遠征登山： 大山から荒島岳

梅雨前の晴れ間を利用して都内から伯耆大山までロングドライブ。静岡、土山、桂川、宝塚北、勝央、蒜山高原のサービスエリア利用。勝央、蒜山高原で仮眠を取りました。子供のころ神戸から松江まで親によく連れてかれましたが、あの頃は中国道から先は一般道というか山道で、道路沿いに「鳥取県」と縦に書かれたポールが並んでいたのが印象的でした。今は米子まで高速で行けるなんて、隔世の感です。小学校の時にキャンプをした蒜山高原も気になりましたが、今回の目的は大山登山。夏山開きの前日だったためか登山道もしっかり整備されていてとても登り易かったです。

Mathematical Review 124: トポロジカル欠陥がある場合の拡張された対称性について

ほぼ１年ぶりのレビュー。対象論文はこちら。投稿内容はこちら。だいぶ理解力が落ちて最近の話題にも付いていけなくなっているので時間をかけて理解に努めました。（ボケないうちにブラシュアップしなきゃなあ。）

　背景となる相空間が単連結でない場合（一般にトポロジカル欠陥がある場合）ハイゼンベルク代数のユニタリー表現を唯一に決めることができない。（ストーン-フォンノイマンの定理） 物性理論ではこれは分数量子ホール効果に現れる。つまり、2次元空間が単連結でない場合、波動関数（ラフリン波動関数）を一意に決めることができず、物理系はある有限群の対称性をもつ。高次元空間での分数量子ホール効果についての研究も数多くなされており、特に興味深い結果は最近 Agarwal-Karabali-Nair の論文で示された。この論文では、高次元の Chern-Simons 理論にアノマリー相殺の概念を適用することで高次元分数量子ホール効果の有効作用が構成された。

　このように、トポロジカル欠陥がある場合の物理現象を解析するにはトポロジカル・ゲージ理論を用いるのが場の理論としては自然なアプローチである。しかし、より直接的に上述の有限群の対称性を組み込んだ拡張された対称性を考えて、トポロジカル欠陥のある物理現象を理解しようとするアプローチが近年盛んに研究されている。この対称性はフロベニウス代数と呼ばれる代数によって記述される。４次元時空において物理的に重要となるカイラル対称性もフロベニウス代数を用いて拡張されることが知られており、例えば、こちらで示唆されているように、このようなアプローチからフェルミ粒子質量の起源が分かるのではないかと期待されている。トポロジカルな場の理論の知識がなくても（代数的な性質だけから）物理量を予測できるという興味深い手法であり、今後の発展に期待したい。

シジュウカラがいつの間にか巣立っていました

久しぶりにシジュウカラが来てくれました。去年は来なかったので2年振り。

先月、晴れた日の朝に様子を見てみるといつの間にか巣立っていました。シジュウカラと言えば、シジュウカラ語がだいぶ解明されているみたいです。

こちらでいろいろと新発見が紹介されていて勉強になりました！ 

巣箱の穴を補強しないと来年は来てくれないかもしれないので、秋になったらホームセンター行くか。直径27ミリの穴開けてもらえるかな～。

三浦半島 岩礁のみち 途中から

前回途中まで行った岩礁のみち。先日、母の日に、母と次女の親子3代でコンプリートしてきました。江奈湾の駐車場に止めて剣崎経由で松輪バス停まで。

雪山入門 蝶ヶ岳・常念岳

テニス仲間に誘われて4人で蝶ヶ岳ヒュッテに１泊して常念岳まで行ってきました。山小屋には以前に家族で尾瀬ケ原の東電小屋に泊まりましたが、山頂にある山小屋は初めて。山頂がゴールなんでありがたい！上高地を挟んで穂高連峰・槍ヶ岳が手の届くような所からの夕焼け・朝焼けを満喫できました。

13. ウィグナーの $\D$ 関数とその応用 vol.8

10重項バリオンの質量公式

　前回はウィグナー-エッカルトの定理の応用例の1つとして8重項バリオンの質量公式を導いた。今回は同様にして10重項バリオンの質量公式を導出する。まず、10重項バリオンは関係式

\[    {\bf 3} \otimes {\bf 3} \otimes {\bf 3} \, = \,    {\bf 1} \oplus {\bf 8} \oplus {\bf 8} \oplus {\bf 10}  \tag{13.118} \]

のうちの ${\bf 10}$ 表現に属する。$SU(3)$ 群の ${\bf 10}$ 表現 $\Psi_{ijk}$ あるいは $(ijk)$ と10重項バリオン場の演算子 $\psi_{ijk}$ を用いると、10重項バリオンは下表のようにラベルできる。

\begin{array}{|c|cc|}        \hline        10重項バリオン \, (b) & \psi_{ijk} &  SU(3) \, 群の\, {\bf 10} \, 表現  \\ \hline        \Delta^{++}  & \psi_{111} & (111) \\        \Delta^{+}  & \sqrt{3} \, \psi_{112} & (112) \\        \Delta^{0}  & \sqrt{3} \, \psi_{122} & (122) \\        \Delta^{-}  & \psi_{222} & (222) \\        \Si^{*+}  & \sqrt{3} \, \psi_{113} & (113) \\        \Si^{*0}  & \sqrt{6} \, \psi_{123} & (123) \\        \Si^{*-}  & \sqrt{3} \, \psi_{223} & (223) \\        \Xi^{*0}  & \sqrt{3} \, \psi_{133} & (133) \\        \Xi^{*-}  & \sqrt{3} \, \psi_{233} & (233) \\        \Omega^{-}  & \psi_{333} & (333) \\        \hline    \end{array}

　場の演算子 $\psi_{ijk}$ を具体的に書き下すと

\[    \psi_{ijk} = B_{(ijk)} = \frac{1}{6} ( B_{ijk} + B_{ikj} + B_{jik} + B_{jki} + B_{kij} + B_{kji} )     \tag{13.149} \]

と表せる。場の演算子の規格化は、例えば、

\[    \frac{1}{\sqrt{3}} (\psi_{112} + \psi_{121} + \psi_{211} ) \, = \, \sqrt{3} \, \psi_{112}    \tag{13.150} \]

で与えられる。ただし、$\psi_{ijk}$ の完全対称な添え字に条件 $i \le j \le k$ を課した。

　ここで、10重項バリオンの質量行列 $\M_{bc} \sim (\bar{B} B)_{bc}$ を考える。8重項バリオンの場合(3.120)と同様に、${\bf 8}$ 表現あるいは恒等表現 ${\bf 1}$ に属する因子に注目する。表現 ${\bf 10}$ とその共役表現 ${\bf 10}^*$ の合成は

\[    {\bf 10} \otimes {\bf 10}^*  \, = \, {\bf 64} \oplus {\bf 27} \oplus  {\bf 8} \oplus {\bf 1}     \tag{13.151} \]

と分解できるので、質量行列は

\[    \M_{bc} \, =  \, M_0 \, \del_{bc} \, + \, C_{bca}^{{\bf 10}^* {\bf 10} \, {\bf 8}} \, M^a    \tag{13.152} \]

とパラメータ表示できる。ただし、$M^a$ は ${\bf 8}$ 表現に属し、$C_{bca}^{{\bf 10}^* {\bf 10} \, {\bf 8}}$ は分解 ${\bf 10}^* \otimes {\bf 10} \rightarrow {\bf 8}$ に関わるクレブシュ-ゴルダン係数を表す。関係式 $C_{bca}^{{\bf 10}^* {\bf 10} \, {\bf 8}} \sim C_{cba}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^* {\bf 8}}$ から、10重項バリオンの質量は

\[\begin{eqnarray}    M_b & = & \M_{bb} \, = \, M_0  \, + \, \Delta M_b     \tag{13.153} \\    \Delta M_b &=& C_{bb8}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^* {\bf 8}} \, \al    \tag{13.154} \end{eqnarray}\]

とパラメータ表示できることが分かる。ここで、$\al$ はゼロでない定数であり、$SU(3)$ 対称性を破る質量項に対応する。

　つぎに、テンソル解析の手法でクレブシュ-ゴルダン係数 $C_{bb8}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^*  {\bf 8}}$ を計算する。テンソル $\Psi_{ijk} \Phi^{lmn} = V_{(ijk)}^{(lmn)}$ を用いると展開式(13.151)は

\[    V_{(ijk)}^{(lmn)} \, = \, T_{(ijk)}^{(lmn)}    + \frac{1}{3} \del_{(i}^{(l} T_{jk)}^{mn)} + \frac{1}{9} \del_{(i}^{(l} \del_{j}^{m} T_{k)}^{n)}    +  \frac{1}{27} \del_{(i}^{(l} \del_{j}^{m} \del_{k)}^{n)} {\bf 1}    \tag{13.155} \]

と表せる。ただし、$T_{(ijk)}^{(lmn)}$ は $V_{(ijk)}^{(lmn)}$ のうちトレース・ゼロの成分を表す。13.1節で求めた直積 ${\bf 8} \otimes {\bf 8}$ の展開式(13.25)との類似性に注意しよう。これより、$C_{(ijk)(lmn)(rs)}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^*  {\bf 8}}$ は

\[\begin{eqnarray}    C_{(ijk)(lmn)(rs)}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^* \, {\bf 8}} \! &=& \!    \frac{1}{9} \, \del_{(i}^{(l} \del_{j}^{m} \del_{k)}^{\check{r}} \del_{s}^{n )}    \nonumber \\    &=& \! \frac{1}{54} \left(    \del_{i}^{(l} \del_{j}^{m} \del_{s}^{n )} \del_{k}^{r} + \del_{i}^{(l} \del_{k}^{m} \del_{s}^{n )} \del_{j}^{r}    + \del_{j}^{(l} \del_{i}^{m} \del_{s}^{n )} \del_{k}^{r}    \right.    \nonumber \\    && ~~~~     \left.    \del_{j}^{(l} \del_{k}^{m} \del_{s}^{n )} \del_{i}^{r} + \del_{k}^{(l} \del_{i}^{m} \del_{s}^{n )} \del_{j}^{r}    + \del_{k}^{(l} \del_{j}^{m} \del_{s}^{n )} \del_{i}^{r}    \right)    \tag{13.156} \end{eqnarray}\]

で与えられることが分かる。ただし、$\check{r}$ は $r$ が添え字の対称性から除かれることを意味する。前回導出した8重項バリオンの添え字を用いると $C_{bb8}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^*  {\bf 8}}$ は

\[    C_{bb8}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^*  {\bf 8}} \, = \, C_{bb\La}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^*  {\bf 8}}    \ = \,  \frac{1}{\sqrt{6}} C_{bb(11)}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^*  {\bf 8}}    +\frac{1}{\sqrt{6}} C_{bb(22)}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^*  {\bf 8}}    - \frac{2}{\sqrt{6}} C_{bb(33)}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^*  {\bf 8}}    \tag{13.157} \]

と表せる。また、式(13.156)から関係式

\[\begin{eqnarray}    C_{(ijk)(ijk)(rr)}^{{\bf 10} \, {\bf 10}^* \, {\bf 8}} \! &=& \!    \frac{1}{2 \cdot 3^4} \biggl[ \, {}^{k}_{r} + {}^{j}_{r} + {}^{i}_{r} + {}^{ik}_{jr} +  {}^{ij}_{kr} +  {}^{ij}_{rk}    \nonumber \\    && ~~~~ + 2 \left( {}^{kjr}_{jrk} + {}^{kir}_{irk} + {}^{ijr}_{jri}    + {}^{ijkr}_{jkri} + {}^{kijr}_{ijrk} + {}^{kijr}_{jkri} \right) \biggr]    \tag{13.158} \end{eqnarray}\]

が得られる。ただし、諸々の記号は ${}^{k}_{r} = {\del}^{k}_{r}$, ${}^{ik}_{jr} = {\del}^{i}_{j} \del^{k}_{r}$, ${}^{kjr}_{jrk} = {\del}^{k}_{j} {\del}^{j}_{r} {\del}^{r}_{k}$, ${}^{ijkr}_{jkri} = {\del}^{i}_{j} {\del}^{j}_{k}{\del}^{k}_{r}{\del}^{r}_{i}$ などで定義される。以上、10重項バリオンと ${\bf 10}$ 表現の対応表と(13.157), (13.158)から、(13.154)の $\Delta M_b$ は関係式

\[\begin{eqnarray}    \Delta M_{\Delta^{++}} \, = \, \Delta M_{\Delta^{+}} \, = \, \Delta M_{\Delta^{0}}    \, = \, \Delta M_{\Delta^{-}} &=& \frac{1}{9 \sqrt{6}} \al    \tag{13.159}\\    \Delta M_{\Si^{*+}} \, = \, \Delta M_{\Si^{*0}} \, = \,\Delta M_{\Si^{*-}}  &=& 0    \tag{13.160}\\    \Delta M_{\Xi^{*-}} \, = \, \Delta M_{\Xi^{*0}}   &=& -\frac{1}{9 \sqrt{6}} \al    \tag{13.161} \\    \Delta M_{\Om^{-}}   &=& -\frac{2}{9 \sqrt{6}} \al    \tag{13.162} \end{eqnarray}\]

で与えられる。10重項バリオンの質量(13.153)を用いると、これらは

\[    M_{\Om^{-}} - M_{\Xi^{*0}} \, = \, M_{\Xi^{*0}} - M_{\Si^{*0}} \, = \, M_{\Si^{*0}} - M_{\Delta^{0}}    \tag{13.163} \]

と表せる。これらの関係式は5.4節で導出した10重項バリオンの質量公式(5.49)と同じである。

13. ウィグナーの $\D$ 関数とその応用 vol.7

前回の準備を踏まえて今回は軽クォークで構成される8重項バリオンの質量公式がウィグナー-エッカルトの定理を適用して導出できることを見ていく。

8重項バリオンの質量公式

    相互作用のエネルギー・レベルの階層性

\[    \mbox{$\rm{I}.$ 強い相互作用} ~ \gg ~    \underbrace{\mbox{$\rm{I}\hspace{-1pt}\rm{I}.$ 質量効果} ~ \gg ~    \mbox{$\rm{I}\hspace{-1pt}\rm{I}\hspace{-1pt}\rm{I}.$ $\, W_\pm , Z, A$} との相互作用}_{ \mbox{電弱相互作用} }    \tag{13.117} \]

において、エネルギー・レベルⅡにおける軽クォークの質量効果を考える。5.4節で議論したように、クォークの質量行列は

\[    \bra q | m | q \ket \, = \, \diag (m_u , m_d , m_s ) \, \approx \, \diag ( m_u , m_u , m_u + \Delta )    \tag{13.119} \]

と表せる。ただし、$|q \ket = (u , d , s )^{T}$ であり、関係式 $m_u \approx m_d \ll m_s$, $\Delta = m_s - m_u$ を用いた。一般に、エネルギー・レベルⅡにおいて8重項メソンあるいは8重項バリオンの質量演算子 $M$ は

\[    M \, = \, M_0 {\bf 1} + M^a    \tag{13.120} \]

と表せる。ただし、$M^a$ $(a = 1,2, \cdots, 8)$ は  $SU(3)$ 代数の生成子として変換する。1.5節で紹介したゲルマン行列

\[\begin{eqnarray}    &&    \la^1 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 1 & 0 \\        1 & 0 & 0 \\        0 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^2 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & -i & 0 \\        i & 0 & 0 \\        0 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^3 =    \left(      \begin{array}{ccc}        1 & 0 & 0 \\        0 & -1 & 0 \\        0 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)    \nonumber \\    &&    \la^4 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & 1 \\        0 & 0 & 0 \\        1 & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^5 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & -i \\        0 & 0 & 0 \\        i & 0 & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^6 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & 0 \\        0 & 0 & 1 \\        0 & 1 & 0 \\      \end{array}    \right)    \nonumber \\    &&    \la^7 =    \left(      \begin{array}{ccc}        0 & 0 & 0 \\        0 & 0 & -i \\        0 & i & 0 \\      \end{array}    \right)~~~    \la^8 = \frac{1}{\sqrt{3}}    \left(      \begin{array}{ccc}        1 & 0 & 0 \\        0 & 1 & 0 \\        0 & 0 & -2 \\      \end{array}    \right)   \end{eqnarray} \tag{1.49} \]

を用いると、$c {\bf 1} - \sqrt{3} c \, \la^8 = \diag (0,0,3c)$ とおける。ただし、$c$ は定数であり ${\bf 1}$ は $3 \times 3$ の恒等行列を表す。これより、質量演算子 $M$ において $M^a$ の添え字 $a$ は $a = 8$ と特定できることが分かる。

　つぎに、ウィグナー-エッカルト型の応用例として8重項バリオンの質量行列を考える。5.4節で示したように、8重項バリオンの行列表示は

\[ {\bf B} = \left( \begin{array}{ccc} \frac{\Si^0}{\sqrt{2}} + \frac{\La}{\sqrt{6}} & \Si^{+} & p \\ \Si^{-} & - \frac{\Si^0}{\sqrt{2}} + \frac{\La}{\sqrt{6}} & n \\ \Xi^{-} & \Xi^{0} & - \sqrt{\frac{2}{3}} \La \end{array} \right) = \sum_{a = 1}^{8} \psi^{a} \frac{\la^a}{\sqrt{2}} \tag{13.121} \]

で与えられる。ただし、$\psi^a$ は8重項バリオン場の演算子を表す。$SU(3)$ の随伴表現 $\Psi_i^j$ あるいは $(ij)$ と場の演算子 $\phi^a$ との対応関係は下表のようになる。

\begin{array}{|c|cc|}        \hline        8重項バリオン (b) &  \psi^a & SU(3) \, 随伴表現~  {\bf 8}  \\ \hline       \Si^+ &  \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi^1 + i \psi^2 ) & (12) \\       p &  \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi^4 + i \psi^5 ) & (13) \\        \Si^- & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^1 - i \psi^2 ) & (21) \\        n & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^6 + i \psi^7 ) & (23) \\     \Xi^- & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^4 - i \psi^5 ) & (31) \\   \Xi^0 & \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi^6 - i \psi^7 ) & (32) \\   \Si^0 & \psi^3 & \frac{1}{\sqrt{2}}(11) -\frac{1}{\sqrt{2}}(22) \\        \La & \psi^8 & \frac{1}{\sqrt{6}}(11) + \frac{1}{\sqrt{6}}(22) -  \frac{2}{\sqrt{6}}(33) \\ \hline    \end{array}

　質量演算子(13.120)より、8重項バリオンの質量行列は

\[    \M_{bc} \, \equiv \,    \bra  {\bf 8}, b | M |  {\bf 8}, c \ket  \, = \,    M_0 \, \del_{bc} \, +    \bra  {\bf 8}, b | M^8 |  {\bf 8}, c \ket    \tag{13.122} \]

と定義できる。ただし、$b, \, c$ は上表の8重項バリオンをラベルする添え字である。13.2節

で求めたウィグナー-エッカルトの定理

\[\begin{eqnarray}    && \bra R^\prime , \al | Q^A | R , m \ket \nonumber \\    &=&    \sum_{\bt , n} \sum_{\widetilde{R}, \la, \si}    {C^{R^{\prime\prime} R \widetilde{R}}_{A m \si}}^*    C^{R^{\prime\prime}R \widetilde{R}}_{Bn \la}    \frac{ \del_{\al \si} \del_{\bt \la} \del^{R^\prime \widetilde{R}} }{ ( {\rm dim} R^\prime ) ( \mbox{$G$ の体積}) }    \bra R^\prime , \bt | Q^B | R , n \ket    \nonumber \\    &=&    {C^{R^{\prime\prime} R R^{\prime}}_{A m \al}}^*    \left[      \sum_{\bt , n} \frac{C^{R^{\prime\prime}R R^{\prime}}_{Bn \bt} \, \bra R^\prime , \bt | Q^B | R , n \ket }    {  ( {\rm dim} R^\prime ) ( \mbox{$G$ の体積}) }    \right]    \nonumber \\    & \equiv &    {C^{R^{\prime\prime} R R^{\prime}}_{A m \al}}^* \, \bra R^\prime || Q^{R^{\prime\prime}} || R \ket    \tag{13.77} \end{eqnarray}\]

を適用すると $SU(3)$ 対称性を破る行列要素は

\[    \bra  {\bf 8}, b | M^8 |  {\bf 8}, c \ket \, = \,    {C_{8cb}^{\bf 888}}^* \, \bra {\bf 8} || M^{\bf 8} || {\bf 8} \ket    \tag{13.123} \]

と表せる。ただし、${C_{8cb}^{\bf 888}}^*$ と $\bra {\bf 8} || M^{\bf 8} || {\bf 8} \ket$ はそれぞれクレブシュ-ゴルダン係数と還元行列要素である。随伴表現 ${\bf 8}$ は ${\bf 8}^*  = {\bf 8}$ を満たすことに注意しよう。13.1節の(13.29)-(13.35)で示したように、このクレブシュ-ゴルダン係数は展開式

\[\begin{eqnarray}    | {\bf 8}, ij \ket \otimes | {\bf 8} , kl \ket &=&    C_{(ij)(kl)(mnrs)}^{{\bf 88} \, {\bf 27}} | {\bf 27} , mnrs \ket \oplus    C_{(ij)(kl)(mrs)}^{{\bf 88} \, {\bf 10}} | {\bf 10} , mrs \ket    \nonumber \\    && \oplus \,    C_{(ij)(kl)(mrs)}^{{\bf 88} \, {\bf 10}^* } | {\bf 10}^* , mrs \ket  \oplus    C_{(ij)(kl)(mn)}^{{\bf 888} } | {\bf 8} , mn \ket    \nonumber \\    && \oplus \,    C_{(kl)(ij)(mn)}^{{\bf 888} } | {\bf 8} , mn \ket  \oplus    C_{(kl)(ij)(mm)}^{{\bf 881} } | {\bf 1} , mm \ket    \tag{13.124} \end{eqnarray}\]

から求まる。ただし、添え字はテンソル解析による $SU(3)$ 表現を表す。随伴表現 ${\bf 8}$ への分解に関わるクレブシュ-ゴルダン係数には $C_{(ij)(kl)(mn)}^{{\bf 888} }$ と $C_{(kl)(ij)(mn)}^{{\bf 888} }$ の２つのタイプがあることに注意する。13.1節で計算したように、これらは

\[\begin{eqnarray}    C_{(ij)(kl)(mn)}^{{\bf 888}} &=& \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} \ep^{jlm} \ep_{ikn} +    \frac{1}{3} \del_i^l \del_k^m \del_n^j  \right)    \tag{13.125} \\    C_{(kl)(ij)(mn)}^{{\bf 888} } &=& \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} \ep^{ljm} \ep_{kin} +    \frac{1}{3} \del_k^j \del_i^m \del_n^l  \right)     \tag{13.126} \end{eqnarray}\]

で与えられる。これらの係数は実数であるので  ${C_{8cb}^{\bf 888}}^* =C_{8cb}^{{\bf 888}} $ であり、8重項バリオン $b$ の質量は

\[\begin{eqnarray}    M_b & = & {\cal M}_{bb} \, = \, M_0  \, + \, \Delta M_b     \tag{13.127} \\    \Delta M_b &=& C_{\La bb}^{{\bf 888}} \, \al \, + \, C_{b \La b}^{{\bf 888}} \, \bt    \tag{13.128} \end{eqnarray}\]

とパラメータ表示できる。ただし、$\al$, $\bt$ は対応するクレブシュ-ゴルダン係数の還元行列要素に比例するパラメータである。上表の対応関係から

\[\begin{eqnarray}    C_{\La bb}^{{\bf 888}} &=& \frac{1}{\sqrt{6}}C_{(11) bb}^{{\bf 888}} +    \frac{1}{\sqrt{6}}C_{(22) bb}^{{\bf 888}} - \frac{2}{\sqrt{6}}C_{(33) bb}^{{\bf 888}}      \tag{13.129} \\    C_{b\La b}^{{\bf 888}} &=& \frac{1}{\sqrt{6}}C_{b(11) b}^{{\bf 888}} +    \frac{1}{\sqrt{6}}C_{ b(22)b}^{{\bf 888}} - \frac{2}{\sqrt{6}}C_{b(33) b}^{{\bf 888}}     \tag{13.130} \end{eqnarray}\]

と計算できる。よって、8重項バリオンそれぞれの質量差 $\Delta M_b$ は

\[\begin{eqnarray}    \Delta M_p \, = \, \Delta M_n &=& - \frac{1}{24 \sqrt{6}} (7 \al + \bt )    \tag{13.131} \\    \Delta M_{\Xi^-} \, = \, \Delta M_{\Xi^0} &=& - \frac{1}{24 \sqrt{6}} ( \al + 7 \bt )    \tag{13.132} \\    \Delta M_{\Si^\pm } \, = \, \Delta M_{\Si^0}  &=& \frac{1}{3 \sqrt{6}} ( \al +  \bt )    \tag{13.133} \\    \Delta M_{\La } &=& -  \frac{1}{3 \sqrt{6}} ( \al +  \bt )    \tag{13.134} \end{eqnarray}\]

と求まる。これらより、8重項バリオンの質量公式

\[    2 \left(  M_p +  M_{\Xi^0} \right) \, = \, 3  M_\La + M_{\Si^0}      \tag{13.135} \]

を簡単に導ける。これは5.4節で導出した質量公式(5.47)と同じである。

13. ウィグナーの $\D$ 関数とその応用 vol.6

13.3.2 ハドロン・スペクトル

ハドロン・スペクトルについては既に第5章で議論した。ここではウィグナー-エッカルトの定理の応用例の1つとしてハドロン・スペクトルを再考する。特に、軽クォークで構成される8重項バリオンと10重項バリオンに関する質量公式を $SU(3)$ 既約表現のクレブシュ-ゴルダン係数から直接導出できることを示す。

　ハドロンは強い相互作用で結合している粒子であり、これらはメソンとバリオンに分類される。ハドロンを支配する動力学は量子色力学 (QCD) であり、これは主に理論の摂動領域で計算可能である。低エネルギーのメソンとバリオンは３つの軽クォーク $(u, d, s)$ で構成される。ここでは群論を用いて低エネルギー・ハドロンの多重項、質量、相互作用について解析する。

　まず、相互作用の強度には次のような階層性があることに注目しよう。

\[    \mbox{$\rm{I}.$ 強い相互作用} ~ \gg ~    \underbrace{\mbox{$\rm{I}\hspace{-1pt}\rm{I}.$ 質量効果} ~ \gg ~    \mbox{$\rm{I}\hspace{-1pt}\rm{I}\hspace{-1pt}\rm{I}.$ $\, W_\pm , Z, A$} との相互作用}_{ \mbox{電弱相互作用} }    \tag{13.117} \]

ここで、$W_\pm , Z$ は弱い相互作用の $(W_\pm , Z)$-ボソン、$A$ は光子を表す。QCDの対称性は強度レベルⅠでは保存され、レベルⅡである程度破られ、レベルⅢではさらに破られる。レベルⅠでは強い力は３つ全ての軽クォーク $(u, d, s)$ に対して等しく働く。これは、$(u, d, s)$ の状態間にユニタリー変換 $(u^\prime ,d^\prime , s^\prime )^{T} = g (u, d, s)^{T}$ が存在することを意味する。ただし、$g$ は $U(3)$ 群の $3 \times 3$ 行列要素を表す。これらの行列要素は $g = e^{i \th} \tilde{g}$ とパラメータ表示できる。ここで、$\det \tilde{g} = 1$ であり、位相因子 $e^{i \th}$ は $U(3) = U(1) \times SU(3)$ の $U(1)$ 因子に対応する。よって、状態  $|q \ket = (u, d, s)^{T}$ は $SU(3)$ 群の ${\bf 3}$ 表現として変換する。（$SU(3)$ 群の既約表現については5.3節, 12.3節も参照されたい。）言い換えると、メソンとバリオンは SU(3) 群の既約表現である縮退多重項に分類される。この $SU(3)$ 群はフレーバー対称性と呼ばれる。エネルギー・レベルⅡでは、QCDの詳細が不明であっても、この理論のフレーバー対称性からハドロンのスペクトルを解析できる。

メソンとバリオンの多重項

　メソンはクォークと反クォークのペアで構成される。よって、13.1節で導いた関係式

\[ {\bf 3} \otimes {\bf 3}^*  \, =  \, {\bf 1} \oplus {\bf 8} \, , \tag{13.16} \]

から8重項メソンと1重項メソンが存在することが分かる。これらの多重項の典型的な例は5.4節で紹介した通り下表で与えられる。

スピン-0とスピン-1の最軽量メソンの一覧

\[ \begin{array}{|c | c | c|  c|  c|  c |} \hline &\mbox{スピン-0}&\mbox{質量}& \mbox{スピン-1}& \mbox{質量} & \mbox{クォーク構成}\\ && \mbox{(MeV)} && \mbox{(MeV)} &\\ \hline \mbox{1重項}& \eta^\prime & 958& \omega &783&  (u {\bar u} + d {\bar d} + s {\bar s})/\sqrt{3} \\ \hline & \pi^0 & 135& \rho^0 &775& (u {\bar u} - d {\bar d} )/\sqrt{2} \\ & \pi^+ &140& \rho^+ &775& u {\bar d} \\ & \pi^- &140& \rho^- &775& d {\bar u} \\ \mbox{8重項} & K^+ &494& K^{*+} &892& u {\bar s} \\ & K^- &494& K^{*-} &892& s {\bar u} \\ & K^0 &498& K^{*0} &896& d {\bar s} \\ & {\bar K}^0 &498& {\bar K}^{*0} &896& s {\bar d} \\ & \eta &548& \varphi &1019& ( u {\bar u} + d {\bar d} - 2 \,s {\bar s})/\sqrt{6} \\ \hline \end{array} \]

最近読んだ本：星新一著『明治・父・アメリカ』ほか

長女が入学早々大学から渡された本がこれ。

創立者・星一（はじめ）の半生記。手に取ってみると、稀代のストーリーテラーであり長男の星新一が著しているだけあって、興味深い内容ばかりで一気に読み進めました。出身地である福島勿来（なこそ）近くの明治維新前後の様子から始まり、当時の開放感や東京の描写は歴史的資料の価値あり。明治の初期に単身サンフランシスコに渡り、ユダヤ人家庭に住み込みで働きながらお金をため小学校で英語を学び、向上心を持ってニューヨークに渡り、行商・住み込みをしながらコロンビア大学で統計学の修士を取得されたという苦学しながらの立身出世物語にはただただ頭が下がり、背筋が伸びる思いでした。手帳など個人的な資料を基にしていることもあり、主人公の内面も丁寧に描写されているのでその気持ちがありありと想像でき、共感しながら読み進めました。私も時代も状況も全く違いますが、アメリカに一人で飛び込んでアリゾナ、ニューヨークに住んで苦学した経験があるので明治時代（いやエジソン・フォードの時代）の自由なアメリカの様子も知ることができ興味深かったです。星一は卒業後、なんとニューヨークで新聞社を立ち上げ、セントルイスの万博に参画したり、ヨーロッパを視察したりまさに外交官のような働きをします。実際、伊藤博文、後藤新平、野口英世など当時の偉人たちとの深い交流があったようです。

その後、帰国し製薬会社を興し、時流に乗って大成功。社員教育のための勉強会施設が今の星薬科大学の前身となったそうです。全く知りませんでした。さすがショートショートの第一人者だけあり、伝記物でありながら史実の羅列にならず、感情移入してしまうほどに引き込まれて読み終えました。

雪山入門 恵那山・安達太良山

前回に引き続き残雪期の雪山に挑戦してきました。久しぶりの百名山、恵那山。前日夜に出発して高速の駒ヶ岳SAで仮眠をとりました。