7. ボソン化とカッツ-ムーディ代数 vol.4

7.2 非アーベル型ボソン化

 

前節では、(1+1)次元フェルミ粒子系のアーベル型のボソン化を議論した。この節では、この議論をアーベル型の場合に拡張する。具体的には非アーベル型のカレントが成すカッツ-ムーディ代数を導出する。そのために、$N$個の自由フェルミ粒子を導入する。このとき、2成分のディラック・スピノール$\psi$は

\[ \psi = \left( \begin{array}{c} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \end{array} \right) \, \rightarrow \, \left( \begin{array}{c} \psi_1^a \\ \psi_2^a \\ \end{array} \right) ~~~~ ( a = 1,2, \cdots , N ) \tag{7.77} \]

と表せる。前節の $J_{-} = \psi_1^\dag \psi_1$ に対応するカレントは $J_{-}^{ab} \sim {\psi_1^\dag}^a \cdot \psi_1^b$ と書ける。これらは$N^2$個のエルミート演算子と見做すことができる。ここで、$SU(N)$対称性を導入し、$N^2$個のカレントを次のように分類する。

\[   \left\{ \begin{array}{ll} {\psi_1^\dag}^{a} \, \psi_1^a & \mbox{トレース成分のカレント}  \\ {\psi_1^\dag}^{a} ( T^\al )_{ab} \psi_1^b & \mbox{$SU(N)$カレント} \\ \end{array}   \right. \tag{7.78} \]

ただし、$T^\al$ ($\al = 1,2, \cdots , N^2 -1 $) は$SU(N)$群の生成子であり、トレース・ゼロの$N \times N$エルミート行列で表現される。$SU(N)$代数は

\[ [ T^\al , \, T^\bt ] = i f^{\al \bt \ga} T^\ga \tag{7.79} \]

で与えられる。いつも通り、$T^\al$の規格化を

\[ \Tr ( T^\al T^\bt ) = \hf \del^{\al\bt} \tag{7.80} \]

とする。アーベル型の場合、カレント$J_{-} (x) $を

\[ J_{-} (x) \, = \,  \psi_1^\dag (x + \ep ) \, \psi_1 ( x - \ep ) \tag{7.24} \]

と定義した。ただし、$x = ( x^0 ,  x^1 )$, $x \pm \ep = (x^0 , x^1 \pm \ep )$であり、計算の最後に $\ep \rightarrow 0$ の極限を取った。これとの類推から、非アーベル型のカレントを

\[ J_{-}^{\al} (x) \, = \, \psi_1^\dag ( x + \ep ) \, T^\al \, \psi_1 ( x - \ep ) \tag{7.81} \]

と定義できる。

　これより、$J_{-}^{\al} (x)$の同時刻交換関係は

\[\begin{eqnarray} &&[ J_{-}^{\al} (x^0 , x^1 ) , \, J_{-}^{\bt} (x^0 , y^1 ) ] \nonumber \\ &=& \left[ \psi_1^\dag ( x + \ep ) T^\al \psi_1 ( x - \ep ), \, \psi_1^\dag ( y + \ep ) T^\bt \psi_1 ( y - \ep ) \right] \nonumber \\ &=& {\psi_1^\dag}^a (x + \ep ) ( T^\al )_{ab} \left\{ \psi_1^b ( x - \ep ) , \, {\psi_1^\dag}^c (y + \ep ) \right\} ( T^\bt )_{cd} \, \psi_1^d ( y - \ep ) \nonumber \\ && ~~ - {\psi_1^\dag}^a (y + \ep ) ( T^\bt )_{ab} \left\{ \psi_1^b ( y - \ep ) , \, {\psi_1^\dag}^c (x + \ep ) \right\} ( T^\al )_{cd} \, \psi_1^d ( x - \ep ) \nonumber \\ &=& \psi_1^\dag ( x + \ep ) T^\al T^\bt \psi_1 ( y - \ep ) \del ( x - y - 2 \ep ) \nonumber \\ && ~~~~ - \psi_1^\dag ( y + \ep ) T^\bt T^\al \psi_1 ( x - \ep ) \del ( x - y + 2 \ep ) \tag{7.82} \end{eqnarray}\]

と計算できる。ただし、スピノールの同時刻反交換関係

\[ \left\{ \psi_1^a ( x^0 , x^1 ) , \, {\psi_1^\dag}^b ( x^0 , y^1 ) \right\} = \del^{ab} \del ( x^1 - y^1 ) \tag{7.83}\]

を用いた。(7.82)は前節のアーベル型の関係式

\[\begin{eqnarray} [ J_{-} (x) , \, J_{-} (x) ] &=& \left[ \psi_1^\dag (x + \ep ) \psi_1 (x - \ep ) , \, \psi_1^\dag (y + \ep ) \psi_1 (y - \ep ) \right] \nonumber \\ &=& \psi_1^\dag (x + \ep ) \psi_1 ( y - \ep ) \del (x- y- 2\ep ) \nonumber \\ && ~~~~ - \psi_1^\dag ( y + \ep ) \psi_1 ( x- \ep ) \del (x- y + 2\ep ) \tag{7.25} \end{eqnarray}\]

の非アーベル型の拡張になっており、以前と同様に

\[ [ J_{-}^{\al} (x ) , \, J_{-}^{\bt} (y ) ] = if^{\al \bt \ga} J_{-}^{\ga} (x ) \del ( x - y ) - \frac{i}{2 \pi} \del^{\al \bt} \frac{\d}{\d x} \del ( x - y ) \tag{7.84} \]

と変形できる。ただし、$SU(N)$群の生成子$T^\al$についての関係式(7.79), (7.80)を用いた。また、アーベル型の場合と同様に ${\psi_1^\dag}^a ( x + \ep ) \psi_1^b ( y - \ep )$ と ${\psi_1^\dag}^a ( y + \ep ) \psi_1^b ( x - \ep )$ の $x^1 \rightarrow y^1$ での評価は

\[\begin{eqnarray} {\psi_1^\dag}^a ( x + \ep ) \psi_1^b ( y - \ep )  & \longrightarrow &  \frac{i}{2\pi} \frac{1}{2 \ep} \del^{ab} ~~~~ ( x^1 \rightarrow y^1 ) \tag{7.85}\\ {\psi_1^\dag}^a ( y + \ep ) \psi_1^b ( x - \ep ) & \longrightarrow & \frac{i}{2\pi} \frac{1}{2 \ep} \del^{ab} ~~~~ ( x^1 \rightarrow y^1 ) \tag{7.86}  \end{eqnarray}\]

で与えられることを用いた。交換関係(7.84)は非アーベル型のカッツ-ムーディ代数に対応する。この代数はカレント代数としても知られている。(7.84)の座標成分を明示的に書くと

\[ [ J_{-}^{\al} (x^0 , x^1 ) , \, J_{-}^{\bt} (x^0 , y^1 ) ] = if^{\al \bt \ga} J_{-}^{\ga} (x^0 , x^1 ) \del ( x^1 - y^1 ) - \frac{i}{2 \pi} \del^{\al \bt} \frac{\d}{\d x^1} \del ( x^1 - y^1 ) \tag{7.87} \]

となる。もう一方のフェルミオン・カレント $J_+^\al (x) = \psi_2^\dag ( x + \ep ) T^\al \psi_2 (x - \ep )$ の代数も同様に計算でき

\[ [ J_{+}^{\al} (x^0 , x^1 ) , \, J_{+}^{\bt} (x^0 , y^1 ) ] = if^{\al \bt \ga} J_{+}^{\ga} (x^0 , x^1 ) \del ( x^1 - y^1 ) + \frac{i}{2 \pi} \del^{\al \bt} \frac{\d}{\d x^1} \del ( x^1 - y^1 ) \tag{7.88} \]

と求まる。

　ここで、カレント$J_-^\al (x)$を用いて新しいカレント$J_n^\al$を

\[ J_n^\al = J_n^\al ( x^0 ) = \int_{0}^{2 \pi R} \!\! e^{in \frac{x^1}{R}} J_-^\al (x^0 , x^1 )  dx^1 \tag{7.89} \]

とパラメータ表示しよう。ただし、$n$は整数である。この$J_n^\al ( x^0 )$を用いると、カレント代数の異なる表現を求めることができる。つまり、$J_-^\al (x)$の代数(7.87)に $\exp \left( in \frac{x^1}{R} \right) \exp \left( i m \frac{y^1}{R} \right)$ を掛けて、半径$R$の円周に沿って$x^1$と$y^1$の積分を取ると

\[\begin{eqnarray} [ J_n^\al , \, J_m^\bt ] &=& i f^{\al\bt\ga} \int_{x^1} \int_{y^1} e^{i  n \frac{x^1}{R} + i m \frac{y^1}{R}  } J^\ga (x) \del ( x^1 - y^1 ) dx^1 dy^1 \nonumber \\ &&  - \frac{i}{2 \pi} \del^{\al\bt} \int_{x^1} \int_{y^1} e^{in \frac{x^1}{R} } \frac{\d}{\d x^1} \del ( x^1 - y^1 ) e^{im \frac{y^1}{R} } dx^1 dy^1 \nonumber \\ &=& i f^{\al\bt\ga} J_{n+m}^\ga + m \del^{\al\bt} \del_{n+m, 0} \tag{7.90} \end{eqnarray}\]

を得る。ここで、第2項の導出に関係式

\[ \int_{0}^{2 \pi R} \!\! e^{i (n+m) \frac{x^1}{R}} dx^1 \, = \, 2 \pi R \, \del_{n+m, 0} \tag{7.91} \]

を用いた。$m= n= 0$ の場合、(7.90)は通常の$SU(N)$代数に帰着する。よって、非アーベル型のカッツ-ムーディ代数(7.90)は拡張された$SU(N)$代数と解釈できる。

　数学の文献では、カレント代数に付随するレベル数$k$が存在し、これを含めると(7.90)は

\[ [ J_n^\al , \, J_m^\bt ] = i f^{\al\bt\ga} J_{n+m}^\ga + k m \del^{\al\bt} \del_{n+m, 0} \tag{7.92} \]

と表せる。カレント代数のレベル数$k$はユニタリー性の要請から整数であることが知られている。(7.90)は$k = 1$の場合に相当する。実際、「$k=1$のカッツ-ムーディ代数はユニタリー既約表現を唯一つだけ持つ」という（カッツの）定理が存在し、これは代数(7.68)のユニタリー既約表現の唯一性を保証する。この意味でこの定理は1, 4, 6章で議論したハイゼンベルク代数のストーン-フォン・ノイマンの定理と類似している。

7. ボソン化とカッツ-ムーディ代数 vol.3

前回に引き続いてアーベル型ボソン化の話を進めよう。

ボソン場とフェルミオン場の一対一対応

前回導いた関係式

\[ J_{-} (x) = \psi_1^\dag (x) \psi_1 (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \left( \frac{\d}{\d x^0} - \frac{\d}{\d x^1} \right) \phi (x) \tag{7.54} \]

はフェルミオン・カレント$J_- (x)$がボソンのスカラー場$\phi (x)$の関数として表せることを示している。フェルミオン場$\psi_1 (x)$についても同様に$\psi_1 (x)$をボソン場$\phi (x)$の関数として表せるだろうか？アーベル型の場合、これは可能であり、マンデルスタムによる次の関係式が知られている。

\[   \psi_1 (x) \, = \,  A \, \exp \left( i \phi (x ) + i \pi \int_{x^1}^{\infty} \dot{\phi} (x^0, \tilde{x}^1 )   d \tilde{x}^1 \right) \equiv e^{ i \Phi_1 (x) }   \tag{7.56} \]

ただし、$A$は規格化定数。上式を用いると$\psi_1^\dag (x)$と$\psi_1 (y)$の反交換関係を次のように確認できる。

\[\begin{eqnarray}    \psi_1^\dag (x) \psi_1 (y) &=& A^2 e^{ - i \Psi_1 (x) } e^{i \Phi_1 (y)} \nonumber \\    &=& A^2 e^{ - i \Phi_1 (x)+ i \Phi_1 (y) } e^{\hf \left[  \Phi_1 (x) , \Phi_1 (y) \right] } \nonumber \\    &=&  - \psi_1 (y) \psi_1^\dag (x)    \tag{7.57} \end{eqnarray}\]

ただし、$\phi$の交換関係

\[  \left[ \phi ( x^0 , x^1 ) , \, \dot{\phi} ( x^0 , y^1 ) \right] = i \del ( x^1 - y^1 )   \tag{7.48} \]

を用いた。また、演算子$A$, $B$について

\[    e^A e^B = e^{A+B} e^{\hf [A, B] }    \tag{7.58} \]

が成り立つことを用いた。ここで、$[A, B]$は$c$数である。因子$\exp \left( i \pi \int_{x^1}^{\infty} \dot{\phi} (x^0, \tilde{x}^1 )  d \tilde{x}^1 \right)$はクライン変換(7.8)で現れた因子$\exp \left( i \pi \sum_{k<i} N_k \right)$と類似した働きをすることに注意しよう。

　反交換関係(7.57)の導出は関係式(7.56)を

\[    \psi_1 (x) \, = \,  A \, \exp \left( i \sqrt{\pi} \phi (x ) + i \sqrt{\pi} \int_{x^1}^{\infty} \dot{\phi} (x^0, \tilde{x}^1 )    d \tilde{x}^1 \right)    \tag{7.59} \]

と置き換えても変わらない。また、スピノールのカイラリティからもう一方のスピノール$\psi_2 (x)$を

\[    \psi_2 (x) \, = \,  A \, \exp \left( - i \sqrt{\pi} \phi (x ) + i \sqrt{\pi} \int_{x^1}^{\infty} \dot{\phi} (x^0, \tilde{x}^1 )    d \tilde{x}^1 \right)     \tag{7.60} \]

と定義できる。規格化因子$A$は、例えば

\[ \psi_1^\dag ( x + \ep ) \psi_1 ( y - \ep ) = \frac{i}{2 \pi} \frac{1}{(x^1 + \ep ) - ( y^1 - \ep )} \longrightarrow  \frac{i}{2\pi} \frac{1}{2 \ep} ~~~~ ( x^1 \rightarrow y^1 )  \tag{7.44}\]

から決定でき、$A = \frac{1}{\sqrt{2 \pi (2 \ep ) }}$となることが分かる。これより、$\psi_1^\dag (x + \ep ) \psi_1 (x - \ep)$ を計算すると

\[\begin{eqnarray}    \psi_1^\dag (x + \ep ) \psi_1 (x - \ep) &=& \frac{1}{2 \pi} \frac{1}{2 \ep} e^{- i \Phi_1 (x + \ep) } e^{ i \Phi_1 (x - \ep) }     \nonumber \\    &=& \frac{i}{2 \pi} \frac{1}{2 \ep} e^{- i \left( \Phi_1 (x+ \ep) - \Phi_2 (x- \ep) \right)} \nonumber \\    &=& \frac{i}{2 \pi} \frac{1}{2 \ep} + \frac{1}{2 \pi} \frac{\d}{\d x^1} \Phi_1 (x^0 , x^1 ) + \O (\ep)  \nonumber \\    &=& \frac{i}{2 \pi} \frac{1}{2 \ep} - \frac{1}{\sqrt{2}} J_{-} (x) + \O (\ep )    \tag{7.61} \end{eqnarray}\]

と求まる。ここで、$\Phi_1 (x) $は

\[    \Phi_1 (x) = \sqrt{\pi} \phi (x ) +  \sqrt{\pi} \int_{x^1}^{\infty} \dot{\phi} (x^0, \tilde{x}^1 )    d \tilde{x}^1    \tag{7.62}\]

で与えられる。また、関係式(7.54)から

\[    \frac{\d}{\d x^1} \Phi_1 = \sqrt{\pi} \left( \frac{\d}{\d x^1} \phi - \frac{\d}{\d x^0} \phi \right)     = - \sqrt{2} \pi J_{-} (x)     \tag{7.63} \]

であることを用いた。同様に、関係式

\[    \psi_1 (x + \ep ) \psi_1^\dag (x - \ep) = \frac{i}{2 \pi} \frac{1}{2 \ep} + \frac{1}{\sqrt{2}}     \psi_1^\dag (x + \ep ) \psi_1 (x - \ep) + \O (\ep )     \tag{7.64} \]

が得られる。これは、前回紹介した同時刻における関係式

\[ \psi_1 (x) \psi_1^\dag (y) = \frac{i}{2\pi} \frac{1}{ x^1 - y^1 } + f ( x^1 - y^1 ) \, \O \tag{7.43} \]

の具体的な表現である。（つまり、$\psi_1$を(7.59)で定義すると真空期待値がゼロとなる演算子$\O$は具体的に$\psi_1^\dag \psi_1 $と求まる。）

モード展開

　つぎに、(7.49)と同様にボソン場$\Phi_1 (x)$のモード展開を考える。

\[ \Phi_1 ( x ) = \sum_{k \ge 1} \frac{1}{\sqrt{2 k_{0} L}} \left( a_{k} e^{-i k_{0} x^{0} - i k_1 x^1}   + a_k^\dag e^{i k_{0}  x^{0} + i k_1 x^1} \right) \tag{7.65} \]

ただし、ここではユークリッド計量を用いた。質量がゼロの場合$(m=0)$、$k_0 = \sqrt{k_1^2 + m^2 } = | k_1 | $ であり、$\Phi_1$はスケール不変な演算子となる。このとき、$\Phi_1 (x)$は

\[ \Phi_1 ( x ) = \frac{1}{\sqrt{2L}} \sum_{k \ge 1} \frac{1}{\sqrt{k}} \left( a_k e^{-ik ( x^0 + x^1)}   + a_k^\dag e^{ik ( x^0 + x^1 )} \right) \tag{7.66} \]

と書ける。ここで、空間方向を円周上にコンパクト化 $0 \le x^1 \le 2 \pi$ ($L = 2 \pi$) して、$\Phi_1 (x)$に周期性を課すと、モード展開は一般に整数 $n \in {\bf Z}$ で展開できるので、

\[\begin{eqnarray} \Phi_1 ( x ) &=& \frac{1}{\sqrt{4 \pi}} \sum_{n < 0} \frac{1}{\sqrt{|n|}} \left( a_n e^{-i n ( x^0 + x^1) } + a_n^\dag e^{in( x^0 + x^1)} \right)  \nonumber \\    && ~ + \frac{1}{\sqrt{4 \pi}}  \sum_{n > 0} \frac{1}{\sqrt{n}} \left( a_n e^{-i n ( x^0 + x^1) } + a_n^\dag e^{in( x^0 + x^1)} \right) +  \phi_0  \nonumber \\   &=& \frac{1}{\sqrt{ \pi}}  \sum_{n > 0} \frac{1}{\sqrt{n}} \left( a_n e^{-i n ( x^0 + x^1) } + a_n^\dag e^{in( x^0 + x^1)} \right) +  \phi_0 \tag{7.67} \end{eqnarray}\]

となる。ただし、$a_{-m} = a^\dag_m$, $a^{\dag}_{-m} = a_m $ ($m > 0$) を用いた。また、自由ボソン場$\Phi_1 $のゼロモード$\phi_0$も含めた。ゼロモード$\phi_0$の正準共役は $\pi_0 = \dot{\phi_0}$ で与えられ、正準交換関係

\[    [ \phi_0 , \pi_0 ] = i    \tag{7.68} \]

を満たす。ゼロモードの時間発展は $\phi_0 + \pi_0 x^0$ で与えられる。以前議論したように$\psi_1 (x)$は

\[ \frac{ \d \psi_1}{\d x^0} -  \frac{\d \psi_1}{\d x^1} = 0  \tag{7.17} \]

を満たすので、$\psi_1 (x)$は$(x^0 + x^1 )$の関数である。よって、関係式 $\psi_1 (x) = \psi_1 (x^0 + x^1 ) \sim \exp ( i \Phi_1 (x^0 + x^1 ) )$ から$\Phi_1 (x) $も$(x^0 + x^1 )$の関数である。このことに注意すると、 上式でのゼロモードによる寄与は正しくは $\phi_0 + \pi_0 (x^0 + x^1 )$ で与えられることが分かる。$\Phi_1 $のようにカイラル・フェルミオンと関係するボソンはカイラル・ボソンと呼ばれる。以上より、$\Phi_1 $のモード展開は

\[   \Phi_1 ( x^0 + x^1 ) =   \sum_{n > 0} \frac{1}{\sqrt{n}} \left( a_n e^{-i n ( x^0 + x^1) } + a_n^\dag e^{in( x^0 + x^1)} \right) +  \phi_0 + \pi_0 (x^0 + x^1 )    \tag{7.69} \]

と再定義できる。

7. ボソン化とカッツ-ムーディ代数 vol.2

前回に引き続いてアーベル型のボソン化を考える。(1+1)次元のフェルミオン場 $\psi = \left( \begin{array}{c} \psi_1 \\ \psi_2 \end{array} \right)$ はディラック方程式

\[ \frac{ \d \psi_1}{\d x^0} -  \frac{\d \psi_1}{\d x^1} = 0 \, , ~~~~ \frac{ \d \psi_2}{\d x^0} +  \frac{\d \psi_2}{\d x^1} = 0 \tag{7.17} \]

に従う。フェルミオンのカレント $J = \bar{\psi} \ga \psi$ は

\[ J = \bar{\psi} \ga \psi = \left( \begin{array}{c} \psi_1^\dag \psi_1 + \psi_2^\dag \psi_2 \\ - \psi_1^\dag \psi_1 + \psi_2^\dag \psi_2 \end{array} \right) \equiv \left( \begin{array}{c} J_0 \\ J_1 \end{array} \right) \tag{7.19} \]

と計算できた。ここで、カレント$J_\pm$を

\[\begin{eqnarray} \psi_1^\dag \psi_1 & = &  \frac{ J_0 - J_1 }{2} ~ \equiv ~  J_{-}  \tag{7.20} \\ \psi_2^\dag \psi_2 & = & \frac{ J_0 + J_1 }{2}  ~ \equiv  ~ J_{+} \tag{7.21} \end{eqnarray}\]

で定義し、これらのカレントの代数を考える。$J_{-}$を

\[ J_{-} (x) \, = \,  \psi_1^\dag (x + \ep ) \, \psi_1 ( x - \ep ) \tag{7.24} \]

とおき、特異点の振る舞いに注意して計算の最後に $\ep \rightarrow 0$ の極限をとることにする。$x$, $x \pm \ep$は複合記号であり、それぞれ$x = ( x^0 ,  x^1 )$, $x \pm \ep = (x^0 , x^1 \pm \ep )$ を表す。このとき、$J_{-} (x) $の交換関係はフェルミオン場の同時刻反交換関係

\[\begin{eqnarray} \psi ( x^0 , x^1 ) \psi ( x^0 , y^1 ) + \psi ( x^0 , y^1 ) \psi (x^0 ,x^1 )  &=& 0 \nonumber \\ \psi^\dag ( x^0 , x^1 ) \psi^\dag ( x^0 , y^1 ) + \psi^\dag ( x^0 , y^1 ) \psi^\dag ( x^0 , x^1 ) &=& 0 \tag{7.22}\\ \psi ( x^0 , x^1 ) \psi^\dag ( x^0 , y^1 ) + \psi^\dag ( x^0 , y^1 ) \psi ( x^0 , x^1 ) &=& \del ( x^1 - y^1 ) {\bf 1} \nonumber \end{eqnarray}\]

を用いると

\[\begin{eqnarray} [ J_{-} (x) , \, J_{-} (x) ] &=& \left[ \psi_1^\dag (x + \ep ) \psi_1 (x - \ep ) , \, \psi_1^\dag (y + \ep ) \psi_1 (y - \ep ) \right] \nonumber \\ &=& \psi_1^\dag (x + \ep ) \psi_1 ( y - \ep ) \del (x- y- 2\ep ) \nonumber \\ && ~~~~ - \psi_1^\dag ( y + \ep ) \psi_1 ( x- \ep ) \del (x- y + 2\ep ) \tag{7.25} \end{eqnarray}\]

と計算きる。ここで、$\del (x- y \pm 2\ep )$は

\[ \del (x- y \pm 2\ep ) = \del (x - y ) \pm 2 \ep \frac{\d}{\d x} \del (x - y) + \O (\ep^2 ) \tag{7.26} \]

と展開できるので、$\ep \rightarrow 0$ の極限で(7.25)がゼロとならないためには関係式

\[ \psi_1^\dag ( x + \ep ) \, \psi_1 ( y - \ep ) \, \sim \, \frac{1}{\ep} ~~~~ \mbox{($x \rightarrow y$)} \tag{7.27}\]

を要請する必要がある。

(1+1)次元のフェルミオン伝播関数

上式の$\psi_1^\dag ( x + \ep ) \psi_1 ( y - \ep )$ を評価するには２通りの方法がある。１つはモード展開を利用するもので、もう１つはフェルミオンの伝播関数を用いるものである。ここでは、後者のアプローチを採用する。フェルミオン$\psi_1$の伝播関数は

\[\begin{eqnarray}　S_{-} ( x , y )   &=&  \bra 0 | \psi_1 (x^0 , x^1 ) \psi_1^\dag ( y^0 , y^1 ) | 0 \ket \th (x^0 - y^0 ) \nonumber \\　&&~~~~~~~~~  - \bra 0 | \psi_1^\dag (y^0 , y^1 ) \psi_1 ( x^0 , x^1 ) | 0 \ket \th (y^0 - x^0 ) \nonumber \\　&=&  \bra 0 | \left[ \psi_1 (x) \psi_1^\dag (y) \th (x^0 - y^0 )  - \psi_1^\dag (y) \psi_1 (x) \th (y^0 - x^0 ) \right] | 0 \ket  \tag{7.28}　\end{eqnarray}\]

と定義される。ここで、$\th ( x^0 - y^0 ) $はヘヴィサイドのステップ関数

\[　\th (x^0 - y^0 ) = \left\{　\begin{array}{lr} 1 & ~ \mbox{$( x^0 > y^0 )$} \\ 0 & ~ \mbox{ $( x^0 < y^0 )$} \\ \end{array} \right. \tag{7.29} \]

である。(7.28)の負号は$x^0 = y^0$におけるディラック場$\psi_1$の同時刻反交換関係に由来する。(7.17)で示したように、$\psi_1$はディラック方程式

\[ \left( \frac{\d}{\d x^0} - \frac{\d }{\d x^1} \right) \psi_1 = 0    \tag{7.30} \]

に従う。つぎに、この方程式を用いて$S_{-} (x, y) $の微分を計算すると

\[\begin{eqnarray} \frac{\d}{\d x^0} S_{-} (x, y) \!\! &=& \!\! \bra 0 | \left[ \th (x^0 - y^0 ) \frac{\d \psi_1 (x)}{\d x^0} \psi_1^\dag ( y) - \th ( y^0 - x^0 ) \psi_1^\dag (y ) \frac{\d \psi_1 (x)}{\d x^0} \right] | 0 \ket \nonumber \\ && \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! + \,  \underbrace{ \bra 0 |  \left[ \del (x^0 - y^0 ) \psi_1 (x) \psi_1^\dag ( y) + \del( y^0 - x^0 ) \psi_1^\dag (y ) \psi_1 (x) \right] | 0 \ket }_{= \, \del (x^0 - y^0 ) \bra 0 | \left\{ \psi_1 (x) , \,  \psi_1^\dag (y) \right\} | 0 \ket \, = \, \del (x^0 - y^0 ) \del (x^1 - y^1 ) } \tag{7.31} \\ \frac{\d}{\d x^1} S_{-} (x, y) \!\! &=& \!\! \bra 0 | \left[ \th (x^0 - y^0 ) \frac{\d \psi_1 (x)}{\d x^1} \psi_1^\dag (y) - \th ( y^0 - x^0 ) \psi_1^\dag (y ) \frac{\d \psi_1 (x)}{\d x^1} \right] | 0 \ket \tag{7.32} \end{eqnarray} \]

となる。ただし、関係式

\[ \frac{\d}{\d x^0} \th (x^0 - y^0 ) = \del (x^0 - y^0 ) \tag{7.33} \]

を用いた。(7.31)と(7.32)から

\[ \left( \frac{\d }{ \d x^0} - \frac{\d}{\d x^1} \right) S_{-} (x , y ) = \del ( x^0 - y^0 ) \del ( x^1 - y^1 ) \tag{7.34} \]

となることが分かる。この解は

\[\begin{eqnarray} S_{-} (x, y) \!\! &=& \!\! \int \frac{d^2 p}{ (2 \pi )^2 } \frac{ i e^{- i p_0 (x^0 -y^0 ) + i p_1 ( x^1 - y^1 )}} { p_0^2 - p_1^2 } (p_0 - p_1 ) \nonumber \\ &=& \!\! i ( \d_0 + \d_1 ) \underbrace{ \int_{-\infty}^{\infty}  \! \frac{d p_0}{ 2 \pi  } \int_{-\infty}^{\infty}  \! \frac{d p_1}{ 2 \pi  } \frac{ i e^{- i p_0 (x^0 -y^0 ) + i p_1 ( x^1 - y^1 )}}{ p_0^2 - p_1^2 } }_{ \equiv \, G (x,y) } \tag{7.35} \end{eqnarray}\]

で与えられる。積分$G (x, y)$は、下図に示すように$p_1$から$p_E = - i p_1$への解析接続を行うと、2次元ラプラス方程式のグリーン関数に変形できる。

$p_1$から$p_E$へのウィック回転

\[\begin{eqnarray} G (x, y ) &=& \int_{-\infty}^{\infty}  \frac{d p_0}{ 2 \pi  } \int_{-\infty}^{\infty}  \frac{d p_E}{ 2 \pi  } \frac{ e^{- i p_0 (x^0 -y^0 ) - i p_E (i( x^1 - y^1 ))}}{ p_0^2 + p_E^2 } \nonumber \\ &=& \frac{1}{4 \pi} \log \left( (x^0 - y^0 )^2 - ( x^1 - y^1 )^2 \right) \tag{7.36} \end{eqnarray}\]

ただし、解析接続を適切に行うには被積分関数の分母を $(p_E + i p_0 - \eta ) ( p_E - i p_0 + \eta )$ と理解しなければならない。ここで、$\eta$は正の微小量であり、最終的に $\eta \rightarrow 0$ の極限をとる。このような実軸から虚軸への回転はウィック回転と呼ばれる。

　(7.35), (7.36)から、$S_{-} ( x, y )$は

\[ S_{-} ( x, y ) = \frac{i}{2 \pi} \frac{1} { (x^0 - y^0 ) + ( x^1 - y^1 ) } \tag{7.37} \]

と求まる。$J_{+}=\psi_2^\dag \psi_2$ の場合も同様に

\[ S_{+} ( x, y ) = \frac{i}{2 \pi} \frac{1} { (x^0 - y^0 ) - ( x^1 - y^1 ) } \tag{7.38} \]

が得られる。係数$\frac{i}{2 \pi}$は次のように確認することもできる。定数$c$を用いて$S_{-} (x, y) $を

\[ S_{-} ( x, y) = \frac{c}{ ( x^0 - y^0 ) + ( x^1 - y^1 ) } = c \frac{( x^0 - y^0 ) - ( x^1 - y^1 ) }{ ( x^0 - y^0 )^2 - ( x^1 - y^1 )^2 + \ep^2} \tag{7.39} \]

と表し、伝番関数の満たす方程式(7.34)から$c$を決定する。(7.34)は $( \d_0 - \d_1 ) S_{-} ( x, y) = \del^{(2)} (x - y)$ を意味するので、両辺の積分をとると

\[ c ( \d_0 - \d_1 ) \int_{-\infty}^{\infty} dx^0 \int_{-\infty}^{\infty} d x^1 \frac{ x^0 - x^1 }{(x^0 )^2 - (x^1 )^2 + \ep^2} = 1 \tag{7.40} \]

となる。左辺は次のように計算できる。

\[\begin{eqnarray} && 2c \int_{-\infty}^{\infty} dx^0 \int_{-\infty}^{\infty} d x^1 \frac{ \ep^2}{\left[ (x^0 )^2 - (x^1 )^2 + \ep^2 \right]^2 } \nonumber \\ &=& -i 2 c \int_{-\infty}^{\infty} dx^0 \int_{-\infty}^{\infty} d x_E \frac{ \ep^2}{\left[ (x^0 )^2 + (x_E )^2 + \ep^2 \right]^2 } \nonumber \\ &=& -i 2 c \int_{0}^{\infty}  \pi dr^2 \frac{ \ep^2}{ (r^2 + \ep^2 )^2 } \, = \,  -i 2  \pi c \tag{7.41} \end{eqnarray}\]

ただし、$x^1$から$x_E = i x^1$へのウィック回転を用いた。(7.40), (7.41)から(7.37)の係数$\frac{i}{2 \pi}$が正しいことが確認できる。

　伝播関数$S_{-} ( x, y)$を同時刻 $x^0 \rightarrow y^0$ ($x^0 > y^0$) で評価すると

\[ \bra 0 | \psi_1 (x) \psi_1^\dag (y) | 0 \ket = \frac{i}{2\pi} \frac{1}{ (x^1 - y^1 )}  \tag{7.42} \]

を得る。これは冒頭で要請した関係式

\[ \psi_1^\dag ( x + \ep ) \, \psi_1 ( y - \ep ) \, \sim \, \frac{1}{\ep} ~~~~ \mbox{($x \rightarrow y$)} \tag{7.27}\]

に他ならない。

7. ボソン化とカッツ-ムーディ代数 vol.1

7.1 アーベル型ボソン化

空間1次元、時間1次元の(1+1)次元においてフェルミ粒子の物理系はボース粒子の物理系と等価である。つまり、ボソンとフェルミオンは(1+1)次元では区別できない。この章の主な目的はこの等価性を代数的に理解することである。

　($d$+1)次元における粒子のスピンの概念は$d$次元の空間回転に起因し、これらは角運動量代数 $[ J_i , J_j ] = i \ep_{ijk} J_k$ ($i,j,k = 1,2, \cdots , d$) で記述される。よく知られているように、$d=3$ の角運動量代数$J$の表現はスピンの値 $s = 0, \, \hf ,  \, 1, \, \frac{3}{2}, \cdots$ で特徴づけられる。この場合、スピン統計定理より「整数スピンをもつ粒子はボソンであり、半奇数のスピンをもつ粒子はフェルミオンでなければならない」ことが分かる。しかし、$d=2$ の場合はスピンの値にこのような制限はない。すなわち、(2+1)次元では$s$は分数の値をとることができる。このとき、スピン統計定理は「分数スピン$s$をもつ粒子は分数統計に従う」と言い換えられる。このような粒子はしばしばエニオンと呼ばれる。（分数統計やエニオンについては分数量子ホール効果の正孔の動力学について解説した4.3節も参照のこと。）この章で議論する $d=1$ の場合、スピンの概念は存在しない。つまり、(1+1)次元では粒子の統計に制約はかからない。以下では、(1+1)次元においてボソンとフェルミオンが等価であることがどのように実現されるのかを見ていく。

クライン変換

　一般に、ボソンは代数

\[[ a_k , a_l ] = 0 \, , ~~　[ a_k , a_l^\dag ] = \del_{kl} \, , ~~　[ a_k^\dag , a_l^\dag ] = 0 \,　\tag{7.1} \]

で記述される。ただし、ここではボソンを１次元の長さ$L$の線分上で考えているので、ラベル$k$は $k = \frac{2 \pi n}{L}$ で与えられる。$n$は自然数 $n \in {\mathbb Z}$ であり、モード数（あるいは自由度の数）を表す。

　このとき、数演算子は

\[ N_k = a_k^\dag a_k \tag{7.2} \]

で定義され、交換関係

\[ [ N_k , a_k ] = - a_k \, , ~~~ [ N_k , a_k^\dag ] = a_k^\dag \tag{7.3} \]

を満たす。ベイカー-キャンベル-ハウスドルフの公式
\[ e^A B e^{-A} = B + [ A, B ] + \frac{1}{2} [ A , [A, B]] + \cdots  \tag{7.4}\]

を用いると、関係式

\[\begin{eqnarray} e^{i \al N} a e^{-i \al N} &=& a + i \al [ N , a ] + \frac{(i \al )^2}{2!} [ N , [ N , a ] ] + \frac{(i \al )^3}{3!} [ N , [ N , [ N , a ] ] ] + \cdots \nonumber \\ &=& a - i \al a + \frac{(i \al )^2}{2!} a + \frac{(i \al )^3}{3!} (- a ) + \cdots \nonumber \\ &=& e^{-i \al} a \tag{7.5} \end{eqnarray}\]

が得られる。ただし、簡単のためラベル$k$を省略した。$\al$は定数である。ラベルを追加すると上の結果は

\[ a_k e^{ i \al N_k} \, = \, e^{ i \al} e^{i \al N_k} a_k \tag{7.6} \]

と表せる。同様に関係式

\[ a_k^\dag e^{i \al N_k}  \, = \, e^{-i \al} e^{i \al N_k} a_k^\dag  \tag{7.7} \]

が得られる。

　つぎに演算子

\[\begin{eqnarray} C_i  &=&  \exp \left( i \pi \sum_{k<i} N_k \right) a_i \tag{7.8}\\ C_j &=& \exp \left( i \pi \sum_{k<j} N_k \right) a_j ~~~~ (i < j) \tag{7.9} \end{eqnarray}\]

を導入する。ただし、$1 \le i < j \le n$としても一般性は失われない。(7.6)を用いると$C_i C_j$, $C_j C_i$は次のように計算できる。

\[\begin{eqnarray} C_i C_j &=& \exp \left( i \pi \sum_{k < i} N_k \right) a_i \exp \left( i \pi \sum_{k < j} N_k \right) a_j \nonumber \\ &=& \exp \left( i \pi \sum_{k < i} N_k \right) \exp \left( i \pi \sum_{k < j} N_k \right) e^{i \pi} a_i a_j \tag{7.10} \\ C_j C_i &=& \exp \left( i \pi \sum_{k < j} N_k \right) a_j \exp \left( i \pi \sum_{k < i} N_k \right) a_i \nonumber \\ &=& \exp \left( i \pi \sum_{k < j} N_k \right) \exp \left( i \pi \sum_{k < i} N_k \right) a_j a_i \tag{7.11} \end{eqnarray}\]

$a_i$と$\exp \left( i \pi \sum_{k < j} N_k \right)$を入れ替えると(7.6)から因子$e^{i \pi}$が現れることに注意しよう。一方、$a_j$と$\exp \left( i \pi \sum_{k < i} N_k \right)$の入れ替えからは新たな因子は生じない。これより、演算子$C$についての反交換関係

\[ C_i C_j + C_j C_i = \exp \left( i \pi \sum_{k < i} N_k \right) \exp \left( i \pi \sum_{k < j} N_k \right) \left( - a_i a_j + a_j a_i \right) = 0 \tag{7.12} \]

が得られる。これは、(7.8)と(7.9)で与えられる演算子の変換を実行すると、ボソン代数からフェルミオン代数が得られることを示している。このような変換はクライン変換と呼ばれる。

ボソン化：代数的アプローチ

　つぎに上の議論の逆を考える。つまり、(1+1)次元のフェルミオンから始めてそれがボソン表現と等しいことを示す。この過程は一般にボソン化と呼ばれる。ボソン化には基本的に2つの手法がある。これは物理系の量子論が２つの方法で定義されることに基づく。1つ目の方法は観測量代数のユニタリー既約表現によるものであり、もう一方は対象となる粒子の相関関数によるものである。言い換えると、ボソン化の実行は (a) フェルミオンの観測量代数にボソン表示が存在することを示すこと、あるいは (b) フェルミオンの相関関数とボソンの相関関数が等価であることを示すこと、のどちらかによって成される。ここでは (a) の方法を採用する。

Mathematical Review 121: 高階スピン自己双対ヤン-ミルズ理論

質量ゼロの高いスピンを持つ粒子をツイスター空間上で記述する話題は以前にこちらでレビューしました。今回はより具体的に、最近提案された高階スピン自己双対ヤン-ミルズ理論の作用からMHV散乱振幅を計算し、さらに自己双対ヤン-ミルズ理論の可積分性から一般の高階スピン・ヤン-ミルズ理論のMHV散乱振幅も古典レベルで導出できるという話でした。レビューはこちら。自己双対ヤン-ミルズ理論はインスタントンとの関連で長年研究されている分野です。1990年には自己双対ヤン-ミルズ理論をトポロジカルなゲージ理論として構成できるというモデルがナイアによって提唱されました。これはケーラー-チャーン-サイモン理論あるいはドナルドソン-ナイア-シッフ理論として知られています。高階スピンへの拡張もこの文脈で考えるとツイスター空間への埋め込みも自然に理解できるはずです。というか、MHV散乱振幅をWZW模型の相関関数として理解する方向から高階スピン理論へ拡張すればいいのになんて思いました。それにしても高階スピンのゲージ理論の話が私に回ってくるのはどういうことでしょう？特に興味ないのに。高階スピン理論の祖バシリエフ先生の学生さんが皆エネルギッシュで論文量産するので仕方ないか。

BCS理論の転移温度の計算に出てくる積分

前回のエントリーで出てきた積分

 

\[ \int_0^\infty \frac{\log x}{\cosh^2 x} dx = \log \frac{\pi}{4} - \ga \approx -0.81878 \]

ただし、$\ga$はオイラーの定数。これが分からなくて2、3日使ってしまいました。子供の小学校の保護者会に出席したときも気になってしまいメモする始末。結局、自力では無理だったので色々調べました。MathematicaのWebバージョンWolframAlphaが正しい数値結果を出してくれましたが、解析的に計算してくれないと納得いきません。Google Chromeで「integral from 0 to infinity log(x) sech^2 (x) dx」と検索を掛けると Math Stack Exchange がドンピシャのサイトを見つけてくれました！ Microsoft Edgeではヒットしなかったので驚きました。解法を見て、これは自力では無理だなあと納得しました。双曲線関数の積分なんて忘れていました。学部の時にやったけど使う機会がないとダメですね。当時は公式集があれば何とかかなるだろうと思っていましたが、何ともならなかったです。双曲線関数の出てくる積分についてネットで調べてみたらインド人の学生向けにいろいろな積分が解説されていて興味深かったです。今では動画で複素積分の勉強ができるみたいですね。今後、積分に詰まったらまずChromeで検索かな。

6. 超伝導とBCS理論 vol.5

6.4 転移温度

この節ではBSC理論を用いて超伝導の転移温度を推定する。6.2節では相互作用ハミルトニアン$H_{int}$を次のように変形した。

\[\begin{eqnarray}    H_{int} &=& \sum_{kk'} V_{kk'} \left[ \alpha_{k'} \beta_{k'} \left( N_{k'} + {\tilde N}_{k'} - 1\right)    + \left(\alpha_{k'}^2 B^\dagger_{-k'} A^\dagger_{k'} - \beta_{k'}^2 A_{k'} B_{-k'} \right)    \right] \nonumber\\    && \hskip .5in    \times \left[ \alpha_{k} \beta_{k} \left( N_{k} + {\tilde N}_{k} - 1\right)    + \left( \alpha_{k}^2 A_{k} B_{-k}  - \beta_{k}^2 B^\dagger_{-k} A^\dagger_{k} \right)    \right]\nonumber\\    &\approx&  \sum_{kk'} V_{kk'} \alpha_{k'}\beta_{k'} \alpha_k \beta_k    - 2\, \sum_{kk'} V_{kk'}\alpha_{k'}\beta_{k'} \alpha_k \beta_k (N_k + {\tilde N}_k )\nonumber\\    &&\hskip .05in - \sum_{kk'} V_{kk'}\alpha_{k'}\beta_{k'} (\alpha_k^2 - \beta_k^2)  (A_k B_{-k}    + B^\dagger_{-k} A^\dagger_k ) ~+ ~ {\rm (4次の項)}   \tag{6.53} \\ \end{eqnarray}\]

ここでは、$A_k B_{-k}$とその共役に関わる項の係数として現れる数演算子$N_k$, ${\tilde N}_k$を残して、$H_{int}$を

\[    \begin{split}    H_{int} &= \sum_{kk'} V_{kk'} \left[ \alpha_{k'} \beta_{k'} \left( N_{k'} + {\tilde N}_{k'} - 1\right)     \left( \alpha_{k}^2 A_{k} B_{-k}  - \beta_{k}^2 B^\dagger_{-k} A^\dagger_{k} \right)\right]    \\     &\hskip .1in + \sum_{kk'} V_{kk'}     \left[  \left(\alpha_{k'}^2 B^\dagger_{-k'} A^\dagger_{k'} - \beta_{k'}^2 A_{k'} B_{-k'} \right)     \alpha_{k} \beta_{k} \left( N_{k} + {\tilde N}_{k} - 1\right)\right] + \cdots      \end{split}     \tag{6.73} \]

と変形する。絶対零度では$N_k$と${\tilde N}_k$はゼロとなる。絶対温度がゼロでないときこれらは熱的な占有数$\bra N_k \ket$, $\bra {\tilde N}_k \ket$に近似できる。このとき、6.2節と同様に計算するとギャップ方程式は

\[    \Delta - {V_0 \over 2} \sum_k {\Delta \over \sqrt{\epsilon_k^2 + \Delta^2}}    \left( 1 - \bra N_k \ket - \bra {\tilde N}_k \ket \right) \, = \, 0     \tag{6.74} \]

となる。また、6.3節で導いたBCS理論のハミルトニアン

\[    H ~ = ~ - G_0\, \omega_D \sqrt{\omega_D^2 +\Delta^2} ~+~    \sum_k \sqrt{\epsilon_k^2 +\Delta^2} ~(N_k +{\tilde N}_k) ~+\cdots     \tag{6.64} \]

から分かるように、1粒子の励起エネルギーは$\sqrt{\epsilon_k^2 + \Delta^2}$で与えられる。よって、占有数はフェルミ-ディラック分布から

\[    \bra N_k \ket = \bra {\tilde N}_k \ket =    {1\over e^{E_k/T} + 1} \,  , \hskip .3in E_k = \sqrt{\epsilon_k^2 + \Delta^2}     \tag{6.75} \]

と表せる。これより、ギャップ方程式は

\[    \Delta \left[ 1 - {V_0 G_0 \over 2} \int d \epsilon \, {1\over \sqrt{\epsilon^2 + \Delta^2}}    \,  \tanh (\sqrt{\epsilon^2 + \Delta^2} /2 T)    \right] = 0 \tag{6.76} \]

となる。6.2節と同様に、$\Delta = 0$は1つの解である。ギャップがゼロでない非自明な解は

\[    1 - {V_0 G_0 \over 2} \int d \epsilon \, {1\over \sqrt{\epsilon^2 + \Delta^2}}    \,  \tanh (\sqrt{\epsilon^2 + \Delta^2} /2 T)    = 0     \tag{6.77} \]

から得られる。低温では$\tanh (\sqrt{\epsilon^2 + \Delta^2} /2 T) \approx 1$と近似できるので、ギャップ方程式は以前に導いた方程式

\[    \Delta~\left[ 1- ~V_0 G_0 \sinh^{-1} (\omega_D/\Delta ) \right] =0     \tag{6.59} \]

に戻る。

6. 超伝導とBCS理論 vol.4

6.3 BCS基底状態

前節に引き続きBCS理論のハミルトニアン

\[\begin{eqnarray}    H &=& \sum_k 2 \epsilon_k  \beta_k^2  - V_0 \sum_{kk'} \alpha_{k'}\beta_{k'} \alpha_k \beta_k\nonumber\\    &&+ \, \sum_k \left[ - \epsilon_k (\alpha_k^2 - \beta_k^2 )    + 2 V_0 \sum_{k'} \alpha_{k'}\beta_{k'} \alpha_k \beta_k\right] (N_k + {\tilde N}_k )    \, + \, \cdots    \tag{6.61} \end{eqnarray}\]

を考える。ただし、省略した項はボゴリューボフ変換

\[    \begin{split}    A_k &=  \alpha_k c_{-k} - \beta_k b^\dagger_k \hskip 1in    B_{-k}= \alpha_k b_{k} + \beta_k c^\dagger_{-k}\\    A^\dagger_k &=  \alpha_k c^\dagger_{-k} - \beta_k b_k \hskip 1in    B^\dagger_{-k}= \alpha_k b^\dagger_{k} + \beta_k c_{-k}    \end{split}    \tag{6.46} \]

で定義した新しい生成・消滅演算子について4次のオーダーの項を表す。変数$\alpha_k, \,  \beta_k$は

\[    \alpha_k = \sin \theta_k \, , \hskip .3in \beta_k = \cos\theta_k     \tag{6.49} \]

で与えられ、数演算子$N_k , \, {\tilde N}_k$は

\[    N_k = A^\dagger_k A_k \, , \hskip .3in {\tilde N}_k = B^\dagger_{-k} B_{-k}     \tag{6.52} \]

で定義される。以下では、ハミルトニアン(6.61)をさらに変形してしていく。前節でギャップ方程式を導出した(6.58)-(6.60)と同じ近似を用いると、

\[\begin{eqnarray}    \sum_k 2 \epsilon_k  \beta_k^2  - V_0 \sum_{kk'} \alpha_{k'}\beta_{k'} \alpha_k \beta_k    &=&  \sum_k \left( 2 \epsilon_k \cos^2 \theta_k - {\Delta \over 2}    \sin 2 \theta_k \right) \nonumber\\    &=& \int d\epsilon ~G(\epsilon )~ \left[ \epsilon - {\epsilon^2 \over \sqrt{\epsilon^2 +\Delta^2}} -{1\over 2} {\Delta^2 \over \sqrt{\epsilon^2 +\Delta^2}}\right]    \nonumber\\    &=& - G_0 \left[ {1\over 2} \epsilon \sqrt{\epsilon^2 +\Delta^2}\right]^{\omega_D}_{-\omega_D}\nonumber\\    &=& -G_0\, \omega_D \sqrt{\omega_D^2 +\Delta^2}    \tag{6.62} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、

\[    \sin 2\theta_k =  {\Delta \over \sqrt{\epsilon_k^2 + \Delta^2}} \, ,    \hskip .3in \cos 2 \theta_k =  - {\epsilon_k \over \sqrt{\epsilon_k^2 + \Delta^2}}     \tag{6.57} \]

\[ \Delta = V_0 \sum_{k'} \al_{k'} \bt_{k'}  \]

を用いた。また、

\[  -  \epsilon_k (\alpha_k^2 - \beta_k^2 ) + 2 V_0 \sum_{k'} \alpha_{k'}\beta_{k'}    \alpha_k \beta_k = \sqrt{\epsilon_k^2 +\Delta^2}     \tag{6.63} \]

と書ける。よって、ハミルトニアン(6.61)は

\[    H ~ = ~ - G_0\, \omega_D \sqrt{\omega_D^2 +\Delta^2} ~+~    \sum_k \sqrt{\epsilon_k^2 +\Delta^2} ~(N_k +{\tilde N}_k) ~+\cdots     \tag{6.64} \]

と表せる。4次の項を無視する近似で、基底状態$\vert G \ket$は

\[    A_k ~\vert G \ket \, = \, B_{-k} ~\vert G\ket \, = \, 0     \tag{6.65} \]

と定義できる。よって、基底状態$\vert G \ket$のエネルギーは

\[    {\cal E}_\Delta  \, = \, - G_0\, \omega_D \sqrt{\omega_D^2 +\Delta^2}     \tag{6.66} \]

と求まる。これを$\Delta =0$でのエネルギーと比較すると、その差分は

\[    {\cal E}_\Delta - {\cal E}_{\Delta =0} =    - G_0 \, \omega_D \left[ \sqrt{\omega_D^2 +\Delta^2} - \omega_D\right]    \approx - {1\over 2} G_0 \, \Delta^2     \tag{6.67} \]

となる。よって、確かにギャップ方程式の非自明な解のほうが（自明な解$\Delta =0$に比べて）基底エネルギーを極小化する点から好ましい。

　また、(6.64)から理論のエネルギー・スペクトルはエネルギー量子$\sqrt{\epsilon_k^2 +\Delta^2}$で構成されることが分かる。$\Delta =0$となる通常の相では、エネルギー固有値は任意の微小量をとる。つまり、フェルミエネルギー近傍に自由に近づくことができる。しかし、$\Delta$がゼロでなければ、１粒子エネルギーは$\Delta$に等しいエネルギーギャップをもつ。（これが前節の式(6.58)がギャップ方程式と呼ばれる所以である。）

ギャップ$\Delta$についての関係式

\[   \Delta ~=~ \omega_D ~{1\over \sinh(1/V_0G_0)} ~\approx ~ 2~ \omega_D ~\exp \left( - {1\over V_0 G_0 }\right)     \tag{6.60} \]

とエネルギー増加の関係式(6.67)は超伝導における「同位体効果」を示している。デバイ振動数は原子核の質量と$M_{nuc}^{-{1\over 2}}$の関係で比例している。これは、超伝導物質が同じ化学組成ではあるが異なる同位体を原子核に持つ場合、電子のエネルギーギャップがわずかながら変化することを意味する。この同位体効果は転移温度にも同様に適用される。

6. 超伝導とBCS理論 vol.3

6.2 BCS理論

前節では電子間で働くペアリング相互作用

\[ \begin{eqnarray} H_{int} &=&   \sum_{k, k'} V_{k k'}\, C^\dagger_{-k' \downarrow} C^\dagger_{k'\uparrow} C_{k\uparrow} C_{-k \downarrow}\tag{6.40} \\    V_{k k'} &=&   \left.  \left( {e^2 \over q^2 + a^2 }  - {F^2 \vert D_q\vert^2 \over 2 \, \omega_q^2 }    \right) \right|_{q = k' -k}  \tag{6.38} \end{eqnarray} \]

を導出した。$ V_{k k'}$の第1項はクーロン相互作用、第2項は電子-フォノン相互作用を表す。前者は電子間の斥力、後者は引力に対応する。引力が優勢になりボーズ粒子として振る舞う電子対（クーパー対）が生成され、ボーズ・アインシュタイン凝縮により超電導現象が誘発されるという描像がBCS理論の基礎付けである。よって、ここでは $ V_{k k'} < 0$ が要請される。自由ハミルトニアン$H_0$を含めるとBCSハミルトニアンは

\[\begin{eqnarray} H &=& H_0 + H_{int} \tag{6.41}\\ H_0 &=& \sum_{k, \si} \ep_k C_{k \si}^{\dag} C_{k \si} \, ,   ~~~~~ \si = (\uparrow , \downarrow ) \tag{6.42}\\ H_{int} &=& \sum_{k, k^\prime} V_{k k^\prime} C_{-k^\prime \downarrow}^{\dag} C_{k^\prime \uparrow}^{\dag} C_{k \uparrow} C_{-k \downarrow} \tag{6.43} \end{eqnarray}\]

で与えられる。以下では、表示の混乱を避けるため異なるスピンに対応する演算子を次のように別の記号で表す。

\[\begin{eqnarray}   b_k = C_{k \uparrow} \, , &\hskip .1in& b^\dagger_k = C^\dagger_{k \uparrow} \\   c_{-k} = C_{-k \downarrow} \, , &\hskip .1in& c^\dagger_{-k} = C^\dagger_{-k \downarrow} \end{eqnarray} \tag{6.44} \] 

ハミルトニアン(6.41)-(6.43)は

\[\begin{eqnarray}    H&=& H_0 ~+~ H_{int}  \\    H_0&=& \sum_k \epsilon_k \left[ b^\dagger_k b_k ~+~  c^\dagger_k c_k \right]   \\    H_{int}&=&  \sum_{k , k'} V_{k k'}\, b^\dagger_{k'} c^\dagger_{-k'}  c_{-k} b_k    \end{eqnarray} \tag{6.45} \]

と書き換えられる。このハミルトニアンを近似的に対角化するため演算子の組み合わせ

\[    \begin{split}    A_k &=  \alpha_k c_{-k} - \beta_k b^\dagger_k \hskip 1in    B_{-k}= \alpha_k b_{k} + \beta_k c^\dagger_{-k}\\    A^\dagger_k &=  \alpha_k c^\dagger_{-k} - \beta_k b_k \hskip 1in    B^\dagger_{-k}= \alpha_k b^\dagger_{k} + \beta_k c_{-k}    \end{split}    \tag{6.46} \]

を考える。ただし、$\alpha_k, \, \beta_k$は$k$の関数であり対角化の要請から決まる。ここでの基本的なアイデアは、これらの新しい演算子を「準粒子」の生成・消滅演算子と解釈することにある。これらの準粒子は少なくともいま計算している近似の範囲で新しい固有状態を形成する。ここで、新しい演算子も元の演算子と同じ反交換関係に従うことを要請する。つまり、反交換関係

\[\begin{eqnarray}    A_k A_l + A_l A_k = 0 & \hskip .5in & B_{-k} B_{-l} + B_{-l} B_{-k} =0\nonumber\\    A_k A^\dagger_l + A^\dagger_l A_k = \delta_{kl} & \hskip .5in &    B_{-k} B^\dagger_{-l} + B^\dagger_{-l} B_{-k} = \delta_{kl}\tag{6.47}\\    A^\dagger_k A^\dagger_l + A^\dagger_l A^\dagger_k = 0 & \hskip .5in &    B^\dagger_{-k} B^\dagger_{-l} + B^\dagger_{-l} B^\dagger_{-k} = 0    \nonumber \end{eqnarray}\]

を課す。これらの関係式は

\[    \alpha_k^2 \, + \, \beta_k^2 \, = \, 1     \tag{6.48} \]

となるときに成り立つことが簡単に分かる。よって、

\[    \alpha_k = \sin \theta_k \, , \hskip .3in \beta_k = \cos\theta_k     \tag{6.49} \]

と書ける。条件(6.48)を伴う変換(6.46)のように、正準演算子の変換により得られる新しい演算子が元の演算子と同じ交換関係を満たすことが保証される場合がある。このような変換はボゴリューボフ変換として知られている。ボゴリューボフ変換(6.46)の逆変換は

\[    \begin{split}    b_k &= \alpha_k B_{-k} - \beta_k A^\dagger_k \hskip 1in    c_{-k} = \alpha_k A_k +\beta_k B^\dagger_{-k}\\    b^\dagger_k &= \alpha_k B^\dagger_{-k} - \beta_k A_k \hskip 1in    c^\dagger_{-k} = \alpha_k A^\dagger_k +\beta_k B_{-k}    \end{split}    \tag{6.50} \]

となることが分かる。これらの関係式を(6.45)に代入して、$H_0$を$A_k,  A^\dagger_k, B_{-k}, B^\dagger_{-k}$で表すと

\[    H_0 = \sum_k \epsilon_k \left[ 2 \beta_k^2  ~+~(\alpha_k^2 - \beta_k^2 )  (N_k + {\tilde N}_k)     - 2 \alpha_k \beta_k ( A_k B_{-k} +B^\dagger_{-k} A^\dagger_k )    \right]    \tag{6.51} \]

となる。ただし、$N_k, {\tilde N}_k$は新しい生成・消滅演算子に対応する数演算子であり、

\[    N_k = A^\dagger_k A_k \, , \hskip .3in {\tilde N}_k = B^\dagger_{-k} B_{-k}     \tag{6.52} \]

で与えられる。つぎに、$H_{int}$を変形する。基底状態を見つけることが当面の目的であるので、新しい生成・消滅演算子について高々2次の項のみを残して考える。つまり、$N_{k'} A_k B_{-k} $などの4次の項は無視する。また、$V_{k k'}$が$k, k'$について対称であることから、$H_{int}$は

\[\begin{eqnarray}    H_{int} &=& \sum_{kk'} V_{kk'} \left[ \alpha_{k'} \beta_{k'} \left( N_{k'} + {\tilde N}_{k'} - 1\right)    + \left(\alpha_{k'}^2 B^\dagger_{-k'} A^\dagger_{k'} - \beta_{k'}^2 A_{k'} B_{-k'} \right)    \right] \nonumber\\    && \hskip .5in    \times \left[ \alpha_{k} \beta_{k} \left( N_{k} + {\tilde N}_{k} - 1\right)    + \left( \alpha_{k}^2 A_{k} B_{-k}  - \beta_{k}^2 B^\dagger_{-k} A^\dagger_{k} \right)    \right]\nonumber\\    &\approx&  \sum_{kk'} V_{kk'} \alpha_{k'}\beta_{k'} \alpha_k \beta_k    - 2\, \sum_{kk'} V_{kk'}\alpha_{k'}\beta_{k'} \alpha_k \beta_k (N_k + {\tilde N}_k )\nonumber\\    &&\hskip .05in - \sum_{kk'} V_{kk'}\alpha_{k'}\beta_{k'} (\alpha_k^2 - \beta_k^2)  (A_k B_{-k}    + B^\dagger_{-k} A^\dagger_k ) ~+ ~ {\rm (4次の項)}   \tag{6.53} \\ \end{eqnarray}\]

と変形できる。以下では、$( A_k B_{-k} + B^\dagger_{-k} A^\dagger_k )$-項の係数をゼロとおくことでハミルトニアンの対角化を進める。この場合、全ハミルトニアンは数演算子$N_k, {\tilde N}_k$だけに依存し、簡単に対角化できる。というのも、$N_k, {\tilde N}_k$の対角基底は自明であり簡単に構成できるからである。(6.51), (6.53)より、$( A_k B_{-k} + B^\dagger_{-k} A^\dagger_k )$-項の係数をゼロにする条件は

\[    2\, \epsilon_k \alpha_k \beta_k + ( \alpha_k^2 - \beta_k^2)~ \sum_{k'} V_{kk'} \alpha_{k'} \beta_{k'} = 0     \tag{6.54} \]

で与えられる。(6.49)を用いると、これは

\[    \epsilon_k \sin 2 \theta_k  + \Delta_k \cos2 \theta_k = 0    \tag{6.55} \]

と表せる。ただし、$\Delta_k$は

\[    \Delta_k = - \sum_{k'} V_{kk'} \alpha_{k'} \beta_{k'}    = - {1\over 2} \sum_{k'} V_{kk'} \sin 2\theta_{k'}     \tag{6.56} \]

と定義した。フェルミエネルギー近傍の状態を考えているので、$k$, $k'$がその狭い範囲に限られているとすると、$V_{kk'}$は$k$, $k'$に依らないと近似できる。よって、$V_{kk'} = - V_0$ $(V_{0} > 0)$ とおける。したがって、(6.56)で定義される$\Delta_k$は$k$とは独立にとれるので、今後はこれを$\Delta$で表す。このとき、式(6.55)から

\[    \sin 2\theta_k =  {\Delta \over \sqrt{\epsilon_k^2 + \Delta^2}} \, ,    \hskip .3in \cos 2 \theta_k =  - {\epsilon_k \over \sqrt{\epsilon_k^2 + \Delta^2}}     \tag{6.57} \]

が得られる。これらを$\Delta_k$の定義式、つまり(6.56)に代入すると、$\Delta$についての方程式

\[\begin{eqnarray}    \Delta &=& {V_0 \over 2} \sum_k {\Delta \over \sqrt{\epsilon_k^2 + \Delta^2}}    \nonumber\\    &\approx& {V_0 \over 2} \int d\epsilon~ G(\epsilon )~{\Delta \over \sqrt{\epsilon^2 + \Delta^2}}   \tag{6.58} \end{eqnarray}\]

が得られる。ただし、運動量についての和を積分で近似した。ここでは、さらに $d^3k \rightarrow d \epsilon \, G(\epsilon )$ として$k$-積分をエネルギー積分に変換した。$G(\epsilon )$は状態密度を表す。式(6.58)は次節で明らかになる理由からギャップ方程式と呼ばれる。引力相互作用はフェルミ準位付近のわずかなエネルギー範囲だけで有効となる。エネルギーはフェルミ準位からの差異で測定されることを思い出すと、このエネルギー範囲は $-\omega_D \leq \epsilon \leq \omega_D$ と取れる。ただし、$\omega_D$はデバイ振動数である。(6.58)の積分範囲はこのエネルギー範囲に限定される。（$\Delta$は、ある微小範囲内で定数の値をとりその範囲を外れると突然ゼロになるという意味で、$k$に依存する量と解釈することもできる。）このエネルギー範囲で状態密度$G(\epsilon)$は定数と近似できるので$G(\epsilon )$をフェルミ準位での値 $G_0 = G (0)$ と置き換えて積分を近似できる。よって、ギャップ方程式は

\[    \Delta~\left[ 1- ~V_0 G_0 \sinh^{-1} (\omega_D/\Delta ) \right] =0     \tag{6.59} \]

と変形できる。この方程式は2つの解をもつ。1つは自明な解 $\Delta =0$ であり、もう一つは非自明な解

\[\begin{eqnarray}    \Delta &=& \omega_D ~{1\over \sinh(1/V_0G_0)}\nonumber\\    &\approx& 2~ \omega_D ~\exp \left( - {1\over V_0 G_0 }\right)     \tag{6.60} \end{eqnarray}\]

である。最後の項の導出では、$V_0 G_0$の値が一般に微小量となることを用いた。この解は本質的に非摂動的な特性をもつことに注意しよう。$V_0$は結合定数あるいは相互作用の強さを表すので、摂動展開は$V_0$の級数展開で与えられる。上式では、$\Delta$は基本的に $V_0 =0$ で特異点を持つので、この点のまわりで級数展開することはできない。次節で示すように、ギャップ方程式の2つの解のうち基底状態のエネルギーを極小化するのは非自明な解(6.60)のほうである。

6. 超伝導とBCS理論 vol.2

前回のエントリーでは超電導現象の入門として結晶中の電子とフォノンの相互作用を考え、場の量子論の摂動計算から電子-フォノン相互作用の具体的な形

\[    S_{int} ~=~ e \omega_0 \sqrt{{1\over \epsilon_\infty} - {1\over \epsilon_0}}~   \int d^4x d^3y ~\psi^* \psi (x) ~G(\vx-\vy )~ \nabla \cdot \phi (y)    \tag{6.26} \]

を導いた。以下では、この相互作用を使ってBCS理論の基礎となるペアリング相互作用を導出する。

ペアリング相互作用

　相互作用(6.26)において、電子場$\psi$と$\psi^*$はそれぞれ電子の消滅・生成演算子を表す。（正確には(6.29)で定義するように$\psi$, $\psi^*$はフェルミオン演算子$C_k$, $C_k^\dag$のモード展開で表せる。）また、${\vec \phi}$ はフォノン場を表す。フォノン場の伝播関数は2点関数

\[\begin{align}   \bra \chi (x) \, \chi (y) \ket & = \int {d^3 q\over (2\pi )^3}\,  {\vert D_q\vert^2\over 2 \omega_q}   \left[ \theta (x^0 - y^0)\, e^{-i \omega_q (x^0 - y^0) +i \vq \cdot (\vx - \vy) }\right. \nonumber\\   &  \hskip 1in \left. + \, \theta (y^0 - x^0)\, e^{ i \omega_q (x^0 - y^0) - i \vq \cdot (\vx - \vy) } \right]   \tag{6.27} \end{align}\]

で与えられる。ただし、$\chi (x) = \int d^3y \, G(x,y) \nabla \cdot \phi (y)$ である。また、ここでは$\vert D_q \vert^2 = 1/q^2$とおける。しかし、結晶構造を考慮すると$ \vert D_q \vert^2$は$1/q^2$とは異なる可能性がある。よって、基本的に$ \vert D_q \vert^2$は物質ごとに特定される関数として扱われる。

　指数$e^{i S_{int}}$を$\chi (x)$について展開し、2次のオーダーでウィック縮約を実行すると、フォノン交換による有効作用

\[   \Gamma = i {F^2 \over 2} \int d^4x d^4y \, \psi^* \psi(x) ~\psi^* \psi (y) ~\bra \chi (x) \chi (y) \ket  \tag{6.28}\]

が（2次のオーダーで）得られる。ただし、前回と同じく

\[ F = e \omega_0 \sqrt{{1\over \epsilon_\infty} - {1\over \epsilon_0}} \]

である。ここで、電子場の演算子のモード展開

\[    \psi (x) = {1\over \sqrt{V}} \sum_l C^{}_l \, e^{- i E_l x^0 +i {\vec l} \cdot \vx }, \hskip .2in    \psi^* (x) =  {1\over \sqrt{V}}  \sum_k C^\dagger_k \, e^{ i E_k x^0 - i {\vec k} \cdot \vx }   \tag{6.29} \]

を導入する。ただし、$C_k$, $C^\dagger_k$はそれぞれ電子の消滅・生成演算子である。（これらフェルミオン演算子については前回のエントリーで解説した。）このモード展開を(6.28)に代入すると、$x^0 > y^0$となる項は

\[ \begin{align} \Gamma^{(1)} &= i {F^2 \over 2} \int_q  {\vert D_q \vert^2 \over 2 \omega_q} \sum_{l,r} C^\dagger_k\, C^{}_l \,C^\dagger_p \,C^{}_r \,\, \delta_{\vp, \vr - \vq} \,\delta_{\vk, \vl +\vq}\, {2 \pi\, \delta (E_k + E_p - E_l - E_r) \over i ( E_p - E_r + \omega_q -i \epsilon)}\nonumber\\ &= {F^2 \over 2} \int_q  {\vert D_q \vert^2 \over 2 \omega_q} \sum_{l,r} \int dt\, {C^\dag_{l +q}(t) \, C^{}_l(t) \, C^\dag_{r-q}\,(t) C^{}_r (t) \over (E_{r-q} - E_r + \omega_q -i \epsilon )} \tag{6.30} \end{align} \]

と計算できる。ただし、$C_p (t) = C_p \, e^{-i E_p x^0}$ などの関係式を用いた。エネルギー保存のデルタ関数は$t$-積分で書き換えられている。同様に、運動量の入れ替えに注意すると$y^0 > x^0$となる項も

\[    \Gamma^{(2)} = -  {F^2 \over 2} \int_q  {\vert D_q \vert^2 \over 2 \omega_q} \sum_{l,r}    \int dt\, {C^\dag_{l +q}(t) \, C^{}_l(t) \, C^\dag_{r-q}\,(t) C^{}_r (t)    \over (E_{r-q} - E_r - \omega_q + i \epsilon )}\tag{6.31} \]

と計算できる。ただし、変数の変換 $\vq \rightarrow -\vq$ を用いた。これら2つの項の和をとると

\[ \begin{align}    \Gamma & =  {F^2 \over 2} \int_q  {\vert D_q \vert^2 \over 2 \omega_q} \sum_{l,r}    \int dt\, C^\dag_{l +q}(t) \, C^{}_l(t) \, C^\dag_{r-q}\,(t) C^{}_r (t) \times\nonumber\\    &\hskip .5in \left[ {1\over (E_{r-q} - E_r + \omega_q - i \epsilon )} -     {1\over (E_{r-q} - E_r - \omega_q + i \epsilon )}\right]     \tag{6.32} \end{align} \]

となる。この式の実部は、極限 $i \epsilon \rightarrow 0$ のもとで、

\[    \Gamma = {F^2 \over 2} \int_q  \vert D_q\vert^2 \int dt ~ \sum_{l, r}    { C^\dag_{l +q}(t) \, C^{}_l(t) \, C^\dag_{r-q}\,(t) C^{}_r (t) \over [ \omega_q^2 - (E_r - E_{r-q})^2]}   \tag{6.33} \]

と書ける。これは作用においてポテンシャル・エネルギーのように扱えるので、ハミルトニアンの補正項は

\[    {\tilde H} = - {F^2 \over 2} \int_q  \vert D_q\vert^2 \,\sum_{l, r}   { C^\dag_{l +q} \, C^{}_l \, C^\dag_{r-q}\, C^{}_r  \over [ \omega_q^2 - (E_r - E_{r-q})^2]}    \tag{6.34} \]

とおける。電子間に働く遮蔽されたクーロン斥力に加えてこの相互作用項も足さなければならない。つまり、４電子の相互作用項の総和は

\[    H_{int} = \int_q \sum_{l, r} C^\dag_{l +q} \, C^{}_l \, C^\dag_{r-q}\, C^{}_r     \left( {e^2 \over q^2 + a^2 }  - {F^2 \vert D_q\vert^2 \over 2 \,  [ \omega_q^2 - (E_r - E_{r-q})^2]}    \right) \tag{6.35} \]

で与えられる。ただし、$a^{-1}$はクーロン相互作用の遮蔽距離を表す。電子-フォノン相互作用の強さに応じて、(6.35)の第２項はクーロン斥力より優勢になり、$(E_r - E_{r-q})^2 < \omega_q^2$ の場合、電子間に引力相互作用を引き起こす。