ソリトン数１のサイン-ゴルドン・ソリトンの tanh 解を ChatGPT に聞いたら即解決

サイン-ゴルドン方程式

\[   \left( \frac{\d^2}{\d t^2} - \frac{\d^2}{\d x^2} \right) \phi + \la \sin \phi \, = \, 0   ~~~ (\la > 0 )  \tag{1} \]

の静的な解は

\[ \phi \, = \, 4 \arctan \left( e^{ \sqrt{\la} x } \right) \tag{2} \]

で与えられる。$\phi$ の範囲を $[ 0 , 2 \pi ]$ に指定するとこれはソリトン数 $Q =1$ のソリトン解になる。これは良く知られている結果であり、以前にこちらでも解説した。しかし、このソリトン解を $\tanh$ で書き換える場合もある。$\tanh$ の範囲 $|\tanh x | < 1$ から $\pi + \pi \tanh ( a x) $ の形になることは想像できるが係数を決めるのは大変そう。おそらく $x=0$ での傾きを一致させて求めるのだろうけど微分めんどくさいなあとためらっていました。そこで、現代の利器 chatGPT に

approximate arctan(exp(a x)) by tanh(b x)

と聞いてみると、なんと25秒！で

\[ \arctan \left( e^{ a x } \right) \, \approx \, \frac{\pi}{4} \left(    1 + \tanh \frac{2 a}{ \pi} x  \right) \tag{3} \]

と答えてくれました。今更ながら、いや～スゴイ。これからもお世話になります！

　ということで、式(2)は

\[ \phi \, \approx \, \pi \, + \, \pi \tanh  \frac{2 \sqrt{\la}}{ \pi} x  \tag{4} \]

と変形できることが分かりました。GeoGebra でグラフにすると

オンラインで何でもできるようになってありがたい。けど、本当に無料でいいのでしょうか？