10.3 FLRW計量と宇宙論的な解
この節では宇宙の計量として最も蓋然性の高いものとその解を考える。まず初めに、宇宙の計量に時間並進の不変性を課すことはできない。というのも、もしそうなら歴史は存在しないためである。そこで、宇宙について次の二つの原理を課す。
- 特別な原点を持たない一様宇宙(空間並進不変性)
- 特別な方向を持たない等方宇宙(空間回転不変性)
よって、宇宙の計量は空間並進と空間回転のキリング・ベクトルを持つと推測できる。そのような計量の試行関数はフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量 (FLRW計量)
ds2=dt2−a2(t)(dr21−kr2+r2dθ2+r2sin2θdφ2)
で与えらえる。ただし、a(t)は時間に依存するスカラー因子を表す。動径座標rの規格化はaに吸収されるので、kとして3つの場合のみを考えればよい。すなわち、 k=0,+1,−1 である。k=0 の場合、FLRW計量の空間部分は dr2+r2dθ2+r2sin2θ∂φ2=dx2+dy2+dz2 と書けるので、計量は平坦な空間を表す。k=+1 の場合、FLRW計量の空間部分は
dr21−r2+r2dθ2+r2sin2θdφ2=dα2+sin2α(dθ2+sin2θdφ2)
となる。ただし、rを r=sinα とパラメータ表示した。これは3次元曲面S3の計量を与える。同様に、k=−1 の場合は r=sinhα とパラメータ表示すると、負の曲率を持つ3次元双曲面(ロバチェフスキー多様体)の計量となる。よって、空間の幾何学はkによっては次のように分類できる。
k={0ユークリッド幾何学 (平坦空間)1曲率が正のリーマン幾何学 (3次元球面)−1曲率が負のリーマン幾何学 (双曲幾何学)
一様等方な宇宙を仮定すると宇宙は理想流体で満たされていると近似できる。このときアインシュタイン方程式は
Rμν−12gμνR−8πGΛgμν=8πGTμν
と書ける。ただし、Tμνは理想流体のエネルギー・運動量テンソル
Tμν=(ρ+P)uμuν−Pgμν
で与えられる。ここで、uμは流体の4元速度ベクトルであり、ρとPはそれぞれ流体のエネルギー密度と圧力を表す。一様等方宇宙では空間成分の速度 ui をゼロとおける。つまり、静的な座標フレームを選ぶことができる。よって、Tμνのゼロでない成分は
T00=ρ, T11=−Pg11, T22=−Pg22, T33=−Pg33
となる。ただし、u0u0=1 を用いた。つぎに、FLRW計量に対応するアインシュタイン方程式を求める。計量テンソルを書き下すと
g00=1, g11=−a21−kr2, g22=−a2r2, g33=−a2r2sin2θg00=1, g11=−1−kr2a2, g22=−1a2r2, g33=−1a2r2sin2θ
となる。ゼロでないクリストッフェル記号の成分は以下で与えらえる。
Γ100=a˙a1−kr2, Γ111=kr1−kr2Γ022=a˙ar2, Γ122=−(1−kr2)r Γ033=a˙ar2sin2θ, Γ133=−(1−kr2)rsin2θ, Γ233=−sinθcosθΓ101=Γ202=Γ303=˙aa, Γ212=Γ313=1r, Γ323=cosθsinθ
必要となるリッチ・テンソルは
R00=−3(∂0+Γ101)Γ101=−3¨aaR11=(∂0+Γ101)Γ011−2(∂1+(Γ111−Γ212))Γ212=11−kr2(2˙a2+a¨a+2k)R22=(∂0+Γ202)Γ022+(∂1+Γ111)Γ122−(∂2+Γ323)Γ323=r2(2˙a2+a¨a+2k)R33=(∂0+Γ303)Γ033+(∂1+Γ111)Γ133+(∂2−Γ323)Γ233=r2sin2θ(2˙a2+a¨a+2k)
と計算できる。これより、スカラー曲率は
R=R00g00+R11g11+R22g22+R33g33=−6(¨aa+˙a2a2−ka2)
と求まる。よって、アインシュタイン方程式(10.35)は2つの方程式
3(˙a2a2+ka2)=8πG(ρ+Λ)−(˙a2a2+2¨aa+ka2)=8πG(P−Λ)
に変形できる。(10.43)の時間微分を取ると
3˙aa(2¨aa−2˙a2a2−2ka2)=8πGdρdt
を得る。一方、(10.43)と(10.44)の和は
−(2¨aa−2˙a2a2−2ka2)=8πG(ρ+P)
と表せる。(10.45)と(10.46)から
˙ρ+3˙aa(ρ+P)=0
と求まる。これはエネルギー・運動量の保存則 ∇μTμ0=0 あるいは連続方程式と考えられる。連続方程式であることは、T00がエネルギー密度、T0iがエネルギー・フラックスを表すことから分かる。実際、共変微分の定義(10.7)から ∇μTμ0 は
∇μTμ0=∂μTμ0+ΓμμλTλ0−Γλμ0Tμλ=∂0T00+(Γ110+Γ330+Γ330)T00−(Γ110T11+Γ220T22+Γ330T33)=˙ρ+3˙aa(ρ+P)
と計算できる。よって、一様等方宇宙は2つの基本方程式
˙a2a2+ka2=8πG3(ρ+Λ)˙ρ+3˙aa(ρ+P)=0
で特徴づけられる。これらはフリードマン方程式と呼ばれる。宇宙論的な解はこのフリードマン方程式の解として求まる。次回ではこのアイデアに基づいて、一様等方宇宙を3つの時代に分類する。
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