父とのお別れ

 先日、7月12日23時46分に7ヵ月以上入院していた父が永眠いたしました。

7月19日に近親者のみで葬儀・告別式を執り行いました。

人徳があり謙虚で誠実。人格者の父でした。いつまでも忘れません。

3次元 Yang-Mills 理論のシュレーディンガー表現

 プリンストン高等研究所では例年、大学院生向けにある特定のトピックについての夏の学校が開かれています。私が参加したのはもう20年前2003年のことでしたが素晴らしい環境だったので今でもよく覚えています。今年の夏の学校のトピックはYang-Mills理論の閉じ込めについてのようです。私の指導教官だったNairの動画も出ていたので大学院生に戻った気分で興味深く見ました。

相変わらずとても分かり易く勉強になる講義でした。ハミルトニアンを用いた３次元 Yang-Mills 理論は長年ナイアが研究してきたトピックで私も2008年に関連論文を出したことがあります。それ以降ほ比較的新しい内容（カシミール効果の計算、超対称性ゲージ理論への応用、非アーベル型エンタングルメントについての洞察）も丁寧に解説されています。ナイアが好きな質量ギャップについての理解も二日目の講義の32分ごろから披露されていて懐かしかったです。100ページ以上の丁寧な講義録も用意されており、意欲のある学生・若い研究者が取り組みやすいよう配慮されています。Yang-Mills理論の（ラージ$N$ではない）非摂動的な手法に興味ある方は是非ご覧ください。

Mathematical Review 115: IKKT行列模型、最近の進展

私が大学院に入ったのは1999年でしたが、その頃の素粒子論は弦理論全盛でその中でも特に全てのタイプの超弦理論を統一するという(Witten先生が発見し命名した) ${\cal M}$ 理論が注目されていました。${\cal M}$ 理論がもつ時空の非可換性との関連で ${\cal M}$ 理論が行列模型で表されるというBFSS行列模型が提唱され、またほぼ同時期にあるタイプ(Type IIBと呼ばれる)超弦理論が行列模型として記述できるというIKKT行列模型が提唱されました。当然ながらこれらについて多くの論文が出ました。博士課程の頃、私もこの流れに乗らないとポスドクが見つからないだろうという思いもあり、これらの行列模型について論文を書きました。20年ぐらい昔の話です。

結局、ポスドクは見つからずその後これらの行列模型についてあまりフォローしていなかったのですが、先日、AMS の Mathematical Reviews からIKKT模型についての論文のレビューを依頼されたので少し読んでみました。昔のことを思い出しながら、ざっと見た感じで表面的にレビューしただけですが、とりあえずこちらを寄稿しました。最近、偶然にも長谷部さんからIKKT行列模型についての関連論文を教えてもらっていたので、こちらについても読んでみました。IKKT行列模型から高次元スピンのゲージ理論やゲージ場の散乱振幅を導くという話です。何故そのようなことを考えるのか今の私には良くわかりませんが、20年にわたり同じトピックを深めていくSteinacker氏の研究スタイルには感服します。今後もシミュレーションではない解析的な手法でIKKT行列模型の研究を続けて行ってもらいたいと思います。

また肩を痛めてしまいました

 以前、痛めたのは5年前。

https://yasuabe.blogspot.com/2018/07/blog-post_31.html

https://yasuabe.blogspot.com/2018/08/blog-post_37.html

２ヵ月ほど休んで自然に治ったのですが、最近またテニスの頻度が上がったためやってしまいました。症状からおそらく腱板損傷、肩峰のインピンジメントだと思います。調べてみたところ以前より有益な情報が見つかりました。例えば、

具体的な治療法として

１．安静にして炎症を抑える

２．三角筋のストレッチ

３．肩のインナーマッスルを鍛える

テニスの団体戦 2023

若者の活躍もあり念願の1部昇格。今年はシングルス2勝、ダブルス2勝1敗（1勝は不戦勝）で少しは貢献できましたが反省点も多数。来年も頑張ります。

ウッドデッキ塗装４

 梅雨の晴れ間にウッドデッキ塗装。だいぶ剥げていたので気になっていました。

塗装前

掃除後、水拭き

全体塗装

ペンキが余ったので剥げている部分を二度塗りしました。

今回はめんどくさかったので蜜蠟ワックス掛けませんでした。

シジュウカラの巣立ち間近

 今年もシジュウカラの巣箱で子育てが始まってもう1ヵ月ほど経ち、親鳥が巣立ちを促すような鳴き声を始めました。餌をくわえずに巣箱の周りで鳴いています。雛はまだ小さいので少し顔をのぞかせる程度で外には出てきません。まだ餌やりも続いています。毎年晴れた日の午前中に巣立ちます。今年もそろそろでしょう。

YAMAHA NMAX で牧野記念庭園訪問

 朝ドラで人気沸騰中の牧野富太郎博士の記念庭園に行ってきました。バイクで乗り付けて大丈夫か少し不安でしたが臨時駐輪場にとめることができました。入場無料。資料も充実していてとてもよかったです。

小学生の頃に読んだ伝記の影響でお爺さんのイメージが強かったですが、若い頃の写真も数多く展示されており博士の学徒としての生涯が偲ばれました。貴重な展示資料だけでなく数多くの植物も管理されており素晴らしい庭園でした。自転車では遠いけどバイクならアクセスしやすいと思います。

Ask ChatGPT on something about Chern-Simons theory

The followings are examples of Q&A's I've got from ChatGPT just in few seconds. Wow!

> level quantization of chern-simons theory

In Chern-Simons theory, the level quantization refers to the fact that the level parameter $k$, which appears in the action of the theory, must take on integer values in order for the theory to be well-defined.

Chern-Simons theory is a topological quantum field theory that describes the behavior of certain gauge fields, such as electromagnetism, in three dimensions. The action of the theory involves a term that is proportional to the integral of the trace of a product of gauge potentials and their differentials. This term is known as the Chern-Simons term and is given by:

$S[A] = \frac{k}{4\pi} \int \Tr \left( A \wedge dA + \frac{2}{3} A \wedge A \wedge A \right)  $

where $A$ is the gauge potential, $dA$ is its differential, $\wedge$ denotes the wedge product, $\Tr$ denotes the trace, and $k$ is the level parameter.

The level parameter $k$ plays an important role in the theory, as it determines the strength of the Chern-Simons term relative to other terms in the action. In particular, the Chern-Simons term is a topological term that does not depend on the metric of spacetime, and is therefore not renormalized by quantum corrections. However, the coefficient $k$ can be renormalized, and this leads to level quantization.

The level quantization arises from the fact that the path integral formulation of the theory requires that the action be well-defined. In particular, the path integral must converge, which requires that the integral of the exponential of the action be finite. This, in turn, requires that the level parameter $k$ be quantized. Specifically, the level must take on integer values in order for the theory to be well-defined.

This level quantization has important physical consequences, as it leads to the appearance of fractional statistics in certain physical systems. For example, in the fractional quantum Hall effect, electrons in a two-dimensional system are described by an effective Chern-Simons theory with a fractional value of the level parameter, which leads to the emergence of anyons with fractional statistics.

Overall, the level quantization of Chern-Simons theory is an important aspect of the theory that has implications for both mathematics and physics. It is an example of the deep connection between topology and quantum field theory, and has led to important insights into the behavior of physical systems at low temperatures and in the presence of strong magnetic fields.

> tell me about abelian chern-simons theory on the torus

Abelian Chern-Simons theory on the torus is a quantum field theory that is defined on a two-dimensional torus, which is a flat, doughnut-shaped surface. It is a special case of Abelian Chern-Simons theory, which is a three-dimensional topological field theory that describes the behavior of certain gauge fields, such as electromagnetism.

In Abelian Chern-Simons theory on the torus, the physical fields are the gauge potential $A(x,y)$ and a scalar field $\phi (x,y)$, where $(x,y)$ are the coordinates on the torus. The action for this theory takes the form:

$S[A, \phi ] = \frac{k}{4\pi} \int dxdy ( \ep^{\mu\nu\la} A_\mu \d_\nu A_\la + \phi \ep^{\mu \nu \la} \d_\mu A_\nu \d_\la  \phi )$

where $\ep^{\mu \nu \la}$ is the Levi-Civita tensor in two dimensions, and $k$ is a constant known as the level of the theory.

The equations of motion for this theory are given by the Maxwell equations with an additional term due to the presence of the scalar field:

$ \d_\mu F_{\mu \nu} = k \ep^{\mu \nu \la} \d_\mu \phi \d_\la \phi$

$\d_\mu \d_\mu \phi = k \ep^{\mu \nu \la} F_{\mu\nu}$

where $F_{\mu\nu} = \d_\mu A_\nu - \d_\nu A_\mu$ is the field strength tensor.

One interesting feature of Abelian Chern-Simons theory on the torus is that it leads to the emergence of topological excitations known as magnetic flux tubes. These flux tubes are two-dimensional analogues of the anyons that arise in three dimensions, and are characterized by a topological invariant known as the magnetic flux, which is quantized in units of the level $k$.

Abelian Chern-Simons theory on the torus has applications in condensed matter physics, where it is used to describe the behavior of certain two-dimensional materials known as fractional quantum Hall systems. It is also of interest in string theory, where it arises as an effective field theory in certain compactifications of the theory.

大江健三郎のこと

　作家の大江健三郎さんがが亡くなられたそうです。大江健三郎と聞いて最初に思い出すのは大学1年の秋、早朝の井の頭線の車内で向かい側に座っていた乗客が開いたスポーツ紙の一面に飾られた「大江健三郎　ノーベル文学賞！」のインパクト。それまでスポーツ紙に学術的な話が載るとは思っていなかったので、ノーベル賞受賞が「阪神優勝！」と同列に扱われることに戸惑った記憶があります。それだけ国民的な関心が高いニュースだったのでしょう。私はそれまで大江健三郎の本を読んだことがなかったので、さすがに一度読んでみようと手にしたのが文庫版の『人生の親戚』

でした。ちょうどスペイン語を第二外国語で勉強していてラテンアメリカ文学にも興味を持ち始めたのでタイトルがスペイン語の Parientes de vida の直訳でメキシコで慣用的に使われている「人生についてまわる不幸」のこと指していると知り興味を持ちました。まだ二十歳そこそこで人生経験も浅かったけどもじわ～～とくる内容でとても感動した覚えがあります。最初に読んだ大江の作品がこれでよかったです。