15.2 (3+1)次元のソリトン
この節では空間３次元のソリトンを考える。$\mathbb{R}^3$ 上の座標を $x_i$ ($i=1,2,3$) とする。３次元球面 $S^3$ のステレオ射影により $S^3$ は $x_i$ を用いて、
\[ y_i \, = \, \frac{2 x_i}{1 + r^2} \, , ~~~~~ y_4 \, = \, \frac{1- r^2}{1+ r^2} \tag{15.21} \]
とパラメータ表示できる。ただし、$r^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$ である。これは $\mathbb{R}^3$ 上の配位と $S^3$ の配位を同一視できることを意味する。パラメータ表示(15.21)は12.2節で見た２次元球面のステレオ射影
\[ x_1 = \frac{z + \bz }{1 + z\bz} \, , ~~~ x_2 = i \frac{z - \bz }{1 + z\bz} \, , ~~~ x_3 = \frac{1 - z \bz }{1 + z\bz} \tag{12.49} \]
の３次元版になっている。
また、$S^3 \simeq SU(2)$ から、$SU(2)$ 群の要素で $S^3$ の座標を表せる。群の要素 $g \in SU(2)$ は $g^\dag g = 1$, $\det g = 1$ を満たす。12.2節の(12.20)で示したように、$g$ は $2 \times 2$ パウリ行列 $\si_i$ を用いて
\[ g (x) \, = \, a (x) + i b_i (x) \, \si_i \tag{15.22} \]
とパラメータ表示できる。ただし、$a$, $b_i$ ($i=1,2,3$) は $\vec{x}$ の関数であり、
\[ a^2 + b_i^2 \, = \, 1 \tag{15.23} \]
を満たす。これは $g(x)$ が写像
\[ g(x) \, : \, \mathbb{R}^3 \, \longrightarrow \, S^3 \tag{15.23} \]
を与えることを意味する。よって、$g(x)$ は前節における
\[ u( x) \, : \, \mathbb{R} \, \longrightarrow \, S^1 \tag{15.13} \]
の3次元空間への拡張と考えられる。写像(15.23)の巻き数を $Q [g]$ とする。ステレオ射影表示(15.21)は$\mathbb{R}^3$ と $S^3$ の配位を一対一に対応させるので、(15.22)で $a = y_4$, $b_i = y_i$ と同定すると定義より $Q = 1$ となる。今節ではこの $Q=1$ ソリトン解について詳しくみていく。
保存カレントとトポロジカル不変量
前節の場合、相対論的な２元電流密度は $u (x) = \exp ( i \phi )$ を用いて
\[ J_\mu \, = \, \frac{1}{2 \pi} \ep_{\mu\nu} \, \d_\nu \phi \, = \, - \frac{i}{2 \pi} \ep_{\mu\nu} \, u^\dagger \d_\nu u \tag{15.14} \]
と表せた。同様に、(3+1)次元における相対論的な４元電流密度（４元カレント）は
\[ J_\mu \, = \, C \, \ep_{\mu\nu\al\bt} \, \Tr \left( g^{-1} \d_\nu g ~ g^{-1} \d_\al g ~ g^{-1} \d_\bt g \right) \tag{15.25} \]
の形に表せると推測できる。ただし、$C$ は規格化定数である。（$g$ は非アーベル型群の要素であり行列で表される基底を持つためトレースが必要になる。）以下では、運動方程式を用いずに $J_\mu$ が保存するかどうかを見てみる。関係式
\[ \d_\mu ( g^{-1} \d_\nu g ) \, = \, - g^{-1} \d_\mu g ~ g^{-1} \d_\nu g \, + \, g^{-1} \d_\mu \d_\nu g \tag{15.26} \]
と添え字 $(\mu , \nu , \al , \bt )$ の反交換関係から $\d_\mu J_\mu$ は
\[ \d_\mu J_\mu \, = \, - \, C \, \ep_{\mu\nu\al\bt} \, \Tr \left( I_\mu I_\nu I_\al I_\bt + I_\nu I_\mu I_\al I_\bt + I_\nu I_\al I_\mu I_\bt \right) \tag{15.27} \]
と計算できる。ただし、$I_\mu$ は $I_\mu = g^{-1} \d_\mu g$ で定義される。右辺の第一項は
\[\begin{eqnarray} \ep_{\mu\nu\al\bt} \, \Tr ( I_\mu I_\nu I_\al I_\bt ) & = & \ep_{\mu\nu\al\bt} \, \Tr ( I_\bt I_\mu I_\nu I_\al ) \, = \, - \ep_{\bt \mu\nu\al} \, \Tr ( I_\bt I_\mu I_\nu I_\al ) \nonumber \\ & = & - \ep_{\mu\nu\al\bt} \, \Tr ( I_\mu I_\nu I_\al I_\bt ) \, = \, 0 \tag{15.28} \end{eqnarray}\]
と計算できる。同様に、他の項もゼロになることが分かる。したがって、(15.25)の４元カレント $J_\mu$ は $\d_\mu J_\mu = 0$ を満たし、確かに保存する。
\[ Q [g] \, = \, \int d^3 x \, J_0 \, = \, C \, \int d^3 x \, \ep_{ijk} \, \Tr ( I_i I_j I_k ) \tag{15.29} \]
と定義できる。ただし、$I_i$ は $I_i = g^{-1} \d_i g$ $(i = 1,2,3)$ である。ここで、$SU(2)$ 群の別の要素 $h$ を導入して変換 $g \rightarrow gh$ を考える。このとき $I_i$ の変換は
\[ I_i = g^{-1} \d_i g \, \rightarrow \, h^{-1} ( g^{-1} \d_i g ) h + h^{-1} \d_i h \, = \, h^{-1} ( I_i + \d_i h \, h^{-1} ) h \tag{15.30} \]
と書ける。式(15.29)と(15.30)から電荷 $Q[ gh] $ は
\[\begin{eqnarray} Q [ gh ] &=& C \int d^3 x \, \ep_{ijk} \, \Tr \left[ (I_i + \d_i h \, h^{-1} )(I_j + \d_j h \, h^{-1} )(I_k + \d_k h \, h^{-1} ) \right] \nonumber \\ &=& C \int d^3 x \, \ep_{ijk} \,\Tr ( I_i I_j I_k ) \nonumber \\ && \!\!\! + \, C \int d^3 x \, \ep_{ijk} \,\Tr ( \d_i h \, h^{-1} I_j I_k + I_i \d_j h \, h^{-1} I_k + I_i I_j \d_k h \, h^{-1} ) \nonumber \\ && \!\!\! + \, C \int d^3 x \, \ep_{ijk} \,\Tr ( \d_i h \, h^{-1} \d_j h \, h^{-1} I_k + \d_i h \, h^{-1} I_j d_k h \, h^{-1} + I_i \d_j h \, h^{-1} \d_k h \, h^{-1} ) \nonumber \\ && \!\!\! + \, C \int d^3 x \, \ep_{ijk} \,\Tr ( \d_i h \, h^{-1} \, \d_j h \, h^{-1} \, \d_k h \, h^{-1} ) \nonumber \\ &=& Q [g] + Q [h] + 3C \int d^3 x \, \ep_{ijk} \,\Tr ( \d_i h \, h^{-1} I_j I_k + \d_i h \, h^{-1} \d_j h \, h^{-1} I_k ) \tag{15.31} \end{eqnarray}\]
と計算できる。最後の項の被積分関数は発散量である。これは次のように分かる。関係式
\[\begin{eqnarray} \d_j (\d_i h \, h^{-1}) &=& \d_j \d_i h \, h^{-1} + \d_i h \d_j h^{-1} \nonumber \\ & = & \d_j \d_i h \, h^{-1} - \d_i h \, h^{-1} \d_j h \, h^{-1} \tag{15.32}\\ \d_j I_k &=& - g^{-1} \d_j g \, g^{-1} \d_k g + g^{-1} \d_j \d_k g \tag{15.33} \end{eqnarray}\]
に注意すると、
\[ \d_j \, \ep_{ijk} \, \Tr ( \d_i h \, h^{-1} I_k ) \, = \, - \ep_{ijk} \, \Tr ( \d_i h \, h^{-1} I_j I_k + \d_i h \, h^{-1} \d_j h \, h^{-1} I_k ) \tag{15.34} \]
を得る。よって、(15.31)の最後の項は
\[\begin{eqnarray} && 3C \int d^3 x \, \ep_{ijk} \, \Tr ( \d_i h \, h^{-1} I_j I_k + \d_i h \, h^{-1} \d_j h \, h^{-1} I_k ) \nonumber \\ &=& - 3 C \int d^3 x \, \d_j \, \ep_{ijk} \, \Tr ( \d_i h \, h^{-1} I_k ) \, = \, 0 \tag{15.35}\end{eqnarray}\]
と計算できる。したがって、$Q[gh]$ は
\[ Q [gh] \, = \, Q [g] \, + \, Q [h] \tag{15.36} \]
と求まる。$h$ が小さな摂動（全ての $\vec{x}$ に対して恒等変換の近傍）であるとき、$Q[h] = 0$ となるので、(15.36)から $Q[gh] = Q[g]$ となる。つまり、$Q[g]$ は $g$ の微小変化のもとで不変である。言い換えると、$Q[g]$ は写像 $g(x): \mathbb{R}^3 \rightarrow SU(2)\simeq S^3$ に対するトポロジカル不変量である。
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