15. ソリトン vol.4

前回に引き続き(3+1)次元ソリトンの巻き数

\[    Q [g]  \, = \,    \frac{1}{24 \pi^2} \, \int d^3 x \, \ep_{ijk} \Tr ( g^{-1} \d_i g \, g^{-1} \d_j g \, g^{-1} \d_k g \, )     \tag{15.55} \]

について考える。

巻き数の一般共変性

　座標変換のもとでの巻き数 $Q[g]$ の変化を考える。座標変換 $x^l \rightarrow x^{\prime i}$ を

\[    M^l_i \, = \, \frac{\d x^l}{\d x^{\prime i}}    \tag{15.59} \]

で特定する。このとき、微分 $\d_l = \frac{\d}{\d x^l}$ は

\[    \frac{\d}{\d x^l} \, \rightarrow \, \frac{\d}{\d x^{\prime i}}     \, = \,  M^l_i \frac{\d}{\d x^{l}}    \tag{15.60} \]

と変換する。また、$d x^{\prime i} =  ( M^{-1} )^{i}_{l} d x^l$ なので、積分測度は

\[    d^3 x  \, \rightarrow \, d^3 x^{\prime} \, = \, ( \det M^{-1} ) d^3 x     \tag{15.61} \]

と変換する。ただし、$\det M^{-1}$ は座標変換のヤコビアンを表す。これより、$Q[g]$ の変化は

\[\begin{eqnarray}    Q [ g ]  & = &    \frac{1}{24 \pi^2}  \int d^3 x  \, \ep^{ijk} \Tr ( g^{-1} \d_i g \, g^{-1} \d_j g \, g^{-1} \d_k g  )    \nonumber \\    & \rightarrow &    \frac{1}{24 \pi^2}  \int ( \det M^{-1} ) d^3 x \,  \ep^{ijk} M^l_i M^m_j M^n_k \,    \Tr (  g^{-1} \d_l g \, g^{-1} \d_m g \, g^{-1} \d_n g   )    \nonumber \\    & = & Q [ g ]    \tag{15.62} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、関係式 $\ep^{ijk} M^l_i M^m_j M^n_k = \det M \, \ep^{lmn}$, $\det M  \det M^{-1} = \det M M^{-1} = 1$ を用いた。したがって、$Q[g]$ は座標変換のもとで不変である。言い換えると、$Q[ g]$ は一般共変性あるいは微分同相写像 (diffeomorphism) である。また、$Q[g]$ は(3+1)次元空間の計量に依らないことにも注意しよう。よって、$Q[g]$ の値は一般に曲がった空間にも適用される。

静的なソリトン解とスキルミオン

　巻き数 $Q$ のソリトンの静的な解を議論するには、サイン-ゴルドン模型の場合と同様にハミルトニアンを定義する必要がある。静的なハミルトニアンとしてまず単純に空間微分 $\d_i$ について２次の形となる

\[\begin{eqnarray}  \H [ g ] & = &   - \al^2 \int  d^3 x \, \Tr ( g^{-1} \d_i g \,  g^{-1} \d_i g )    \nonumber \\    &=& \al^2 \int d^3 x \, \Tr ( \d_i g^\dag \, \d_i g )    \tag{15.63} \end{eqnarray}\]

を考えよう。ただし、$\al^2 $ は正の係数である。ある特定の関数 $g = \widetilde{g}$ に対してハミルトニアンをゼロでない値 $\H [ \widetilde{g} ] \ne 0$ に取れる。このときスケール変換

\[    x^i \, \rightarrow  \,  x^{\prime i} =  R \, x^i    \tag{15.64} \]

を考える。ただし、$R$ はゼロでない実数である。座標変換(15.59)を用いると、これは $M_l^i = \frac{1}{R} \del_l^i$ に対応するので $d^3 x^\prime = R^3 d^3 x$, $\frac{\d}{\d x^{\prime i}} = \frac{1}{R} \frac{\d}{\d x^i}$ となる。よって、スケール変換のもとでゼロでないハミルトニアン $\H [ \widetilde{g} ]$ は

\[\begin{eqnarray}    \H [ \widetilde{g} ]  & = &     \al^2  \int d^3 x \, \Tr    \left( \frac{\d}{\d x^i} \widetilde{g}^{\dag} \, \frac{\d}{\d x^i} \widetilde{g}  \right)    \nonumber \\    & \rightarrow &   \al^2 \int  R^3 d^3 x \, \Tr    \frac{1}{R^2} \left( \frac{\d}{\d x^i} \widetilde{g}^{\dag} \, \frac{\d}{\d x^i} \widetilde{g}   \right)    \, = \,   R \, \H [\widetilde{g} ]     \tag{15.65} \end{eqnarray}\]

と変化する。スケール変換(15.64)のもとでハミルトニアンは $R$ に比例する。これはハミルトニアンに極小値が存在しないことを意味する。よって、ハミルトニアン(15.63)から有限エネルギーをもつ解を求められない。式(15.65)を導くにあたり次元の数が重要であることに注意しよう。式(15.62)で示したように、巻き数 $Q[g]$ は被積分関数に３つの空間微分を含むので $Q[g]$ はスケール変換のもとで不変である。これはまた $Q[g]$ が共形不変量であることも意味する。

　物理モデルを構築するにはハミルトニアン(15.63)が極小値を持つように修正する必要がある。そのような修正は４次の項を追加してハミルトニアンを

\[   \H [ g ] \, = \,   \al^2 \int d^3 x \, \Tr ( \d_i g^\dag \, \d_i g )  \, + \,    \bt^2 \int d^3 x \, \Tr ( \d_i g^\dag \, \d_i g  )^2    \tag{15.66} \]

と書き換えると実現できる。ただし、$\bt^2$ は別の正の係数を表す。スケール変換(15.64)のもとで４次の追加項は $\frac{1}{R}$ に比例する。よって、上のハミルトニアンは $\H \sim \al^2 R + \frac{\bt^2}{R}$ と評価できる。したがって、ハミルトニアン(15.66)は極小値をもち、有限エネルギーの静的なソリトン解を与える。

15. ソリトン vol.3

前回は(3+1)次元ソリトンのトポロジカル不変量が保存電荷

\[  Q [g] \, = \, \int d^3 x \, J_0   \, = \,   C \, \int d^3 x \, \ep_{ijk} \, \Tr ( I_i I_j I_k )  \tag{15.29} \]

で与えられることを見た。以下では、$Q=1$ のソリトン解から規格化定数 $C$ を 決定する。

規格化

　トポロジカル不変量は写像

\[    g(x) \, : \, \mathbb{R}^3 \, \longrightarrow \, S^3    \tag{15.24} \]

の巻き数に対応する。前回議論したように、群の要素をステレオ射影表示すると $Q[g ] = 1$ ソリトンが得られる。そのような要素は

\[    g_1 (x) \, = \, a (x) {\bf 1} + i b_{i} (x) \si_i ~~~( i = 1,2,3 )    \tag{15.37} \]

で与えられる。ただし、

\[    a (x) = \frac{1 - r^2}{1+ r^2} \, , ~~~    b_{i} (x)  = \frac{2 x_i}{1+ r^2}    \tag{15.38} \]

$( r^2  = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 )$ である。以下では、巻き数(15.29)の規格化定数 $C$ を定義式 $Q[g_1 ] = 1$ から求める。

　まず、$I_i =  g_{1}^{-1} \d_i g_{1}$ は

\[    I_i = g_{1}^{-1} \d_i g_{1} \, = \, (  a  {\bf 1}  -  i b_\al  \si_\al  )  \d_i (  a  {\bf 1}  + i b_\bt   \si_\bt  )     \tag{15.39} \]

と計算できる。$a$, $b_\bt$ の微分は

\[\begin{eqnarray}    \frac{\d}{\d x_i } a &=& - \frac{4 x_i}{(1+r^2)^2} \, = \, - \frac{2b_i}{1+r^2}  \tag{15.40} \\    \frac{\d}{\d x_i } b_\bt &=& \frac{2}{1+r^2} \left( \del_{i \bt} - \frac{2 x_i x_\bt }{1+ r^2} \right)    \, = \, \frac{2}{1+r^2} \del_{i \bt} - b_i b_\bt   \tag{15.41} \end{eqnarray}\]

と表せる。よって、

\[\begin{eqnarray}    I_i &=& (  a  {\bf 1}  -  i b_\al   \si_\al ) \left(  - \frac{2 b_i}{1+r^2} {\bf 1} +    \frac{i 2}{1+r^2} \si_{i} - i b_i b_\bt \si_\bt \right) \nonumber \\    &=& \frac{ 2 b_i }{ 1+ r^2 } \left( -a + 1 -  \frac{1+ r^2}{2 } b_\al b_\al  \right) {\bf 1} \nonumber \\    && ~~ \hspace{2cm} + \,  i \si_\al \frac{2}{1+r^2}    \left( a \del_{\al i} - \frac{1+r^2}{2} a b_i b_\al + b_i b_\al + \ep_{i \al \bt } b_\bt \right)\nonumber \\    &=&i \si_\al \frac{2}{1+r^2} \left( a \del_{\al i} + x_i b_\al  + \ep_{i \al \bt } b_\bt \right) \nonumber \\    & \equiv & i \si_\al  A_{\al i}   \tag{15.42} \end{eqnarray}\]

と計算できる。ただし、関係式 $\si_\al \si_\bt = \del_{\al \bt } {\bf 1} + i \ep_{\al \bt \ga} \si_\ga$ を用いた。これより、トレース $\Tr ( I_i I_j I_k )$ は

\[    \Tr ( I_i I_j I_k ) \, = \,  - i \Tr ( \si_\al \si_\bt \si_\ga ) A_{\al i} A_{\bt j} A_{\ga k}    \, = \, 2  \ep_{\al \bt \ga}  A_{\al i} A_{\bt j} A_{\ga k}    \tag{15.43} \]

と表せる。ただし、$ \Tr ( \si_\al \si_\bt \si_\ga ) = i 2\ep_{\al \bt \ga} $ を用いた。よって、因子 $\ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k )$ は

\[\begin{eqnarray}    \ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k )  \!   &=& \! 2 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3    \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} \, ( a \del_{\al i} + x_i b_\al  + \ep_{i \al l } b_l )    \nonumber \\    && ~\hspace{2cm} \times   ( a \del_{\bt j} + x_j b_\bt  + \ep_{j \bt m } b_m )  ( a \del_{\ga k} + x_k b_\ga  + \ep_{k \ga n } b_n )    \tag{15.44} \end{eqnarray}\]

と書ける。この内ゼロでない項は

\[\begin{eqnarray}    \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a^3 \del_{\al i } \del_{\bt j} \del_{\ga k } & = & \ep_{ijk} \ep_{ijk} a^3 \, = \, 6 a^3    \tag{15.45} \\    \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a^2 x_k b_\ga  \del_{\al i } \del_{\bt j} & = &  \ep_{ijk} \ep_{ij\ga} a^2 x_k b_\ga    \nonumber \\    &=& 2 \del_{k \ga} a^2 x_k b_\ga \, = \, 2 a^2 \vec{x} \cdot \vec{b}    \tag{15.46} \\    \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a  b_m b_n \del_{\al i } \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} & = &    \ep_{ijk} \ep_{i \bt\ga}  \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} a  b_m b_n    \nonumber \\    & = & - \ep_{j \bt m} \ep_{\bt j n} a b_m b_n   \, = \, 2 a \vec{b} \cdot \vec{b}    \tag{15.47} \\    \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} x_i b_\al  b_m b_n \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} & = &    \ep_{ijk} \ep_{j \bt m} \ep_{\al \bt\ga}  \ep_{k \ga n} x_i b_\al b_m b_n    \nonumber \\    & = &  \ep_{\al \bt \ga} \ep_{\bt \ga n} x_i b_\al  b_i b_n \, = \, 2 \vec{x} \cdot \vec{b} \, \vec{b} \cdot \vec{b}    \tag{15.48} \end{eqnarray}\]

などから得られるので、まとめると

\[\begin{eqnarray}    && \ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k ) \nonumber \\    &=& 2  \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3    \left( 6 a^3 +  2 a^2 \vec{x} \cdot \vec{b} \times 3 +  2 a \vec{b} \cdot \vec{b} \times 3    + 2 \vec{x} \cdot \vec{b} \, \vec{b} \cdot \vec{b} \times 3 \right)    \nonumber \\    &=& 12  \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3  \left[ a^2 \left( a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } \right)    + \left(\frac{2}{1+r^2 }  \right)^2 r^2 \left( a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } \right) \right]    \nonumber \\    &=& 12 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3    \tag{15.49} \end{eqnarray}\]

と表せる。ただし、関係式

\[\begin{eqnarray}    a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } &=& 1     \tag{15.50} \\    a^2 + \left(\frac{2}{1+r^2 }  \right)^2 r^2 &=& \left(\frac{1}{1+r^2 }  \right)^2 \left[ (1 - r^2)^2 + 4 r^2 \right] \, = \, 1    \tag{15.51} \end{eqnarray}\]

を用いた。式(15.29)と式(15.49)から $Q[g_1 ]$ は

\[\begin{eqnarray}    Q [ g_1 ] &=&  C \, \int d^3 x \, \ep_{ijk} \, \Tr ( I_i I_j I_k ) \, = \,  C \, \int d^3 x  12 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3    \nonumber \\    &=& C \cdot 12 \cdot 8  \, \int \frac{ 4 \pi r^2}{ (1+ r^2 )^2 } dr \, = \, C \cdot 24 \pi^2    \tag{15.52} \end{eqnarray}\]

と求まる。ただし、積分測度を $d^3 x = 4 \pi r^2 dr$ と変換し

\[    \int_0^\infty  \frac{r^2}{(1+ r^2 )^3 } dr \, = \, \frac{\pi}{16}  \tag{15.53} \]

を用いた。したがって、定義式 $Q [ g_1 ] = 1$ より規格化定数は

\[    C \, = \, \frac{1}{24 \pi^2}     \tag{15.54} \]

とおける。

15. ソリトン vol.2

15.2   (3+1)次元のソリトン

この節では空間３次元のソリトンを考える。$\mathbb{R}^3$ 上の座標を $x_i$ ($i=1,2,3$) とする。３次元球面 $S^3$ のステレオ射影により $S^3$ は $x_i$ を用いて、

\[    y_i \, = \, \frac{2 x_i}{1 + r^2} \, , ~~~~~    y_4 \, = \, \frac{1- r^2}{1+ r^2}       \tag{15.21} \]

とパラメータ表示できる。ただし、$r^2  = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$ である。これは $\mathbb{R}^3$ 上の配位と $S^3$ の配位を同一視できることを意味する。パラメータ表示(15.21)は12.2節で見た２次元球面のステレオ射影

\[    x_1 = \frac{z + \bz }{1 + z\bz} \, , ~~~    x_2 = i \frac{z - \bz }{1 + z\bz} \, , ~~~    x_3 = \frac{1 - z \bz }{1 + z\bz}    \tag{12.49} \]

の３次元版になっている。

　また、$S^3 \simeq SU(2)$ から、$SU(2)$ 群の要素で $S^3$ の座標を表せる。群の要素 $g \in SU(2)$ は $g^\dag g = 1$, $\det g = 1$ を満たす。12.2節の(12.20)で示したように、$g$ は $2 \times 2$ パウリ行列 $\si_i$ を用いて

\[    g (x) \, = \, a (x)  +  i b_i (x) \, \si_i    \tag{15.22} \]

とパラメータ表示できる。ただし、$a$, $b_i$ ($i=1,2,3$) は $\vec{x}$ の関数であり、

\[    a^2 + b_i^2 \, = \, 1     \tag{15.23} \]

を満たす。これは $g(x)$ が写像

\[    g(x) \, : \, \mathbb{R}^3 \, \longrightarrow \, S^3    \tag{15.24} \]

を与えることを意味する。よって、$g(x)$ は前節における

\[    u( x) \, : \, \mathbb{R} \, \longrightarrow \, S^1     \tag{15.13} \]

の3次元空間への拡張と考えられる。写像(15.24)の巻き数を $Q [g]$ とする。ステレオ射影表示(15.21)は$\mathbb{R}^3$ と $S^3$ の配位を一対一に対応させるので、(15.22)で $a = y_4$, $b_i = y_i$ と同定すると定義より $Q = 1$ となる。今節ではこの $Q=1$ ソリトン解について詳しくみていく。

保存カレントとトポロジカル不変量

　前節の場合、相対論的な２元電流密度は $u (x) = \exp ( i \phi )$ を用いて

\[    J_\mu \, = \, \frac{1}{2 \pi} \ep_{\mu\nu} \, \d_\nu \phi    \, = \, - \frac{i}{2 \pi} \ep_{\mu\nu} \, u^\dagger \d_\nu u    \tag{15.14} \]

と表せた。同様に、(3+1)次元における相対論的な４元電流密度（４元カレント）は

\[   J_\mu \, = \, C \, \ep_{\mu\nu\al\bt} \, \Tr \left(  g^{-1} \d_\nu g ~ g^{-1} \d_\al g ~ g^{-1} \d_\bt g   \right)  \tag{15.25} \]

の形に表せると推測できる。ただし、$C$ は規格化定数である。（$g$ は非アーベル型群の要素であり行列で表される基底を持つためトレースが必要になる。）以下では、運動方程式を用いずに $J_\mu$ が保存するかどうかを見てみる。関係式

\[    \d_\mu ( g^{-1} \d_\nu g )    \, = \,    - g^{-1} \d_\mu g ~ g^{-1} \d_\nu g \, + \,    g^{-1} \d_\mu \d_\nu g    \tag{15.26} \]

と添え字 $(\mu , \nu , \al , \bt )$ の反交換関係から $\d_\mu J_\mu$ は

\[    \d_\mu J_\mu \, = \,    - \, C \, \ep_{\mu\nu\al\bt} \, \Tr \left(    I_\mu I_\nu I_\al I_\bt +    I_\nu I_\mu I_\al I_\bt +    I_\nu I_\al I_\mu I_\bt    \right)    \tag{15.27} \]

と計算できる。ただし、$I_\mu$ は $I_\mu = g^{-1} \d_\mu g$ で定義される。右辺の第一項は

\[\begin{eqnarray}    \ep_{\mu\nu\al\bt} \, \Tr ( I_\mu I_\nu I_\al I_\bt )    & = &    \ep_{\mu\nu\al\bt} \, \Tr ( I_\bt I_\mu I_\nu I_\al )    \, = \,    - \ep_{\bt \mu\nu\al} \, \Tr ( I_\bt I_\mu I_\nu I_\al )    \nonumber \\    & = &    - \ep_{\mu\nu\al\bt} \,  \Tr ( I_\mu I_\nu I_\al I_\bt )    \, = \, 0     \tag{15.28} \end{eqnarray}\]

と計算できる。同様に、他の項もゼロになることが分かる。したがって、(15.25)の４元カレント $J_\mu$ は $\d_\mu J_\mu = 0$ を満たし、確かに保存する。

ソリトン数１のスキルミオン解を ChatGPT に聞いたら答えが怪しかったので自力で計算してみた件

ここで、スキルミオンは $(3+1)$ 次元のソリトン解を指す。前回、サイン-ゴルドン方程式で扱った $(1+1)$ 次元のソリトン解を３次元空間に拡張したものに当たる。このソリトン数（巻き数）は

\[    Q [g]  \, = \,    \frac{1}{24 \pi^2} \, \int d^3 x \, \ep_{ijk} \Tr ( g^{-1} \d_i g \, g^{-1} \d_j g \, g^{-1} \d_k g \, )     \tag{1} \]

で与えられる。ただし、$g$ は $SU(2)$ 群の要素であり、$g^\dag g = 1$, $\det g = 1$ を満たす。パウリ行列を用いると $g$ は

\[    g (x) \, = \, a (x)  {\bf 1} +  i b_i (x) \, \si_i    \tag{2} \]

とパラメータ表示できる。ここで、$a$, $b_i$ $( i=1,2,3 )$ は $\vec{x}$ の関数であり条件式

\[    a^2 + b_i^2 \, = \, 1   \tag{3} \]

を満たす。これより、$g(x)$ は写像

\[    g(x) \, : \,  \mathbb{R}^3 \, \longrightarrow \, S^3     \tag{4} \]

を与えることが分かる。

　３次元球面 $S^3$ のステレオ射影を用いると $a$, $b_i$ は

\[     a  =  \frac{1- r^2}{1+ r^2} \, , ~~~~~ b_i  =  \frac{2 x_i}{1 + r^2}  \tag{5} \]

とパラメータ表示できる。ただし、$r^2  = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$ である。ステレオ射影により $S^3$ 上の配位は $\mathbb{R}^3$ 上の配位と等価なのでこのパラメータ表示は巻き数１に対応する。すなわち、式(2), (5)を(1)に代入すると $Q = 1$ が得られる（はずである）。これは良く知られている結果であるが、係数 $1/ 24 \pi^2$ が本当に正しいのだろうか。実際に手を動かしてみるとこの計算は自明でない。そこで、困ったときの ChatGPT 頼みということで、

calculate winding number for skyrmions using stereographic parametrization

calculate $Q=1$ winding number for skyrmions using stereographic parametrization

などとして聞いてみた。が、どうも回答が統一しない。何度か試しても同じだったので結局自力で計算することにした。

　求めたいのは式(1)なので先ず $I_i =  g^{-1} \d_i g$ を計算しよう。

\[ I_i = g^{-1} \d_i g = (  a  {\bf 1}  -  i b_\al  \si_\al  )  \d_i (  a  {\bf 1}  + i b_\bt   \si_\bt  ) \tag{6} \]

ただし、$a$ と $b_\bt$ の微分はそれぞれ

\[ \begin{eqnarray} \frac{\d}{\d x_i } a &=& - \frac{4 x_i}{(1+r^2)^2} \, = \, - \frac{2b_i}{1+r^2} \tag{7} \\  \frac{\d}{\d x_i } b_\bt &=& \frac{2}{1+r^2} \left( \del_{i \bt} - \frac{2 x_i x_\bt }{1+ r^2} \right) \, = \, \frac{2}{1+r^2} \del_{i \bt} - b_i b_\bt  \tag{8} \end{eqnarray} \]

と書ける。よって、

\[ \begin{eqnarray} I_i &=& (  a  {\bf 1}  -  i b_\al   \si_\al ) \left(  - \frac{2 b_i}{1+r^2} {\bf 1} + \frac{i 2}{1+r^2} \si_{i} - i b_i b_\bt \si_\bt \right) \nonumber \\ &=& \frac{ 2 b_i }{ 1+ r^2 } \left( -a + 1 -  \frac{1+ r^2}{2 } b_\al b_\al  \right) {\bf 1} + i \si_\al \frac{2}{1+r^2} \left( a \del_{\al i} - \frac{1+r^2}{2} a b_i b_\al + b_i b_\al + \ep_{i \al \bt } b_\bt \right)\nonumber \\ &=&i \si_\al \frac{2}{1+r^2} \left( a \del_{\al i} + x_i b_\al  + \ep_{i \al \bt } b_\bt \right) \nonumber \\ & \equiv & i \si_\al  A_{\al i} \tag{9}  \end{eqnarray} \]

となる。ただし、$\si_\al \si_\bt = \del_{\al \bt } {\bf 1} + i \ep_{\al \bt \ga} \si_\ga$ を用いた。これより、

\[ \Tr ( I_i I_j I_k ) \, = \,  - i \Tr ( \si_\al \si_\bt \si_\ga ) A_{\al i} A_{\bt j} A_{\ga k} \, = \, 2  \ep_{\al \bt \ga}  A_{\al i} A_{\bt j} A_{\ga k} \tag{10} \]

が分かる。ただし、$ \Tr ( \si_\al \si_\bt \si_\ga ) = i 2\ep_{\al \bt \ga} $ を用いた。$\ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k )$ は

\[ \begin{eqnarray} && \ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k ) \nonumber \\ &=& 2 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3 \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} ( a \del_{\al i} + x_i b_\al  + \ep_{i \al l } b_l )  ( a \del_{\bt j} + x_j b_\bt  + \ep_{j \bt m } b_m )  ( a \del_{\ga k} + x_k b_\ga  + \ep_{k \ga n } b_n ) \tag{11} \end{eqnarray} \]

と表せる。展開するとゼロでない項は

\[\begin{eqnarray}  \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a^3 \del_{\al i } \del_{\bt j} \del_{\ga k } & = & \ep_{ijk} \ep_{ijk} a^3 \, = \, 6 a^3 \tag{12} \\ \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a^2 x_k b_\ga  \del_{\al i } \del_{\bt j} & = &  \ep_{ijk} \ep_{ij\ga} a^2 x_k b_\ga \, = \, 2 \del_{k \ga} a^2 x_k b_\ga \, = \, 2 a^2 \vec{x} \cdot \vec{b} \tag{13} \\ \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} a  b_m b_n \del_{\al i } \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} & = &  \ep_{ijk} \ep_{i \bt\ga}  \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} a  b_m b_n  \, = \, - \ep_{j \bt m} \ep_{\bt j n} a b_m b_n \, = \, 2 a \vec{b} \cdot \vec{b} \tag{14} \\  \ep_{ijk}  \ep_{\al \bt \ga} x_i b_\al  b_m b_n \ep_{j \bt m} \ep_{k \ga n} & = &  \ep_{ijk} \ep_{j \bt m} \ep_{\al \bt\ga}  \ep_{k \ga n} x_i b_\al b_m b_n  \, = \,  \ep_{\al \bt \ga} \ep_{\bt \ga n} x_i b_\al  b_i b_n \, = \, 2 \vec{x} \cdot \vec{b} \, \vec{b} \cdot \vec{b} \tag{15} \end{eqnarray} \]

などから得られるので、まとめると

\[\begin{eqnarray} \ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k ) &=& 2  \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3 \left( 6 a^3 +  2 a^2 \vec{x} \cdot \vec{b} \times 3 +  2 a \vec{b} \cdot \vec{b} \times 3 + 2 \vec{x} \cdot \vec{b} \, \vec{b} \cdot \vec{b} \times 3 \right) \nonumber \\ &=& 12  \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3  \left[ a^2 \left( a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } \right) + \left(\frac{2}{1+r^2 }  \right)^2 r^2 \left( a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } \right) \right] \nonumber \\ &=& 12 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3 \tag{16} \end{eqnarray} \]

と表せる。ただし、式(5)から明らかなように

\[\begin{eqnarray}  a+ \frac{2r^2}{1 + r^2 } &=& 1 \nonumber \\  a^2 + \left(\frac{2}{1+r^2 }  \right)^2 r^2 &=& \left(\frac{1}{1+r^2 }  \right)^2 \left[ (1 - r^2)^2 + 4 r^2 \right] \, = \, 1  \end{eqnarray} \]

が成り立つことに注意しよう。以上より、(2), (5)で定義される $g$ をソリトン数 $Q [g]$ に代入すると確かに

\[\begin{eqnarray} Q [g] &=& \frac{1}{24 \pi^2 } \int d^3 x  \, \ep_{ijk} \Tr ( I_i I_j I_k ) \, = \,  \frac{1}{24 \pi^2 } \int d^3 x \, 12 \left( \frac{2}{1 + r^2 } \right)^3 \nonumber \\ &=&  \frac{16}{\pi } \int \frac{r^2}{(1+ r^2 )^3 } dr \, = \, 1 \tag{17} \end{eqnarray} \]

と求まる。ただし、積分測度を $d^3 x$ から $4 \pi r^2 dr$ へ変換し

\[ \int_0^\infty  \frac{r^2}{(1+ r^2 )^3 } dr \, = \, \frac{\pi}{16} \]

を用いた。

遠征登山：名阪国道針インターから大台ヶ原

　6月に大山登ったときは鳥取選出の首相でしたが、新たに「奈良の女」が首相になったので大台ヶ原へ！ 子供の時は大阪（柏原）と兵庫（神戸）に住んでいて母の実家が三重（楠町）だったので休日よく名阪国道を利用しました。馴染みのある道ですが途中で降りたことはありませんでした。降りたらいけないところだと思っていましたが、今回都内から最短ルートで大台ヶ原に行くには針インターがらが近いようなので初めて降りました。大宇陀から吉野川まで南下し川上村経由で大台ヶ原ドライブウェイへ。絶好のツーリングルートでした。ドライブウェイは県道40号ということで無料。去年同じ時期に伊吹山へ行きましたが、伊吹山ドライブウェイのように有料にして貰ってもいいと思います。少しでも道路整備の役に立つのなら数百円の通行料で文句言う人いないはず。首相の力で奈良県内の道路整備進めてくれないかな。先ずは名阪国道高速化の早期実現を！（やる気あるんか知らんけど。）

　都内を前日17時前に出て、途中のSAで仮眠を挟みつつ朝7時に大台ヶ原ビジターセンターに到着。すでに満車で誘導に従い路肩駐車しました。誘導員の方によると朝6時には満車になったとのこと。皆さん暗い中、前乗りされていたのですね。三連休舐めてました。登山口からしばらく歩くと展望台へ。志摩半島、熊野灘一望できます。熊野本宮大社、熊野那智大社、花の窟、鬼ヶ城など2023、2024年末に行ったなー。