2. 水素原子の束縛状態と散乱状態 vol.2

2.2 束縛状態

この節では前節で導いた代数

\[  \left\{ \begin{eqnarray}　\left[ L_i , L_j \right] &=& i \ep_{ijk} L_k  \\ \left[ L_i , R_j \right] &=& i \ep_{ijk} R_k \\ \left[ R_i , R_j \right] &=& i \ep_{ijk} \left( - \frac{2H}{m} \right) L_k  \\ \left[ L_i , H \right] &=& \left[ R_i , H \right] \, = \, 0 \\ \end{eqnarray}  \right.  \tag{2.29} \]

において$H \le 0$の場合を考える。これは水素電子の束縛状態に対応する。はじめにルンゲ-レンツベクトルを

\[M_i = \sqrt{\frac{-m}{2H}} R_i \tag{2.30}\]

と規格化すると、(2.29)は

\[ \left\{ \begin{eqnarray} \left[ L_i , L_j \right] &=& i \ep_{ijk} L_k  \\ \left[ L_i , M_j \right] &=& i \ep_{ijk} M_k  \\ \left[ M_i , M_j \right] &=& i \ep_{ijk} L_k  \\   \end{eqnarray}  \right.  \tag{2.31} \]

となる。これは$O(4)$代数であり、4次元回転の生成子に対応する。この代数を

\[ S_i = \frac{L_i + M_i}{2} \, , ~~ T_i = \frac{L_i - M_i}{2} \tag{2.32}\]

で表すと

\[\begin{eqnarray} \left[ S_i , T_j \right] &=& \frac{1}{4} \left[ L_i + M_i , L_j - M_j \right] \nonumber \\ &=& \frac{i}{4} \ep_{ijk} ( L_k - M_k + M_k - L_k ) \, = \, 0 \tag{2.33} \\ \left[ S_i , S_j \right] &=& \frac{1}{4} \left[ L_i + M_i , L_j + M_j \right] \nonumber \\ &=& \frac{i}{4} \ep_{ijk} ( L_k + M_k + M_k + L_k ) \, = \, i \ep_{ijk} S_k \tag{2.34} \\ \left[ T_i , T_j \right] &=& \frac{1}{4} \left[ L_i - M_i , L_j - M_j \right] \nonumber \\ &=& \frac{i}{4} \ep_{ijk} ( L_k + L_k - M_k - M_k ) \, = \, i \ep_{ijk} T_k \tag{2.35} \end{eqnarray}\]

となる。よって、$O(4)$代数は2つの独立な（互いに可換な）角運動量代数$S_i$, $T_i$で表せる。

　水素原子のエネルギー・スペクトルを理解するためにハミルトニアンを$S_i$と$T_i$で表す必要がある。そのためにまず$R^2$を計算する。

\[\begin{eqnarray} R^2 &=& \left( \frac{1}{m} \ep_{ijk} p_j L_k - \frac{i}{m}p_i - \ka \hat{x}_i \right) \left( \frac{1}{m} \ep_{iab} p_a L_b - \frac{i}{m}p_i - \ka \hat{x}_i \right) \nonumber \\ &=& \left[ \frac{1}{m^2} p_j L_k ( p_j L_k - p_k L_j ) - \frac{i}{m^2} \ep_{ijk} p_j L_k p_i -\frac{\ka}{m} \ep_{ijk} p_j L_k \hat{x}_i \right. \nonumber \\&&~~~~~~~~~~~~~~~~~ \left. + \frac{i \ka}{m} p\cdot \hat{x} - \frac{\ka}{m} \ep_{iab} \hat{x}_i p_a L_b + \frac{i \ka}{m} \hat{x} \cdot p + \ka^2 - \frac{p^2}{m^2} \right] \nonumber \\ &=& \frac{1}{m^2} p^2 L^2 + \frac{2 p^2}{m^2} - \frac{2 \ka}{m r} L^2 + \frac{i \ka}{m} ( \hat{x} \cdot p - p \cdot \hat{x} ) + \ka^2 - \frac{p^2}{m^2} \nonumber \\ &=& \frac{p^2}{m^2} ( L^2 + 1) - \frac{2 \ka}{mr} L^2 - \frac{2 \ka}{mr}  + \ka^2 \nonumber \\ &=& \left( \frac{p^2}{m^2} - \frac{2 \ka}{m r} \right) ( L^2 + 1) + \ka^2 \nonumber \\ &=& \frac{2}{m} H (L^2 + 1) + \ka^2 \tag{2.36}\end{eqnarray}\]

ただし、$(\hat{x} \cdot p - p \cdot \hat{x} )$の因子を変形するのに前節で導いた関係式

\[ \begin{eqnarray} \hat{x} \cdot p - p \cdot \hat{x} &=& \frac{x_i}{r} p_i - p_i \frac{x_i}{r}  \nonumber \\ &=& \frac{x_i}{r} p_i - i \frac{\d}{\d x^i} \left( \frac{x_i}{r} \right) -\frac{x_i}{r} p_i \nonumber \\ &=&  \left( \frac{3}{r} - \frac{x_i}{r^2} \frac{x_i}{r} \right) \, = \, \frac{i2}{r} \tag{2.28} \end{eqnarray} \]

を用いた。(2.30), (2.36)からハミルトニアンは

\[H = - \frac{m \ka^2}{2} \frac{1}{M^2 + L^2 +1 }\tag{2.37}\]

と表せる。式(2.32)に戻ると

\[S^2 = \frac{1}{4}( L^2 + M^2 + L \cdot M + M \cdot L)\tag{2.38}\]

が分かる。ここで、$L \cdot M$ and $M \cdot L$の因子はゼロになる。これは

\[\begin{eqnarray}R \cdot L &=& \frac{1}{m} \ep_{ijk} p_j L_k L_i = \frac{1}{m} \ep_{ijk}p_j \frac{L_k L_i - L_i L_k}{2} \nonumber \\&=& \frac{i}{2m} \ep_{ijk} p_j \ep_{ki m} L_m \, = \, 0 \tag{2.39}\end{eqnarray}\]

からすぐに分かる。あるいは、$\vec{L}$と$\vec{R}$が直交していることから自明である。

これより、

\[S^2 + T^2 = \frac{ L^2 + M^2 }{2}\tag{2.40}\]

($S^2 = T^2$) が分かる。よって、ハミルトニアンは

\[ H = - \frac{m \ka^2}{ 2 } \frac{1}{ 2 ( S^2 + T^2 ) + 1 } \tag{2.41}\]

と表せる。$S_i$は角運動量代数に従うので、$S^2 + T^2$ as $S^2 + T^2 = 2 S^2 = 2 s(s+1)$と書ける。ただし、$s= {1\over 2}{q}$　($q = 0, 1,2, \cdots$) である。すなわち、

\[S^2 + T^2 \, = \, q \left( \frac{q}{2} + 1 \right) \tag{2.42}\]

となる。よって、ハミルトニアンは

\[H = - \frac{m \ka^2}{ 2 }\frac{1}{  n^2 } \,  ~~~~~~( n \equiv q+1 = 1,2, 3, \cdots )\tag{2.43}\]

と書き換えられる。この結果は$H$の固有値であり、正しい水素原子のエネルギー・スペクトルに対応する。これはボーア理論と同じ結果であり、シュレディンガー方程式から得られる結果とも一致する。上式の$n$は主量子数に相当することが分かる。

縮退度

　角運動量演算子が$L_i = S_i + T_i$と書けるので、$S_i$と$T_i$を用いて固有状態の縮退度を数えることができる。よって、固有状態は$| s, m_s , t, m_t \ket$とラベルできる。ここで、$s = t$であり、$m_{s} , m_{t} = s, s-1, \cdots,  -s$とおける。こりより縮退状態の数は$(2s + 1)^2 = (q+1)^2 = n^2$と数えられ、量子力学の結果と同じである。$L_i$の量子数は$l = 0, 1, 2, \cdots , q =n-1 (=2s)$の値をとる。よって、水素原子のエネルギー・スペクトルの縮退度もシュレーディンガー方程式から得られる結果と同じになる。