以前議論したように(3+1)次元ソリトン（あるいはスキルミオン）のトポロジカル電流は
\[ J^\bt \, = \, \frac{1}{24 \pi^2} \, \ep^{\mu\nu\al\bt} \, \Tr \left( g^{-1} \d_\mu g ~ g^{-1} \d_\nu g ~ g^{-1} \d_\al g \right) \tag{1} \]
と表せる。ただし、$g (x)$ は $SU(2)$ 群の要素である。2行2列の恒等行列 ${\bf 1}$ とパウリ行列 $\si_i$ $(i = 1,2,3)$ を用いると $g (x)$ は
\[ g (x) \, = \, \phi^0 {\bf 1} + i \phi^i \, \si_i \tag{2} \]
とパラメータ表示できる。ただし、$\phi^0$, $\phi^i$ は
\[ ( \phi^0 )^2 + ( \phi^i )^2 = 1 \tag{3} \]
を満たす。式(2)を式(1)に代入すると $\phi^0$, $\phi^i$ でトポロジカル電流を表せる。以下ではこの計算を実行する。（結果は良く知られているが実際に計算してみると煩雑になり、ChatGPTに聞いても要領を得なかったのであきらめて自力で導出した。）
まず、因子 $I_\mu = g^{-1} \d_\mu g $ は
\[\begin{eqnarray} I_\mu &=& ( \phi^0 {\bf 1} + i \phi^a \, \si_a ) \d_\mu ( \phi^0 {\bf 1} - i \phi^b \, \si_b ) \nonumber \\ &=& i ( \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 + \ep^{a}_{\, bc} \phi^b \d_\mu \phi^c ) \si_a \tag{4} \end{eqnarray}\]
と表せる。ただし、式(3)と $\si_a \si_b = \del_{ab} {\bf 1} + i \ep_{abc} \si_c$ を用いた。これより
\[ \Tr ( I_\mu I_\nu I_\al ) \, = \, 2 \ep_{abc} A_\mu^a A_\nu^b A_\al^c \tag{5} \]
と書ける。ただし、$A_\mu^a$ は
\[\begin{eqnarray} A_\mu^a & = & \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \nonumber \\ & \equiv & B_\mu^a + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \tag{6} \end{eqnarray}\]
で与えられる。$B_\mu^a = \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0$ は添え字 $( 0 a)$ について反対称であることに注意しよう。これより、トポロジカル電流 $J^\bt = \frac{1}{24 \pi^2} \ep^{\mu \nu \al \bt} \Tr ( I_\mu I_\nu I_\al )$ は
\[ J^\bt \, = \, \frac{1}{12 \pi^2} \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} A_\mu^a A_\nu^b A_\al^c \tag{7} \]
と表せる。上式でゼロとならない項は $(\mu \nu \al )$ と $(abc)$ のそれぞれ添え字について完全反対称であり、それらは $B_\mu^a$ を１つあるいは３つ含む項で与えられる。具体的に書き出すと、ゼロとならない項は
\[\begin{eqnarray} \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} A_\mu^a A_\nu^b A_\al^c &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \left( \, B_\mu^a \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n \right. \nonumber \\ && ~~~~~~~~~~~ + \, \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, B_\nu^b \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n \nonumber \\ && ~~~~~~~~~~~ + \, \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, B_\al^c \nonumber \\ && ~~~~~~~~~~~ + \, \left. B_\mu^a B_\nu^b B_\al^c \, \right) \tag{8} \end{eqnarray}\]
と書ける。ここで、第一項の $\ep_{abc} B_\mu^a \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n$ は
\[\begin{eqnarray} && \ep_{abc} ( \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 ) \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n \nonumber \\ &=& \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, ( \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 ) ( \phi^a \d_\al \phi^b - \phi^b \d_\al \phi^a ) \nonumber \\ &=& \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, \left( - ( (\phi^0 )^2 + (\phi^a )^2 ) \d_\mu \phi^0 \d_\al \phi^b + \phi^b ( - \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\al \phi^a + \phi^a \d_\mu \phi^0 \d_\al \phi^a ) \right) \nonumber \\ &=& - \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \d_\mu \phi^0 \d_\al \phi^b \tag{9} \end{eqnarray}\]
と計算できる。ただし、関係式 $\d_\mu \phi^a \, \phi^a = - \phi^0 \d_\mu \phi^0$ と $(\phi^0 )^2 + (\phi^a )^2 = 1$ を用いた。同様に、第二項、第三項も
\[\begin{eqnarray} \ep_{abc} \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, B_\nu^b \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n &=& - \ep^{c}_{\, mn} \d_\mu \phi^c \d_\nu \phi^0 \phi^m \d_\al \phi^n \tag{10} \\ \ep_{abc} \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, B_\al^c &=& \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\mu \phi^b \d_\nu \phi^l \d_\al \phi^0 \tag{11} \end{eqnarray}\]
と求まる。これらを足し合わせると式(8)の初めの三項は
\[\begin{eqnarray} && \ep_{abc} \left( B_\mu^a \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, B_\nu^b \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, B_\al^c \right) \nonumber \\ &=& \ep_{abc} \left( - \phi^b \d_\mu \phi^0 \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^c \d_\nu \phi^0 \d_\al \phi^b + \phi^b \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^0 \right) \tag{12} \end{eqnarray}\]
とまとめられる。ただし、反対称シンボル $\ep^{\mu \nu \al \bt}$ は省略した。最後に、式(8)の最終項を計算すると
\[\begin{eqnarray} && \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} B_\mu^a B_\nu^b B_\al^c \nonumber \\ &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \left( \phi^0 \d_\mu \phi^a \phi^0 \d_\nu \phi^b \phi^0 \d_\al \phi^c - \phi^0 \d_\mu \phi^a \phi^0 \d_\nu \phi^b \phi^c \d_\al \phi^0 \right. \nonumber \\ && \hspace{4.8cm} \left. - \phi^0 \d_\mu \phi^a \phi^b \d_\nu \phi^0 \phi^0 \d_\al \phi^c - \phi^a \d_\mu \phi^0 \phi^0 \d_\nu \phi^b \phi^0 \d_\al \phi^c \right) \nonumber \\ &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \left( ( \phi^0 )^2 \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^c + \phi^c \phi^d ( \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^d ) \right. \nonumber \\ && \hspace{4.8cm} \left. + \phi^b \phi^d ( \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^d \d_\al \phi^c ) + \phi^a \phi^d ( \phi^0 \d_\mu \phi^d \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^c ) \right) \nonumber \\ &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} ( ( \phi^0 )^2 + (\phi^i )^2 ) \ep_{abc} \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^c \nonumber \\ &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^c \, . \tag{13} \end{eqnarray}\]
となる。よって、式(8)は
\[\begin{eqnarray} && \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} A_\mu^a A_\nu^b A_\al^c \nonumber \\ &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \left( \, \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^c - \phi^b \d_\mu \phi^0 \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^c \d_\nu \phi^0 \d_\al \phi^b + \phi^b \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^0 \, \right) \nonumber \\ &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{ABCD} \, \phi^A \d_\mu \phi^B \d_\nu \phi^C \d_\al \phi^D \tag{14} \end{eqnarray}\]
と変形できる。ただし、大文字の添え字 $(A,B,C,D)$ は $(0,1,2,3)$ の値をもち、小文字の添え字 $(a , b, c)$ は $(1,2,3)$ の値をもつ。
\[ J^\bt \, = \, \frac{1}{12 \pi^2} \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{ABCD} \, \phi^A \d_\mu \phi^B \d_\nu \phi^C \d_\al \phi^D \tag{15} \]
と表せる。
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