重さ２、次元１でレベルが100までの素数で与えられる保型（モジュラー）形式を調べました。LMFDBの計算結果をこちらにまとめておきます。保型形式を$q$-展開したときの係数 $a_p$（ヘッケ固有値）のリストです。この係数は素数の係数だけからすべて求まるので $p$ として100までの素数を選んでいます。保型形式のレベル $N$ も100までの素数に限定しています。なので $p \ne N$ のとき $gcd(p, N)=1$ です。重さ２の保型形式の場合、解析的ランク(analytic rank)は０か１で与えられ、０と１の場合それぞれについてリストを作成しました。ただし、ここで解析的ランクとは保型形式の$L$-関数の解析的ランクのことで、詳しくはこちらを参照ください。
List of $q$-expansion coefficients $a_p$ for weight-2 dim-1 modular forms with analytic rank 0
$gcd(m,n)=1$のとき $a_m a_n = a_{mn}$ なので $a_N = 1$ から一般に $a_n$ には$N$倍についてのスケール不変性があることがわかる。$N=11$の場合は、$a_5 = 1$ でもあるため $mod ~ 5$ の性質もあることがわかる。実際、こちらのサイトによると$N=11$の場合は $a_p \equiv p + 1 ~ (mod ~5)$（ただし、$p \ne 11$）となることが Ramanujan によって証明されているそうです。同様にして、$N=37$の場合は $a_p \equiv p + 1 ~ (mod ~3)$（ただし、$p \ne 37$）、$N=73, 89$の場合は$a_p$ $(p \ne N)$ が偶数となることが分かる。また、$N = 17$の時も $a_2 = -1 \equiv 1 ~ (mod ~2)$ なので $a_p$ $(p \ne 2, 17)$ が偶数となる。
なお、これらの係数は $| a_p | \le 2 \sqrt{p}$ を満たすことが知られているが（一般の重さ $k$ の場合は $| a_p | \le 2 p^{\frac{k-1}{2}}$ ）、上のリストもすべてこの条件を満たしていることがわかる。例えば、$|a_p|$が比較的大きい $N=37 , ~ p=71$ の場合も $|a_{71} | = 15 < 2 \sqrt{71} = 16.85 \cdots $ となっている。
次に analytic rank 1 の場合は以下の通り。
List of $q$-expansion coefficients $a_p$ for weight-2 dim-1 modular forms with analytic rank 1
この時は $a_N = -1$ となるため、係数に$mod ~ N$の性質が陽に表れることがないと予想できる。ただし、$N=61$のときは $a_{7} = a_{13} =1$ なので他の場合よりも係数の規則性（巡回性）があり、扱いやすいはずである。とはいえ、解析的ランク０の場合もよく分かっていないので、まずはそちらの理解を深めたいと思います。
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