ソリトン数１のスキルミオン解を ChatGPT に聞いたら答えが怪しかったので自力で計算してみた件

ここで、スキルミオンは $(3+1)$ 次元のソリトン解を指す。前回、サイン-ゴルドン方程式で扱った $(1+1)$ 次元のソリトン解を３次元空間に拡張したものに当たる。このソリトン数（巻き数）は

\[    Q [g]  \, = \,    \frac{1}{24 \pi^2} \, \int d^3 x \, \ep_{ijk} \Tr ( g^{-1} \d_i g \, g^{-1} \d_j g \, g^{-1} \d_k g \, )     \tag{1} \]

で与えられる。ただし、$g$ は $SU(2)$ 群の要素であり、$g^\dag g = 1$, $\det g = 1$ を満たす。パウリ行列を用いると $g$ は

\[    g (x) \, = \, a (x)  {\bf 1} +  i b_i (x) \, \si_i    \tag{2} \]

とパラメータ表示できる。ここで、$a$, $b_i$ $( i=1,2,3 )$ は $\vec{x}$ の関数であり条件式

\[    a^2 + b_i^2 \, = \, 1   \tag{3} \]

を満たす。これより、$g(x)$ は写像

\[    g(x) \, : \,  \mathbb{R}^3 \, \longrightarrow \, S^3     \tag{4} \]

を与えることが分かる。

　３次元球面 $S^3$ のステレオ射影を用いると $a$, $b_i$ は

\[     a  =  \frac{1- r^2}{1+ r^2} \, , ~~~~~ b_i  =  \frac{2 x_i}{1 + r^2}  \tag{5} \]

とパラメータ表示できる。ただし、$r^2  = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$ である。ステレオ射影により $S^3$ 上の配位は $\mathbb{R}^3$ 上の配位と等価なのでこのパラメータ表示は巻き数１に対応する。すなわち、式(2), (5)を(1)に代入すると $Q = 1$ が得られる（はずである）。これは良く知られている結果であるが、係数 $1/ 24 \pi^2$ が本当に正しいのだろうか。実際に手を動かしてみるとこの計算は自明でない。そこで、困ったときの ChatGPT 頼みということで、

calculate winding number for skyrmions using stereographic parametrization

calculate $Q=1$ winding number for skyrmions using stereographic parametrization

などとして聞いてみた。が、どうも回答が統一しない。何度か試しても同じだったので結局自力で計算することにした。

　求めたいのは式(1)なので先ず $I_i =  g^{-1} \d_i g$ を計算しよう。

\[ I_i = g^{-1} \d_i g = (  a  {\bf 1}  -  i b_\al  \si_\al  )  \d_i (  a  {\bf 1}  + i b_\bt   \si_\bt  ) \tag{6} \]

ただし、$a$ と $b_\bt$ の微分はそれぞれ

\[ \begin{eqnarray} \frac{\d}{\d x_i } a &=& - \frac{4 x_i}{(1+r^2)^2} \, = \, - \frac{2b_i}{1+r^2} \tag{7} \\  \frac{\d}{\d x_i } b_\bt &=& \frac{2}{1+r^2} \left( \del_{i \bt} - \frac{2 x_i x_\bt }{1+ r^2} \right) \, = \, \frac{2}{1+r^2} \del_{i \bt} - b_i b_\bt  \tag{8} \end{eqnarray} \]

と書ける。よって、

\[ \begin{eqnarray} I_i &=& (  a  {\bf 1}  -  i b_\al   \si_\al ) \left(  - \frac{2 b_i}{1+r^2} {\bf 1} + \frac{i 2}{1+r^2} \si_{i} - i b_i b_\bt \si_\bt \right) \nonumber \\ &=& \frac{ 2 b_i }{ 1+ r^2 } \left( -a + 1 -  \frac{1+ r^2}{2 } b_\al b_\al  \right) {\bf 1} + i \si_\al \frac{2}{1+r^2} \left( a \del_{\al i} - \frac{1+r^2}{2} a b_i b_\al + b_i b_\al + \ep_{i \al \bt } b_\bt \right)\nonumber \\ &=&i \si_\al \frac{2}{1+r^2} \left( a \del_{\al i} + x_i b_\al  + \ep_{i \al \bt } b_\bt \right) \nonumber \\ & \equiv & i \si_\al  A_{\al i} \tag{9} \\ \end{eqnarray} \]

となる。ただし、$\si_\al \si_\bt = \del_{\al \bt } {\bf 1} + i \ep_{\al \bt \ga} \si_\ga$ を用いた。これより、

\[ \Tr ( I_i I_j I_k ) \, = \,  - i \Tr ( \si_\al \si_\bt \si_\ga ) A_{\al i} A_{\bt j} A_{\ga k} \, = \, 2  \ep_{\al \bt \ga}  A_{\al i} A_{\bt j} A_{\ga k} \tag{10} \]

が分かる。ただし、$ \Tr ( \si_\al \si_\bt \si_\ga ) = i 2\ep_{\al \bt \ga} $ を用いた。$\ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k )$ は次のように展開できる。

\[ \begin{eqnarray} && \ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k ) \nonumber \\ &=& 2 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3 \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} ( a \del_{\al i} + x_i b_\al  + \ep_{i \al l } b_l )  ( a \del_{\bt j} + x_j b_\bt  + \ep_{j \bt m } b_m )  ( a \del_{\ga k} + x_k b_\ga  + \ep_{k \ga n } b_n ) \tag{11} \end{eqnarray} \]

ゼロでない項は

\[\begin{eqnarray}  \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a^3 \del_{\al i } \del_{\bt j} \del_{\ga k } & = & \ep_{ijk} \ep_{ijk} a^3 \, = \, 6 a^3 \tag{12} \\\ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a^2 x_k b_\ga  \del_{\al i } \del_{\bt j} & = &  \ep_{ijk} \ep_{ij\ga} a^2 x_k b_\ga \, = \, 2 \del_{k \ga} a^2 x_k b_\ga \, = \, 2 a^2 \vec{x} \cdot \vec{b} \tag{13} \\ \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a  b_m b_n \del_{\al i } \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} & = &  \ep_{ijk} \ep_{i \bt\ga}  \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} a  b_m b_n  \, = \, - \ep_{j \bt m} \ep_{\bt j n} a b_m b_n \, = \, 2 a \vec{b} \cdot \vec{b} \tag{14} \\  \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} x_i b_\al  b_m b_n \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} & = &  \ep_{ijk} \ep_{j \bt m} \ep_{\al \bt\ga}  \ep_{k \ga n} x_i b_\al b_m b_n  \, = \,  \ep_{\al \bt \ga} \ep_{\bt \ga n} x_i b_\al  b_i b_n \, = \, 2 \vec{x} \cdot \vec{b} \, \vec{b} \cdot \vec{b} \tag{15} \end{eqnarray} \]

から得られるので、まとめると

\[\begin{eqnarray} \ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k ) &=& 2  \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3 \left( 6 a^3 +  2 a^2 \vec{x} \cdot \vec{b} \times 3 +  2 a \vec{b} \cdot \vec{b} \times 3 + 2 \vec{x} \cdot \vec{b} \, \vec{b} \cdot \vec{b} \times 3 \right) \nonumber \\ &=& 12  \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3  \left[ a^2 \left( a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } \right) + \left(\frac{2}{1+r^2 }  \right)^2 r^2 \left( a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } \right) \right] \nonumber \\ &=& 12 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3 \tag{16} \end{eqnarray} \]

と表せる。ただし、式(5)から明らかなように

\[\begin{eqnarray}  a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } &=& 1 \nonumber \\  a^2 + \left(\frac{2}{1+r^2 }  \right)^2 r^2 &=& \left(\frac{1}{1+r^2 }  \right)^2 \left[ (1 - r^2)^2 + 4 r^2 \right] \, = \, 1  \end{eqnarray} \]

が成り立つことに注意しよう。以上より、(2), (5)で定義される $g$ をソリトン数 $Q [g]$ に代入すると確かに

\[\begin{eqnarray} Q [g] &=& \frac{1}{24 \pi^2 } \int d^3 x  \, \ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k ) \, = \,  \frac{1}{24 \pi^2 } \int d^3 x \, 12 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3 \nonumber \\ &=&  \frac{16}{\pi } \int \frac{r^2}{(1+ r^2 )^3 } dr \, = \, 1 \tag{17} \end{eqnarray} \]

と求まる。ただし、積分測度を $d^3 x = 4 \pi r^2 dr$ と変換し

\[ \int_0^\infty  \frac{r^2}{(1+ r^2 )^3 } dr \, = \, \frac{\pi}{16} \]

を用いた。