15. ソリトン vol.1

15.1  サイン-ゴルドン・ソリトン解

ソリトンとはざっくり言うと非線型方程式の古典解のことである。この節ではサイン-ゴルドン模型と呼ばれる物理モデルにおける $(1+1)$ 次元のソリトンを考える。スカラー場 $\phi ( t, x)$ を用いると、このモデルはラグランジアン

\[    \L \, = \, \hf \left(    \dot{\phi}^2 - \phi^{\prime 2}    \right)    - \la ( 1 - \cos \phi )    \tag{15.1} \]

で記述される。ただし、$\dot{\phi} = \frac{\d}{\d t} \phi (t, x)$, $\phi^\prime = \frac{\d}{\d x} \phi (t, x)$ であり、$\la$ は正の定数である。これより、運動方程式は

\[    \square \, \phi + \la \sin \phi \, = \, 0    \tag{15.2} \]

と求まる。ただし、$\square = \d_t^2 - \d_x^2$ である。これはサイン-ゴルドン方程式と呼ばれる。（サイン-ゴルドン方程式とそのソリトン解についてはこちらのノートも参考にされたい。）$\la = 0$ の場合方程式(15.2)は質量ゼロのクライン-ゴルドン方程式になる。「サイン-ゴルドン」の用語はこの方程式名をもじって（おそらくクラインの了承なしに）付けられた。ラグランジアン(15.1)に対応するハミルトニアンは

\[    \H \, = \, \int dx \left(    \frac{\dot{\phi}^2 + \phi^{\prime 2} }{2} + \la ( 1 - \cos \phi )    \right)    \tag{15.3} \]

で与えられる。

　つぎに、サイン-ゴルドン方程式(15.2)のあるタイプの解について考えよう。ハミルトニアン $\H$ は正なので境界条件

\[    \begin{array}{rc}    \phi^\prime \, \rightarrow \, 0  &  \mbox{$( x \rightarrow \pm \infty )$}    \\    (1 - \cos \phi ) \, \rightarrow \, 0 &  \mbox{$( x \rightarrow \pm \infty )$}    \\    \end{array}    \tag{15.4} \]

を課すと、有限エネルギーを持つ解が得られる。よって、境界が $\phi (t, \pm \infty ) = 2 \pi n$ $( n \in \mathbb{Z} )$ で与えられるときに有限エネルギーを持つ解が存在する。例えば、境界を

\[    \phi (t , - \infty ) = 0 \, , ~~ \phi ( t,  \infty ) = 2 \pi    \tag{15.5} \]

に固定できる。$\phi$ の古典的な時間発展は $\phi$ の滑らかな変形で与えられる。従って、(15.5)の解が存在するならその解は古典的には完全に安定している。特に、解(15.5)はキンク解と呼ばれる。$\phi$ の滑らかな変形のもとで、キンク解は変位はしても決して無くならない。つまり、キンクの配位は保存される。よって、キンクの数を

\[    Q \, = \, \frac{ \phi (t, \infty ) - \phi (t,  - \infty ) }{ 2 \pi }  \tag{15.6} \]

と定義できる。これはソリトン数と呼ばれる。(15.5)の場合は $Q = 1$ に対応する。

　ソリトン数は保存するのでこれは電荷と解釈できる。よって、$Q$ を

\[    Q \, = \, \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ \d \phi}{\d x} dx    \, \equiv \, \int J_0 \, dx    \tag{15.7} \]

と表せる。ただし、$J_0  = \frac{1}{2\pi} \frac{\d}{\d x} \phi  = \frac{1}{2\pi} \d_1 \phi$ は電荷密度を表す。このとき、相対論的な２元電流密度は

\[    J_\mu \, = \, \frac{1}{2 \pi} \ep_{\mu\nu}  \, \d_{\nu} \phi     \tag{15.8} \]

と定義される。２元電流密度の保存は

\[    \d_\mu J_\mu \, = \, \frac{1}{2\pi} \ep_{\mu\nu} \, \d_\mu \d_\nu \phi    \, = \, 0   \tag{15.9} \]

から簡単に確認できる。これらの結果は運動方程式を使わずに導かれた。$J_\mu$ の保存則は単に数学的な恒等式であり、これはソリトン解の１つの特徴である。

　ソリトン数 $Q$ をもつソリトン解 $\phi$ の滑らかな変形は $\widetilde{\phi} = \phi + \chi$ と書ける。ただし、$\chi (t, x)$ は $\phi$ からの揺らぎを表し、境界条件 $\chi (t, - \infty) = \chi (t,  \infty ) = 0$ あるいはより一般に $\chi ( t, - \infty) = \chi (t , \infty )$ を満たす。式(15.7)から $\widetilde{\phi}$ の電荷は

\[ {Q} \, = \, \frac{1}{2\pi} \int ( \d_x \phi + \d_x \chi )  \, dx    \, = \, Q + \frac{1}{2 \pi }\int  \d_x \chi \, d x \, = \, Q    \tag{15.10} \]

と計算できる。よって、ソリトン数 $Q$ は確かに $\phi$ の滑らかな変形のもとで保存される。任意のソリトン数 $Q$ のソリトンは $Q=1$ のソリトンから構成できるので、これらのソリトンの本質は境界条件(15.5)を満たすソリトンの存在にある。

　ここで、汎関数

\[    u (t, x) \, = \, \exp (i \phi )    \tag{15.11} \]

を導入する。ただし、$u (t, x)$ は同一の境界値 $u(t, - \infty ) = u (t, \infty )$ を持つとする。関係式 $\dot{\phi} = -i u^\dagger \dot{u}$, $\phi^\prime = - i u^\dagger \d_x u$ から、ハミルトニアン(15.3)は

\[    \H \, = \, \int dx \left[    \frac{1}{2} \dot{u}^\dagger \dot{u}    + \frac{1}{2}  \d_x u^\dagger \d_x u  + \la \left(    1 - \frac{u + u^\dagger}{2}    \right)    \right]    \tag{15.12} \]

と書き換えられる。固定時間において $u(t , x)$ は写像

\[    u( x) \, : \, \mathbb{R} \, \longrightarrow \, S^1     \tag{15.13} \]

を与える。これは、$\H$ の被積分関数つまりエネルギー密度が $S^1$ の値をもつ関数の関数（汎関数）であることを意味する。積分範囲は $[ 0, 2 \pi n ]$ とおけるので、$Q = \frac{1}{2\pi} \int dx \d_x \phi$ は $\phi (t, x)$ が $x = - \infty$ から $x = + \infty$ まで移動する間に円周 $S^1$ を何周するかを数える巻き数であると解釈できる。写像(15.13)は14.5節のシグマ模型における写像(14.128)と類似している。よって、この円周 $S^1$ はサイン-ゴルドン系の標的空間と見做せる。定義より、$Q$ は整数なので自動的に $\dot{Q} = 0$ である。$u( t, x)$ が $u(t, - \infty ) = u (t, \infty ) = 1$ を満たし、$S^1$ 構造を保つ限り、この結果は摂動的にも成り立つ。異なる $Q$ の間の相互作用は存在しないので、$Q$ は量子力学的にも保存されると考えられる。

　相対論的な２元電流密度は $u$ を用いて

\[    J_\mu \, = \, \frac{1}{2 \pi} \ep_{\mu\nu} \, \d_\nu \phi    \, = \, - \frac{i}{2 \pi} \ep_{\mu\nu} \, u^\dagger \d_\nu u    \tag{15.14} \]

と表せる。$J_\mu$ の特性をまとめると

1.   $\d_\mu J _\mu = 0$ は恒等式である。（運動方程式は必要ない。）
2.   $Q = \int J_0 \, dx $ は写像  $u( x): \mathbb{R} \rightarrow S^1$ の巻き数である。
3.   $J_\mu$ の変分 $\del J_\mu$ は発散量である。

となる。これらは $Q$ がトポロジカル不変量であることを示している。

ソリトン解の存在

　ここで、$u(x): \mathbb{R}  \rightarrow S^1$ となる全ての関数を考える。これは $Q \in \mathbb{Z}$ でラベルされる無限個の非連結セクターからなる無限次元空間を構成する（下図参照）。

$Q \ne 0$ セクターの配位は静的なサイン-ゴルドン方程式

\[    - \d_x^2 \phi + \la \sin \phi \, = \, 0     \tag{15.15} \]

の解として求められる。例えば、$C_1$ を $Q=1$ セクターの $\phi$ の配位とする。ことのき、静的なハミルトニアン

\[    \H \, = \, \int dx \left(    \hf ( \d_x \phi )^2 + \la ( 1- \cos \phi )    \right)     \tag{15.16} \]

は写像 $\H : C_1 \rightarrow  \mathbb{R} $ を与える。この $\H$ を最小化する配位から $Q=1$ ソリトンが得られる。領域 $\phi \in [ 0 , 2 \pi ]$ で(15.15)を解くと、$Q=1$ ソリトンは確かに存在し、

\[    \phi \, = \, 4 \arctan \left( e^{ \sqrt{\la} x } \right)     \tag{15.17} \]

と表せる。近似公式

\[    \arctan \left( e^{ a x } \right) \, \approx \, \frac{\pi}{4} \left(    1 + \tanh \frac{2 a}{ \pi} x  \right)  \tag{15.18} \]

を用いると、この $Q=1$ ソリトンは

\[    \phi \, \approx \, \pi \, + \, \pi \tanh  \frac{2 \sqrt{\la}}{ \pi} x     \tag{15.19} \]

とも表せる。$a = \sqrt{\la}$ を適当に固定すると、これらの解は次のように図示できる。

　ローレンツ変換を施すと動的な解

\[    \phi \, \approx \,  \pi \, + \, \pi \tanh \frac{2 \sqrt{\la}}{ \pi} \frac{( x - vt)}{\sqrt{1 - v^2}}     \tag{15.20} \]

が求まる。ただし、$v$ は運動速度を表す。エネルギー分布の時間発展は孤立波のように振る舞うことに注意しよう。孤立波の特性から、動的なソリトンの配位は衝突時に重ね合わされる。また、電荷あるいはソリトン数の総和 $Q_{\rm tot}$ は保存される。ソリトンと反ソリトンの衝突では $Q_{\rm tot} = 0$ となる。つまり、これらは互いに消滅する。この意味でソリトンはある種の粒子と見做すことができる。