \, S^3     \tag{4} \]

を与えることが分かる。

　３次元球面 $S^3$ のステレオ射影を用いると $a$, $b_i$ は

\[     a  =  \frac{1- r^2}{1+ r^2} \, , ~~~~~ b_i  =  \frac{2 x_i}{1 + r^2}  \tag{5} \]

とパラメータ表示できる。ただし、$r^2  = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$ である。ステレオ射影により $S^3$ 上の配位は $\mathbb{R}^3$ 上の配位と等価なのでこのパラメータ表示は巻き数１に対応する。すなわち、式(2), (5)を(1)に代入すると $Q = 1$ が得られる（はずである）。これは良く知られている結果であるが、係数 $1/ 24 \pi^2$ が本当に正しいのだろうか。実際に手を動かしてみるとこの計算は自明でない。そこで、困ったときの ChatGPT 頼みということで、

calculate winding number for skyrmions using stereographic parametrization

calculate $Q=1$ winding number for skyrmions using stereographic parametrization

などとして聞いてみた。が、どうも回答が統一しない。何度か試しても同じだったので結局自力で計算することにした。

　求めたいのは式(1)なので先ず $I_i =  g^{-1} \d_i g$ を計算しよう。

\[ I_i = g^{-1} \d_i g = (  a  {\bf 1}  -  i b_\al  \si_\al  )  \d_i (  a  {\bf 1}  + i b_\bt   \si_\bt  ) \tag{6} \]

ただし、$a$ と $b_\bt$ の微分はそれぞれ

\[ \begin{eqnarray} \frac{\d}{\d x_i } a &=& - \frac{4 x_i}{(1+r^2)^2} \, = \, - \frac{2b_i}{1+r^2} \tag{7} \\  \frac{\d}{\d x_i } b_\bt &=& \frac{2}{1+r^2} \left( \del_{i \bt} - \frac{2 x_i x_\bt }{1+ r^2} \right) \, = \, \frac{2}{1+r^2} \del_{i \bt} - b_i b_\bt  \tag{8} \end{eqnarray} \]

と書ける。よって、

\[ \begin{eqnarray} I_i &=& (  a  {\bf 1}  -  i b_\al   \si_\al ) \left(  - \frac{2 b_i}{1+r^2} {\bf 1} + \frac{i 2}{1+r^2} \si_{i} - i b_i b_\bt \si_\bt \right) \nonumber \\ &=& \frac{ 2 b_i }{ 1+ r^2 } \left( -a + 1 -  \frac{1+ r^2}{2 } b_\al b_\al  \right) {\bf 1} + i \si_\al \frac{2}{1+r^2} \left( a \del_{\al i} - \frac{1+r^2}{2} a b_i b_\al + b_i b_\al + \ep_{i \al \bt } b_\bt \right)\nonumber \\ &=&i \si_\al \frac{2}{1+r^2} \left( a \del_{\al i} + x_i b_\al  + \ep_{i \al \bt } b_\bt \right) \nonumber \\ & \equiv & i \si_\al  A_{\al i} \tag{9}  \end{eqnarray} \]

となる。ただし、$\si_\al \si_\bt = \del_{\al \bt } {\bf 1} + i \ep_{\al \bt \ga} \si_\ga$ を用いた。これより、

\[ \Tr ( I_i I_j I_k ) \, = \,  - i \Tr ( \si_\al \si_\bt \si_\ga ) A_{\al i} A_{\bt j} A_{\ga k} \, = \, 2  \ep_{\al \bt \ga}  A_{\al i} A_{\bt j} A_{\ga k} \tag{10} \]

が分かる。ただし、$ \Tr ( \si_\al \si_\bt \si_\ga ) = i 2\ep_{\al \bt \ga} $ を用いた。$\ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k )$ は

\[ \begin{eqnarray} && \ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k ) \nonumber \\ &=& 2 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3 \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} ( a \del_{\al i} + x_i b_\al  + \ep_{i \al l } b_l )  ( a \del_{\bt j} + x_j b_\bt  + \ep_{j \bt m } b_m )  ( a \del_{\ga k} + x_k b_\ga  + \ep_{k \ga n } b_n ) \tag{11} \end{eqnarray} \]

と表せる。展開するとゼロでない項は

\[\begin{eqnarray}  \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a^3 \del_{\al i } \del_{\bt j} \del_{\ga k } & = & \ep_{ijk} \ep_{ijk} a^3 \, = \, 6 a^3 \tag{12} \\ \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a^2 x_k b_\ga  \del_{\al i } \del_{\bt j} & = &  \ep_{ijk} \ep_{ij\ga} a^2 x_k b_\ga \, = \, 2 \del_{k \ga} a^2 x_k b_\ga \, = \, 2 a^2 \vec{x} \cdot \vec{b} \tag{13} \\ \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a  b_m b_n \del_{\al i } \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} & = &  \ep_{ijk} \ep_{i \bt\ga}  \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} a  b_m b_n  \, = \, - \ep_{j \bt m} \ep_{\bt j n} a b_m b_n \, = \, 2 a \vec{b} \cdot \vec{b} \tag{14} \\  \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} x_i b_\al  b_m b_n \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} & = &  \ep_{ijk} \ep_{j \bt m} \ep_{\al \bt\ga}  \ep_{k \ga n} x_i b_\al b_m b_n  \, = \,  \ep_{\al \bt \ga} \ep_{\bt \ga n} x_i b_\al  b_i b_n \, = \, 2 \vec{x} \cdot \vec{b} \, \vec{b} \cdot \vec{b} \tag{15} \end{eqnarray} \]

などから得られるので、まとめると

\[\begin{eqnarray} \ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k ) &=& 2  \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3 \left( 6 a^3 +  2 a^2 \vec{x} \cdot \vec{b} \times 3 +  2 a \vec{b} \cdot \vec{b} \times 3 + 2 \vec{x} \cdot \vec{b} \, \vec{b} \cdot \vec{b} \times 3 \right) \nonumber \\ &=& 12  \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3  \left[ a^2 \left( a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } \right) + \left(\frac{2}{1+r^2 }  \right)^2 r^2 \left( a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } \right) \right] \nonumber \\ &=& 12 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3 \tag{16} \end{eqnarray} \]

と表せる。ただし、式(5)から明らかなように

\[\begin{eqnarray}  a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } &=& 1 \nonumber \\  a^2 + \left(\frac{2}{1+r^2 }  \right)^2 r^2 &=& \left(\frac{1}{1+r^2 }  \right)^2 \left[ (1 - r^2)^2 + 4 r^2 \right] \, = \, 1  \end{eqnarray} \]

が成り立つことに注意しよう。以上より、(2), (5)で定義される $g$ をソリトン数 $Q [g]$ に代入すると確かに

\[\begin{eqnarray} Q [g] &=& \frac{1}{24 \pi^2 } \int d^3 x  \, \ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k ) \, = \,  \frac{1}{24 \pi^2 } \int d^3 x \, 12 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3 \nonumber \\ &=&  \frac{16}{\pi } \int \frac{r^2}{(1+ r^2 )^3 } dr \, = \, 1 \tag{17} \end{eqnarray} \]

と求まる。ただし、積分測度を $d^3 x$ から $4 \pi r^2 dr$ へ変換し

\[ \int_0^\infty  \frac{r^2}{(1+ r^2 )^3 } dr \, = \, \frac{\pi}{16} \]

を用いた。

遠征登山：名阪国道針インターから大台ヶ原

　6月に大山登ったときは鳥取選出の首相でしたが、新たに「奈良の女」が首相になったので大台ヶ原へ！ 子供の時は大阪（柏原）と兵庫（神戸）に住んでいて母の実家が三重（楠町）だったので休日よく名阪国道を利用しました。馴染みのある道ですが途中で降りたことはありませんでした。降りたらいけないところだと思っていましたが、今回都内から最短ルートで大台ヶ原に行くには針インターがらが近いようなので初めて降りました。大宇陀から吉野川まで南下し川上村経由で大台ヶ原ドライブウェイへ。絶好のツーリングルートでした。ドライブウェイは県道40号ということで無料。去年同じ時期に伊吹山へ行きましたが、伊吹山ドライブウェイのように有料にして貰ってもいいと思います。少しでも道路整備の役に立つのなら数百円の通行料で文句言う人いないはず。首相の力で奈良県内の道路整備進めてくれないかな。先ずは名阪国道高速化の早期実現を！（やる気あるんか知らんけど。）

　都内を前日17時前に出て、途中のSAで仮眠を挟みつつ朝7時に大台ヶ原ビジターセンターに到着。すでに満車で誘導に従い路肩駐車しました。誘導員の方によると朝6時には満車になったとのこと。皆さん暗い中、前乗りされていたのですね。三連休舐めてました。登山口からしばらく歩くと展望台へ。志摩半島、熊野灘一望できます。熊野本宮大社、熊野那智大社、花の窟、鬼ヶ城など2023、2024年末に行ったなー。

ミューオン照射で放射性廃棄物無害化の続編、ミューオン触媒核融合の可能性も！？

前回の続編が上がっていたので紹介します。放射性廃棄物として具体的にアメリシウム、酸化ウラン、酸化トリウムの無害化が実験・理論で確認できているとのこと。アメリカではコバルト60についても確認済み。現在、セシウム、ストロンチウムの無害化についても研究中らしいです。さらに、加速器を使わずミューオンを増倍してミューオン触媒核融合が実現できる可能性についても言及されていました。夢の核融合が実現したら一気に世界が変わりますね！（追記：2025/11/15 動画は非公開になったみたいです。）

15. ソリトン vol.1

15.1  サイン-ゴルドン・ソリトン解

ソリトンとはざっくり言うと非線型方程式の古典解のことである。この節ではサイン-ゴルドン模型と呼ばれる物理モデルにおける $(1+1)$ 次元のソリトンを考える。スカラー場 $\phi ( t, x)$ を用いると、このモデルはラグランジアン

\[    \L \, = \, \hf \left(    \dot{\phi}^2 - \phi^{\prime 2}    \right)    - \la ( 1 - \cos \phi )    \tag{15.1} \]

で記述される。ただし、$\dot{\phi} = \frac{\d}{\d t} \phi (t, x)$, $\phi^\prime = \frac{\d}{\d x} \phi (t, x)$ であり、$\la$ は正の定数である。これより、運動方程式は

\[    \square \, \phi + \la \sin \phi \, = \, 0    \tag{15.2} \]

と求まる。ただし、$\square = \d_t^2 - \d_x^2$ である。これはサイン-ゴルドン方程式と呼ばれる。（サイン-ゴルドン方程式とそのソリトン解についてはこちらのノートも参考にされたい。）$\la = 0$ の場合方程式(15.2)は質量ゼロのクライン-ゴルドン方程式になる。「サイン-ゴルドン」の用語はこの方程式名をもじって（おそらくクラインの了承なしに）付けられた。ラグランジアン(15.1)に対応するハミルトニアンは

\[    \H \, = \, \int dx \left(    \frac{\dot{\phi}^2 + \phi^{\prime 2} }{2} + \la ( 1 - \cos \phi )    \right)    \tag{15.3} \]

で与えられる。

　つぎに、サイン-ゴルドン方程式(15.2)のあるタイプの解について考えよう。ハミルトニアン $\H$ は正なので境界条件

\[    \begin{array}{rc}    \phi^\prime \, \rightarrow \, 0  &  \mbox{$( x \rightarrow \pm \infty )$}    \\    (1 - \cos \phi ) \, \rightarrow \, 0 &  \mbox{$( x \rightarrow \pm \infty )$}    \\    \end{array}    \tag{15.4} \]

を課すと、有限エネルギーを持つ解が得られる。よって、境界が $\phi (t, \pm \infty ) = 2 \pi n$ $( n \in \mathbb{Z} )$ で与えられるときに有限エネルギーを持つ解が存在する。例えば、境界を

\[    \phi (t , - \infty ) = 0 \, , ~~ \phi ( t,  \infty ) = 2 \pi    \tag{15.5} \]

に固定できる。$\phi$ の古典的な時間発展は $\phi$ の滑らかな変形で与えられる。従って、(15.5)の解が存在するならその解は古典的には完全に安定している。特に、解(15.5)はキンク解と呼ばれる。$\phi$ の滑らかな変形のもとで、キンク解は変位はしても決して無くならない。つまり、キンクの配位は保存される。よって、キンクの数を

\[    Q \, = \, \frac{ \phi (t, \infty ) - \phi (t,  - \infty ) }{ 2 \pi }  \tag{15.6} \]

と定義できる。これはソリトン数と呼ばれる。(15.5)の場合は $Q = 1$ に対応する。

　ソリトン数は保存するのでこれは電荷と解釈できる。よって、$Q$ を

\[    Q \, = \, \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ \d \phi}{\d x} dx    \, \equiv \, \int J_0 \, dx    \tag{15.7} \]

と表せる。ただし、$J_0  = \frac{1}{2\pi} \frac{\d}{\d x} \phi  = \frac{1}{2\pi} \d_1 \phi$ は電荷密度を表す。このとき、相対論的な２元電流密度は

\[    J_\mu \, = \, \frac{1}{2 \pi} \ep_{\mu\nu}  \, \d_{\nu} \phi     \tag{15.8} \]

と定義される。２元電流密度の保存は

\[    \d_\mu J_\mu \, = \, \frac{1}{2\pi} \ep_{\mu\nu} \, \d_\mu \d_\nu \phi    \, = \, 0   \tag{15.9} \]

から簡単に確認できる。これらの結果は運動方程式を使わずに導かれた。$J_\mu$ の保存則は単に数学的な恒等式であり、これはソリトン解の１つの特徴である。

　ソリトン数 $Q$ をもつソリトン解 $\phi$ の滑らかな変形は $\widetilde{\phi} = \phi + \chi$ と書ける。ただし、$\chi (t, x)$ は $\phi$ からの揺らぎを表し、境界条件 $\chi (t, - \infty) = \chi (t,  \infty ) = 0$ あるいはより一般に $\chi ( t, - \infty) = \chi (t , \infty )$ を満たす。式(15.7)から $\widetilde{\phi}$ の電荷は

\[ {Q} \, = \, \frac{1}{2\pi} \int ( \d_x \phi + \d_x \chi )  \, dx    \, = \, Q + \frac{1}{2 \pi }\int  \d_x \chi \, d x \, = \, Q    \tag{15.10} \]

と計算できる。よって、ソリトン数 $Q$ は確かに $\phi$ の滑らかな変形のもとで保存される。任意のソリトン数 $Q$ のソリトンは $Q=1$ のソリトンから構成できるので、これらのソリトンの本質は境界条件(15.5)を満たすソリトンの存在にある。

　ここで、汎関数

\[    u (t, x) \, = \, \exp (i \phi )    \tag{15.11} \]

を導入する。ただし、$u (t, x)$ は同一の境界値 $u(t, - \infty ) = u (t, \infty )$ を持つとする。関係式 $\dot{\phi} = -i u^\dagger \dot{u}$, $\phi^\prime = - i u^\dagger \d_x u$ から、ハミルトニアン(15.3)は

\[    \H \, = \, \int dx \left[    \frac{1}{2} \dot{u}^\dagger \dot{u}    + \frac{1}{2}  \d_x u^\dagger \d_x u  + \la \left(    1 - \frac{u + u^\dagger}{2}    \right)    \right]    \tag{15.12} \]

と書き換えられる。固定時間において $u(t , x)$ は写像

\[    u( x) \, : \, \mathbb{R} \, \longrightarrow \, S^1     \tag{15.13} \]

を与える。これは、$\H$ の被積分関数つまりエネルギー密度が $S^1$ の値をもつ関数の関数（汎関数）であることを意味する。積分範囲は $[ 0, 2 \pi n ]$ とおけるので、$Q = \frac{1}{2\pi} \int dx \d_x \phi$ は $\phi (t, x)$ が $x = - \infty$ から $x = + \infty$ まで移動する間に円周 $S^1$ を何周するかを数える巻き数であると解釈できる。写像(15.13)は14.5節のシグマ模型における写像(14.128)と類似している。よって、この円周 $S^1$ はサイン-ゴルドン系の標的空間と見做せる。定義より、$Q$ は整数なので自動的に $\dot{Q} = 0$ である。$u( t, x)$ が $u(t, - \infty ) = u (t, \infty ) = 1$ を満たし、$S^1$ 構造を保つ限り、この結果は摂動的にも成り立つ。異なる $Q$ の間の相互作用は存在しないので、$Q$ は量子力学的にも保存されると考えられる。

　相対論的な２元電流密度は $u$ を用いて

\[    J_\mu \, = \, \frac{1}{2 \pi} \ep_{\mu\nu} \, \d_\nu \phi    \, = \, - \frac{i}{2 \pi} \ep_{\mu\nu} \, u^\dagger \d_\nu u    \tag{15.14} \]

と表せる。$J_\mu$ の特性をまとめると

1.   $\d_\mu J _\mu = 0$ は恒等式である。（運動方程式は必要ない。）
2.   $Q = \int J_0 \, dx $ は写像  $u( x): \mathbb{R} \rightarrow S^1$ の巻き数である。
3.   $J_\mu$ の変分 $\del J_\mu$ は発散量である。

となる。これらは $Q$ がトポロジカル不変量であることを示している。

ソリトン数１のサイン-ゴルドン・ソリトンの tanh 解を ChatGPT に聞いたら即解決

サイン-ゴルドン方程式

\[   \left( \frac{\d^2}{\d t^2} - \frac{\d^2}{\d x^2} \right) \phi + \la \sin \phi \, = \, 0   ~~~ (\la > 0 )  \tag{1} \]

の静的な解は

\[ \phi \, = \, 4 \arctan \left( e^{ \sqrt{\la} x } \right) \tag{2} \]

で与えられる。$\phi$ の範囲を $[ 0 , 2 \pi ]$ に指定するとこれはソリトン数 $Q =1$ のソリトン解になる。これは良く知られている結果であり、以前にこちらでも解説した。しかし、このソリトン解を $\tanh$ で書き換える場合もある。$\tanh$ の範囲 $|\tanh x | < 1$ から $\pi + \pi \tanh ( a x) $ の形になることは想像できるが係数を決めるのは大変そう。おそらく $x=0$ での傾きを一致させて求めるのだろうけど微分めんどくさいなあとためらっていました。そこで、現代の利器 chatGPT に

approximate arctan(exp(a x)) by tanh(b x)

と聞いてみると、なんと25秒！で

\[ \arctan \left( e^{ a x } \right) \, \approx \, \frac{\pi}{4} \left(    1 + \tanh \frac{2 a}{ \pi} x  \right) \tag{3} \]

と答えてくれました。今更ながら、いや～スゴイ。これからもお世話になります！

14. 自発的対称性の破れ vol.8

　前回に引き続き自発的対称性の破れ $G \rightarrow H$ が誘引されるパターンを群論の表現の視点から考える。最後の例として、自発的対称性の破れ

\[    SU(3) \, \longrightarrow \, SU(2) \times U(1) \, \simeq \, U(2)    \tag{14.133} \]

を考えよう。ゲルマン行列

\[\begin{eqnarray}    &&    \la^1 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 1 & 0 \\        1 & 0 & 0 \\        0 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^2 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & -i & 0 \\        i & 0 & 0 \\        0 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^3 =    \left(      \begin{array}{ccc}        1 & 0 & 0 \\        0 & -1 & 0 \\        0 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)    \nonumber \\    &&    \la^4 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & 1 \\        0 & 0 & 0 \\        1 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^5 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & -i \\        0 & 0 & 0 \\        i & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^6 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & 0 \\        0 & 0 & 1 \\        0 & 1 & 0 \\      \end{array}    \right)    \nonumber \\    &&    \la^7 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & 0 \\        0 & 0 & -i \\        0 & i & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^8 = \frac{1}{\sqrt{3}}    \left(      \begin{array}{ccc}        1 & 0 & 0 \\        0 & 1 & 0 \\        0 & 0 & -2 \\      \end{array}    \right)    \tag{14.134} \end{eqnarray} \]

を用いると、$SU(3)$ 生成子の $SU(2)$ 部分と $U(1)$ 部分はそれぞれ $(\la^1 , \la^2 , \la^3 )$ と $\la^8$ で指定される。前回の分解式(14.130)と同様に、$SU(3)$ 群の ${\bf 3}$ 表現は次のように部分群 $SU(2) \times U(1)$ の表現に分解できる。

\[    \begin{array}{ccc}    {\bf 3} &=& ({\bf 2} , \frac{1}{2\sqrt{3}} ) ~ \oplus ~    ({\bf 1}, - \frac{1}{\sqrt{3}} )  \\    \mbox{$\small{SU(3)}$} && \mbox{$\small{SU(2) \times U(1)}$} \\    \end{array}    \tag{14.135} \]

ただし、$U(1)$ 群の表現は $\frac{\la^8}{2}$ の値でラベルされる。この値は素粒子論でハイパーチャージ (hypercharge) として知られる量である。この右辺はどちらも $H = SU(2) \times U(1)$ の一重項ではない。よって、分解式(14.135)は自発的対称性の破れ(14.133)には適用できない。この自発的対称性の破れを引き起こすには $SU(2) \times U(1)$ の一重項を含むように $SU(3)$ 群の表現を分解する必要がある。いま、13.1節の式(13.16)で示したように、$SU(3)$ 群の ${\bf 3} \otimes {\bf 3}^*$ 表現は

\[    \begin{array}{ccc}    {\bf 3} \, \otimes \, {\bf 3}^* &=& {\bf 1} \, \oplus \, {\bf 8}  \\    \mbox{$\small{SU(3)}$} && \mbox{$\small{SU(3)}$} \\    \end{array}    \tag{14.136} \]

と分解できる。右辺の ${\bf 1}$ は $SU(2) \times U(1)$ ではなく $SU(3)$ の一重項であるので、この関係式を自発的対称性の破れ(14.133)に直接適用することはできない。しかし、テンソル解析を用いると $SU(3)$ 群の随伴表現 ${\bf 8}$ は

\[    T^i_j \, \longrightarrow \, T^\al_\bt + T^\al_3 + T^3_\al + T^3_3    \tag{14.137} \]

と分解できる。ただし、添え字は $i,j = 1,2,3$ と $\al, \bt = 1,2$ で指定される。$SU(2)$ 群の表現を用いると、この分解式は

\[    \begin{array}{ccc}    {\bf 8} & =& {\bf 3} \, \oplus \, {\bf 2}^*    \, \oplus \, {\bf 2} \, \oplus \, {\bf 1}  \\    \mbox{$\small{SU(3)}$} && \mbox{$\small{SU(2)}$} \\    \end{array}    \tag{14.138} \]

と表せる。ハイパーチャージ因子を含めるとこの分解式は

\[    \begin{array}{ccc}    {\bf 8} & = & ({\bf 3} , 0) \, \oplus \,    ( {\bf 2}^* , - \frac{3}{2 \sqrt{3}} )    \, \oplus \, ( {\bf 2},  \frac{3}{2 \sqrt{3}} ) \, \oplus \, ( {\bf 1}, 0 )  \\    \mbox{$\small{SU(3)}$} && \mbox{$\small{SU(2) \times U(1)}$} \\    \end{array}    \tag{14.139} \]

と拡張できる。ただし、$( {\bf 1}, 0 )$ は $SU(2) \times U(1)$ の一重項を表す。これは、随伴表現を用いると自発的対称性の破れ(14.133)を実現できることを意味する。よって、南部-ゴールドストン粒子は $SU(3)$ 群の随伴表現に属すベクトル場 $\phi^a$ ($a=1,2, \cdots , 8$) で記述される。13.3.2小節の8重項バリオンの表

\begin{array}{|c|cc|}        \hline        8重項バリオン (b) &  \psi^a & SU(3) \, 随伴表現~  {\bf 8}  \\ \hline       \Si^+ &  \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi^1 + i \psi^2 ) & (12) \\       p &  \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi^4 + i \psi^5 ) & (13) \\        \Si^- & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^1 - i \psi^2 ) & (21) \\        n & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^6 + i \psi^7 ) & (23) \\     \Xi^- & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^4 - i \psi^5 ) & (31) \\   \Xi^0 & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^6 - i \psi^7 ) & (32) \\   \Si^0 & \psi^3 & \frac{1}{\sqrt{2}}(11) -\frac{1}{\sqrt{2}}(22) \\        \La & \psi^8 & \frac{1}{\sqrt{6}}(11) + \frac{1}{\sqrt{6}}(22) -  \frac{2}{\sqrt{6}}(33) \\ \hline    \end{array}

で明示したように、場の演算子$\phi^a$ は随伴表現  $\phi_i^j$ $( i,j = 1,2,3 )$ でラベルされる。また、この共役表現は ${\phi^\dag}_i^j = \phi_{j}^{i*}$ と書ける。この意味で $\phi^a$ は $3 \times 3$ ユニタリー行列で表せる。

　いま、基底状態の期待値 $\phi_0$ の等方部分群は $SU(2) \times U(1)$ である。つまり、$\phi_0$ は(14.139)の一重項 $( {\bf 1}, 0 )$ に対応する。行列表現でこの $\phi_0$ は

\[    \phi_0 \, = \,    \left(      \begin{array}{ccc}        0  & 0 & z_{13} \\        0 & 0 & z_{23}    \\        0 & 0  & 1 \\      \end{array}    \right)    \tag{14.140} \]

と選べる。これは前回の例における式(14.131)の類似形である。$\phi_0$ の２乗は

\[    \phi_0^2 \, = \, \phi_0^\dag \phi_0 \, = \,    \left(      \begin{array}{ccc}        0   & 0 & 0 \\        0 & 0 & 0    \\        0 & 0  & v^2 \\      \end{array}    \right) , ~~~~~ v^2 = | z_{13} |^2 + | z_{23} |^2 + 1    \tag{14.141} \]

と表せる。期待値 $\phi_0$ は基本的に列ベクトル $( \phi_0 )_i^3$ $( i = 1,2,3 )$ で与えられる。これは $SU(3)$ 群の ${\bf 3}$ 表現として変換するので南部-ゴールドストン粒子 $\phi$ は ${\bf 3}$ 表現で考えられる。具体的に、$\phi$ は

\[    ( \phi )_i^3 \, = \, g_{ij} ( \phi_0 )_j^3 \, = \, \left( e^{i \frac{\la^a}{2} \th^a } \right)_{ij} ( \phi_0 )_j^3    \tag{14.142} \]

と表せる。ただし、$\th^a$ $(a = 1,2, \cdots, 8 )$ は実数パラメータである。この変換により $\phi_0 = ( \phi_0 )_i^3$ の成分は混合され、$\phi = (\phi )_i^3 = ( z_1 , z_2 , z_3 )^T$ の成分の斉次性が保証される。$g^\dag g = {\bf 1}$ よりこれらの成分は条件式

\[    | z_1 |^2 + | z_2 |^2 + |z_3 |^2 \, = \, v^2     \tag{14.143} \]

を満たす。$\phi = (\phi )_i^3$ を用いると自発的対称性の破れ(14.133)を誘引するポテンシャル項は $V = \la ( \phi^\dag \phi - v^2 )^2 = \la ( z_i^* z_i - v^2 )^2$ ($i=1,2,3$) と表せる。条件式(14.143)は $U(1)$ 変換 $z_i \rightarrow e^{i\th} z_i$ のもとでも不変である。よって、$\phi$ は幾何学的に $S^5 / S^1 = {\bf CP}^2$ で与えられることが分かる。${\bf CP}^2$ は複素射影平面とも呼ばれる。$\phi$ はコセット空間 $G/H = \frac{SU(3)}{ SU(2) \times U(1)}$ の座標に対応しているので、この結果はより直接的に関係式

\[    \frac{SU(3)}{SU(2) \times U(1)} \, \simeq \,    \frac{SU(3)}{SU(2)} \biggl/ U(1) \, \simeq \, S^5 / S^1 \, = \, {\bf CP}^2     \tag{14.144} \]

から理解することもできる。

複素射影空間

　ここで、簡単に複素射影空間について解説する。射影空間を視覚化するためにまず実射影空間を考える。すなわち、${\bf R}^3$ 上の直線を同一視する。これより、２次元の実射影空間 ${\bf RP}^2$ は ${\bf R}^3$ 上の全ての直線の集合と見做せる。ステレオ射影を用いると２次元平面は２次元球面 $S^2$ で表せる。よって、${\bf RP}^2$ は $S^2$ から対蹠点を除いた空間に相当する。言い換えると、${\bf RP}^2$ は空間ベクトル $x^a$ $(a= 1,2,3 )$ のスケール同値性

\[    x^a  \sim  \al x^a    ~~ (\al \in {\bf R}, \, \al \ne 0 )    \tag{14.145} \]

で定義できる。ただし、$\al$ はゼロでない実数を表す。この同値関係(14.145)の複素数バージョンは

\[    z^a  \sim  \la z^a ~~ (\la \in {\bf C}, \, \la \ne 0)    \tag{14.146} \]

と書ける。ただし、$\la$ はゼロでない複素数である。規格化を例えば

\[   ( z^{a} )^*  z^a \, = \, 1   ~~~~(a = 1,2,3)   \tag{14.147} \]

と取れば $|\la |^2 = \la^* \la$ の値を１に固定できる。すなわち、複素座標 $z^a$ とその複素共役は５次元球面 $S^5$ を定義する。複素座標 $z^a$ はさらに位相因子の自由度 $z^a \rightarrow e^{i \th} z^a$ を持つので、複素射影空間 ${\bf CP}^2$ はコセット空間 $S^5 / S^1$ で定義されることが分かる。

　射影空間の概念は数学で重要である。特に、ユークリッド幾何学は射影幾何学の部分集合と考えられる。一般の複素射影空間 ${\bf CP}^{n-1}$ は同値関係 $z^a \sim \la z^a$ と規格化 $ ( z^{a} )^* z^a  = 1$ を満たす $n$ 個のゼロでない複素変数 $z^a$ ($ a = 1,2, \cdots , n$) で定義される。式(14.144)と同様に、${\bf CP}^{n-1}$ $(n \ge 2)$ もコセット空間を用いて

\[  {\bf CP}^{n-1} \, = \, S^{2n-1} / S^1 \, \simeq \, \frac{SU(n)}{U(n-1)}    \tag{14.148} \]

と表せる。$n=2$ の簡単な場合、複素射影空間はリーマン球面 ${\bf CP}^1 = SU(2) / U(1 ) = S^2$ となる。11.4節で議論したようにリーマン球面 $( z , \bz )$ は $SL ( 2 , {\bf C} )$ 代数あるいは２次元の広域共形代数で記述される６つの解析対称性をもつ。この対称性は解析関数の研究で重要となる。例えば、よく知られているようにガウスの超幾何関数は $SL(2 ,{\bf C} )$ 対称性をもつ。

14. 自発的対称性の破れ vol.7

14.5 シグマ模型と $G/H$ 標的空間

リーマン多様体 $\M$ 上の点粒子の軌跡を $x^\mu (t)$ とする。つまり、写像 $x^\mu (t): \mathbb{R} \rightarrow \M$ を考える。測地線方程式方程式は作用

\[    \S \, = \, \hf \int dt \, g_{\mu\nu} \frac{\d x^\mu}{\d t} \frac{\d x^\nu}{\d t}    \tag{14.124} \]

の極値を取ることで求まる。ただし、$g_{\mu\nu}$ は $\M$ の計量を表す。つぎに、4次元時空からコセット空間への写像

\[    \phi^a (x) \, : \, \mathbb{R}^4 \, \longrightarrow \, G/H     \tag{14.125} \]

を考えよう。このとき、測地線の作用(14.124)に対応する作用は

\[    \S \, = \, \frac{1}{2} \int d^4 x \,    G_{ab} \, \d_\mu \phi^a \d_\mu \phi^b    \tag{14.126} \]

と書ける。ただし、$G_{ab} $ は $G/H$ 空間の計量を表す。この作用の被積分関数は前節で求めた南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー有効ラグランジアン(14.102)に比例する。

シグマ模型

　上の議論を一般化すると、作用(14.126)は

\[    \S \, = \, \frac{1}{2} \int d^4 x \,  G_{ab} \, \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b    \,  \sqrt{- \det g} \, g^{\mu \nu} \tag{14.127} \]

と表せる。ただし、$\phi^a (x)$ は計量 $g^{\mu \nu}$ のリーマン多様体 $\N$ から計量 $G^{ab}$ の別のリーマン多様体への写像

\[    \phi^a (x) \, : \, \N \, \longrightarrow \, \M     \tag{14.128} \]

を与える。作用(14.127)は $\M$ 上のシグマ模型を定義する。作用(14.127)の極小化から求まるシグマ模型の古典解は調和写像 (harmonic maps) と呼ばれる。また、$\N$, $\M$ はそれぞれシグマ模型の基底空間、標的空間と呼ばれる。以上より、自発的対称性の破れ G → H  により生じる南部-ゴールドストン粒子の低エネルギー有効作用は G/H を標的空間とするシグマ模型で与えられることが分かる。

G/H 標的空間と G → H のパターン

　ここで、あるリー群 $G$ で表せる連続的な対称性がその部分群 $H$ に自発的に破れるとき、この自発的な破れ $G \rightarrow H$ がどのように誘引されるかを考えよう。$G$ の既約表現に属すベクトル場 $\phi$ に対して、その基底状態での期待値 $\phi_0 = \bra \Om | \phi | \Om \ket $ がゼロでないとき対称性 $G$ は自発的に破れる。この期待値の等方部分群（小群）が $G$ の部分群 $H$ に当たる。つまり、$\phi_0$ は $h$ 変換  $( h \in H )$ のもとで不変であり、一重項を成す。よって、群論的には自発的な破れのパターン $G \rightarrow H$ は $G$ の分解が部分群 $H$ の一重項を含むような $G$ の表現から $H$ の表現への還元、あるいは  $H$ 表現の $G$ 表現への埋め込みで与えられる。

　一例として、$G/H = SU(2)/U(1)$ を考えよう。このとき、$h$ 変換は $\phi$ への $\si_3$ 作用に対応する。ただし、$\si_i$ $( i=1,2,3 )$ は $2 \times 2$ パウリ行列を表す。${\bf 2}$ 表現（あるいはスピン $\frac{1}{2}$ 表現）では

\[  h \, = \, \left(     \begin{array}{cc}   e^{i \th} & 0 \\    0 & e^{-i\th} \\  \end{array}  \right)    \tag{14.129} \]

となるので $h $ 作用のもとで一重項は $\th =0$ でない限り存在しない。しかし、${\bf 3}$ 表現（あるいはスピン 1 表現）では $\si_3$ 作用のもとで $\phi$ は ${\bf 3} \rightarrow {\bf 2} \oplus {\bf 1}$ と分解できる。よって、基底状態の期待値 $\phi_0 = ( \phi_0^1 , \phi_0^2 , \phi_0^3 )^T $ を $\phi_0^1 = \phi_0^2 = 0$, $\phi_0^3 = v \ne 0$ と選べる。このとき、自発的破れ $SU(2) \rightarrow U(1)$ を引き起こすポテンシャル項は $V = \la (\phi^a \phi^a - v^2 )^2$ $( a = 1,2,3) $ で与えられる。ただし、$\la > 0$ である。このポテンシャルは $O(N)$ 理論のハミルトニアン

\[    \H \, = \,    \int d^3 x \left[    \hf \dot{\phi}_i \dot{\phi}_i + \hf (\nabla \phi_i  )(\nabla \phi_i  )    + \la (\phi_i \phi_i )^2 + \frac{\si}{2} (\phi_i \phi_i )    \right]    \tag{14.29}\]

で $N=3$ とおいたものに対応する。この理論は回転対称性を持つので南部-ゴールドストン粒子 $\phi^a$ は直交群 $O(3)$ の生成子 $R_{ab}$ を用いて $\phi^a = R_{ab} \phi_0^b$ と表せる。明らかに、$\phi^a$ は条件式 $\phi^T \phi = \phi^a \phi^a  = v^2$ を満たす。期待値 $\phi_0$ の等方部分群は $O(2) \subset O(3)$ である。以上より、自発的対称性の破れに関連するコセット空間 $SU(2)/U(1)$ は幾何学的に2次元球面 $S^2 = O(3)/O(2) $ と等しいことが分かる。