道志みちから大室山ピストン

野原吊橋から大室山まで。これまで3回トライして時間切れ、冬装備忘れなどで撤退していたので今回はチャンと準備してチャンと登頂しました！ 行きは黙々と登り通しでしたが、帰りは山頂で出会った牛久の藤田さんと会話しながら下山できたので楽しかったです。懸案だった大室山に登頂できたのでこれで一安心。いろいろ勉強させてもらいました。ルートなど詳しくはこちらから。

テニス：2024年度の活動報告

地元の市民大会の話ですが、団体戦は1部残留、個人戦はシニアで単複準優勝。シニアのカテゴリだけど漸くシングルスで結果が出ました。来年度は団体戦で勝てるよう頑張ります！

高校の野球部OBOG会に参加

昨年末に２年上の先輩から案内があり、先週、本当に久しぶりに同期の仲間と再会、懐かしい先輩方とも歓談できました！

これを機会にンッ十年振りに連絡が取れた同期のメンバーもいるので久しぶりに同期会しようということになりました。もうみんないい年なので少しは落ち着いてきたかな。

13. ウィグナーの $\D$ 関数とその応用 vol.5

前回に引き続き原子内電子の光吸収・発光過程の選択則について考える。選択則は放射過程の行列要素

$$\bra \al | H_{int} | \bt \ket \, = \,   \frac{e}{m} \bra  \al | \vec{A} \cdot \vec{p} | \bt \ket   \, = \,  \frac{i \, e}{\hbar}   \bra  \al | \vec{A} \cdot ( H_0 \vec{x} - \vec{x} H_0 ) | \bt \ket    \tag{13.85}$$

にウィグナー-エッカルトの定理を適用して導出できる。前回はゼロ次近似から電気双極子遷移の選択則を求めたが、今回は1次近似から磁気双極子遷移と電気四重極子遷移の選択則を求める。

磁気双極子遷移と電気四重極子遷移の選択則

　　微小因子 $\vec{k} \cdot \vec{x}$ について1次までのオーダーで行列要素(13.85)を表すと

$$\begin{eqnarray}    \bra  \al | H_{int} | \bt \ket &=& \frac{e}{m} \bra  \al | \vec{A} \cdot \vec{p} | \bt \ket    \nonumber \\    & \approx &  e \bra \al | (1 + i \vec{k} \cdot \vec{x} )  A_\om  \, \vec{\hat{e}} \cdot \dot{\vec{x}} | \bt \ket    \nonumber \\    &=&    \bra  \al | H_{int}^{(0)} | \bt \ket \, + \, \bra  \al | H_{int}^{(1)} | \bt \ket    \tag{13.96} \end{eqnarray}$$

と書ける。ただし、$\bra  \al | H_{int}^{(0)} | \bt \ket$ は前回求めたゼロ次のオーダーの項

$$\begin{eqnarray}     \bra  \al | H_{int}^{(0)} | \bt \ket   &=& \frac{i \, e}{\hbar}\hat{e}^a \, A_\om ( E_\al - E_\bt ) \bra \al | x^a | \bt \ket    \nonumber \\    & = &  e \dot{\vec{A}} \cdot \bra \al |  \vec{x} | \bt \ket    \nonumber \\    & = & e \vec{E} \cdot \bra \al |  \vec{x} | \bt \ket    \tag{13.90} \end{eqnarray}$$

である。ただし、$\vec{E} = \frac{\d}{\d t} \vec{A} = \dot{\vec{A}}$ は外部電場を表す。ベクトル・ポテンシャル $\vec{A}$ は

$$\vec{A} \, = \, \vec{\hat{e}} \, A \, e^{-i ( \om t - \vec{k} \cdot \vec{x} ) }    \, = \, \vec{\hat{e}}\, A_\om \, e^{i \vec{k} \cdot \vec{x} }    \tag{13.86}$$

とパラメータ表示される。ただし、$A_\om = A  e^{-i  \om t}$ であり、角運動量 $\om$ はエネルギー保存則から

$$\om \, = \, \frac{E_\al - E_\bt }{\hbar} \, = \, \om_\al - \om_\bt     \tag{13.87}$$

と決まる。ここでは、放射ゲージを

$$\phi \, = \, 0 \, , ~~~~ \nabla \cdot \vec{A} \, = \, 0     \tag{13.81}$$

採用していることに注意しよう。1次のオーダーの行列要素は

$$\begin{eqnarray}    \bra  \al | H_{int}^{(1)} | \bt \ket  &=& i e k^a \hat{e}^b A_\om    \bra \al | x^a \dot{x}^b | \bt \ket    \nonumber \\    &=& i \frac{e}{m} k^a \hat{e}^b A_\om   \bra \al | x^a p^b | \bt \ket    \nonumber \\    &=& i \frac{e}{2m} k^a \hat{e}^b  A_\om   \bra \al | ( x^a p^b + p^b x^a )  | \bt \ket    \tag{13.97} \end{eqnarray}$$

と表せる。ただし、$x^a p^b$ を反対称成分と対称成分に

$$\begin{eqnarray}    x^a p^b &=& \frac{1}{2} ( x^a p^b - p^b x^a ) + \frac{1}{2} ( x^a p^b + p^b x^a )    \nonumber \\    &=& \frac{i \hbar}{2} \del^{ab} + \frac{1}{2} ( x^a p^b + p^b x^a )    \tag{13.98} \end{eqnarray}$$

と分離して、関係式 $k^a \hat{e}^b \del^{ab} = 0$ を用いた。対称成分はハイゼンベルク方程式

$$\frac{1}{m} \vec{p} \, = \,  \, \dot{\vec{x}} \, = \,  \frac{i}{\hbar} \, [ H_0 , \vec{x} ]    \tag{13.84}$$

を用いて

$$\begin{eqnarray}     x^a p^b + p^b x^a  &=& \frac{m}{2} ( x^a \dot{x}^b + \dot{x}^b x^a )  \nonumber \\    &=&     \frac{im}{2 \hbar} x^a ( H_0  x^b - x^b H_0 ) + \frac{m}{2} \dot{x}^b x^a     \nonumber \\    &=& \frac{im}{2 \hbar} (H_0 x^a x^b - x^a x^b H_0 ) - \frac{m}{2} ( \dot{x}^a x^b - \dot{x}^b x^a )      \tag{13.99} \end{eqnarray}$$

と計算できる。よって、1次のオーダーの行列要素(13.97)は

$$\bra  \al | H_{int}^{(1)} | \bt \ket  =    - \frac{e}{2\hbar} k^a \hat{e}^b  A_\om  \bra \al | [H_0 ,  x^a x^b ]  | \bt \ket    - i \frac{e}{2m}  k^a \hat{e}^b  A_\om  \bra \al | ( p^a x^b - p^b x^a )  | \bt \ket    \tag{13.100}$$

と書ける。電気双極子近似(13.90)の場合と同様に、右辺の第1項は

$$\begin{eqnarray}    - \frac{e}{2\hbar} k^a \hat{e}^b  A_\om  \bra \al | [H_0 ,  x^a x^b ]  | \bt \ket    &=& - \frac{e}{2\hbar} k^a \hat{e}^b  A_\om ( E_\al - E_\bt )   \bra \al | x^a x^b   | \bt \ket    \nonumber \\    &=& - \frac{e}{2} k^a \dot{A}^b  \bra \al | x^a x^b   | \bt \ket    \nonumber \\    &=& i \frac{e}{2} \nabla^a E^b \bra \al | x^a x^b | \bt \ket    \nonumber \\    &=& i \frac{e}{2} \nabla^a E^b \bra \al | T^{ab} | \bt \ket    \tag{13.101} \end{eqnarray}$$

と変形できる。ただし、$T^{ab}$ は13.2節で定義した階数２の対称テンソル

$$T^{ab} = x^a x^b - \frac{1}{3} \del^{ab} x^2     \tag{13.68}$$

である。外部電場に対して $\nabla^a E^b \del^{ab} = \nabla \cdot \vec{E} = 0$ が成り立つことに注意しよう。式(13.100)右辺の第2項は

$$\begin{eqnarray}    - i \frac{e}{2m}  k^a \hat{e}^b  A_\om  \bra \al | ( p^a x^b - p^b x^a )  | \bt \ket    &=&  - i \frac{e}{2m}  k^a \hat{e}^b  A_\om  \bra \al | \ep^{abc} \ep_{klc} p^k x^l   | \bt \ket    \nonumber \\    &=& i \frac{e}{2m} \ep^{abc} k^a \hat{e}^b  A_\om  \bra \al | L_c   | \bt \ket    \nonumber \\    &=& \frac{e}{2m} \ep^{abc} \nabla^a A^b  \bra \al | L_c   | \bt \ket    \nonumber \\    &=& \frac{e}{2m} \vec{B} \cdot  \bra \al | \vec{L}  | \bt \ket    \tag{13.102} \end{eqnarray}$$

と変形できる。ただし、関係式 $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$ と $\vec{L} = \vec{x} \times \vec{p}$ を用いた。

　以上、まとめると

$$\bra  \al | H_{int}^{(1)} | \bt \ket  =    i \frac{e}{2} \nabla^a E^b \bra \al | T^{ab} | \bt \ket +    \frac{e}{2m} \vec{B} \cdot  \bra \al | \vec{L}  | \bt \ket     \tag{13.103}$$

と求まる。右辺の第１項、第２項はそれぞれ電気四重極子遷移、磁気双極子遷移を記述する。電気双極子遷移の場合と同様に、第２項の選択則はクレブシュ-ゴルダン係数 $C^{1 l l^{\prime *}}_{a m m^\prime}$ で決定される。ただし、磁気双極子遷移の場合は状態のパリティが保存される。つまり、$\Delta l = l^\prime - l$ に対して、$(-1)^{\Delta l }=1$ が課される。言い換えると、磁気双極子遷移の選択則は

$$\begin{eqnarray}    \Delta l & = & 0    \nonumber \\    \Delta j &=& 0 , \pm 1 ~~~~\mbox{ただし $(j, j^\prime ) \ne (0, 0)$}    \tag{13.104} \\    \Delta m &=& 0 , \pm 1    ~~~~\mbox{ただし $\Delta j = 0$ の場合は $(m, m^\prime ) \ne (0, 0)$}    \nonumber \end{eqnarray}$$

で与えられる。

　同様に、ウィグナー-エッカルトの定理を適用すると電気四重極子遷移の選択則はクレブシュ-ゴルダン係数

$$\begin{eqnarray}    C^{2 l l^{\prime *}}_{A m m^\prime}    & = & \bra 2 A \, l m | l^\prime m^\prime \ket    \nonumber \\    &=& (-1)^{l^\prime - l -2 } \bra l m \, 2 A | l^\prime m^\prime \ket    \nonumber \\    &=& \del_{m^\prime , m + A} \,(-1)^{l^\prime - l -2 } \bra l m \, 2 A | l^\prime m^\prime \ket    \tag{13.105} \end{eqnarray}$$

から導ける。ただし、$A = 0 , \pm 1 , \pm2$ である。上式より磁気量子数 $m$ に関する選択則は $\Delta m = 0, \pm 1, \pm 2$ であることが簡単に分かる。磁気双極子遷移の場合と同じく、始状態と終状態のパリティは同じである。よって、軌道角運動量量子数 $l$ に関する選択則は例外的な場合を除いて $\Delta l = 0, \pm 2$ と書ける。例外となる場合は下表で示すクレブシュ-ゴルダン係数 $\bra l m \, 2 A | l^\prime  m + A \ket$ の具体的な形から判別できる。

$$\begin{array}{|c|cc|}    \hline    l^\prime & A=2 & A=1 \\ \hline    l+2 & \sqrt{\frac{(l+m+1)(l+m+2)(l+m+3)(l+m+4)}{(2l+1)(2l+2)(2l+3)(2l+4)}} & \sqrt{\frac{(l+m+1)(l+m+2)(l+m+3)(l-m+1)}{(l+1)(l+2)(2l+1)(2l+3)}} \\    l+1 & - \sqrt{\frac{(l+m+1)(l+m+2)(l+m+3)(l-m)}{l(l+1)(2l+1)(2l+4)}} & - (l-2m) \sqrt{\frac{(l+m+1)(l+m+2)}{l(l+1)(2l+1)(2l+4)}} \\    l & \sqrt{\frac{3(l+m+1)(l+m+2)(l-m-1)(l-m)}{2l(l+1)(2l-1)(2l+3)}} & - (2m+1) \sqrt{\frac{3(l+m+1)(l-m)}{2l(l+1)(2l-1)(2l+3)}} \\    l-1 & - \sqrt{\frac{(l+m+1)(l-m-2)(l-m-1)(l-m)}{(l-1)l(2l+1)(2l+2)}} & (l+2m+1) \sqrt{\frac{(l-m-1)(l-m)}{(l-1)l(2l+1)(2l+2)}}  \\    l-2 & \sqrt{\frac{(l-m-3)(l-m-2)(l-m-1)(l-m)}{(2l-2)(2l-1)2l(2l+1)}} & - \sqrt{\frac{(l+m)(l-m-2)(l-m-1)(l-m)}{(l-1)l(2l-1)(2l+1)}} \\  \hline \end{array}$$

$$\begin{array}{|c|c|}    \hline   l^\prime & A=0 \\ \hline    l+2  & \sqrt{\frac{3(l+m+1)(l+m+2)(l-m+1)(l-m+2)}{(l+1)(2l+1)(2l+3)(2l+4)}} \\    l+1 &  m \sqrt{\frac{3(l+m+1)(l-m+1)}{l(l+1)(l+2)(2l+1)}} \\    l  &  \frac{3m^2 - l(l+1)}{\sqrt{l(l+1)(2l-1)(2l+3)}} \\    l-1 &  - m \sqrt{\frac{3(l+m)(l-m)}{(l-1)l(l+1)(2l+1)}} \\    l-2  & \sqrt{\frac{3(l+m-1)(l+m)(l-m-1)(l-m)}{l(2l-2)(2l-1)(2l+1)}} \\  \hline \end{array}$$

$$\begin{array}{|c|cc|}    \hline    l^\prime & A=-1 & A=-2  \\ \hline    l+2 & \sqrt{\frac{(l-m+1)(l-m+2)(l-m+3)(l+m+1)}{(l+1)(l+2)(2l+1)(2l+3)}} & \sqrt{\frac{(l-m+1)(l-m+2)(l-m+3)(l-m+4)}{(2l+1)(2l+2)(2l+3)(2l+4)}} \\    l+1 & (l+2m) \sqrt{\frac{(l-m+1)(l-m+2)}{l(l+1)(2l+1)(2l+4)}} & \sqrt{\frac{(l-m+1)(l-m+2)(l-m+3)(l+m)}{l(l+1)(2l+1)(2l+4)}} \\    l & (2m -1) \sqrt{\frac{3(l-m+1)(l+m)}{2l(l+1)(2l-1)(2l+3)}} &  \sqrt{\frac{3(l-m+1)(l-m+2)(l+m-1)(l+m)}{2l(l+1)(2l-1)(2l+3)}}  \\    l-1 & -(l-2m+1) \sqrt{\frac{(l+m-1)(l+m)}{(l-1)l(2l+1)(2l+2)}}  & \sqrt{\frac{(l-m+1)(l+m-2)(l+m-1)(l+m)}{(l-1)l(2l+1)(2l+2)}} \\    l-2 & - \sqrt{\frac{(l-m)(l+m-2)(l+m-1)(l+m)}{(l-1)l(2l-1)(2l+1)}} & \sqrt{\frac{(l+m-3)(l+m-2)(l+m-1)(l+m)}{(2l-2)(2l-1)2l(2l+1)}} \\  \hline \end{array}$$

これらの値はクレブシュ-ゴルダン係数の一般形 (Racah 公式) 

$$\begin{eqnarray}    &&    \bra j_1 m_1 \, j_2 m_2 | J M \ket    \nonumber \\    &=& \del_{M, m_1 + m_2}  \sqrt{\frac{(2J+1)\, (J+j_1 - j_2 )! \, (J - j_1 + j_2 )! \,( j_1 + j_2 -J )! }{(j_1 + j_2 + J + 1 )!}}    \nonumber \\    && \times \sqrt{(J+M)! \, (J-M)! \,(j_1 + m_1 )! \, ( j_1 - m_1 )! \, (j_2 + m_2 )! \, ( j_2 - m_2 )!}    \nonumber \\    && \times \sum_k \left( \frac{(-1)^{k} }{k! \,(j_1 + j_2 -J - k )! \,(j_1 - m_1 - k )! \,( j_2 + m_2 - k )! } \right.    \nonumber \\    && \hspace{4cm} \times \left. \frac{1}{ ( J- j_2 + m_1 + k )! \,( J- j_1 - m_2 + k )! } \right)    \tag{13.106}\end{eqnarray}$$

から求めた。ただし、整数 $k$ の和は階乗をとる数がすべて非負である $k$ だけに限られる。この公式は $M \ge 0$ かつ $j_1 \ge j_2$ の場合に適用されるが、それ以外の場合は関係式

$$\begin{eqnarray}    \bra j_1  - \! m_1 \, j_2  - \! m_2 | J \, - \!M \ket &=& (-1)^{J-j_1 -j_2 } \bra j_1 m_1 \, j_2 m_2 | J M \ket      \tag{13.107} \\    \bra j_2  m_2  \, j_1  m_1 | J \, M \ket &=& (-1)^{J-j_1 -j_2 } \bra j_1 m_1 \, j_2 m_2 | J M \ket     \tag{13.108} \end{eqnarray}$$

から求まる。

ウッドデッキ塗装５

去年はサボってしまったウッドデッキ塗装を久しぶりに行いました。寒いけど雨の少ない冬にやるのもアリですね。

塗装前

ほうきで掃いて水拭き

塗装後

相変わらず水性ペンキで塗っています。刷毛の再利用もできるし当分これでいいかな。

13. ウィグナーの $\D$ 関数とその応用 vol.4

13.3 ウィグナー-エッカルト型の応用例

前節ではウィグナー $\D$ 関数を用いてコンパクトなリー群に関するウィグナー-エッカルトの定理

$$\bra R^\prime , \al | Q^A | R , m \ket  \, = \,    {C^{R^{\prime\prime} R R^{\prime}}_{A m \al}}^* \, \bra R^\prime || Q^{R^{\prime\prime}} || R \ket    \tag{13.77}$$

を示した。ただし、還元行列要素 $\bra R^\prime || Q^{R^{\prime\prime}} || R \ket$ は

$$\bra R^\prime || Q^{R^{\prime\prime}} || R \ket \, = \,      \sum_{\bt , n} \frac{C^{R^{\prime\prime}R R^{\prime}}_{Bn \bt} \, \bra R^\prime , \bt | Q^B | R , n \ket }    {  ( {\rm dim} R^\prime ) ( \mbox{$G$ の体積}) }     \tag{13.78}$$

で定義される。今節ではウィグナー-エッカルトの定理の応用例として次の3つを取り上げる。

1.  光子の吸収・放出についての選択則
2.  ハドロン・スペクトル
3.  ケース-ガシオロウィッツ-ワインバーグ-ウィッテン (Case-Gasiorowicz-Weinberg-Witten) の定理

13.3.1 光子の吸収・放出の選択則

2.1節で解説したように、水素原子のハミルトニアンは

$$H_0 \, = \, \frac{\vec{p}^{\, 2}}{2m} - \frac{e^2}{r}     \tag{13.79}$$

で近似できる。ここで、$\vec{p}$ と $m$ は電子の運動量と質量、$r$ は原子核からの距離を表す。$H_0$ は球対称なので

$$\left[ L^a , H_0 \right] \,= \, 0    \tag{13.80}$$

を満たす。ただし、$L^a$ $(a = 1,2,3)$ は角運動量演算子である。固有状態 $| \al \ket$ のエネルギー固有値を $E_\al$ とする。つまり、$H_0 | \al \ket = E_\al | \al \ket$ とおく。(13.80)から $L^a H_0 | \al \ket = H_0 L^a | \al \ket = E_\al L^a | \al \ket$ が分かる。これは、$L^a | \al \ket$ が $| \al \ket$ と同じエネルギーを持つことを意味する。同様に、任意の状態の回転 $e^{i L^a \th^a } | \al \ket$ も同じエネルギーを持つことが分かる。すなわち、エネルギー準位は角運動量の表現を成す多重項に分類できる。

　ある規約表現 $R$ に属す状態 $| \al \ket$ を考える。あるパラメータ $\th$ を用いて別の状態 $| \bt \ket = e^{i L \cdot \th} | \al \ket$ を定義する。状態 $| \bt \ket$ は表現 $R$ の外に出ることはないので、特定の $\th$ に対して$\bra \bt | e^{i L \cdot \th} | \al \ket \ne 0$ となる。例えば、状態を適当に規格化すると $\bra \bt | e^{i L \cdot \th} | \al \ket = \bra \al | e^{- i L \cdot \th} e^{i L \cdot \th} | \al \ket = 1$ が満たされる。もし $| \bt \ket \not\in R$ であれば、群の要素の合成が成り立たず、$\bra \bt | e^{i L \cdot \th} | \al \ket = 0$ となる。よって、縮退状態は回転群の既約表現で与えられることが分かる。$SU(2)$ 群の既約表現と縮退状態について詳しくは1.3節も参照されたい。

　ここで、ハミルトニアン $H_0$ に相互作用項を導入する。放射ゲージを導入すると外部電磁場のスカラー・ポテンシャル $\phi$ とベクトル・ポテンシャル $\vec{A}$ はゲージ条件

$$\phi \, = \, 0 \, , ~~~~ \nabla \cdot \vec{A} \, = \, 0     \tag{13.81}$$

に従う。このとき、相互作用項を含むハミルトニアンは

$$H \, = \, \frac{(\vec{p} + e \vec{A})^2}{2m} - \frac{e^2}{r^2}    \, = \, H_0 + \frac{e}{2m} ( \vec{p} \cdot \vec{A} + \vec{A} \cdot \vec{p} ) + \frac{e^2}{2m} \vec{A}^{\, 2}     \tag{13.82}$$

と書ける。原子核内の電子に働くクーロン力に比べて外部電磁場の影響は小さいので $\vec{A}^{\, 2}$ の項を無視すると、相互作用項は

$$H_{int} | \Psi \ket  \, = \, \frac{e}{2m} ( \vec{p} \cdot \vec{A} + \vec{A} \cdot \vec{p} ) | \Psi \ket    \, = \, \frac{e}{m}  \vec{A} \cdot \vec{p}  \, | \Psi \ket    \tag{13.83}$$

と表せる。ただし、ゲージ条件 $\nabla \cdot \vec{A}  = 0$ を用いた。電子の運動量のみ考慮すると電流密度は $\vec{J} = - \frac{e}{m} \vec{p}$ とおけるので、上式から相互作用項 $H_{int}$ は基本的に $H_{int} = \frac{e}{m}  \vec{A} \cdot \vec{p} = - \vec{A} \cdot \vec{J}$ で与えられることが分かる。ハイゼンベルク方程式を用いると、演算子 $\frac{1}{m} \vec{p}$ は

$$\frac{1}{m} \vec{p} \, = \,  \, \dot{\vec{x}} \, = \,  \frac{i}{\hbar} \, [ H_0 , \vec{x} ]    \tag{13.84}$$

と書ける。よって、$H_{int}$ の行列要素は

$$\bra \al | H_{int} | \bt \ket \, = \,    \frac{i \, e}{\hbar}   \bra  \al | \vec{A} \cdot ( H_0 \vec{x} - \vec{x} H_0 ) | \bt \ket    \tag{13.85}$$

で与えられる。ただし、$| \al \ket$, $| \bt \ket$ は放射現象の終状態と始状態を表す。上式でベクトル・ポテンシャル $\vec{A}$ は

$$\vec{A} \, = \, \vec{\hat{e}} \, A \, e^{-i ( \om t - \vec{k} \cdot \vec{x} ) }    \, = \, \vec{\hat{e}}\, A_\om \, e^{i \vec{k} \cdot \vec{x} }    \tag{13.86}$$

とパラメータ表示される。ここで、$A_\om = A  e^{-i  \om t}$ であり、角運動量 $\om$ はエネルギー保存則から

$$\om \, = \, \frac{E_\al - E_\bt }{\hbar} \, = \, \om_\al - \om_\bt     \tag{13.87}$$

と決まる。放射ゲージ条件(13.81)より、偏光ベクトル $\vec{\hat{e}}$ は関係式

$$\vec{\hat{e}} \cdot \vec{k} \, = \, 0     \tag{13.88}$$

を満たす。放射現象において光の波長は $\la \sim 10^{-5}$ ${\rm cm}$ のオーダーであり、これは原子のサイズ $r \sim 10^{-8}$ ${\rm cm}$ に比べて十分大きい。つまり、$\vec{k} \cdot \vec{x} \sim \frac{2\pi}{\la} r \sim 10^{-3} \ll 1$ と見積もることができる。微小因子 $\vec{k} \cdot \vec{x}$ の1次近似でベクトル・ポテンシャルは

$$\vec{A} \, = \, \vec{\hat{e}} \, A_\om     \, ( 1 + i \vec{k} \cdot \vec{x} ) + {\cal O} \left( ( \vec{k} \cdot \vec{x} )^2 \right)     \tag{13.89}$$

と表せる。ゼロ次近似 $e^{i \vec{k} \cdot \vec{x}} \approx 1$ で行列要素(13.85)は

$$\begin{eqnarray}    \bra  \al | H_{int} | \bt \ket & \approx &    \bra  \al | H_{int}^{(0)} | \bt \ket \nonumber \\    &=& \frac{i \, e}{\hbar}\hat{e}^a \, A_\om ( E_\al - E_\bt ) \bra \al | x^a | \bt \ket    \nonumber \\    & = &  e \dot{\vec{A}} \cdot \bra \al |  \vec{x} | \bt \ket    ~ = ~ e \vec{E} \cdot \bra \al |  \vec{x} | \bt \ket    \tag{13.90} \end{eqnarray}$$

と表せる。ただし、$\vec{E} = \dot{\vec{A}}$ は電場を表す。このゼロ次近似は古典電気力学での電気双極子近似に対応する。

　水素原子の物理状態は $SO(3)$ 群のユニタリー既約表現で記述される。前節で見たように、これらは $| l , m \ket$ でラベルされる。ただし、$l$ は軌道角運動量量子数、$m$ は磁気量子数を表す。ウィグナー-エッカルトの定理(13.77)を適用すると、行列要素(13.90)は

$$e E^a \, \bra l^\prime , m^\prime  | x^a |   l,m \ket    \, = \,    e E^a \, C^{1 l l^{\prime *}}_{a m m^\prime}     \bra l^\prime || x^{(1)} || l \ket    \tag{13.91}$$

と表せる。ただし、$x^{(1)}$ は $x^a$ ($a = 0, \pm 1$) が $l=1$ テンソル(13.65)として変換することを表す。これは放射現象の選択則がクレブシュ-ゴルダン係数 $C^{1 l l^{\prime *}}_{a m m^\prime}$ で評価されることを意味する。クレブシュ-ゴルダン係数の慣習的な表示法 $\bra j_1 m_1 \, j_2 m_2 | J M \ket$ を用いると $C^{1 l l^{\prime *}}_{a m m^\prime}$ は

$$\begin{eqnarray}    C^{1 l l^{\prime *}}_{a m m^\prime}    & = & \bra 1 a \, l m | l^\prime m^\prime \ket    \nonumber \\    &=& (-1)^{l^\prime - l -1 } \bra l m \, 1 a | l^\prime m^\prime \ket    \nonumber \\    &=& \del_{m^\prime , m + a} \,(-1)^{l^\prime - l -1 } \bra l m \, 1 a | l^\prime m^\prime \ket     \tag{13.92} \end{eqnarray}$$

と関係付けられる。これより、明らかに磁気量子数 $m$ の選択則は

$$\Delta m \, =  \, 0, \pm 1    \tag{13.93}$$

となることが分かる。ただし、$\Delta m = m - m^\prime$ である。より厳密には、ゼロとならないクレブシュ-ゴルダン係数 $\bra l m \, 1 a | l^\prime m + a \ket$ は以下の表で与えられる。

$$\begin{array}{|c|ccc|} \hline   l^\prime & a=1 & a=0 & a=-1 \\ \hline   l+1 & \sqrt{\frac{(l+m+1)(l+m+2)}{(2l+1)(2l+2)}} & \sqrt{\frac{(l+m+1)(l-m+1)}{(2l+1)(l+1)}} & \sqrt{\frac{(l-m+1)(l-m+2)}{(2l+1)(2l+2)}} \\   l & - \sqrt{\frac{(l+m+1)(l-m)}{2l(l+1)}} &  m \sqrt{\frac{1}{l(l+1)}} & \sqrt{\frac{(l+m)(l-m+1)}{2l(l+1)}} \\   l-1 & \sqrt{\frac{(l-m-1)(l-m)}{2l(2l+1)}} & - \sqrt{\frac{(l+m)(l-m)}{l(2l+1)}} & \sqrt{\frac{(l+m-1)(l+m)}{2l(2l+1)}} \\ \hline \end{array}$$

夏と冬のパノラマ台

去年の夏と今年の1月に精進湖畔からパノラマ台に行ったので記録しておきます。夏はアメリカから一時帰国中の妹家族と1泊2日の旅行の際に寄りました。

夏は陽が昇ると雲が湧いてくるので早朝登山がおススメです。

　先月にテニス仲間と登ったときは冬らしく富士山くっきり見えました。

4年前に黒岳、御坂山を登ったときに出会った方に教えてもらったパノラマ台。湖畔の駐車場からアクセスもいいのでビギナーにもおすすめです！

22年振り?! ハーレムのアパートでお世話になったTさんと再会

メールボックスの迷惑フォルダに紛れていたメッセージから久しぶりに懐かしい知人と先日再会しました。1999年に私が単身NYに乗り込んだ時にお世話になったアパートの大家さんです。京都出身のエネルギッシュな方で、すぐに意気投合して、２人で近くの公園でよくサッカーやりました。公園にいた多国籍メンバーと草サッカーやって削りあったりしましたね～。その他、イチローの試合見に行ったり、郊外のバザーに連れて行ってもらったり色々お世話になりました。マンハッタン・ハーレムのど真ん中のアパートで、夜に発砲音があったり、うるさすぎて勉強に集中できなかったので少しして私はクィーンズに引っ越しましたが、その後もたまにチャイナタウンでランチしたりしました。9.11のあと少ししてTさんがタイに行くと言って突然居なくなったのには驚きました。その際、車譲ろうかとおっしゃってもらったのですが、残念ながらあの時私には車を持つ余裕がありませんでした。

　

　その後、ぱったり音信不通になりましたが今年1月末にメッセージを受け取りました。タイ語をマスターして現地で運転手付きの生活をされていたそうですが、クーデターの内乱でどうにもならず、その後、中国の雲南大学で勉強されたそうです。で、今はロスで奥様と子供３人とのセミリタイア生活。今年還暦になるのに6,9,12歳の子供がいらっしゃるとのこと、相変わらずエネルギッシュですね！もちろん大谷のワールドシリーズも現地観戦したそうです。アメリカ、タイ、中国の話以外にもサッカーの話などで盛り上がって楽しい時間を過ごせました。年に一度チケットの安い時期に帰国するそうなのでまた来年会いましょう！

電気四重極子遷移の選択則に関わるクレブシュ-ゴルダン係数

原子内電子の放射現象に関する選択則は例えばこちらにまとめられているが、その導出にはよく知られているようにウィグナー-エッカルトの定理が適用される。この定理の詳細はここでは割愛するが、結論としては電気双極子遷移あるいは磁気双極子遷移の選択則は、任意の角運動量固有状態 $| l, m \ket$ と $l=1$ の角運動量固有状態 $|1, a \ket$ ($a = 0, \pm 1$) との合成で定義されるクレブシュ-ゴルダン係数 $\bra lm \, 1 a | l^\prime m \!+\! a \ket$ の有無によって決定できる。ただし、軌道角運動量量子数$l$ はゼロ以上の整数であり、磁気量子数 $m$ は $m=-l, -  l \! +\! 1, \cdots , l\! -\! 1, l$ の値をとる。ただし、電子のスピンを含めると $l$ は 半奇数を含む全角運動量量子数 $j$ に置き換えれられる。ゼロとならない $\bra lm \, 1 a | l^\prime m \!+\! a \ket$ は下表で与えられる。

$$\begin{array}{|c|ccc|} \hline   l^\prime & a=1 & a=0 & a=-1 \\ \hline   l+1 & \sqrt{\frac{(l+m+1)(l+m+2)}{(2l+1)(2l+2)}} & \sqrt{\frac{(l+m+1)(l-m+1)}{(2l+1)(l+1)}} & \sqrt{\frac{(l-m+1)(l-m+2)}{(2l+1)(2l+2)}} \\   l & - \sqrt{\frac{(l+m+1)(l-m)}{2l(l+1)}} &  m \sqrt{\frac{1}{l(l+1)}} & \sqrt{\frac{(l+m)(l-m+1)}{2l(l+1)}} \\   l-1 & \sqrt{\frac{(l-m-1)(l-m)}{2l(2l+1)}} & - \sqrt{\frac{(l+m)(l-m)}{l(2l+1)}} & \sqrt{\frac{(l+m-1)(l+m)}{2l(2l+1)}} \\ \hline \end{array}$$

この表は例えば

に掲載されている。上の表で $l=m=0$ (あるいは $|a| < 1$ かつ $|l^\prime - l | < 1$) の場合に係数が例外的にゼロとなることに注意しよう。

　一方、電気四重極子遷移の選択則は任意の角運動量固有状態 $| l, m \ket$ と $l =2$ の角運動量固有状態 $| 2, a \ket$ ($a = 0, \pm 1 , \pm 2$) との合成で定義されるクレブシュ-ゴルダン係数 $\bra lm \, 2 a | l^\prime m \!+\! a \ket$ の有無によって決定できる。よって、上と同様の表があれば簡単に電気四重極子遷移の選択則を確認できるのだが、分かる範囲では見つからなかった。そこで、以下のクレブシュ-ゴルダン係数の一般形 (Racah 公式) からこれらの係数を求めることにした。

$$\begin{eqnarray}    &&    \bra j_1 m_1 \, j_2 m_2 | J M \ket    \nonumber \\    &=& \del_{M, m_1 + m_2}  \sqrt{\frac{(2J+1)\, (J+j_1 - j_2 )! \, (J - j_1 + j_2 )! \,( j_1 + j_2 -J )! }{(j_1 + j_2 + J + 1 )!}}    \nonumber \\    && \times \sqrt{(J+M)! \, (J-M)! \,(j_1 + m_1 )! \, ( j_1 - m_1 )! \, (j_2 + m_2 )! \, ( j_2 - m_2 )!}    \nonumber \\    && \times \sum_k \left( \frac{(-1)^{k} }{k! \,(j_1 + j_2 -J - k )! \,(j_1 - m_1 - k )! \,( j_2 + m_2 - k )! } \right.    \nonumber \\    && \hspace{4cm} \times \left. \frac{1}{ ( J- j_2 + m_1 + k )! \,( J- j_1 - m_2 + k )! } \right)    \tag{1}\end{eqnarray}$$

ただし、整数 $k$ の和は階乗をとる数がすべて非負である $k$ だけに限られる。この公式は $M \ge 0$ かつ $j_1 \ge j_2$ の場合に適用されるが、それ以外の場合は関係式

$$\begin{eqnarray}    \bra j_1  - \! m_1 \, j_2  - \! m_2 | J \, - \!M \ket &=& (-1)^{J-j_1 -j_2 } \bra j_1 m_1 \, j_2 m_2 | J M \ket      \tag{2} \\    \bra j_2  m_2  \, j_1  m_1 | J \, M \ket &=& (-1)^{J-j_1 -j_2 } \bra j_1 m_1 \, j_2 m_2 | J M \ket     \tag{3} \end{eqnarray}$$

から求まる。公式(1)についてはこちらの丁寧な解説とこちらの (高校の級友で大学の先輩でもある浜ちゃんの) 講義ノートも参考にした。

放射現象における磁気双極子遷移と電気四重極子遷移の導出

古典電磁気学の1つの重要なトピックとして電気四重極子あるいは多重極子の導出がある。

静電場の場合はスカラー・ポテンシャルの球面調和関数展開あるいはテイラー展開に相当するので自然に理解できるが、磁場を含める場合はベクトル・ポテンシャルを導入して電気双極子近似（ゼロ次近似）より高次の近似を考える必要がある。このとき1次のオーダーの項から磁気双極子と電気四重極子が出てくるが、これらはぞれぞれ電流ベクトルと位置ベクトルの積の非対称成分と対称成分に相当する。この話は例えばジャクソン電磁気学の第9章

に出ていて一応、大学の古典電磁気学で学習する内容となっている。ただし、このような近似が成立するのは基本的に原子・分子・結晶内などミクロな世界の話なので当然ながら量子電磁気学の領域であり、量子力学的な取り扱いが必要となる。

　一方、量子力学の教科書では大抵、ゼロ次近似での電気双極子相互作用の導出までが紹介され、磁気双極子・電気四重極子は古典電磁気学でやったから大丈夫だよね、という感じで学生もあぁあれね、という感じでそのままになってそれぞれ専門分野に進んで行くことが多い（個人的印象）。最近までそんな記憶もすっかり忘れていたが、久しぶりに原子内電子と外部電磁場の相互作用を考える機会があったので磁気双極子相互作用と電気四重極子相互作用を量子力学的に導出できるか手元の参考書・教科書で調べてみた。

しかしながら、分かる範囲では何処にも載っていなかったので自力で導出してみた。詳細は以下の通り。