トポロジカル電流と体積形式
\[ J_\mu \, = \, C \, \ep_{\mu\nu\al\bt} \, \Tr \left( g^{-1} \d_\nu g ~ g^{-1} \d_\al g ~ g^{-1} \d_\bt g \right) \tag{15.25} \]
と表した。ただし、規格化定数はこちらで導出したように
\[ C \, = \, \frac{1}{24 \pi^2} \tag{15.54} \]
で与えられる。以下では、(1+1)次元ソリトンの場合と同様に、$J_\mu$ を
\[ g (x) \, = \, a (x) + i b_i (x) \, \si_i \tag{15.22} \]
で定義されたスカラー場 $a (x)$, $b_i (x)$ $(i = 1,2,3)$ で表すことを考える。簡単のため、$a (x)$, $b_i (x)$ を $\phi^0$, $\phi^i$ と書き換える。つまり、
\[ g (x) \, = \, \phi^0 {\bf 1} + i \phi^i \, \si_i \tag{15.67} \]
とおく。このとき、因子 $I_\mu = g^{-1} \d_\mu g $ は
\[\begin{eqnarray} I_\mu &=& ( \phi^0 {\bf 1} + i \phi^a \, \si_a ) \d_\mu ( \phi^0 {\bf 1} - i \phi^b \, \si_b ) \nonumber \\ &=& i ( \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 + \ep^{a}_{\, bc} \phi^b \d_\mu \phi^c ) \si_a \tag{15.68} \end{eqnarray}\]
と表せる。ただし、関係式 $( \phi^0 )^2 + ( \phi^a )^2 = 1$ と $\si_a \si_b = \del_{ab} {\bf 1} + i \ep_{abc} \si_c$ を用いた。これより、
\[ \Tr ( I_\mu I_\nu I_\al ) \, = \, 2 \ep_{abc} A_\mu^a A_\nu^b A_\al^c \tag{15.69} \]
と表せる。ただし、$A_\mu^a$ は
\[\begin{eqnarray} A_\mu^a & = & \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \nonumber \\ & \equiv & B_\mu^a + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \tag{15.70} \end{eqnarray}\]
で与えられる。ここで、$B_\mu^a = \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0$ は $( 0 a)$ について反対称であることに注意しよう。トポロジカル電流 $J^\bt = \frac{1}{24 \pi^2} \ep^{\mu \nu \al \bt} \Tr ( I_\mu I_\nu I_\al )$ は
\[ J^\bt \, = \, \frac{1}{12 \pi^2} \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} A_\mu^a A_\nu^b A_\al^c \tag{15.71} \]
と表せる。このうちゼロとならない項は添え字 $(\mu \nu \al )$ と $(abc)$ についてそれぞれ完全反対称であり、それらは $B_\mu^a$ を１つあるいは３つ含む項で与えられる。具体的に書き出すとゼロとならない項は
\[\begin{eqnarray} \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} A_\mu^a A_\nu^b A_\al^c &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \left( \, B_\mu^a \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n \right. \nonumber \\ && ~~~~~~~~~~~~~ + \, \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, B_\nu^b \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n \nonumber \\ && ~~~~~~~~~~~~~ + \, \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, B_\al^c \nonumber \\ && ~~~~~~~~~~~~~ + \, \left. B_\mu^a B_\nu^b B_\al^c \, \right) \tag{15.72} \end{eqnarray}\]
となる。この第一項 $\ep_{abc} B_\mu^a \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n$ は
\[\begin{eqnarray} && \ep_{abc} ( \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 ) \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n \nonumber \\ &=& \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, ( \phi^0 \d_\mu \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^0 ) ( \phi^a \d_\al \phi^b - \phi^b \d_\al \phi^a ) \nonumber \\ &=& \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, \left( - ( (\phi^0 )^2 + (\phi^a )^2 ) \d_\mu \phi^0 \d_\al \phi^b \right. \nonumber \\ && ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \left. + \phi^b ( - \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\al \phi^a + \phi^a \d_\mu \phi^0 \d_\al \phi^a ) \right) \nonumber \\ &=& - \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \d_\mu \phi^0 \d_\al \phi^b \tag{15.73} \end{eqnarray}\]
と計算できる。ただし、$\d_\mu \phi^a \, \phi^a = - \phi^0 \d_\mu \phi^0$ と $(\phi^0 )^2 + (\phi^a )^2 = 1$ を用いた。同様に、第二項、第三項は
\[\begin{eqnarray} \ep_{abc} \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, B_\nu^b \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n &=& - \ep^{c}_{\, mn} \d_\mu \phi^c \d_\nu \phi^0 \phi^m \d_\al \phi^n \tag{15.74} \\ \ep_{abc} \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, B_\al^c &=& \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\mu \phi^b \d_\nu \phi^l \d_\al \phi^0 \tag{15.75} \end{eqnarray}\]
と求まる。よって、式(15.72)の最初の３項は
\[\begin{eqnarray} && \ep_{abc} \left( B_\mu^a \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, B_\nu^b \, \ep^{c}_{\, mn} \phi^m \d_\al \phi^n \right. \nonumber \\ && \hspace{6.3cm} \left. + \ep^{a}_{\, ij} \phi^i \d_\mu \phi^j \, \ep^{b}_{\, kl} \phi^k \d_\nu \phi^l \, B_\al^c \right) \nonumber \\ &=& \ep_{abc} \left( - \phi^b \d_\mu \phi^0 \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^a - \phi^a \d_\mu \phi^c \d_\nu \phi^0 \d_\al \phi^b + \phi^b \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^0 \right) \tag{15.76} \end{eqnarray}\]
と表せる。ただし、簡単のため反対称記号 $\ep^{\mu \nu \al \bt}$ は省略した。最後に、式(15.72)の最終項は
\[\begin{eqnarray} && \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} B_\mu^a B_\nu^b B_\al^c \nonumber \\ &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \left( \phi^0 \d_\mu \phi^a \phi^0 \d_\nu \phi^b \phi^0 \d_\al \phi^c - \phi^0 \d_\mu \phi^a \phi^0 \d_\nu \phi^b \phi^c \d_\al \phi^0 \right. \nonumber \\ && ~~~~~~~~~~ \left. - \phi^0 \d_\mu \phi^a \phi^b \d_\nu \phi^0 \phi^0 \d_\al \phi^c - \phi^a \d_\mu \phi^0 \phi^0 \d_\nu \phi^b \phi^0 \d_\al \phi^c \right) \nonumber \\ &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \left( ( \phi^0 )^2 \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^c + \phi^c \phi^d ( \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^d ) \right. \nonumber \\ && ~~~~~~~~~~ \left. + \phi^b \phi^d ( \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^d \d_\al \phi^c ) + \phi^a \phi^d ( \phi^0 \d_\mu \phi^d \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^c ) \right) \nonumber \\ &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} ( ( \phi^0 )^2 + (\phi^i )^2 ) \ep_{abc} \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^c \nonumber \\ &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^c \tag{15.77} \end{eqnarray}\]
と計算できる。よって、式(15.72)は
\[\begin{eqnarray} && \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} A_\mu^a A_\nu^b A_\al^c \nonumber \\ &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{abc} \left( \, \phi^0 \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^b \d_\al \phi^c - \phi^b \d_\mu \phi^0 \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^a \right. \nonumber \\ && \hspace{1.6cm} \left. - \phi^a \d_\mu \phi^c \d_\nu \phi^0 \d_\al \phi^b + \phi^b \d_\mu \phi^a \d_\nu \phi^c \d_\al \phi^0 \, \right) \nonumber \\ &=& \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{ABCD} \, \phi^A \d_\mu \phi^B \d_\nu \phi^C \d_\al \phi^D \tag{15.78} \end{eqnarray}\]
と変形できる。ただし、大文字の添え字 $(A,B,C,D)$ は $(0,1,2,3)$ の値をとり、小文字の添え字 $(a , b, c)$ は $(1,2,3)$ の値をとる。
\[ J^\bt \, = \, \frac{1}{12 \pi^2} \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{ABCD} \, \phi^A \d_\mu \phi^B \d_\nu \phi^C \d_\al \phi^D \tag{15.79} \]
と表せる。ただし、スカラー場 $\phi^A (x)$ は写像
\[ \phi^A ( x ) \, : \, S^3_x \, \longrightarrow \, S^3_\phi \tag{15.80} \]
を表す。以前言及したように、基底空間 $S^3_x$ はステレオ射影表示により $\mathbb{R}^3$ と同一視できる。標的空間である３次元球面 $S^3_\phi$ の体積形式は
\[ \Omega_{S^3_\phi} \, = \, \frac{1}{3!} \ep_{ABCD} \, \phi^A \, d \phi^B \wedge d \phi^C \wedge d \phi^D \tag{15.81} \]
で与えられる。これより、トポロジカル電流 $J^\bt$ は基本的に $\Omega_{S^3_\phi}$ で決定されることが分かる。数学的に厳密に言うと、$J^\bt$ は $\Omega_{S^3_\phi}$ の引き戻しのホッジ双対、すなわち
\[ [ \star \phi^* ( \Omega_{S^3_\phi} ) ]^\bt = \frac{1}{3!} \ep^{\mu \nu \al \bt} \ep_{ABCD} \, \phi^A \d_\mu \phi^B \d_\nu \phi^C \d_\al \phi^D \tag{15.82} \]
で与えられる。つまり、トポロジカル電流は
\[ J^\bt \, = \, \frac{1}{{\rm Vol} ( S^3 ) } \, [ \star \phi^* ( \Omega_{S^3_\phi} ) ]^\bt \tag{15.83} \]
と表せる。ただし、${\rm Vol} ( S^3 ) = 2 \pi^2 r^3$ は（単位半径 $r=1$ をもつ）$S^3$ の体積である。この定義式からトポロジカル電流は自動的に保存する $( d J = 0 )$ ことが分かる。というのも、体積形式は閉形式 $ ( d \Omega_{S^3_\phi} = 0 )$ であるので
\[ d \star \phi^* ( \Omega_{S^3_\phi} ) = \star d \phi^* ( \Omega_{S^3_\phi} ) = \star \phi^* ( d \Omega_{S^3_\phi} ) = 0 \tag{15.84} \]
が成り立つからである。このことは、以前式(15.27), (15.28)で示した運動方程式に依らない４元電流保存則の簡潔な別証明を与える。
公式(15.83)は $(d +1)$ 次元ソリトンにも一般化できる。具体的に書き出すと
\[ J^{\mu_d} \, = \, \frac{1}{{\rm Vol} ( S^d ) } \, \frac{1}{d!} \, \ep^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_d} \ep_{a_1 a_2 \cdots a_d} \, \phi^{a_1} \d_{\mu_1} \phi^{a_2} \d_{\mu_1} \phi^{a_3} \cdots \d_{\mu_{d-1}} \phi^{a_d} \tag{15.85} \]
となる。$d=1,2$ の場合、これらのトポロジカル電流は
\[\begin{eqnarray} ( d=1 ) &~& J^\nu \, = \, \frac{1}{2 \pi} \ep^{\mu\nu} \d_\mu \phi \tag{15.86} \\ ( d=2 ) &~& J^\al \, = \, \frac{1}{8 \pi} \ep^{\mu\nu \al} \ep_{abc} \phi^a \d_\mu \phi^b \d_\nu \phi^c \tag{15.87} \end{eqnarray}\]
と表せる。
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