Weight-2 dim-1 modular forms with prime levels up to 100

重さ２、次元１でレベルが100までの素数で与えられる保型（モジュラー）形式を調べました。LMFDBの計算結果をこちらにまとめておきます。保型形式を$q$-展開したときの係数 $a_p$（ヘッケ固有値）のリストです。この係数は素数の係数だけからすべて求まるので $p$ として100までの素数を選んでいます。保型形式のレベル $N$ も100までの素数に限定しています。なので $p \ne N$ のとき $gcd(p, N)=1$ です。重さ２の保型形式の場合、解析的ランク(analytic rank)は０か１で与えられ、０と１の場合それぞれについてリストを作成しました。ただし、ここで解析的ランクとは保型形式の$L$-関数の解析的ランクのことで、詳しくはこちらを参照ください。

List of $q$-expansion coefficients $a_p$ for weight-2 dim-1 modular forms with analytic rank 0

$p$ \ $N$	11	17	19	37	67	73	89
2	-2	-1	0	0	2	1	1
3	-1	0	-2	1	-2	0	2
5	1	-2	3	0	2	2	-2
7	-2	4	-1	-1	-2	0	2
11	1	0	3	3	-4	-2	-4
13	4	-2	-4	-4	2	-6	2
17	-2	1	-3	6	3	2	6
19	0	-4	1	2	7	8	-2
23	-1	4	0	6	9	4	2
29	0	6	6	6	-5	2	-6
31	7	4	-4	-4	-10	-2	6
37	3	-2	2	1	-1	-6	10
41	-8	-6	-6	-9	0	6	-6
43	-6	4	-1	8	-2	-2	2
47	8	0	-3	3	-1	6	12
53	-6	6	12	-3	10	10	-6
59	5	-12	-6	12	9	-6	-10
61	12	-10	-1	8	-2	-14	-6
67	-7	4	-4	-4	1	8	12
71	-3	-4	6	-15	0	0	4
73	4	-6	-7	11	-7	1	10
79	-10	12	8	-10	-8	-4	-12
83	-6	-4	12	9	4	-14	-6
89	15	10	-12	6	7	-6	1
97	-7	2	8	8	0	-10	-18

$gcd(m,n)=1$のとき $a_m a_n = a_{mn}$ なので $a_N = 1$ から一般に $a_n$ には$N$倍についてのスケール不変性があることがわかる。$N=11$の場合は、$a_5 = 1$ でもあるため $mod ~ 5$ の性質もあることがわかる。実際、こちらのサイトによると$N=11$の場合は $a_p \equiv p + 1 ~ (mod ~5)$（ただし、$p \ne 11$）となることが Ramanujan によって証明されているそうです。同様にして、$N=37$の場合は $a_p \equiv p + 1 ~ (mod ~3)$（ただし、$p \ne 37$）、$N=73, 89$の場合は$a_p$ $(p \ne N)$ が偶数となることが分かる。また、$N = 17$の時も $a_2 = -1 \equiv 1 ~ (mod ~2)$ なので $a_p$ $(p \ne 2, 17)$ が偶数となる。

なお、これらの係数は $| a_p | \le 2 \sqrt{p}$ を満たすことが知られているが（一般の重さ $k$ の場合は $| a_p | \le 2 p^{\frac{k-1}{2}}$ ）、上のリストもすべてこの条件を満たしていることがわかる。例えば、$|a_p|$が比較的大きい $N=37 , ~ p=71$ の場合も $|a_{71} | = 15 < 2 \sqrt{71} = 16.85  \cdots$ となっている。

次に analytic rank 1 の場合は以下の通り。

List of $q$-expansion coefficients $a_p$ for weight-2 dim-1 modular forms with analytic rank 1

$p$ \ $N$	37	43	61	79	83	89
2	-2	-2	-1	-1	-1	-1
3	-3	-2	-2	-1	-1	-1
5	-2	-4	-3	-3	-2	-1
7	-1	0	1	-1	-3	-4
11	-5	3	-5	-2	3	-2
13	-2	-5	1	3	-6	2
17	0	-3	4	-6	5	3
19	0	-2	-4	4	2	-5
23	2	-1	-9	2	-4	2
29	6	-6	-6	-6	-7	0
31	-4	-1	0	-10	5	-9
37	-1	0	8	-2	-11	-2
41	-9	5	5	-10	-2	0
43	2	-1	-8	4	-8	-7
47	-9	4	4	7	0	-12
53	15	-5	6	8	6	-3
59	8	-12	9	-3	5	4
61	-8	2	-1	-4	5	6
67	8	-3	-7	8	-2	12
71	9	2	-8	15	2	-10
73	-1	2	-11	2	0	7
79	4	-8	3	-1	14	-6
83	-15	15	4	-6	-1	12
89	4	-4	-4	-7	0	-1
97	4	7	-14	-19	-8	-18

この時は $a_N = -1$ となるため、係数に$mod ~ N$の性質が陽に表れることがないと予想できる。ただし、$N=61$のときは $a_{7} = a_{13} =1$ なので他の場合よりも係数の規則性（巡回性）があり、扱いやすいはずである。とはいえ、解析的ランク０の場合もよく分かっていないので、まずはそちらの理解を深めたいと思います。