15.3 (2+1)次元のソリトン
(2+1)次元の場合、対称となる写像は
\[ \phi^a ( x ) \, : \, S^2_x \, \longrightarrow \, S^2_\phi \tag{15.88} \]
で与えられる。ここで、標的空間はコセット空間 $S^2 = SU(2)/ U(1)$ である。よって、$\phi^a$ $(a = 0, 1,2 )$ はリー群の要素ではなく２次元球面の座標を表し、$\phi^a \phi^a = 1$ を満たす。基底空間 $S^2_x$ も同じく $x^a x^a = 1$ を満たす座標 $x^a$ で表される。(2+1)次元の場合と同様に、単位写像 $\phi^a = x^a$ は(2+1)次元のステレオ射影表示
\[ x^0 = \frac{1 - r^2}{ 1 + r^2} \, , ~~~ x^i = \frac{2 y^i}{1+ r^2} \tag{15.89} \]
で与えられる。ただし、$i=1,2$, $y^a \in \mathbb{R}$ $(a=0,1,2)$ であり、$r^2$ は $r^2 = ( y^0 )^2 + ( y^1 )^2 + ( y^2 )^2$ で定義される。なお、この複素表示は12章で
\[ x_1 = \frac{z + \bz }{1 + z\bz} \, , ~~~ x_2 = i \frac{z - \bz }{1 + z\bz} \, , ~~~ x_3 = \frac{1 - z \bz }{1 + z\bz} \tag{12.49} \]
と与えられた。
保存カレント
保存３元カレントは前回の(2+1)次元トポロジカル電流についての結果
\[ J^\al \, = \, \frac{1}{8 \pi} \ep^{\mu\nu \al} \ep_{abc} \phi^a \d_\mu \phi^b \d_\nu \phi^c \tag{15.87} \]
で与えられた。ここでは、少し書き換えて
\[ J^\al \, = \, C \, \ep^{\mu\nu\al} \ep_{abc} \, ( \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b ) \phi^c \tag{15.90} \]
とする。ただし、$C = \frac{1}{8 \pi}$ は規格化定数である。$J^\al$ を $x^\al$ で微分すると
\[ \d_\al J^\al \, = \, C \, \ep^{\mu\nu\al} \ep_{abc} \, \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^c \tag{15.91} \]
となる。条件 $\phi^a \phi^a = 1$ から $\d_\mu \phi^a $ は $\d_\mu \phi^a = \ep^{alm } \phi^l \th_\mu^m$ とパラメータ $\th_\mu^m$ を用いて表示できる。よって、
\[\begin{eqnarray} \d_\al J^\al &=& C \, \ep^{\mu \nu \al} \ep_{abc} \, \ep^{a}_{~ lm } \phi^l \th_\mu^m \, \ep^{b}_{~ pq } \phi^p \th_\nu^q \, \ep^{c}_{~ rs } \phi^r \th_\al^s \nonumber \\ & \sim & \ep^{\mu\nu\al} \, \th_\mu^m \th_\nu^q \th_\al^s \, = \, 0 \tag{15.92} \end{eqnarray}\]
から $J^\al$ の保存則が確認できる。
巻き数と規格化
巻き数はカレント $J^\al$ を用いて $Q = \int d^2 x J^0$ と定義されるので、いまの場合
\[ Q [ \phi ] \, = \, C \int d^2 x \, \ep_{abc} \, \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b \, \phi^c \, \ep^{\mu \nu} \tag{15.93} \]
と表せる。ただし、$\mu$, $\nu$ は $(1,2)$ の値をもつ。(3+1)次元の場合と同様に、規格化定数 $C = \frac{1}{8 \pi}$ は単位写像 $\phi^a (x ) = y^a$ を代入して $Q [ y^a ] = 1$ から直接求めることができる。ステレオ射影表示(15.89)を用いると、$Q [y^a ]$ は
\[ Q [ y^a ] \, = \, 2 C \int d^2 x \, \ep_{abc} \, \d_1 y^a \d_2 y^b \, y^c \tag{15.94} \]
と書ける。この被積分関数は
\[\begin{eqnarray} && \ep_{abc} \, \d_1 y^a \d_2 y^b \, y^c \nonumber \\ &=& ( \d_1 y^0 \d_2 y^1 \, y^2 - \d_1 y^0 \d_2 y^2 \, y^1 ) + ( \d_1 y^2 \d_2 y^0 \, y^1 - \d_1 y^1 \d_2 y^0 \, y^2 ) \nonumber \\ && ~ + ( \d_1 y^1 \d_2 y^2 \, y^0 - \d_1 y^2 \d_2 y^1 \, y^0 ) \nonumber \\ &=& \left( \frac{2}{ 1 + r^2 } \right)^2 \left( (y^1 )^2 +(y^2 )^2 +(y^0 )^2 \right) \, = \, \left( \frac{2}{ 1 + r^2 } \right)^2 \tag{15.95} \end{eqnarray}\]
と計算できる。ただし、関係式
\[ \d_\mu y^0 \, = \, - \frac{2 y^\mu}{1 + r^2} \, , ~~~ \d_\mu y^i \, = \, \frac{2}{1 + r^2} \del_\mu^i - y_\mu y^i \tag{15.96} \]
を用いた。ここで、添え字はそれぞれ $\mu = 1,2$, $i = 1,2 $ である。よって、$Q [ y^a ]$ は
\[ Q [ y^a ] \, = \, 2 C \int d^2 x \, \left( \frac{2}{ 1 + r^2 } \right)^2 \, = \, 8 C \int \frac{2 \pi r}{ (1 + r^2 )^2 } dr \, = \, 8 \pi C \tag{15.97} \]
と求まる。ただし、積分測度を $d^2 x$ から $2 \pi r dr $ に変換し積分
\[ \int_0^\infty \frac{r}{ (1 + r^2 )^2 } dr \, = \, \frac{1}{2} \tag{15.98} \]
を用いた。よって、定義式 $Q [ y^a ] = 1$ から規格化定数 $C$ は確かに
\[ C \, = \, \frac{1}{8 \pi} \tag{15.99} \]
と決まることが分かる。
\[ Q [ \phi + \del \phi ] - Q [ \phi ] \, = \, \frac{1}{8\pi} \int d^2 x \, \ep_{abc} \, \del \phi^a \d_\mu \phi^b \d_\nu \phi^c \, \ep^{\mu\nu} \tag{15.100} \]
と変化する。条件式 $( \phi + \del \phi )^a ( \phi + \del \phi )^a = 1$ から $\phi^a \, \del \phi^a = 0$ であるので、$\del \phi^a = \ep^{amn} \phi^m \th^n$ とパラメータ表示できる。よって、上式は
\[ Q [ \phi + \del \phi ] - Q [ \phi ] \, = \, \frac{1}{8 \pi} \int d^2 x \, ( \phi_b \th_c - \phi_c \th_b ) \d_\mu \phi^b \d_\nu \phi^c \, \ep^{\mu\nu} \, = \, 0 \tag{15.101} \]
となる。ただし、$\phi^b \d_\mu \phi^b = \phi^c \d_\nu \phi^c = 0$ を用いた。したがって、$Q$ は確かに $\phi^a$ の微小変化のもとで不変である。つまり、$Q$ は写像 $\phi^a ( x ): S^2_x \rightarrow S^2_\phi$ に対するトポロジカル不変量である。また、(3+1)次元の場合と同様に、$Q$ が整数であること $Q \in \mathbb{Z}$ は簡単に分かる。
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