15. ソリトン vol.3

前回は(3+1)次元ソリトンのトポロジカル不変量が保存電荷

\[  Q [g] \, = \, \int d^3 x \, J_0   \, = \,   C \, \int d^3 x \, \ep_{ijk} \, \Tr ( I_i I_j I_k )  \tag{15.29} \]

で与えられることを見た。以下では、$Q=1$ のソリトン解から規格化定数 $C$ を 決定する。

規格化

　トポロジカル不変量は写像

\[    g(x) \, : \, \mathbb{R}^3 \, \longrightarrow \, S^3    \tag{15.24} \]

の巻き数に対応する。前回議論したように、群の要素をステレオ射影表示すると $Q[g ] = 1$ ソリトンが得られる。そのような要素は

\[    g_1 (x) \, = \, a (x) {\bf 1} + i b_{i} (x) \si_i ~~~( i = 1,2,3 )    \tag{15.37} \]

で与えられる。ただし、

\[    a (x) = \frac{1 - r^2}{1+ r^2} \, , ~~~    b_{i} (x)  = \frac{2 x_i}{1+ r^2}    \tag{15.38} \]

$( r^2  = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 )$ である。以下では、巻き数(15.29)の規格化定数 $C$ を定義式 $Q[g_1 ] = 1$ から求める。

　まず、$I_i =  g_{1}^{-1} \d_i g_{1}$ は

\[    I_i = g_{1}^{-1} \d_i g_{1} \, = \, (  a  {\bf 1}  -  i b_\al  \si_\al  )  \d_i (  a  {\bf 1}  + i b_\bt   \si_\bt  )     \tag{15.39} \]

と計算できる。$a$, $b_\bt$ の微分は

\[\begin{eqnarray}    \frac{\d}{\d x_i } a &=& - \frac{4 x_i}{(1+r^2)^2} \, = \, - \frac{2b_i}{1+r^2}  \tag{15.40} \\    \frac{\d}{\d x_i } b_\bt &=& \frac{2}{1+r^2} \left( \del_{i \bt} - \frac{2 x_i x_\bt }{1+ r^2} \right)    \, = \, \frac{2}{1+r^2} \del_{i \bt} - b_i b_\bt   \tag{15.41} \end{eqnarray}\]

と表せる。よって、

\[\begin{eqnarray}    I_i &=& (  a  {\bf 1}  -  i b_\al   \si_\al ) \left(  - \frac{2 b_i}{1+r^2} {\bf 1} +    \frac{i 2}{1+r^2} \si_{i} - i b_i b_\bt \si_\bt \right) \nonumber \\    &=& \frac{ 2 b_i }{ 1+ r^2 } \left( -a + 1 -  \frac{1+ r^2}{2 } b_\al b_\al  \right) {\bf 1} \nonumber \\    && ~~ \hspace{2cm} + \,  i \si_\al \frac{2}{1+r^2}    \left( a \del_{\al i} - \frac{1+r^2}{2} a b_i b_\al + b_i b_\al + \ep_{i \al \bt } b_\bt \right)\nonumber \\    &=&i \si_\al \frac{2}{1+r^2} \left( a \del_{\al i} + x_i b_\al  + \ep_{i \al \bt } b_\bt \right) \nonumber \\    & \equiv & i \si_\al  A_{\al i}   \tag{15.42} \end{eqnarray}\]

と計算できる。ただし、関係式 $\si_\al \si_\bt = \del_{\al \bt } {\bf 1} + i \ep_{\al \bt \ga} \si_\ga$ を用いた。これより、トレース $\Tr ( I_i I_j I_k )$ は

\[    \Tr ( I_i I_j I_k ) \, = \,  - i \Tr ( \si_\al \si_\bt \si_\ga ) A_{\al i} A_{\bt j} A_{\ga k}    \, = \, 2  \ep_{\al \bt \ga}  A_{\al i} A_{\bt j} A_{\ga k}    \tag{15.43} \]

と表せる。ただし、$ \Tr ( \si_\al \si_\bt \si_\ga ) = i 2\ep_{\al \bt \ga} $ を用いた。よって、因子 $\ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k )$ は

\[\begin{eqnarray}    \ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k )  \!   &=& \! 2 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3    \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} \, ( a \del_{\al i} + x_i b_\al  + \ep_{i \al l } b_l )    \nonumber \\    && ~\hspace{2cm} \times   ( a \del_{\bt j} + x_j b_\bt  + \ep_{j \bt m } b_m )  ( a \del_{\ga k} + x_k b_\ga  + \ep_{k \ga n } b_n )    \tag{15.44} \end{eqnarray}\]

と書ける。この内ゼロでない項は

\[\begin{eqnarray}    \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a^3 \del_{\al i } \del_{\bt j} \del_{\ga k } & = & \ep_{ijk} \ep_{ijk} a^3 \, = \, 6 a^3    \tag{15.45} \\    \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a^2 x_k b_\ga  \del_{\al i } \del_{\bt j} & = &  \ep_{ijk} \ep_{ij\ga} a^2 x_k b_\ga    \nonumber \\    &=& 2 \del_{k \ga} a^2 x_k b_\ga \, = \, 2 a^2 \vec{x} \cdot \vec{b}    \tag{15.46} \\    \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a  b_m b_n \del_{\al i } \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} & = &    \ep_{ijk} \ep_{i \bt\ga}  \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} a  b_m b_n    \nonumber \\    & = & - \ep_{j \bt m} \ep_{\bt j n} a b_m b_n   \, = \, 2 a \vec{b} \cdot \vec{b}    \tag{15.47} \\    \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} x_i b_\al  b_m b_n \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} & = &    \ep_{ijk} \ep_{j \bt m} \ep_{\al \bt\ga}  \ep_{k \ga n} x_i b_\al b_m b_n    \nonumber \\    & = &  \ep_{\al \bt \ga} \ep_{\bt \ga n} x_i b_\al  b_i b_n \, = \, 2 \vec{x} \cdot \vec{b} \, \vec{b} \cdot \vec{b}    \tag{15.48} \end{eqnarray}\]

などから得られるので、まとめると

\[\begin{eqnarray}    && \ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k ) \nonumber \\    &=& 2  \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3    \left( 6 a^3 +  2 a^2 \vec{x} \cdot \vec{b} \times 3 +  2 a \vec{b} \cdot \vec{b} \times 3    + 2 \vec{x} \cdot \vec{b} \, \vec{b} \cdot \vec{b} \times 3 \right)    \nonumber \\    &=& 12  \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3  \left[ a^2 \left( a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } \right)    + \left(\frac{2}{1+r^2 }  \right)^2 r^2 \left( a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } \right) \right]    \nonumber \\    &=& 12 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3    \tag{15.49} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、関係式

\[\begin{eqnarray}    a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } &=& 1     \tag{15.50} \\    a^2 + \left(\frac{2}{1+r^2 }  \right)^2 r^2 &=& \left(\frac{1}{1+r^2 }  \right)^2 \left[ (1 - r^2)^2 + 4 r^2 \right] \, = \, 1    \tag{15.51} \end{eqnarray}\]

を用いた。式(15.29)と式(15.49)から $Q[g_1 ]$ は

\[\begin{eqnarray}    Q [ g_1 ] &=&  C \, \int d^3 x \, \ep_{ijk} \, \Tr ( I_i I_j I_k ) \, = \,  C \, \int d^3 x  12 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3    \nonumber \\    &=& C \cdot 12 \cdot 8  \, \int \frac{ 4 \pi r^2}{ (1+ r^2 )^2 } dr \, = \, C \cdot 24 \pi^2    \tag{15.52} \end{eqnarray}\]

と求まる。ただし、積分測度を $d^3 x = 4 \pi r^2 dr$ と変換し

\[    \int_0^\infty  \frac{r^2}{(1+ r^2 )^3 } dr \, = \, \frac{\pi}{16}  \tag{15.53} \]

を用いた。したがって、定義式 $Q [ g_1 ] = 1$ より規格化定数は

\[    C \, = \, \frac{1}{24 \pi^2}     \tag{15.54} \]

とおける。

巻き数

　これまで、写像 $g (x ) : \mathbb{R}^3 \rightarrow S^3$ の巻き数が

\[    Q [g]  \, = \,    \frac{1}{24 \pi^2} \, \int d^3 x \, \ep_{ijk} \Tr ( g^{-1} \d_i g \, g^{-1} \d_j g \, g^{-1} \d_k g \, )     \tag{15.55} \]

と求まることを見てきた。上の計算結果から

\[    Q [ {\bf 1} ] = 0 \, , ~~~ Q[ g_1 ] = 1    \tag{15.56} \]

が分かる。ただし、$g_1$ は(15.38)で与えられる。前回導いた関係式

\[    Q [gh] \, = \, Q [g] \, + \, Q [h]     \tag{15.36} \]

を用いると $g_2 = g_1 g_1$ の巻き数は

\[    Q [ g_2 ] \, = \, Q [g_1 ] + Q [ g_1 ] \, = \, 2    \tag{15.57} \]

と表せる。同様に、$Q [g] = 3,4, \cdots$ となる配位を求めることができる。また、恒等式 ${\bf 1} = g_{1}^{-1} g_1$ から $Q[ {\bf 1} ] = Q [ g_{1}^{-1} ] + Q [ g_1 ] = 0$ が分かる。すなわち、

\[    Q [ g_{1}^{-1} ] = -1    \tag{15.58} \]

である。まとめると、巻き数は整数の値 $Q [g] \in \mathbb{Z}$ をとる。よって、$| x | \rightarrow \infty$ の極限で $g (x) \rightarrow 1$（あるいは任意の固定値）となる条件のもとで写像 $g(x) : \mathbb{R}^3 \rightarrow SU(2) \simeq S^3$ は無限の配位をもつ。前節で議論したように、そのような写像全体は非連結なセクターから成る無限次元空間を構成する。

境界が一様な場合、この写像は $g (x) : S^3_x \rightarrow S^3_g$ と表せる。7.3節で議論したWZW作用のWZ項

\[\begin{eqnarray} \Ga_{WZ} &=& \frac{k}{12 \pi} \int_{S^3}  d^3 x \, \Tr \left( g^{-1} \d_\la  g \, g^{-1} \d_\mu  g \, g^{-1} \d_\nu  g \right) \ep^{\mu \nu \la}   \, = \, - 2 \pi k \, Q [g]    \tag{7.100} \\    Q [g]  &=& - \frac{1}{24 \pi^2 } \int_{S^3}  d^3 x \,    \Tr \left( g^{-1} \d_\la g \, g^{-1} \d_\mu  g \, g^{-1} \d_\nu  g \right) \ep^{\mu \nu \la} \tag{7.101} \end{eqnarray}\]

は基本的に巻き数(15.55)と同じである。ただし、WZ項の場合、対象となる写像は $g : S^3 \rightarrow G$ であり、$G$ は一般に $SU(N)$ 群で与えられ必ずしも $SU(2)$ 群ではない。