15. ソリトン vol.7

前回に引き続き(2+1)次元ソリトンの議論を進める。今回がこの講義録の最後である。

物理モデル

　(3+1)次元の静的なソリトン解（スキルミオン）を記述するハミルトニアンは

\[  \H [ g ]  \, = \,  \al^2 \int d^3 x \, \Tr ( \d_i g^\dag \, \d_i g )    \tag{15.63} \]

であった。(2+1)次元の場合も同様に、静的ソリトンのハミルトニアンを

\[    \H [ \phi ] \, = \, \frac{1}{2} \int d^2 x \, \d_i \phi^a  \d_i \phi^a   \tag{15.102} \]

の形に仮定できる。スケール変換 $x^i  \rightarrow   x^{\prime i} =  R  x^i$ のもとで $\d_i \phi^a \rightarrow \frac{1}{R} \d_i \phi^a$, $d^2 x \rightarrow R^2 d^2 x$ と変換するので、(2+1)次元の場合ハミルトニアン $\H [ \phi ]$ はスケール不変であり、有限エネルギーのソリトン解 $( Q \ne 0 )$ をもつ。

　つぎに、不等式

\[    \int d^2 x \left(   \d_i \phi^a - \ep^{abc} \d_j \phi^b  \phi^c \ep_{ij}  \right)^2    \, \ge \, 0     \tag{15.103} \]

を考える。左辺の被積分関数を展開すると

\[\begin{eqnarray}    &&    \d_i \phi^a \d_i \phi^a    - 2 \ep^{abc} \d_i \phi^a \d_j \phi^b \phi^c \ep_{ij}    + \ep^{abc} \d_j \phi^b \phi^c \ep_{ij} \ep^{amn} \d_k \phi^m \phi^n \ep_{ik}    \nonumber \\    &=&    \d_i \phi^a \d_i \phi^a - 16 \pi J^0    + ( \del^{bm} \del^{cn} - \del^{bn} \del^{cm} ) \d_j \phi^b  \phi^c \d_k \phi^m \phi^n \del_{jk}    \nonumber \\    &=&    \d_i \phi^a \d_i \phi^a - 16 \pi J^0    + \d_j \phi^b \phi^c ( \d_j \phi^b \phi^c - \d_j \phi^c \phi^b )    \nonumber \\    &=&    2 \d_i \phi^a \d_i \phi^a - 16 \pi J^0    \tag{15.104} \end{eqnarray}\]

となる。ただし、$\ep^{abc}\ep^{amn} = \del^{bm} \del^{cn} - \del^{bn} \del^{cm}$ と $\ep_{ij} \ep_{ik} = \del_{jk}$ を用いた。これより、ハミルトニアン(15.102)は下限を持つことが分かる。

\[    \H [ \phi ] \, \ge \, 4 \pi Q [\phi ]     \tag{15.105} \]

この下限値はボゴモルニー境界 (Bogomolny bound) あるいは BPS (Bogomolny-Prasad-Sommerfield) 境界と呼ばれる。ボゴモルニー境界上では(15.103)の等式が成り立つ。すなわち、

\[    \d_i \phi^a - \ep^{abc} \d_j \phi^b  \phi^c \ep_{ij}    \, = \, 0     \tag{15.106} \]

となる。これはボゴモルニー方程式あるいは BPS 方程式と呼ばれる。成分表示するとボゴモルニー方程式は

\[\begin{eqnarray}    \d_x \phi^1 = \d_y \phi^2 \phi^3 - \d_y \phi^3 \phi^2 \, , &~~~~~&    \d_y \phi^1 = - \d_x \phi^2 \phi^3 + \d_x \phi^3 \phi^2  \nonumber \\    \d_x \phi^2 = \d_y \phi^3 \phi^1 - \d_y \phi^1 \phi^3 \, , &~~~~~&    \d_y \phi^2 = - \d_x \phi^3 \phi^1 + \d_x \phi^1 \phi^3  \tag{15.107} \\    \d_x \phi^3 = \d_y \phi^1 \phi^2 - \d_y \phi^2 \phi^1 \, , &~~~~~&    \d_y \phi^3 = - \d_x \phi^1 \phi^2 + \d_x \phi^2 \phi^1   \nonumber \end{eqnarray}\]

と書ける。これらはある複素関数 $W$ を

\[    W \, = \,  u (x, y) + i v ( x, y)     \, \equiv \, \frac{\phi^1}{1+ \phi^3} + i \frac{\phi^2}{1 + \phi^3}  \tag{15.108} \]

とおいたときのコーシー・リーマン方程式

\[    \d_x u = \d_y v \, , ~~~~~ \d_y u = - \d_x v    \tag{15.109} \]

と等価である。つまり、$z= x + i y$ とおくと複素関数 $W$ は正則関数 $W = W (z)$ であり、コーシー・リーマン方程式あるいはボゴモルニー方程式は $\d_\bz W = 0$ と表せる。$\H [ \phi ]$ のスケール不変性は静的なソリトン解が共形対称性をもつことを示唆する。これは、11.4節で議論したように、２次元球面 $S^2$ 上の任意の関数 $f( z, \bz)$ が $SL( 2 , {\bf C})$ 代数で実現される大域的共形対称性を保存することからも明らかである。上の結果は、ボゴモルニー境界において複素関数 $f (z, \bz)$ が正則性条件 $\d_\bz f(z, \bz ) = 0$ あるいは $ f(z, \bz ) \rightarrow f (z)$ を満たすことを示している。この正則関数 $f(z)$ はビラソロ代数で実現される２次元の局所的共形対称性を保存する。

　ボゴモルニー境界(15.105)の存在はハミルトニアン $\H  [ \phi ]$ が下限を持つことを示すので、$\H  [ \phi ]$ を用いて(2+1)次元静的ソリトンの物理モデルを構築できる。これらのソリトンは(3+1)次元の場合の類推からベイビー・スキルミオンとも呼ばれる。$\H  [ \phi ]$ は標的空間を $S^2$ とする２次元シグマ模型と見做せるので、$\H  [ \phi ]$ を用いて自発的対称性の破れ $O(3) \rightarrow O(2)$ についての静的な有効理論を記述できる。よって、14章で議論したようにベイビー・スキルミオン用いて強磁性体やスピン波を解析できる。また、量子ホール効果の物理系に(2+1)次元の静的ソリトンを適用することもできる。